Определители и их свойства.

Определитель является некоторой числовой характеристикой квадратной матрицы.

Определителем матрицы второго порядка, или просто определителем второго порядка называется число , вычисляемое по формуле

 = = a ₁₁ a ₂₂ – a ₂₁ a ₁₂.

Например, = (1·4 – 3·2) = 4 – 6 = – 2.

Понятие определителя n – го порядка вводится по индукции, полагая, что уже введено понятие определителя (n – 1) – го порядка, соответствующего квадратной матрице порядка (n– 1).

Предварительно введем следующие понятия.

Минором M_{i j}элементаa_{i j}данной матрицы порядкаnназывается определитель (n – 1) – го порядка, соответствующий матрице, получаемой из данной вычеркиванием строки и столбца, содержащих элементa _{i j}.

Алгебраическим дополнением A_{i j}элементаa _{i j}определителя называется минорM_{i j}, взятый со знаком (– 1) ^{i + j}, то естьA_{i j}= (– 1)^{i +}

^jM_{i j}.

Определителем матрицы An– го порядка, или определителемn –го порядка называется число, обозначаемое символически:

 = detA=и равное сумме попарных произведений элементов первой строки на соответствующие алгебраические дополнения:

 = =a ₁₁ A ₁₁ + a ₁₂ A ₁₂ + … + a _{1 n}A _{1 n}.

Определитель третьего порядка есть число , вычисляемое по формуле

 = = a ₁₁ A ₁₁+ a ₁₂ A ₁₂ + a ₁₃ A ₁₃ =

=a ₁₁ (–1)

1+1 + a ₁₂ (–1) ¹⁺² + a ₁₃ (–1) ¹⁺³ =

= a ₁₁ (a ₂₂ a ₃₃ – a ₃₂ a ₂₃) – a ₁₂ (a ₂₁ a ₃₃ – a ₃₁ a ₂₃) + a ₁₃ (a ₂₁ a ₃₂ – a ₃₁ a ₂₂).

В качестве примера вычислим определитель

= 1· (–1)^{1+ 1}+ 2 · (–1) ^{1+ 2} + (–1) · (–1) ^{1+ 3}

=

= 1 · (–1 – 0) – 2 · (–2 – 0) – 1 · (6 – 0) = –1 + 4 – 6 = – 3.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

1. Для того, чтобы определитель  матрицы A равнялся 0, необходимо и достаточно, чтобы строки матрицы были линейно зависимыми ( = 0). В частности,  = 0, если

2. Определитель не меняется при

3. При перестановке двух строк определитель меняет знак.

4. При умножении какой–либо строки определителя на число  определитель умножается на , общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя.

5. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

6. Все свойства определителей справедливы, если их сформулировать для столбцов определителя.

Из свойства 5, в частности, следует, что определитель обратной матрицы связан с определителем матрицы A следующим образом: det A

– 1 = 1 / det A.

В самом деле, поскольку A · A^{– 1} = E, то det (A · A^{– 1}) = det A · det A^{– 1} = = det E = 1, откуда следует требуемое утверждение.

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

1. Метод разложения по строке. Определитель равен сумме попарных

произведений элементов произвольной строки на соответствующие алгебраические дополнения, то есть  = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + … + a_inA_in.

2. Метод разложения по столбцу. Определитель равен сумме попарных

произведений элементов произвольного столбца на соответствующие алгебраические дополнения, то есть  = a _{1 j}A _{1 j} + a _{2 j}A _{2 j} + … + a_{n j}A_{n j}.

Эти методы позволяют при вычислении определителей выбирать строку или столбец с наибольшим количеством нулей, что облегчает процесс вычисления, так как отпадает необходимость вычисления алгебраических дополнений нулевых элементов.

3. Метод зануления. Идея метода состоит в том, чтобы, не меняя вели-

чины определителя, получить столбец или строку, в которой все элементы

кроме одного равны 0, а затем выполнить разложение по этому столбцу или строке. В результате вычисление определителя

n –го порядка сводится к вычислению одного определителя (n – 1) –го порядка. Зануление элементов производится с применением свойств определителей.

ПРИМЕР.  = .

Прибавим первую строку определителя ко второй, третьей и четвертой строкам, предварительно умножив ее на числа (–2), 2 и (–1) соответственно. Величина определителя при этом не изменится (свойство 2 определителей), а элементы первого столбца, стоящие во второй, третьей и четвертой строках, станут равными 0. Получим определитель

 =.Разложимполученныйопределительпо первому столбцу:

 =1·(–1) ¹⁺¹+0+0+0 =

. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (–1), и выполним разложение по первому столбцу:

 = = (–5) · (–1) ^{1 + 1}= (–5) · (–5 – 0) = 25.

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

1. Проверка линейной независимости системы векторов пространства R ⁿ.

Если система содержит n векторов, то можно составить определитель n-го порядка, строками которого являются векторы данной системы. Согласно свойству 2 определителей этот определитель будет равен 0 в случае линейной зависимости и отличен от нуля в случае линейной независимости системы векторов.

2. Нахождение обратной матрицы. Если квадратная матрица A имеет об-

ратную, то ее строки линейно независимы и, следовательно, ее определитель  отличен от нуля. Вычислим алгебраические дополнения A

_{i j} всех элементов матрицы A и составим из них матрицу (A_{i j} ).Тогдаобратная матрица A^{– 1}

может быть найдена по формуле A^{– 1} = (A_{i j})^T.

studfiles.net

6.1.5. Алгоритм Литтла.

Другое название алгоритма Литтла – метод «ветвей и границ». Так же как и в целочисленном программировании, при использова­нии алгоритма Литтла необходимо определить верхнюю и нижнюю оценки для разделения множества решений на два класса. Различа­ют две группы задач, решаемых этим алгоритмом: задачи на мини­мум (определяют нижнюю оценку или границу) и задачи на макси­мум (определяют верхнюю границу или оценку) [12, 13].

Идея алгоритма такова: определяют нижнюю оценку (для задачи на минимум) и разделяют исходную матрицу на две примерно равные части. Затем уменьшают размер матрицы и определяют «пла­ту» за уменьшение размера матрицы. Размер платы может быть или положительный или нулевой, т.е. увеличивать или не изменять размера нижней оценки. Размер матрицы уменьшается до 2 х 2. Затем выполняют движение в обратном порядке и получают опти­мальный (по стоимости) маршрут.

Рассмотрим работу алгоритма Литтла на примере.

Пример 5. Выполним «зануление» матрицы так, как это было в дельта-методе при решении транспортной задачи.

Город	1	2	3	4	5	6
1		6	4	12	14	22
2	6		3	8	7	20
3	4	3		10	11	18
4	12	8	10		9	16
5	14	7	11	9		10
6	22	20	18	16	10

1) Зануление по строкам

Город	1	2	3	4	5	6
1		2	0	8	10	18
2	3		0	5	4	17
3	1	0		7	8	15
4	4	0	2		1	8
5	7	0	4	2		3
6	12	10	8	6	0

2) Зануление по столбцам

Город	1	2	3	4	5	6
1		2	0	6	10	15
2	2		0	3	4	14
3	0	0		5	8	12
4	3	0	2		1	5
5	6	0	4	0		0
6	11	10	8	4	0

После «зануления» матрицы ее элементы должны содержать или положительные, или нулевые значения. Сумма вычтенных зна­чений со строкам равна 35 (4 +- 3 + 3 + 8 + 7 + 10), по столбцам — 6 (1 +0 + 0 + 2 + 0 + 3). Общая сумма всех вычитаний — 41. Это и есть нижняя оценка.

Из условия задачи ясно, что надо побывать в каждом городе один раз. То есть замкнутый маршрут (цикл) должен содержать уникаль­ные номера городов и переходы из одного города в другой должны выполняться по одному разу в каждой строке и в каждом столбце. Также надо помнить, что стоимость маршрута не может быть меньше нижней оценки (общей суммы выполненных вычитаний).

Далее для каждой клетки матрицы, содержащей ноль, надо вы­числить частную оценку клетки или просто оценку клетки.

Оценка клетки определяется как сумма минимальных элементов соответствующей строки и столбца.

Клетка 1-3 содержит значение ноль. Оценка этой клетки будет равна сумме минимального элемента по первой строке и минималь­ного элемента но третьему столбцу 2 + 0 = 2. Для клетки 2-3 оцен­ка составит 2 + 0 = 2. Для клетки 3-2 оценка будет 0 + 0 = 0. Оцен­ки клеток представлены в виде верхнего индекса на рисунке.

Оценки клеток:

№	1	2	3	4	5	6
1		2	02	6	10	15
2	2		02	3	4	14
3	02	00		5	8	12
4	3	01	2		1	5
5	6	00	4	03		05
б	11	10	8	4	05

Начиная с этого момента приступаем к построению дерева ветвления алгоритма. Максимальная оценка 5 принадлежит двум клеткам 5-6 и 6-5. Поэтому за «нулевое» ребро принимается или ребро 5-6, или ребро 6-5. Возьмем ребро 5-6. Все маршруты ра­зобьем на содержащие ребро 5-6 и не содержащие это ребро. Обе группы маршрутов (содержащие и не содержащие ребро 5-6) будут иметь стоимость не менее нижней оценки (более может быть).

Из дальнейшего рассмотрения исключаем пятую строку и шес­той столбец. Этим действием снижаем размер матри­цы. Ребро 5-6 помечено как запрещенное (серым цветом) для рассмотрения. К уменьшенной матрице применяем процедуру «зануления». Из последней строки вычтем 4, а из последнего столбца — 1. Заново определяем оценки нулевых клеток.

Первый шаг:

№	1	2	3	4	5
1		2	02	6	10
2	2		02	3	4
3	02	00		5	8
4	3	01	2		1
6	11	10	8	4	05

№	1	2	3	4	5
1		2	02	6	9
2	2		02	3	3
3	02	00		5	7
4	3	01	2		0
6	7	6	4	0	05

№	1	2	3	4	5
1		2	02	6	9
2	2		02	3	3
3	02	00		5	7
4	3	00	2		03
6	7	6	4	07	05

Клетка 6-4 имеет наибольшую оценку 7. За «нулевое» ребро возьмем 6-4. Далее процедура снижения размера матрицы повто­ряется. Результат преобразований показан на рисунке.

Второй шаг:

№	1	2	3	5
1		2	02	9
2	2		02	3
3	02	00		7
4	3	00	2	03

№	1	2	3	5
1		2	02	6
2	2		02	0
3	02	00		4
4	3	00	2	03

№	1	2	3	5
1		2	02	6
2	2		02	04
3	02	00		4
4	3	00	2	03

Третий шаг:

№	1	2	3
1		2	02
3	02	00
4	3	00	2

№	1	2	3
1		2	02
4	3	02	2
3	02	00

№	1	2	3
1		2	02
4	1	02	0
3	02	00

№	1	2	3
1		2	02
4	1	02	01
3	01	02

Четвертый шаг:

Проанализируем выполненные преобразования и построим де­рево алгоритма. В результате расчета «зануления» ис­ходной матрицы была получена нижняя оценка — 41. Таким обра­зом, стоимость любого допустимого маршрута будет не менее 41. После вычисления оценок нулевых клеток, была вы­брана клетка 5-6 с максимальной оценкой 5. Соответственно, реб­ро, соединяющее города 5 и 6, было объявлено «нулевым», и все возможные маршруты были разделены на две группы: содержащие ребро 5-6 и не содержащие этого ребра. Новая нижняя оценка для маршрутов, не содержащих ребра 5-6, должна быть увеличена на оценку клетки 5-6 и составит 41 + 5 = 46.

На первом шаге (см. рисунок) нулевое ребро было помечено серым цветом и изъято из дальнейшего рассмотрения. Далее рас­сматривалась только левая ветвь (рисунок) дерева ветвления алго­ритма. Общая сумма «зануления» (по строкам и столбцам) равна 5. Нижняя оценка для левой группы маршрутов (включающих ребро 5-6) составит 41 + 5 = 46.

На втором шаге была выбрана клетка 6-4 с оценкой 7. Новая нижняя оценка для маршрутов группы, не содержащей ребро 4-5, будет 53 и ветвление будет выполнено но ребру 6-4. Общая сумма «зануления» (по строкам и столбцам) составит 3. Нижняя оценка для левой группы маршрутов (содержащих ребро 4-5) будет 46 + 3 = 49.

На третьем шаге будет удалено ребро 2-5. Оценка клетки 2-5 составляет 4. Следовательно, нижняя оценка правой группы маршрутов будет 49 + 4 = 53. Общая сумма «зануления» — 2. Нижняя оценка левой группы маршрутов равна 49 + 2 = 51.

На четвертом шаге выбрана клетка 3-2 с оценкой 2. Нижняя оценка правой группы маршрутов равна 51 + 2 = 53. Общая сумма «зануления» — 1. Нижняя оценка левой группы маршрутов равна 51 + 1 = 52. В результате анализа было составлено дерево ветвления алгоритма.

Рис.5

На последнем (четвертом шаге) остались два свободных (не запрещенных) ребра 1-3 и 4-1. Оба ребра включаем в маршрут и добавляем ребра из левой ветви.

Оптимальный маршрут будет состоять из ребер: 1 -3; 4- 1; 3 – 2; 2-5; 6-4 и 5-6. После упорядочения получим:

Ответ: длина оптимального маршрута не менее 52, порядок объезда

городов:

Из исходной матрицы подставим значения ребер и определим стоимость маршрута: 4 + 3 + 7 + 10 + 16 + 12 = 52.

Для того чтобы убедиться, действительно ли найден оптималь­ный маршрут, надо проанализировать «правые» группы маршрутов. Все правые группы, кроме первой, имеют нижнюю оценку более 52. Следовательно, эти группы не могут содержать лучшего решения. Остается проверить первую правую группу, нижняя оценка которой составляет 46. Маршруты этой группы не содержат ребра 5 — 6. Ана­лиз ребра 5 — 6 выполнялся в начале работы алгоритма. Поэтому из исходной матрицы надо исключить ребро 5-6. Исключение ребра выполним следующим способом: ребрам 5-6 и 6-5 поставим значение . Так как исходная задача сим­метричная, то исключались два ребра 5 — 6 и 6-5. Если задача не­симметричная, то исключается одно ребро, и доказательство пра­вильности алгоритма увеличивается на один шаг.

Город	1	2	3	4	5	6
1		6	4	12	14	22
2	6		3	8	7	20
3	4	3		10	11	18
4	12	8	10		9	16
5	14	7	11	9		10
6	22	20	18	16	10

Исключение ребра 5-6:

№	1	2	3	4	5	6
1		2	0	8	10	18
2	3		0	5	4	17
3	1	0		7	8	15
4	4	0	2		1	8
5	7	0	4	2		
6	6	4	2	0	

№	1	2	3	4	5	6
1		2	02	8	9	10
2	2		02	5	3	9
3	02	00		7	7	7
4	3	00	2		03	07
5	6	02	4	2		
6	5	4	2	04	

Первый шаг (исключение 4-6)

№	1	2	3	4	5
1		2	02	8	9
2	2		02	5	3
3	02	00		7	7
5	3	00	4	2
6	5	4	2	04	

№	1	2	3	4	5
1		2	02	8	9
2	2		02	5	3
3	02	00		7	7
6	5	4	2	04	
5	3	02	4	2
№	1	2	3	4	5
1		2	02	6	6
2	2		02	3	0
3	02	00		5	4
6	3	2	0	04	
5	3	02	4	0

Таким образом, в результате проведенного анализа установлено что оба разветвления правой ветви «Без ребра 5-6» дают оценки 58. Строить последующие ветви не имеет смысла, так как все маршру­ты будут иметь большую стоимость по сравнению с левой ветвь алгоритма.

studfiles.net

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ – Учебники – Вычисление определителя матрицы

Учебники – Вычисление определителя матрицы
скачать (75 kb.)

Доступные файлы (1):

содержание

---

1.doc

Реклама MarketGid:

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ МАТРИЦ

 

Определение. Матрицей из m строк, n столбцов назыается прямоугольная таблица чисел ; – элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m=n – квадратная матрица.

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число .

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Определение. Алгебраическим дополнение   элемента  называется число, равное .

Определение. Дополнительным минором элемента  матрицы  называется определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы  вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

 .

Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

Свойства определителей.

1.        При транспонировании матрицы определитель не меняется.

4

2.        При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

3.        При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число. 

4.        Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то .

5.        Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель равен нулю, если

– все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

 – две строки (столбца) одинаковы.

– две строки (столбца) определителя пропорциональны.

^

1). Разложение по строке или столбцу.

2). Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке). 

3). Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т.д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диогонали.

4). Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель – го порядка равен сумме произведений всех его миноров -го порядка, стоящих в выделенных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Примеры

1. Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу: 

 

5

 

  Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак имеем

  Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе  нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В  единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать  по второй строке:

 

 

6

 

 

Таким образом окончательно получим

 

2.  Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

 

Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим

 

7

Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:

 

Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

 

3. Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель из примера 2.

Решение. Воспользуемся видом определителя , который получился после процедуры зануления всех элементов (кроме первого) первой строки:

   .

Далее с помощью второго столбца занулим элементы второй строки, кроме первых двух, для чего вычтем из третьего и четвёртого столбцов второй столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

 

 

 

8

Наконец, вычтем третий столбец из четвёртого, в результате чего определитель сведётся к треугольному виду, величина которого равна произведению элементов главной

 

диогонали: 

---

Скачать файл (75 kb.)

---

gendocs.ru

Определители матриц – Документ

1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИМАТРИЦ

Определение. Матрицейиз m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел ; – элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m=n – квадратная матрица.

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число .

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Определение. Алгебраическим дополнение элемента называется число, равное .

Определение. Дополнительным минором элемента матрицы называется определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

.

Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

Свойства определителей.

1. При транспонировании матрицы определитель не меняется.

4

2. При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

3. При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.

4. Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то .

5. Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель равен нулю, если

– все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

– две строки (столбца) одинаковы.

– две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Методы вычисления определителей.

1). Разложение по строке или столбцу.

2). Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).

3). Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т.д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диогонали.

4). Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель – го порядка равен сумме произведений всех его миноров -го порядка, стоящих в выделенных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Примеры

1. Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:

5

Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак имеем

Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать по второй строке:

6

Таким образом окончательно получим

2. Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим

7

Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:

Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

3. Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель из примера 2.

Решение. Воспользуемся видом определителя , который получился после процедуры зануления всех элементов (кроме первого) первой строки:

.

Далее с помощью второго столбца занулим элементы второй строки, кроме первых двух, для чего вычтем из третьего и четвёртого столбцов второй столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

8

Наконец, вычтем третий столбец из четвёртого, в результате чего определитель сведётся к треугольному виду, величина которого равна произведению элементов главной диогонали: .

Задачи

1.1. Вычислить определитель разложением по элементам а) первой строки; б) третьей строки .

2. Найти алгебраическое дополнение а) элемента 6; б) элемента 0 данной матрицы .

9

При каком значении  равны нулю следующие определители:

1.3. . 1.4. . 1.5. .

Используя свойства определителей, вычислить следующие определители:

1.6. . 1.7. . 1.8. . 1.9.. 1.10. .

Вычислить определители, приведя матрицу к треугольному виду (приведение матрицы к треугольному виду – такое преобразование, при котором

все элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, равны нулю)

1.11. . 1.12. . 1.13.. 1.14. .

10

Вычислить определители

1.15. .1.16. . 1.17. . 1.18.. 1.19.. 1.20.. 1.21.. 1.22.. 1.23. . 1.24.. 1.25.. 1.26..

1.27.. 1.28..

11

1.29.. 1.30.. 1.31.. 1.32.

Вычислить определители, используя теорему Лапласа

1.33.. 1.34. 1.35.. 1.36..

12

Вычисление определителей n-го порядка

Вычислить определители приведением к треугольному виду

1.37.. 1.38..

1.39. 1.40..

Вычислить определители методом выделения линейных множителей

1.41.. 1.43.

1.42.. 1.44..

13

Вычислить определители методом рекурентных соотношений

1.45.. 1.46..

1.47.. 1.48..

Матрицы, операции над матрицами

Определение.Суммой матриц одного порядка называется матрица с элементами , где

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица того же порядка с элементами .

Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица с элементами , где

Примеры

1. Вычислить выражение , если

14

, .

Решение. Прежде всего преобразуем матрицу , используя определение произведения матрицы на число

.

Найдём теперь . По определению, чтобы получить матрицу небходимо в поменять местами соответствующие строки и столбцы, таким образом имеем

.

Вычислим теперь искомое выражение

2. Вычислить выражение , если

.

Решение. Выражение представляет собой матричный многочлен

, где – единичная матрица.

Вычислим последовательно слагаемые этого выражения:

15

,

, .

Подставив всё это в , имеем

.

Задачи

49. Найти , если .

50. Даны матрицы .

Найти: а) б)

49. Найти матрицу , если

а)

б)

16

49. Даны матрицы .

Найти: а) б) в)

49. Найти и , если

Найти произведения матриц

1.54. . 1.55.

1.56. 1.57.

1.58.1.59.

1.60.

1.61.

17

1.62. Вычислить

а) ; б) ; в) ;

г) ; д ).

1.63. Показать, что матрица является корнем многочлена .

1.64. Вычислить , если

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Обратная матрица

Определение. Квадратная матрица называется обратной к квадратной матрице того же порядка, если , где – единичная матрица.

18

Утверждение. Квадратная матрица имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда .

Утверждение. Элементы обратной матрицы , если она существует, можно найти по формуле

или ,

где – алгебраическое дополнение к элементу матрицы , – алгебраическое дополнение к элементу транспонированной матрицы .

Примеры

1. Найти матрицу обратную к , если .

Решение. Прежде всего вычислим определитель матрицы , чтобы убедиться в возможности существования обратной матрицы.

Следовательно, для существует обратная матрица.

Воспользуемся теперьформулой, выражающей элементы обратной матрцы через алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы. Для имеем .

Вычислим последовательно элементы :

19

, ,

, ,

, ,

, ,

20

.

С учётом полученного обратная к матрица имеет вид

.

2. Решить матричное уравнение

, где , .

Решение. Такое матричное уравнение, если определитель матрицы отличен от нуля, удобно решать путём умножения обеих частей уравнения слева на матрицу . В этом случае для искомой матрицы получим

и поскольку , то .

Найдём теперь выражение для . Детерминант матрицы равен 4. Пользуясь формулами, определяющими элементы обратной матрицы, имеем

.

Учитывая последнее, для получим

Задачи

1.65. Какая из матриц является обратной к матрице , если , .

21

1.66. При каких существует , если

1. ; б) ;

в) .

Найти матрицу, обратную к данной, если она существует

1.67. . 1.68. . 1.69. .

1.71.. 1.72. . 1.73. .

1.74. . 1.75. .

1.76. . 1.77. .

1.78. . 1.79. .

22

Решить матричные уравнения

1.80.. 1.81..

1.82. .

1.83. .

1.84. .

1.85. .

1.86. .

Базисный минор, ранг матрицы

Определение. Минор -го порядка матрицы называется её базисным минором, если он не равен нулю, а все миноры матрицы порядка и выше, если они существуют, равны нулю.

Определение. Ранг матрицы – это порядок её базисного минора.

Для ранга матрицы используются такие обозначения: .

Утверждение. Ранг матрицы равен максимальному числу её линейно независимых строк (столбцов).

Утверждение. Ранг матрицы не меняется

– при транспонировании матрицы.

– при перестановке её строк и столбцов.

– при умножении всех элементов её строки (столбца) на число отличное от нуля.

23

– при добавлении к одной из строк (столбцов) линейной комбинации из других её строк (столбцов).

– при удалении (вычёркивании) из неё строки (столбца) из нулей.

– при удалении из неё строки (столбца), представляющей линейную комбинацию других строк (столбцов).

Методы вычисления ранга матрицы.

1. Метод упрощения матрицы с помощью элементарных пребразований. Упрощения производятся с использованием свойств ранга матрицы. Как и в случае с определителями, можно, например, с помощью 1-й строки занулить все элементы первого столбца кроме одного – верхнего. Далее с помощью второй строки занулить все эементы второго столбца кроме двух верхних и т.д., пока матрица не приведётся к ступенчатому виду.

2. Метод окаймления. Ищется минор порядка , заведомо отличный от нуля. Затем вычисляются все окаймляющие (т.е. содержащие ) миноры порядка. Если среди них найдётся хоть один, отличный от нуля, то ищутся окаймляющие миноры следующего порядка. Процедура продолжается до тех пор, пока для какого-то, отличного от нуля минора -го порядка, все окаймляющие миноры ни окажутся равными нулю. Тогда ранг матрицы равен нулю.

Примеры. 1. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы .

Решение. Используем свойства ранга матрицы. Для удобства преобразуем матрицу так, чтобы в первой строке самый крайний слева элемент был равен единице. Для этого вычтем первую стоку из второй и преобразованную вторую строку поменяем местами с первой.

24

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

.

Третья строка равна второй и её можно вычеркнуть согласно свойству 6. Таким образом, исходная матрица в результате эквивалентных преобразований переходит в следующую:

.

В этой матрице имеются миноры второго порядка, отличные от нуля, например,

минор . Этот минор можно выбрать в качестве базисного. Следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: .

2. Вычислить методом окаймления ранг матрицы

.

Решение. Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля:

.

Теперь вычислим миноры, окаймляющие данный. Таковых два:

,

25

.

Таким образом, оба окаймляющих минора равны нулю и, следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: .

Задачи

1.87. Найти ранг и указать какой-нибудь базисный минор матрицы

а).; б) ; в) ;

г) ; д) .

1.88. С помощью элементарных преобразований найти ранг матрицы

а) ; б) ;

в) ; г) ;

26

д) ; е) .

1.89. Найти все значения , при которых ранг матрицы

а) равен 2; б) равен 2;

в) равен 3.

1.90. В зависимости от исследовать ранг матрицы

а) ; б) ;

в) ; г) .

27

textarchive.ru

Помогите решить / разобраться (Ф)

Тогда тем более непонятно, почему люди зануляют , по идее ведь тогда и занулится. Где можно подробно почитать про майорановский фермион, в особенности про то, как строится его лагранжиан? Двухкомпонентные спиноры и , из которых строится Лагранжиан

не зануляются, да и не могут занулиться, если сохраняется пространственная инверсия (см. ответ выше), которая переводит один спинор в другой и оставляет инвариантным Лагранжиан. В безмассовом режиме зануляются компоненты 4-спиноров и из которых строится решение уравнений движения свободной частицы. Причем зануляются эти компоненты хитро: например, в остается только правовинтовая часть, а в — левовинтовая часть, так что опять нельзя избавиться от либо той, либо другой. При квантовании все это отражается на спиральности частиц и античастиц.

Где можно подробно почитать про майорановский фермион, в особенности про то, как строится его лагранжиан?

Выше я написал что такое майорановский фермион. Если взять уравнения движения, получающиеся из вышенаписанного Лагранжиана и заменить на (который преобразуется по тому же представлению группы Лоренца), то получим
плюс аналогичное комплексно споряженное уравнение.
Применяя к обеим частям , получим уравнения Клейна–Гордона для :
.
Таким образом, мы получили массовый член, содержащий только . Он называется майорановским. Теперь удобно ввести четырехкомпонентный спинор . Тогда уравнения движения можно переписать в виде подобном уравнению Дирака:
(здесь должна быть перечеркнутой, но здешний TeX \slashed почему-то не хавает)
Казалось бы, это уравнение можно вывести из дираковского Лагранжиана, заменив всюду на . Но здесь возникает одна тонкость. А именно:

если считать вейлевское поле обычными (коммутирующими) комплексными числами, то правая часть уравнения выше (в компонентах)

обращается тождественно в нуль ( антисимметрична по ). Так что уже в классическом действии, еще до процедуры квантования, мы должны считать вейлевское поле антикоммутирующим. Здравствуйте, грассмановы числа!

Дальше можно почитать Langacker, The Standard Model and Beyond.

dxdy.ru

ЗАНУЛЕНИЕ

§ 13.8. Зануление

Занулением называется преднамеренное электрическое соеди­нение с нулевым защитным проводником металлических нетоковедущих частей, которые могут оказаться под напряжением. Нуле­вым защитным проводником называется проводник, соединяющий зануленные части с глухозаземленной нейтральной точкой обмотки источника тока или ее эквивалентом. Зануление применяется в се­тях напряжением до 1000 В.

В сети с глухозаземленной нейтралью напряжением до 1000 В защитное заземление неэффективно, так как ток глухого замыка­ния на землю зависит от сопротивления заземления.

Уменьшить напряжение корпуса, находящегося в контакте с токоведущими частями, устройством заземления в сети с глухоза­земленной нейтралью, невозможно. Можно обеспечить безопас­ность, уменьшив длительность режима замыкания на корпус. Для этого прокладывается нулевой провод, соединяющийся с глухоза­земленной нейтралью источника и повторными заземлениями, к ко­торому и присоединяют металлические корпуса электрооборудова­ния (рис. ).

Зануление превращает замыкание на корпус в однофазное короткое замыкание, в результате чего срабатывает максимальная токовая защита, которая селективно отключает поврежденный уча­сток сети. Кроме того, зануление снижает потенциалы корпусов, появляющиеся в момент замыкания на землю.

При замыкании, например, фазы А на зануленный корпус ток короткого замыкания проходит через следующие участки цепи: обмотку трансформатора (генератора), фазный провод и нулевой провод. Величина тока определяется фазным напряжением и пол­ным сопротивлением цепи однофазного короткого замыкания:

(1)

при этом сопротивления трансформатора Z_T, проводов Z_ф.пр и Z_н имеют активную и индуктивную составляющие.

Рис.1. Принципиальная схема зануления.

Если принять , то ток короткого замыкания

(2)

Например, если сопротивление Z_ф+Z_h=0,2 Ом (в сетях напряже­нием 380/220 В обычно это сопротивление значительно меньше), то ток короткого замыкания

I_к = 220/0,2 = 1100 А. Очевидно, что при таком токе защита должна сработать.

При наличии повторного заземления нулевого провода напря­жение корпуса относительно земли

(3)

где R_п — сопротивление повторного заземления нулевого провода.

Ток замыкания на землю определяется из схемы, приведен­ий на рис.:

(4)

Здесь — падение напряжения в нулевом проводе, приложен­ное к последовательно соединенным сопротивлениямR_о и R_п.

Из закона Ома

или с учетом

(5)

Решая совместно уравнения, получаем при замыкании на корпус напряжение корпуса относительно земли:

(6)

Аналогично определяем напряжение нейтрали относительно земли:

(7)

Повторное заземление нулевого провода снижает напряжение на корпусе в момент короткого замыкания, особенно при обрыве нулевого провода. Если повторное заземление отсутствует (R_п→∞), выражения и принимают вид:

; .

При наличии повтор­ного заземления второй множитель в выражении (6) меньше единицы, в выражении (7) — больше нуля, т. е. потенциал корпуса меньше, чем величина U_к, а потенциал нейтрали больше нуля. Если принять Z_ф=Z_н и R_п=R_o, то потенциалы

,

при U=220 В, U_о=U_з=55 В, что допустимо в течение 1 с.

Рис. 2. Распределение потен­циалов вдоль нулевого провода:

I — без повторного заземления; II — с повторным заземлением; 1—5 — корпусы

Без повторного заземления нулевого провода (R_п→∞) в случае замыкания на корпус его потенциал при U=220 В, U_з=110 В, а потенциал нейтрали равен нулю.

Таким образом, повторное заземление при замыкании на корпус уменьшает его потенциал и тем самым повышает безопасность. На рис. 2 показано распределение потенциалов вдоль нулевого провода между повторным заземлением (а значит, и корпусом) и заземлением нейтрали. Эти потенциалы существуют в течение вре­мени срабатывания защиты.

В случае обрыва нулевого провода при замыкании на корпус короткого замыкания не произойдет. При этом потенциалы опреде­ляются из (6) и (7), причем Z_н→∞:

; .

При этих условиях все корпуса, соединенные с нулевым прово­дом за местом обрыва, оказываются под напряжением относительно земли, равным U_з. Те корпуса, которые занулены до места об­рыва, находятся под напряжением, равным U_о. Такой режим прин­ципиально не отличается от замыкания на заземленный корпус в сети с глухозаземленной нейтралью. Очевидно, этот режим опа­сен. Но при отсутствии повторного заземления нулевого провода опасность возрастает еще больше, так как замыкание происходит на корпус, не имеющий ни зануления, ни заземления. Корпуса электрооборудования, соединенные с корпусом с поврежденной изоляцией, оказываются под фазовым напряжением относительно земли (рис. 3).

Рис. 3. Замыкание на корпус при обрыве нулевого провода.

Потенциалы зануленных корпусов при однофазном коротком замыкании зави­сят от длины участка ну­левого провода между нейт­ралью источника и местом присоединения корпуса к нулевому проводу. При за­мыкании на один из корпу­сов по участку нулевого про­вода между этим корпусом и нейтралью трансформатора проходит ток короткого за­тыкания. Падение напряже­ния на этом участке опреде­ляется из закона Ома: . Поскольку сопротивление нулево­го провода при постоянном сечении пропорционально его длине, падение напряжения также пропорционально длине. Поэтому при отсутствии повторного заземления потенциал корпуса, на который происходит короткое замыкание, равен падению напряжения в нулевом проводе [см. выражение (5)].

Потенциалы по длине нулевого провода пропорциональны расстоянию от нулевой точки источника (см. рис. 2, кривая I). Корпусы 1, 2 и 3 также находятся под напряжением относительно земли, равным потенциалам нулевого провода в точках присоеди­нения каждого корпуса. Потенциал корпуса 5 равен потенциалу корпуса 4, на который произошло замыкание, так как за местом короткого замыкания в нулевом проводе тока нет, а значит, и па­дение напряжения отсутствует.

Если нулевой провод имеет повторное заземление (см. рис. 2, кривая II), то потенциал нейтрали не равен нулю; он равен паде­нию напряжения на сопротивлении заземления нейтрали. Потен­циал корпуса поврежденного потребителя равен падению напряже­ния на повторном заземлении. Разность этих потенциалов равна U_к. Потенциалы в нулевом проводе распределяются по прямоли­нейному закону. Потенциал корпуса 3 ниже потенциала корпусов 5 и 4. Корпус 2 находится в данном случае под нулевым потенциа­лом.

Устройство зануления и требования к нему. Основное назначе­ние зануления – обеспечить срабатывание максимальной токовой защиты при замыкании на корпус. Для этого ток короткого замы­кания должен значительно превышать уставку защиты или номи­нальный ток плавких вставок.

Согласно ПУЭ ток однофазного короткого замыкания должен превышать не менее чем в три раза номинальный ток плавкой вставки ближайшего предохранителя или ток срабатывания расцепителя автоматического выключателя с обратно зависимой от тока характеристикой. При защите сети автоматическими выключа­телями, имеющими только электромагнитный расцепитель (отсеч­ку), нулевой защитный провод должен быть выбран таким обра­зом, чтобы в цепи «фаза-нуль» обеспечивался ток короткого за­мыкания, равный величине тока уставки мгновенного срабатыва­ния, умноженный на коэффициент, учитывающий разброс (по завод­ским данным), и на коэффициент запаса 1,1. При отсутствии за­водских данных для автоматов с номинальным током до 1000 А кратность тока короткого замыкания относительно величины ус­тавки следует принимать равной 1,4; для автоматов с номиналь­ным током более 125 А она составляет 1,25. Полная проводимость нулевых защитных проводников во всех случаях должна быть не менее 50% проводимости фазного провода. В случаях когда эти требования не удовлетворяются, отключение при замыканиях на корпус должно обеспечиваться при помощи специальных защит (например, устройством защитного отключения).

Нулевой защитный провод должен иметь надежные соедине­ния, и должна обеспечиваться непрерывность цепи от каждого кор­пуса до нейтрали источника. Поэтому соединения нулевого провода до защищаемого корпуса выполняются сварными. Нулевой защит­ный провод соединяется со всеми заземленными металлическими конструкциями, создающими параллельные цепи короткого замы­кания: металлическими конструкциями зданий, подкрановыми пу­тями, стальными трубами электропроводок, свинцовыми и алюми­ниевыми оболочками кабелей, металлическими трубопроводами, проложенными открыто, исключая трубопроводы для горючих и взрывоопасных смесей. Эти проводники могут служить единствен­ным нулевым проводом, если по проводимости они удовлетворяют приведенным выше требованиям.

Чтобы обеспечить непрерывность цепи зануления, запрещается установка в нулевой провод предохранителей и выключателей. Это допускается только в том случае, если выключатель вместе с ну­левым проводом размыкает и все фазные провода.

Зануление однофазных потребителей, например светильников, должно осуществляться специальным защитным проводником (или жилой кабеля), который не может одновременно служить прово­дом для рабочего тока (см. рис. 1, корпус 2). Повторные за­земления нулевого провода должны выполняться на концах ответвлений воздушных линий или ответвлений длиной более 200 м, также на вводах в здания, электроустановки которых подлежат занулению.

Сопротивление заземляющих устройств, к которым присоеди­нены нейтрали трансформаторов или генераторов, в любое время года должно быть не более 2, 4 и 8 Ом соответственно при линей­ных напряжениях 660, 380 и 220 В источника трехфазного тока. Общее сопротивление растеканию заземлителей всех повторных за­землений нулевого рабочего провода каждой воздушной линии в любое время года должно быть не более 5, 10 и 20 Ом соответ­ственно при линейных напряжениях 600, 220, 127 В. При этом со­противление растеканию заземлителя каждого из повторных за­землений нулевого рабочего провода должно быть не более 15, 30 и 60 Ом соответственно при тех же напряжениях. Проводники для повторных заземлений нулевого провода должны иметь пропуск­ную способность не менее 25 А.

Расчет зануления. Цель расчета зануления — определить сече­ние нулевого провода, удовлетворяющее условию срабатывания максимальной токовой защиты. Уставка защиты определяется мощ­ностью подключенной электроустановки. Согласно требованиям ПУЭ, ток короткого замыкания должен превышать уставку за­щиты. Например, ток короткого замыкания, необходимый для пе­регорания плавкой вставки предохранителя, определяется как I_к ≥ 3·I_н , где I_н — номинальный ток плавкой вставки.

Расчетная величина тока короткого замыкания определяется из выражения (1) с учетом сопротивления петли «фаза — нуль»:

;

.

Таблица 1. Расчетные сопротивления сухих трансформаторов при вторичном напряжении 400/230 В

Мощность трансформатора, кВ·А	Схема соединения обмоток	,Ом	Мощность трансформатора, кВ·А	Схема соединения обмоток	,Ом	Мощность трансформатора, кВ·А	Схема соединения обмоток	,Ом
160	Δ/Yн	0,055	320	Y/Yн	0,0847	630	Δ/Yн	0,014
180	Y/Yн	0,151	400	Δ/Yн	0,022	750	Y/Yн	0,0364
250	Δ/Yн	0,0354	560	Y/Yн	0,0434	1000	Δ/Yн	0,009

Сопротивления трансформаторов приведены в табл. 1. Эта таблица составлена с учетом данных заводов-изготовителей, ВЭИ и ВНИИтяжпромэлектропроекта. Приведенные в ней данные сле­дует рассматривать как приближенные, пригодные для практиче­ских расчетов, не требующих высокой точности. Следует отметить, что у трансформаторов с соединением обмоток Δ/Y_н сопротивление ниже, чем у трансформаторов с соединением обмоток Y/Y_н. Это следует учитывать при выборе трансформаторов. Для трансформа­торов со вторичным напряжением 230/133 В можно воспользоваться данными табл. 1 и ГОСТ 401—41, уменьшив их в три раза.

Сопротивления трансформаторов, выполненных в соответствии с отмененными ГОСТ 401—41, имеют значения, приведенные ниже:

Мощность трансформатора, кВ·А	20	30	50	100	130	320	560	1000
,Ом	1,44	1,11	0,722	0,358	0,203	0,117	0,071	0,042

Сопротивление петли «фаза — нуль»

,

где R_ф— активное сопротивление фазного провода; R_н — активное сопротивление нулевого провода; Х_п— индуктивное сопротивление петли «фаза — нуль».

Для медных и алюминиевых проводов активное сопротивление определяется из формулы

.

Индуктивное сопротивление петли «фаза-нуль» равно сумме реактивных сопротивлений фазного Х_ф и нулевого Х_н проводов и сопротивления взаимоиндукции Х’_п между этими проводами (внеш­нее сопротивление):

.

Индуктивные сопротивления медных и алюминиевых проводов малы и ими можно пренебречь. Для стальных проводов активные и реактивные сопротивления принимаются по справочным табли­цам при соответствующих плотностях тока. Сопротивление взаи­моиндукции между проводами

,

где μ_о — магнитная проницаемость воздуха, равная 4·10^-7 Гн/м; l — длина линии, м; d — расстояние между проводами, м; D — диа­метр провода, мм.

Обычно при отдельно проложенных нулевых проводах прини­мают —0,6l; при прокладке кабелем или в стальных трубах зна­чением можно пренебречь.

В практике проектирования принято величины и Z_п склады­вать арифметически. Это дает небольшую погрешность (до 5%) в сторону уменьшения тока короткого замыкания, т. е. в сторону запаса.

Заземление нейтрали и повторные заземления рассчитываются по методике, изложенной выше. Для определения напряжений от­носительно земли из выражений (6) и (7) принимают:

;

Контроль зануления. Устройство зануления проверяется при вводе электроустановки в эксплуатацию, периодически в процессе работы и после ремонта. Внешний осмотр устройства зануления производится аналогично осмотру заземляющего устройства. Для измерения сопротивления петли «фаза-нуль» можно применить любой прибор; для измерения малых сопротивлений — измеритель заземлений МС-08, омметр М372 и др. Сопротивления заземлений нейтрали и повторных заземлений нулевого провода измеряются прибором МС-08.

studfiles.net

Зануление: особенности, системы, рекомендации

Зануление – это мера предотвращения поражения человека электрическим током, заключающаяся в объединении проводников установки, не находящихся в нормальном состоянии под напряжением, с нейтралью.

Основные термины и определения

Зануление принято называть защитным, чтобы однозначно отличить среди иных проводников. В электротехнике трёхфазных цепей принято нейтралью называть участок цепи, действующие напряжения на котором относительно внешних обмоток равны. При уравнивании потенциала с землёй ток здесь в нормальном режиме не течёт. Это касается питающей стороны источника (трансформатор подстанции), потребителей (двигатели). Заземлённая нейтраль носит название нулевой точки. Отсюда происходит термин, рассматриваемый топиком.

Способы зануления сильно зависят от обустройства сети. Однофазная или трёхфазная, как проведено заземление. Согласно последнему фактору принято выделять три вида систем. Согласно традиции международным комитетом МЭК они помечаются латинскими буквами:

1. TN;
2. TT;
3. IT.

Система зануления

Интерес представляет вторая буква:

• N подразумевает, что проводящие части установки, не находящиеся в нормальном режиме под током, занулены через защитный (выделенное заземление) или рабочий проводник. В первом случае отрезок провода направленно используется для целей безопасности, во втором – служит для замыкания цепи на грунт (в районе трансформатора), как, допустим, в сети TN-C.
• T – показывает наличие заземления частей установки, в нормальном режиме под током не находящихся, но возможных источников опасности в случае аварии. Отличие от зануления, помеченного литерой N: N считается нейтралью, пропускающую крайне малый ток на землю. Если корпус трёхфазной установки непосредственно завести на контур, скажем, громоотвода, при выносе потенциала ток (и опасность) сильно возрастают.

Для однофазных цепей разность между занулением и заземлением нивелируется в силу очевидных причин. Но! В масштабе жилого дома сохраняется. Многоэтажку рассматривают как трёхфазную электрическую установку. Следовательно, требуется продолжать рассмотрение ситуации, ведь возникает ряд способов организации заземления и зануления. Это видно на практике, когда авторы топиков пытаются объяснить, что такое TN-C, TN-S, TN-C-S.

Что такое TN-C, TN-S и TN-C-S

Буква C означает, что защитный и рабочий проводник объединены. Подобная система хороша для трёхфазного оборудования, а зануление возможно всегда, уберегая от неприятностей. В интернете пишут, мол, отсталая и плохая система, что в корне неправильно. Для трёхфазного оборудования это хорошая и правильная система, зануляя корпус и прочие проводники, мастер заранее разгружает цепи заземления, одной из которых нечаянно способен стать человек. Что снижает закономерно риск несчастных случаев.

Плохи системы TN-C исключительно для импортной техники, по тривиальной причине: входные фильтры бытовой аппаратуры предназначены для работы с отдельными защитными проводниками. Полагается так для защиты сети от помех. Зануление по системе TN-C или TN-C-S решает часть сложностей, но нарушает симметрию фильтров, что негативно сказывается на качестве работы. Импортная аппаратура (львиная доля) рассчитана на работу в TN-S. Главное отличие подхода:

1. Предполагается, что в местной сети нет трёхфазных потребителей. Следовательно, зануление корпуса не несёт особого физического смысла. Оно эквивалентно заземлению.
2. Защитные (дифференциальные) автоматы построены так, что улавливают разницу между токами фазного и нулевого проводника. Следовательно, любая утечка на землю локализуется, питание отключается.

Для адаптации описанной системы на уровне советских TN-C решили доработать старое под TN-C-S. Теперь любая утечка идёт на нейтраль посредством контура громоотвода, но автомат дифференциальной защиты ставится в цепи рабочего нулевого проводника. Авария неизменно замечается. Дополнительным плюсом использования системы TN-C-S становится возможность включения в цепь трёхфазных потребителей (двигатели лифтов, например) по старой испытанной схеме. Главный минус уже назван: нарушение правильного режима работы входных фильтров импортной аппаратуры.

Единственное различие TN-S и TN-C-S: в районе громоотвода защитный нулевой провод (заземление) объединён с рабочим (приходящим от подстанции). Если хочется перейти полностью на европейский стандарт, требуется просто исправить указанный момент. Провод от подстанции к местному контуру заземления, закопанному в районе подвала, не подключать. Способна нарушиться работа трёхфазного оборудования, в том плане, что становится потенциально реализуемой опасная для человека ситуация выхода напряжения на корпус. Работа электроустановки при этом (с высокой вероятностью) не нарушается. Следовательно, авария останется незамеченной, пока установки не коснется человек с вытекающими отсюда последствиями.

Системы заземления и зануление

Буква T, стоящая на первом месте, означает, что рабочий проводник заземлён, I – что изолирован от грунта. Последнее часто применяется, к примеру, в системах сверхнизкого безопасного напряжения. Такие используются (по ГОСТ Р 50571.11) в ванных комнатах и прочих сходных по назначению помещениях. Речь идёт сейчас о разделительном трансформаторе, ни одна точка вторичной обмотки прибора не заземляется (в противном случае теряется смысл использования указанной меры защиты).

Несложно понять, что для решения практических задач требуется изучить теорию. Это видно на приведённом примере с ванной комнатой. У электриков имеются типичные ошибки, но в контексте обзора рассматриваются системы заземления, тесно связанные с занулением. Системы с изолированной нейтралью IT некогда считались доминирующими в Европе. Зануление в этом случае не применяется. Либо на стороне источника, не имея отношения к потребителю.

Потребность в заземлении возникла в десятилетия, когда активно развивались радиовещание и телевидение. Оказалось, что без соединения экрана с грунтом часть волн проходит сквозь щит. А это помехи и большие потери энергии. Следовательно, приборы на стороне потребителя стали нуждаться в заземлении (и занулении). Помимо прочего, когда радиоволна (включая частоты сети 50 Гц) выходит в эфир, человек, подвергшийся её влиянию, получает урон здоровью.

Различие между системами

Местное заземление (глухозаземленная нейтраль) возможно лишь, когда нагрузка по фазам симметрична. Тогда на грунт идёт лишь малый ток. В случае многоэтажек о симметрии нет речи, соседи не станут договариваться о совместном включении первых приборов и выключении вторых. Слишком дорого замыкать контур питающего трансформатора через почву. Это привело бы к потенциально опасным ситуациям (см. шаговое напряжение), увеличив потери на порядки. В результате возникает необходимость в нейтрали: типичный случай, когда по столбу идут 4 провода, лишь три — фазные.

Особое внимание обращается на зануление микроволновых печей. Для осуществления этой меры в домах с системами TN-C (подавляющее число домов, построенных в СССР) следует на боковой лепесток розетки выводить нейтраль. Чтобы правильно выполнить операции, рекомендуется использовать индикаторные отвёртки. Дома, отстроенные в предыдущую эпоху, дооборудуются ветками заземления. И система превращается в TN-C-S. Нередко люди не понимают смысла этой меры и оттого встречаются неправильные трактовки. Вкратце: нейтраль трёхфазной сети на входе в здание объединяется электрически с закопанным в грунт контуром громоотвода. Отсюда и начинается местная ветка заземления, разведённая по квартирам.

В топике про защитное заземление обсуждалось, чем от упомянутой меры отличается зануление (необходимое постоянно). Нейтраль электрически объединена со всеми фазами, здесь циркулируют токи возврата. На грунт уходит лишь часть, причём при дисбалансе. Заземление без зануления опасно. Этим объясняется наличие системы TN-C-S в противовес TN-S. В последней защитный и рабочий нулевые проводники разделены по всей длине. Если не предполагается использовать трёхфазные установки, хорошо, в противном случае случится уже рассказанное (см. защитное заземление).

Во избежание присутствия опасного потенциала на корпусе оборудования в районе громоотвода требуется объединение с нейтралью. Металлические части, за которые гипотетически может взяться человек, заземлены накоротко: преимущественно трубы. Наличие защитного проводника, объединённого с нейтралью в районе громоотвода или местного отдельного контура, вкопанного в землю (вместо прямого заземления) уменьшает ток в указанной ветке и дополнительно предохраняет человека, если по неизвестной причине не сработают автоматы защиты.

Что требуется занулять, и что занулять нельзя

В бытовых целях не рекомендуется занулять все, что раньше заземлялось через трубы: чугунные ванны, металлические раковины, смесители. Известна история Задорнова, как душ бился током при включённом телевизоре. Некий умник решил при выполненном занулении корпуса ещё и заземлить. Допустим, трубы заведены на нейтраль. При включении прибора ток поделится между рабочим нулевым проводником и заземлёнными трубами. Часть тока прошла через Задорнова, подведённая струёй воды.

Одновременное зануление и заземление эффективно исключительно для трёхфазных цепей. Причём при симметричной нагрузке по каждому плечу. Что касается уравнивания потенциалов всех металлических предметов на кухне, в ванной, уборной, лучше для этих целей применять заземление. В случае металлических труб достаточно указанные предметы соединить медным проводом. Нейтраль сюда заводить не нужно в связи с описанными особенностями работы однофазной цепи.

Упомянем о случае зануления корпуса микроволновой печи. Большого потенциала в рабочем режиме здесь не предвидится, как в случае со стиральной машиной. По ГОСТ Р 50571.11 одной из мер защиты выбирается дифференциальный автомат. При ударе током оборудование окажется выключенным. Параметры дифференциального автомата защиты заранее рассчитаны так, чтобы не случилось вреда. ГОСТ оговаривает минимальный ток срабатывания и прочие физические величины.

Нелишне напомнить, что через трубы и прочие коммуникации ничего занулять или заземлять нельзя. Но указанные конструкции допустимо защищать. На производстве это требование обязательное, для предотвращения описанных выше случаев ставят автоматы, отключающие сеть в случае неисправности.

vashtehnik.ru