Примеры решения задач на законы Кирхгофа

Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.

Задача 1

Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

 

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи 

Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут: 

Все эти три уравнения образуют систему

Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым). 

Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

Задача 2

Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

 

Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2 

Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче. 

На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными 

Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины 

Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками. 

Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно. 

Читайте также – расчет простых цепей постоянного тока

  • Просмотров: 14763
  • electroandi.ru

    Законы Кирхгофа: решение задач

    Прочитав статейки про первый и второй законы Кирхгофа, уважаемый  читатель может сказать: «Хорошо, MyElectronix, ты рассказал мне, конечно, интересные штуки, но что мне дальше с ними делать? Пока по твоим словам я заключил, что если я соберу ручками схему, то я смогу в каждом ее узле и в каждом контуре намерить вот такие вот зависимости. Это здорово, но я хотел бы рассчитывать схемы, а не просто наблюдать зависимости!»

    Господа, все эти замечания абсолютно верные и в ответ на них можно лишь рассказать о расчете электрических схем с помощью законов Кирхгофа. Без лишних слов перейдем сразу к делу!

    Начнем с самого простейшего случая. Он изображен на рисунке 1. Допустим, ЭДС источника питания равна Е1=5 В, а сопротивления R1=100 Ом, R2=510 Ом, R3=10 кОм. Требуется рассчитать напряжения на резисторах и ток через каждый резистор.

    Господа, замечу сразу, эту задачу можно решить гораздо более простым способом, чем с применением законов Кирхгофа. Однако сейчас наша задача не искать оптимальные способы решения, а на наглядном примере рассмотреть методику применения законов Кирхгофа при расчете схем.

    Рисунок 1 – Простая схема

    В этой схеме мы можем видеть три контура. Если возник вопрос – а почему три, то рекомендую посмотреть статью про второй закон Кирхгофа. В той статье имеется практически такая же схема с наглядным пояснением методики расчета числа контуров.

    Господа, хочу отметить один тонкий момент. Хоть контура и три, независимых из них только два. Третий контур включает в себя все остальные и не может считаться независимым. И вообще всегда при всех расчетах мы должны использовать только независимые контура. Не поддавайтесь искушению записать еще одно уравнение за счет этого общего контура, ничего хорошего не выйдет .

    Итак, будем использовать два независимых контура. Для этого зададимся в каждом контуре

    направлением обхода контура. Как мы уже говорили, это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода каждого контура нарисуем синей стрелкой.

    Далее зададимся направлением токов в ветвях: просто проставим его наугад. Не важно, угадаем мы сейчас направление или нет. Если угадали, то в конце расчета мы получим ток со знаком плюс, а если ошиблись – со знаком минус. Итак, обозначим токи в ветвях черными стрелочками с подписями I1, I2, I3.

    Мы видим, что в контуре №1 направление токов I1 и I3, а также направление источника питания совпадают с направлением обхода, поэтому будем считать их со знаком плюс. В контуре №2 ток I2 совпадет с направлением обхода, поэтому будет со знаком плюс, а ток I3 направлен в другую сторону, поэтому будет со знаком минус. Запишем второй закон Кирхгофа для контура №1:

    А теперь запишем этот же закон для контура №2:

    Видим, что в контуре №2 нет источников питания, поэтому в левой части (где у нас согласно второму закону Кирхгофа стоит сумма ЭДС) у нас нолик. Итак, у нас есть два уравнения, а неизвестных-то у нас три (I1, I2, I3). А нам известно, что для нахождения трех неизвестных нужна система с тремя независимыми уравнениями. Где же взять третье недостающее уравнение? А, например, из первого закона Кирхгофа! Согласно этому закону мы можем записать

    Господа, теперь полный порядок, у нас есть три уравнения и три неизвестных и нам остается только решить вот такую вот систему уравнений

    Подставим конкретные числа. Все расчеты будем вести в кошерной системе СИ. Рекомендую всегда считать только в ней. Не поддавайтесь искушению подставлять куда-то миллиметры, мили, килоамперы и прочее. Возможно возникновение путаницы.

    Решение таких систем рассматривается чуть ли не в начальной школе и, полагаю, не должно вызывать трудностей . Если что, есть куча математических пакетов, которые сделают это за вас, если вам лень самим ручками считай. Поэтому мы опустим процесс решения, а сразу приведем результат

    Видим, что все токи получились у нас со знаком плюс. Это значит, что мы верно угадали их направление. Да, то есть токи в схеме текут именно в том направлении, как мы нарисовали стрелочки на рисунке 1. Однако из условия задачи необходимо найти не только токи через резисторы, но и падение напряжения на них. Как это сделать? Например, с помощью уже изученного нами закона Ома. Как мы помним, закон Ома связывает между собой ток, напряжение и сопротивление. Если нам известны любые две из этих величин, мы легко можем найти третью. В данном случае мы знаем сопротивление и ток, который течет через это сопротивление. Поэтому, используя вот эту формулу

    находим напряжение на каждом резисторе

    Заметим, господа, что напряжения на резисторах R2 и R3 равны между собой. Это и логично, поскольку они соединены между собой параллельно. Однако пока не будем на этом акцентировать большое внимание, рассмотрим это лучше в другой раз.

    Итак, господа, мы решили эту простую задачку с помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома. Но это был совсем простой пример. Давайте попробуем решить более сложную задачу. Взгляните на рисунок 2.

    Рисунок 2 – Схема посложнее

    Схема выглядит внушительно, не правда ли? Возможно, вам даже не верится, что эту схему можно легко рассчитать. Однако, господа, уверяю вас, вы обладаете всеми необходимыми знаниями для расчета этой схемы, если уже изучили мои предыдущие статьи. Сейчас вы в этом убедитесь.

    Для начала зададимся конкретными цифрами значений сопротивлений резисторов и напряжений источников.

    Пусть Е1=15 В, Е2=24 В, R1= 10 Ом, R2 = 51 Ом, R3=100 Ом, R4=1 кОм, R5=10 Ом, R6=18 Ом, R7=10 кОм.

    Найти, как и в прошлой задаче, требуется все токи в схеме и напряжения на всех резисторах.

    В этой схеме мы можем видеть три независимых контура. Обозначим их римскими цифрами I, II, III. В каждом контуре зададимся направлением обхода. Они показаны синими стрелками.

    Дальше как и в прошлый раз наугад расставим направления токов во всех ветвях и подпишем где какой ток. Видно, что всего у нас 6 ветвей и, соответственно, 6 разных токов (I1…I6).

    Теперь запишем второй закон Кирхгофа для всех трех независимых контуров.

    Второй закон Кирхгофа для контура I:

    Второй закон Кирхгофа для контура II:

    Второй закон Кирхгофа для контура III:

    У нас есть три уравнения, однако неизвестных токов аж 6. Как и в прошлой задаче для получения недостающих уравнений запишем первые законы Кирхгофа для узлов.

    Первый закон Кирхгофа для узла А:

    Первый закон Кирхгофа для узла В:

    Первый закон Кирхгофа для узла С:

    Собственно, у нас теперь есть система из 6 уравнений с 6 неизвестными. Остается только решить эту систему

     

    Подставляя числа, заданные в условии, получаем

     

    Опуская решения за пределами статьи, приведем итоговый результат

     

    Господа, мы видим, что почти все токи, кроме I4 получились у нас со знаками “минус”. Это значит, что мы не угадали их направление, когда рисовали стрелочки на рисунке 2 . То есть все токи, кроме тока I4 на самом деле текут в противоположные стороны. А ток I4 течет так, как мы нарисовали. Хотя бы с ним мы угадали верно.

    Теперь все по тому же закону Ома ровно как в прошлом примере рассчитаем напряжения на резисторах:

    Вот и все, господа: схема рассчитана, а задачка решена. Таким образом, вы теперь обладаете весьма мощным инструментом по расчету электрических схем. С помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома вы сможете рассчитать весьма непростые схемы, найти величины токов и их направления, а также напряжения на всех нагрузках цепи. Более того, зная токи и напряжения вы легко сможете рассчитать  и мощности, которые на этих резисторах выделяются, если воспользуетесь рекомендациями из моей предыдущей статьи. 

    На этом на сегодня все господа. Огромной вам всем удачи и успешных расчетов!

    Вступайте в нашу группу Вконтакте

    Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.


    myelectronix.ru

    Алгоритм решения задач на законы Кирхгофа

    Задачи на применение закона Кирхгофа решаются в школе не часто, и не во всех классах. Работая в школе, я давала законы Кирхгофа только тем ребятам, кто готовился к олимпиадам по физике, и учащимся, которые готовились в ВУЗы.

    Задачи на использование законов Кирхгофа есть даже не всех сборниках задач, рекомендованных для использования в средней школе.

    Ниже приведён алгоритм решения задач по данной теме. Алгоритм не сложен. Использование данного алгоритма поможет Вам в решении задач по этой теме.

    Итак, начнем. Сначала необходимо выполнить некоторые подготовительные операции.

    • перерисовать схему
    • указать направление ЭДС источников тока
    • указать предполагаемое направление токов, текущих в каждом резисторе (если итоговый ответ будет отрицательным, то направление тока было изначально выбрано не верно)
    • выбрать направление обхода для всех линейно независимых контуров

    После проведения предварительных операций, приступаем собственно к решению самой задачи.

    • Записываем первый  закон Кирхгофа: сумма токов, втекающих и вытекающих в данный узел, равна нулю.

    Важно! Если ток втекает в узел, то он берётся со знаком «плюс», если вытекает, то со знаком «минус». Число уравнений второго закона Кирхгофа равно n-1, где n — число узлов в данной схеме. (Узел — точка, в которой соединяются три проводника и более).

    • Записываем второй закон Кирхгофа для всех линейно независимых контуров: Сумма ЭДС в контуре равно сумме падений напряжений в каждом из этих контуров.

    Важно! Если направление ЭДС  совпадает с направлением обхода контура, то значение ЭДС берётся со знаком «плюс». Если направление ЭДС не совпадает с направлением обхода контура, то значение ЭДС берётся со знаком «минус». Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения на данном участке берётся со знаком «плюс». Если направление тока через какой-либо резистор не совпадает с направлением обхода в данном контуре, то падение напряжения берётся со знаком «минус».

     

    Решаем систему получившихся уравнений, относительно неизвестных величин.

    Чаще всего в задачах этого типа, основную сложность представляет именно решение системы получившихся уравнений.

    Ниже показан пример решения задачи с использованием законов Кирхгофа. Обратите внимание ещё раз на основные этапы решения. Они полностью соответствуют алгоритму, описанному выше.

    Вот условие этой задачи.

    Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех резисторов и амперметра. В этой цепи R1 = 100 Ом, R2 = 50 Ом, R3 = 20 Ом, ЭДС элемента ?1 = 2 В. Амперметр регистрирует ток I3 = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС ?2 второго элемента. Сопротивлением амперметра и внутренним сопротивлением источников пренебречь.

    Удачи в освоении этой довольно сложной темы!

    Возникающие вопросы можете оставлять в комментариях.

    Вы можете оставить комментарий, или поставить трэкбек со своего сайта.

    Написать комментарий

    fizika-doma.ru

    Методы решения задач по физике. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

    Методы расчета резисторных схем постоянного тока.

    1.10. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

    Два правила Кирхгофа представляют собой довольно сложный алгоритм решения задач на нахождение любых характеристик цепи постоянного тока. Причем сложность заключена обычно не в составлении и записи уравнений, а в решении системы большого числа (не менее трех) этих уравнений.
    Первое правило Кирхгофа.
    Алгебраическая сумма токов в любой точке разветвления проводников (в узле) равна нулю.
    Токи, втекающие в узел А цепи (рис. 1),


    будем, например, считать положительными, тогда вытекающие из узла токи − отрицательные; запишем:

    Выделим в произвольной цепи произвольный замкнутый контур (рис. 2).

    Второе правило Кирхгофа.
    Для замкнутого контура сумма произведений сил токов в отдельных участках этого контура на соответствующие сопротивления равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.
    Для контура, изображенного на рис. 2, запишем:

    С помощью правил Кирхгофа составляется система линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу неизвестных физических параметров в задачах с разветвленной электрической цепью. Рекомендуем следующий алгоритм:
    • выберите направление токов во всех участках разветвленной цепи и отметьте их на чертеже;
    • составьте уравнения по первому правилу Кирхгофа, соблюдая правило знаков: токи, втекающие в узел, − положительные, вытекающие из узла, − отрицательные;
    • убедитесь, что число составленных уравнений на единицу меньше числа узлов в цепи;
    • произвольно выберите контур и направление его обхода; каждый новый контур должен содержать хотя бы одну новую ветвь цепи;
    • при обходе контура и составлении уравнения соблюдайте правило знаков: ток противоположного направления обхода берется со знаком «минус»;
    • при записи алгебраической суммы ЭДС следуйте мнемоническому правилу последнего знака: при переходе через источник «ЭДС берется с последним знаком»;
    • проверьте полноту системы полученных уравнений и решите ее;
    • если значение некоторых токов в цепи получилось отрицательным, значит, ток течет в направлении, противоположном обозначенному на схеме. Если же получено отрицательное значение сопротивления, то ответ ошибочный.

     Рассмотрим пример.
    Задача 1. Определите сопротивление цепи АВ (рис. 3), если R1 = R5 = 1 Ом, R2 = R6 = 2 Ом, R3 = R7 = 3 Ом, R4 = R5 = 4 Ом.


    Решение.
    В данной цепи, состоящей из восьми резисторов, нет хотя бы двух элементов, соединенных между собой последовательно или параллельно. Кроме того, здесь в отличие от схем, рассмотренных ранее, отсутствует осевая симметрия (она имела бы место, если бы сопротивления всех резисторов были одинаковы). Используем правила Кирхгофа. Для этого предположим, что к зажимам цепи АВ подключен источник постоянного тока (показано пунктиром). Обозначим токи на всех участках цепи и произвольно укажем их направления. Всего их получается 9: I1, I2, I3, I4, I5, I6, I7, I8, I.
     Чтобы избежать громоздких вычислений, связанных с решением системы из девяти уравнений, воспользуемся следующим обстоятельством: из условия задачи видно, что данная цепь обладает центральной симметрией с центром в точке О. Действительно, если, отсоединив цепь в точках А и В от источника, повернуть се в плоскости чертежа вокруг точки О на 180° и снова соединить с источником, то в силу данных в условии равенств она совместится со своим первоначальным положением.
     Но теперь в резисторе R5 течет ток, который был раньше в резисторе R1. Перемена же знаков напряжения на зажимах не может вызвать изменения силы тока ни на одном участке цепи. Это означает, что и раньше в резисторах R5 и R1 текли токи одинаковой силы, т.е. I1 = I5.
     Аналогично можно показать, что в данной цени должны выполняться равенства: I2 = I6; I3 = I7; I4 = I8.
     Таким образом, в задаче фактически имеется лишь пять неизвестных токов: I1, I2, I3, I4, I. Тогда, по первому правилу Кирхгофа, с учетом того, что I2 = I6, I4 = I8 получим соответственно для узлов А, С и D три уравнения:

     Легко убедиться проверкой, что аналогичные уравнения, составленные для остальных трех узлов схемы, будут повторением уже имеющихся уравнений, что является следствием осевой симметрии сопротивлений резисторов схемы. Недостающие два уравнения можно получить на основании второго правила Кирхгофа.
     Выбрав направление обхода контуров по часовой стрелке, запишем, например, для контуров ACDBEA и АСЕА уравнения:

     Подставив в эти уравнения численные значения сопротивлений из условия задачи и учитывая, что I8R8 = I4R4, решим систему из пяти уравнений относительно тока I и получим:

     Но так как I = E/R то отсюда следует значение искомого эквивалентного сопротивления: R = 47/14 Ом.
     Как было отмечено выше, любая сложная цепь может быть рассчитана с помощью двух правил Кирхгофа. Помимо положительных сторон данного метода необходимо отметить и ряд неудобств, громоздкость вычислений − основное из них. Так, при решении приведенной задачи расчет был искусственно упрощен за счет симметричности данных и осевой симметрии схемы относительно точки О. Кроме того, не приведен полный расчет системы полученных уравнений, а дан лишь конечный результат. Если бы в условии задачи все резисторы имели бы разные величины, то пришлось бы решать систему из девяти уравнений с девятью неизвестными, что само по себе весьма неудобно.

    Задача 2. В цепи E1 = 4 B, E2 = 3 B, r1 = 2 Ом, r2 = 1 Ом, R = 10 Ом (рис.). Найдите силу тока в резисторе R.

    Посмотреть решение:  Решение:
     Воспользуемся правилами Кирхгофа. Для их применения необходимо знать направление токов в каждом участке цепи.
     Возможны два варианта: или ток течет слева направо или, наоборот, справа налево. Надо определиться, допустим, направление тока такое как показано на рисунке.
     По первому правилу Кирхгофа (для узла А) I1 = I2 + Ix.
     По второму правилу Кирхгофа (для замкнутых контуров AE1BA и ABE2A), выбрав за положительное направление обход контуров против хода часовой стрелки, получим

    Из системы записанных уравнений найдем ток

    Знак минус в полученном результате означает, что сделанное предположение о направлении тока Ix в резисторе R оказалось неверным. Ток в резисторе течет не слева направо, а в обратном направлении. Сила этого тока 1/16 A.

    Задача 4. Три источника тока с ЭДС Е1 = 11 В, Е2 = 4 В и Е3 = 6 В и три резистора с сопротивлением R1 = 5 Ом, R2 = 10 Ом и R3 = 2 Ом соединены, как показано на рисунке 7. Определите силы токов I в резисторах. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.

    fizportal.ru

    2.2. Законы Кирхгофа

    Согласно первого закона Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю

    I = 0.

    Поскольку речь идет об алгебраической сумме ∑I, необходимо учитывать знаки слагаемых токов. Входящие в узел токи принято считать положительными, выходящие – отрицательными. Для узла “а” (рис. 2.5) имеем

    I1 + I2I3 = 0.

    Согласно второго закона Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС в любом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах контура

    E = ∑R·I.

    Для составления уравнения по второму закону Кирхгофа произвольно выбирают направление обхода контура. Принято ЭДС, токи и напряжения считать положительными, если они совпадают по направлению с направлением обхода контура, а если не совпадают – отрицательными. При обходе контура E1, E2, R2, R1 электрической цепи (рис. 2.5) по часовой стрелке имеем

    E1E2 = R1·I1R2I2.

    2.3. Преобразования в электрических цепях

    При расчётах сложных электрических цепей применяют формулы последовательного (смотреть пункт 2.1), параллельного, смешанного соединения элементов, а также преобразования “треугольника” в “звезду” и обратно. Рассмотрим эти соотношения.

    2.3.1. Параллельное соединение (рис. 2.6)

    Рис. 2.6. – Параллельное соединение элементов

    При таком соединении элементов общее сопротивление определяется выражением

    При двух сопротивлениях, соединенных параллельно

    Если R1 = R2 = … Rn, то

    где п – число параллельно соединенных элементов.

    2.3.2. Смешанное соединение (рис. 2.7)

    Смешанным соединением называют сочетание последовательного и парал­лельного соединений резисторов.

    При смешанном соединении элементов для эквивалентного преобразования пользуются методом последовательных эквивалентных преобразований, т.е. последовательно преобразуются участки цепи, имеющие простое (только последовательное, или только параллельное) соединение элементов.

    Поясним это на конкретном примере расчета электрической цепи (рис.1.3).

    Рис.1.3. Смешанное соединение элементов.

    Рис. 2.7. – Смешанное соединение элементов

    2.3.3. Преобразование “треугольника” в “звезду” (рис. 2.8)

    2.2.4. Преобразование “звезды” в “треугольник” (рис. 2.8)

    Рис. 2.8. – Соединение сопротивлений в “треугольник” и “звезду”

    2.4. Расчет разветвленной электрической цепи с одним источником энергии

    При расчете электрических цепей в большинстве случаев известны параметры источников ЭДС, сопротивления элементов электрической цепи. Задача расчета электрической цепи сводится к определению токов в ветвях. По найденным токам можно рассчитать напряжения на элементах цепи, мощность отдельных элементов и электрической цепи в целом, мощность источников, сечения проводников.

    Для расчета электрических цепей с одним источником энергии применяется метод эквивалентных преобразований, заключающийся в постепенном преобразовании и замене последовательно и параллельно соединенных элементов эквивалентными. Всю группу элементов цепи заменяют одним эквивалентным. Преобразования начинают в ветвях, наиболее удалённых от источника. Затем в преобразованной (предельно простой) цепи по закону Ома определяют ток. Полученные в процессе преобразования расчетные схемы позволяют определить токи во всех остальных ветвях.

    Пример 1: Рассчитать эквивалентное сопротивление цепи Rэкв и, токи в каждом резисторе.

    Дано: R1 = 3 Ом; R2 = 2 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 10 Ом; E = 50 В.

    Рис. 2.9 – Пример эквивалентных преобразований: а) схема электрической цепи до преобразования; б) расчетная схема после первого преобразования; в) – расчетная схема после второго (окончательного) преобразования

    Определить токи в ветвях схемы, представленной на рис. 2.9, а.

    Выбираем направления токов в ветвях. Преобразуем параллельно соединенные резисторы R2 и R3, заменяя их эквивалентным элементом R2, 3

    Расчетная схема после первого преобразования показана на рис. 2.9, б.

    Проводим второе преобразование. Для этого последовательно соединенные резисторы R1, R2, 3, R4 заменяем одним эквивалентным RЭКВ.

    RЭКВ = R1 + R2, 3 + R4 = 3 + 1,43 + 10 = 14,43 Ом.

    Теперь исходная схема сведена к простейшей, показанной на рис. 2.9, в, в которой

    Для определения токов I2 и I3, необходимо определить напряжение Uаб, рис. 2.9, а, которое рассчитываем по рис. 2.9, б

    Uаб = R2, 3·I1 = 1,43·3,47 = 4,96 В.

    Возвращаясь к схеме рис 2.9, а, получим

    Для проверки правильности расчета токов составляем баланс мощности. Мощность, вырабатываемая всеми источниками энергии в цепи, должна быть равна мощности, потребляемой всеми приёмниками электрической энергии (нагрузкой). Относительная погрешность расчета не должна превышать одного процента.

    Мощность, вырабатываемая источником ЭДС

    РИ = Е·I1 = 50·3,47 = 173,5 Вт.

    Мощность, потребляемая нагрузкой

    Погрешность баланса мощности

    Если баланс сходится с допустимой погрешностью, то расчет токов выполнен верно.

    Пример выполнения задачи 1.

    Для электрической цепи постоянного тока, приведенной на рис. 4:

    1. Рассчитать эквивалентное сопротивление цепи.

    2. Рассчитать ток в каждом резисторе.

    3. Проверить выполнение первого закона Кирхгофа во всех узлах схемы и второго Закона Киhхгофа для одного из контуров.

    4. Определить мощности, рассеиваемые на резисторах схемы.

    5. Проверить выполнение баланса мощностей

    Рис. 4. Электрическая цепь постоянного тока

    1. Расчет эквивалентного сопротивления цепи проводим методом последовательных эквивалентных преобразований..

    а) б) в)

    Рис. 5. “Этапы эквивалентного преодразования электрической цепи

    Эквивалентное сопротивление ветвей R3 и R4 соединенных параллельно определяем по формуле:

    ,

    .

    Эквивалентное сопротивление элементов R2, R34 и R5, соединенных последовательно находим по формуле:

    ,

    .

    Эквивалентное сопротивление всей цепи (R2345 и R1 -соединены параллельно):

    ,

    .

    2. Рассчитаем токи во всех ветвях.

    Ток, потребляемый цепью от источника питания:

    ,

    .

    Ток в ветви R1:

    Ток в ветви R2345:

    ,

    .

    Определяем потенциал узла «б»:

    ,

    .

    Определяем потенциал узла «в»:

    .

    Очевидно, что I5 = I2, откуда

    .

    Определяем разность потенциалов между узлами «б» и «в»:

    ,

    .

    Определяем токи в ветвях R3 и R4:

    ,

    ;

    ,

    .

    3. Проверяем выполнение первого закона Кирхгофа для токов в узлах.

    Для узла «а»: ,

    .

    Для узла «б»: ,

    .

    Для узла «в»: ,

    .

    Проверяем выполнение второго закона Кирхгофа для контура R5, R3, R2, R1:

    ,

    ,

    .

    4. Определяем мощности, рассеиваемые на резисторах:

    ,

    ;

    ,

    ;

    ,

    ;

    ,

    ;

    ,

    .

    5. Проверяем выполнение баланса мощностей.

    Мощность, потребляемая цепью от источника питания:

    ,

    .

    Составляем уравнение для проверки баланса мощностей:

    ,

    ,

    .

    Баланс мощностей выполняется.

    Методические указания к выполнению задания 2.

    Методы расчета цепей постоянного (переменного) тока

    Под расчетом цепи, в общем случае, понимают нахождение токов во всех ветвях схемы.

    Основные методы расчета:

    1. Метод токов ветвей.

    2.Метод контурных токов.

    3. Метод узловых напряжений.

    4. Метод наложения.

    5. Метод эквивалентных преобразований

    Метод токов ветвей

    • В общем случае токи сложной электрической цепи могут быть определены в результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Для однозначного нахождения всех токов необходимо составить в уравнений, где в– число ветвей схемы (без источников тока).

    • Последовательность расчета следующая:

    1. Проводят топологический анализ схемы.

    1.1. обозначают токи во всех ветвях (I1, I2, …,Iв), произвольно выбирают их положительное направление и обозначают на схеме стрелками;

    1.2. подсчитывают общее число узлов у и определяют число независимых узлов Nу=у-1 и показывают их на схеме;

    1.3. подсчитывают число независимых контуров Nk = в-у+1, и показывают их на схеме дугой.

    2. По первому закону Кирхгофа для независимых узлов и по второму закону Кирхгофа для независимых контуров относительно токов ветвей записывают уравнения. После приведения подобных членов они сводятся к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ)

    где xi =Ii– искомые токи ветвей; aji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; вi – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы.

    3. Решая систему из в уравнений относительно токов, по методу Крамера находят токи во всех ветвях схемы:

    где D – главный определитель системы; Di – определитель, получается из главного D путем замены i-го столбца на столбец свободных членов вi.

    Если значения некоторых токов отрицательные, то действительные направления их будут противоположны первоначально выбранным направлениям. I1

    Пример 1. Для электрической цепи рис. 1.1 n = 2, m = 3, и расчет токов цепи осуществляется путем решения следующей системы уравнений

    studfiles.net

    РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА


    ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 9Следующая ⇒

    Пример решения задачи

    -первый закон Кирхгофа

    – второй закон Кирхгофа

    Составляем уравнения по законам Кирхгофа для данной схемы

    Пример решения задачи:

    Дано:

    E1 = 24 B

    E2 = 18 B

    Ri1 = 0, Ом

    Ri2 = 0, Ом

    R1 = 1,5Ом

    R2 = 1,8Ом

    R3 = 2 Ом

    Найти: I1-3 – ?

    Подставляя исходные данные

    Сокращаем коэффициенты в уравнениях

    Выражаем I1 из первого уравнения и подставляем во второе

    I1=I3-I2

    3=I3-I2-I2=I3-2I2

    Совместно записываем второе и третье уравнение и вычитаем почленно

    3=I3-2I2

    9=I3+I2

    _———————–

    -6=-3I2

    I2=2A

    Подставляем найденные I2=2A в третье уравнение

    9= I2+I3=2+I3

    I3=9-2=7A

    Подставляем I2 и I3 в первое уравнение

    I1= I3-I2 =7-2=5A

    Ответы:

    I1=5A

    I2 =2A

    I3=7A

    Оба источника работают в режиме генератора, так как ток и ЭДС совпадают по направлению

    Тестовые задания:

    Задание Схема к заданию
    1.Составьте в общем виде необходимое количество уравнений по законам Кирхгофа.

     

    МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

    Этот метод позволяет уменьшать количество уравнений в системе.

    Порядок расчёта:

    1. Выбираем производное направление контурного тока;

    2. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа для контурных токов. При записи учитываем падение напряжения от собственного контурного тока и контурных токов соседних контуров;

    3. Решаем полученную систему уравнений и определяем контурные токи;

    4. Рассчитываем действительные токи ветвей по правилу:

    если в ветви течёт один контурный ток, то действительный ток равен этому контурному; если течет несколько, то действительный равен алгебраической сумме.

    – второй закон Кирхгофа

    -E1 – E2 = I1к∙(R4 + Ri1 + R1 + Ri2 + R2) – I2к∙(R2 + Ri2)

    E2 – E3 = I2к∙(R2 + Ri2 + R3 + Ri3) – I1к∙(R2 + Ri2)

    Пусть при решении получилось

    I=3A I=2A

    Тогда I1 = I=3A и направлен вверх

    I2 = I – I=3-2=1A и направлен вниз

    I3 = I=2A и направлен вниз

    Пример решения задачи

    Дано:

    E1 = 24 B

    E2 = 18 B

    Ri1 = 0,5 Ом

    Ri2 = 0,2 Ом

    R1 = 1,5 Ом

    R2 = 1,8 Ом

    R3 = 2 Ом

    Найти: I1-3-?

    30=6I1к 6=4∙5-2I2к

    I1к=5A I2к=7A

    _______________

    I3=I2к=7A

    I1= I1к=5A

    I2= I2к– I1к=7-5=2A

     

    Тестовые задания:

    Задание Схема к заданию
    1.Составьте в общем виде необходимое количество уравнений по методу контурных токов.

     

    МЕТОД ДВУХ УЗЛОВ

    1.Обозначим узлы (А;В)

    Под узлом А обозначим узел, к которому направлено больше ЭДС

    2.Все токи направляем к узлу А

    3. Рассчитываем проводимость каждой ветви по формуле единица разделить на сумму всех сопротивлений ветви.

    G1= См

    G2= См

    G3= См

    G4= См

    4) Определяем напряжение между двумя узлами, в эту формулу Е входит со знаком “плюс” если она направлена к узлу А и со знаком “минус” , если от узла

    5) Записываем токи ветвей

    I1=(E1-UAB)∙G1

    I2=(E1-UAB)∙G2

    I3=(-E3-UAB)∙G3

    I4=(-UAB)∙G4

    6) Меняем направлен отрицательных токов (I3, I4)

     

     

    Пример решения задачи

    Дано:

    E1=120 В

    E8=128 В

    Ri1=1 Ом

    R1=10 Ом

    R2=19 Ом

    R3=40 Ом

    R4=3 Ом

    R5=20 Ом

    Найти: I1-5=?

    G1

    G2

    G3

    UAB=

    I1=(E1-UАВ)∙G1=(120-108)∙ = = =0,8A

    I2=( E2-UАВ )∙G2=(128-108)∙ =1A

    I3=- UАВ∙G3 =(-108)∙

    I3=1,8A

    Ответ:I1= Ii1=0,8A

    I2=1A

    I3=I5=1,8A

    Тестовые задания:

    Задание Схема к заданию
    1.Составьте в общем виде решение задачи по методу двух узлов.

     

    МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

    Этим методом удобно рассчитывать ток в одной ветви, особенно, если сопротивление этой ветви меняется.

    Цель называется активной, если она содержит внутри себя источники или усилительные элементы и пассивной, если нет (R, L, C).

    Согласно теории об эквивалентном генераторе любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным ЭДС с эквивалентным внутренним сопротивлением.

     

    Схема с активным двухполюсником из нее следует

    Чтобы найти Еэ надо разомкнуть ветвь АВ и найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви.

    Пример решения задачи методом эквивалентного генератора.

     

    Дано

    UАВ = Uхх = Еэ

    E1 = 15 B

    E2 = 5 B

    R1 = 3 Ом

    R2 = 5 Ом

    R3 = 19,6 Ом

    Ri = 1 Ом

    I3-?

    Обходим контур, который замыкается через UAB по второму закону Кирхгофа.

    E2 = – Ixx∙(R2 + Ri2) + UAB

    5 = – 6 + UAB

    UAB = 11 B

    UAB=Eэ = 11 В

    Чтобы найти Rэ надо разомкнуть ветвь АВ, исключить все ЭДС, оставив их внутренне сопротивление и рассчитать входное сопротивление цепи по отношению к зажимам разомкнутой ветви.

    Ri1,1=Ri1+R1=1+3=4 ОМ

    Ri2,2=Ri2+R2=1+5=6 Ом

    I3= A

    Дано:

    E1=150B

    E2=10 B

    E3= 80B

    Ri1=Ri2= Ri3=1Ом

    R1=10 Ом

    R2=118 Ом

    R3=29 Ом

    R4=80 Ом

    R5=20 Ом

    I5-?

    Пример решения задачи.

    E3 -E2=-Ixx(Ri3+R2+Ri2)+UAB

    80-10=-0,5∙120+UAB

    UAB=130B

    Eэ=UAB=130B

    Ri1,1-3=R1+Ri1+R3=10+1+29=40Ом

    Ri2,2-3=1+118+1=120Ом

    I5=

     

    ОПЕРАЦИОННЫЙ УСИЛИТЕЛЬ

    Активные элементы – это источники и усилительные элементы.

    Пассивные – резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы.

    Операционный усилитель – активный резистивный элемент, который выполняет в технике связи основной усилительный эффект. Представляет собой то или иное число транзисторов (до 20) и резисторов. Выполняется в виде интегральных микросхем.

    Схемное изображение операционного усилителя:

    Операционный усилитель имеет 8 выводов: 2 входных, 1 выходной, 1 заземлённый и 2 для регулировки, 2 источника питания. Напряжение питания 12-15 В.

    Достоинства:

    1) очень высокий коэффициент усиления μ = 104 – 105;

    2) очень высокое входное сопротивление Rвх = 105 и выше;

    3) маленькое выходное сопротивление Rвых = единицы Ом.

    Неинвертируемый (положительный) вход операционного усилителя – это такой вход, при подаче на который напряжения одной полярности на выходе получается напряжение той же полярности.

    Инвертируемый (отрицательный) вход операционного усилителя – это такой вход, при подаче на который напряжения одной полярности на выходе получается напряжение другой полярности.

    Работа операционного усилителя сводится к тому, что напряжение источника питания преобразуется по закону входного напряжения, но напряжение на выходе не может быть больше, чем напряжение источника питания. Поэтому, если операционный усилитель работает без обратной связи, то на его выходе всегда будет сигнал прямоугольной формы, равный напряжению источника питания.

    Схема включения операционного усилителя без обратной связи:

    Понятие об обратной связи

    Обратная связь – это цепи, через которые часть напряжения с выхода четырёхполюсника снова подаётся на вход того же четырехполюсника.

    ООС – отрицательная обратная связь – это когда выходное напряжение подаётся на вход со знаком противоположным знаку входного.

    ПОС – когда выходное напряжение подаётся на вход с тем же знаком, что и знак входного напряжения.

    Операционный усилитель всегда работает с глубокой отрицательной обратной связью. Поэтому его коэффициент передачи уменьшается, но зато улучшаются его другие свойства (стабильность, полоса пропускания).

    Схема операционного усилителя с обратной связью:

    Rвх = R1

    Rобр.св. = R2

     

     

    Тестовые задания:

    Задание Варианты ответов
    1.Является ли операционный усилитель активным элементом? Да; Нет.
    2.Можно ли на выходе операционного усилителя получить напряжение больше чем напряжение питания? Да; Нет.
    3.Является ли очень высокий коэффициент передачи операционного усилителя его достоинством? Да; Нет.

     

    МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

    Основан на принципе, согласно которому, ток в которой ветви может быть найден, как алгебраическая сумма токов от действия каждой ЕДС в отдельности

    Порядок расчета

    1. Поочередно оставляем в схеме по одному источнику

    2. Внутренние сопротивления исключаемых источников остаются

    3. Получаем расчет схемы для нахождения частичных токов. Эти токи обозначаем со « ′ » и рассчитываем по закону Ома

    4. Находим действительные токи ветви, как алгебраическую сумму частичных токов. Действительный ток направлен в сторону большего действительного

     

     

     

    Пусть при решении получилось

    , , . Тогда

    Пример решения задачи:

     

     


    Рекомендуемые страницы:

    lektsia.com

    Первый и второй законы Кирхгофа(метод непосредственного применения законов Кирхгофа)

    Дано
    R1=16 Ом;
    R2=31 Ом;
    R3=24 Ом;
    R4=13 Ом;
    R5=33 Ом;
    R6=40 Ом;
    R7=22 Ом;
    R8=7 Ом;
    E1=30 В;
    E2=24 В;
    E7=16 В;
    E8=11 В.

    Найти
    Токи в цепи непосредственным применением законов Кирхгофа.

    Решение

    Составляем уравнения по законам Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа говорит о том, что сумма втекающих и вытекающих токов в любом узле схемы равна нулю. Второй закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений по замкнутому контуру равна сумме ЭДС в этом контуре. В приведенной схеме m=7 ветвей и n=4 узла. Следовательно, по первому закону Кирхгофа должно быть составлено n-1=3 уравнения, а по второму закону Кирхгофа m-(n-1)=4 уравнения. Размечаем произвольно выбранные направления токов, контуры обходов, узлы схемы.

    Ответ:
    I1=0,265 А; I2=0,082 А; I3=0,347 А; I5=0,131 А; I6=0,214 А; I7=0,140 А; I8=-0,273 А.

    Найденные токи совпадают с токами, вычисленными с использованием метода контурных токов, что подтверждает правильность решения.

    toe5.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *