Содержание

Зануление строки матрицы онлайн. Понижение порядка определителя

Матрицы применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. При этом количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов – количеству неизвестных. Как результат – решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрица записывается в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (к примеру, целых, комплексных или действительных чисел). Является совокупностью строк и столбцов, на пересечении которых находятся ее элементы. Размер матрицы задается количеством строк и столбцов.

Важным значением любой матрицы является её определитель, который вычисляется по определённой формуле. Вручную необходимо проделать ряд операций с матрицей, чтобы вычислить её определитель. Определитель может быть как положительным, так отрицательным, так и равен нулю. Чтобы проверить свои вычисления определителя матрицы, Вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором.

Онлайн калькулятор мгновенно посчитает определитель матрицы и выдаст точное значение.

Определитель матрицы – это своеобразная характеристика матрицы, а точнее с помощью него можно определить имеет ли соответствующая система уравнений решение. Определитель матрицы широко используется в науке, такой как физика, с помощью которого вычисляется физический смысл многих величин.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Также с помощью нашего калькулятора вы сможете решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе. Поэтому даже если вы находите определитель матрицы

самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн . Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи определение детерминанта матрицы являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн !

Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных - возможность получения подробного решения. Наш сервис при вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений. Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.

е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой - две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:


Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду .

Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по i -той строке.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по j -той строке.

Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3

Сделаем ноль вместо элемента a 4 3 =9 . Для этого из строки №4 вычтем от соответствующие элементы строки №1 умноженные на 3 .
Результат записываем в строке №4 все остальные строки переписываем без изменений.


Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме

a 1 3 = 3 в столбце № 3 . Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.


Видим, что только слагаемое №1 не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.
Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:

Будем раскладывать этот определитель за строкой №1 . Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2 , и результат запишем в столбце №3 , от этого величина определителя не изменится.

Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a 1 2 =4 . Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4 . Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.


Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец

№2 на 3 , то и весь определитель увеличится в 3 . А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3 .

Определитель рассчитывается только для квадратных матриц и является сумой слагаемых n-ого порядка. Подробный алгоритм его вычисления будет описан в готовом решении, которое вы сможете получить сразу после ввода условия в данный онлайн калькулятор. Это доступная и простая возможность получить детальную теорию, поскольку решение будет представлено с подробной расшифровкой каждого шага.

Инструкция пользования данным калькулятором проста. Чтобы найти определитель матрицы онлайн сначала вам нужно определиться с размером матрицы и выбрать количество столбцов и, соответственно, строк в ней. Для этого кликните на иконку «+» или «-». Далее остаётся только ввести нужные числа и нажать «Вычислить». Можно вводить как целые, так и дробные числа. Калькулятор сделает всю требуемую работу и выдаст вам готовый результат.

Чтобы стать экспертом в математике, нужно много и упорно тренироваться. A ещё никогда не помешает дополнительный раз себя перепроверить.

Поэтому, когда перед вами поставлена задача вычислить определитель матрицы, целесообразно воспользоваться онлайн калькулятором. Он справится очень быстро, и в течение нескольких секунд на мониторе появится, готовое решение. Это не предполагает, что онлайн калькулятор должен заменять вам традиционные расчёты. Но он является превосходным помощником, если вам интересно понять алгоритм вычисления определителя матрицы. K тому же, это превосходная возможность проверить, правильно ли выполнена контрольная, подстраховаться от неудачной оценки.

Определители и их свойства.

Определитель является некоторой числовой характеристикой квадратной матрицы.

Определителем матрицы второго порядка, или просто определителем второго порядка называется число , вычисляемое по формуле

 = = a 11 a 22a 21

a 12.

Например, = (1·4 – 3·2) = 4 – 6 = – 2.

Понятие определителя n – го порядка вводится по индукции, полагая, что уже введено понятие определителя (n – 1) – го порядка, соответствующего квадратной матрице порядка (n– 1).

Предварительно введем следующие понятия.

Минором Mi jэлементаai jданной матрицы порядкаnназывается определитель (n – 1) – го порядка, соответствующий матрице, получаемой из данной вычеркиванием строки и столбца, содержащих элементa i j.

Алгебраическим дополнением Ai jэлементаa i jопределителя называется минорMi j, взятый со знаком (– 1) i + j, то естьAi j= (– 1)i + jMi j.

Определителем матрицы An– го порядка, или определителемnго порядка называется число, обозначаемое символически:

 = detA=и равное сумме попарных произведений элементов первой строки на соответствующие алгебраические дополнения:

 = =a 11 A 11 + a 12 A 12 + … + a 1 nA 1 n.

Определитель третьего порядка есть число , вычисляемое по формуле

 = = a 11 A 11+ a 12 A 12 + a 13 A 13 =

=a 11 (–1) 1+1 + a 12 (–1) 1+2 + a 13 (–1) 1+3 =

= a 11 (a 22 a 33a 32 a 23) – a 12 (a 21 a 33a 31 a 23) + a 13 (a 21 a 32a 31 a 22).

В качестве примера вычислим определитель

= 1· (–1)1+ 1+ 2 · (–1) 1+ 2 + (–1) · (–1) 1+ 3 =

= 1 · (–1 – 0) – 2 · (–2 – 0) – 1 · (6 – 0) = –1 + 4 – 6 = – 3.

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

  1. Для того, чтобы определитель  матрицы A равнялся 0, необходимо и достаточно, чтобы строки матрицы были линейно зависимыми ( = 0). В частности,  = 0, если

  1. Определитель не меняется при

  1. При перестановке двух строк определитель меняет знак.

  2. При умножении какой–либо строки определителя на число  определитель умножается на , общий множитель элементов некоторой строки можно вынести за знак определителя.

  3. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей.

  4. Все свойства определителей справедливы, если их сформулировать для столбцов определителя.

Из свойства 5, в частности, следует, что определитель обратной матрицы связан с определителем матрицы A следующим образом: det A – 1 = 1 / det A.

В самом деле, поскольку A · A– 1 = E, то det (A · A– 1) = det A · det A– 1 = = det E = 1, откуда следует требуемое утверждение.

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

  1. Метод разложения по строке. Определитель равен сумме попарных

произведений элементов произвольной строки на соответствующие алгебраические дополнения, то есть  = ai 1 Ai 1 + ai 2 Ai 2 + … + ainAin.

  1. Метод разложения по столбцу. Определитель равен сумме попарных

произведений элементов произвольного столбца на соответствующие алгебраические дополнения, то есть  = a 1 jA 1 j + a 2 jA 2 j + … + an jAn j.

Эти методы позволяют при вычислении определителей выбирать строку или столбец с наибольшим количеством нулей, что облегчает процесс вычисления, так как отпадает необходимость вычисления алгебраических дополнений нулевых элементов.

  1. Метод зануления. Идея метода состоит в том, чтобы, не меняя вели-

чины определителя, получить столбец или строку, в которой все элементы

кроме одного равны 0, а затем выполнить разложение по этому столбцу или строке. В результате вычисление определителя n –го порядка сводится к вычислению одного определителя (n – 1) –го порядка. Зануление элементов производится с применением свойств определителей.

ПРИМЕР.  = .

Прибавим первую строку определителя ко второй, третьей и четвертой строкам, предварительно умножив ее на числа (–2), 2 и (–1) соответственно. Величина определителя при этом не изменится (свойство 2 определителей), а элементы первого столбца, стоящие во второй, третьей и четвертой строках, станут равными 0. Получим определитель

 =.Разложимполученныйопределительпо первому столбцу:

 =1·(–1) 1+1+0+0+0 =. Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (–1), и выполним разложение по первому столбцу:

 = = (–5) · (–1) 1 + 1= (–5) · (–5 – 0) = 25.

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.

  1. Проверка линейной независимости системы векторов пространства R n.

Если система содержит n векторов, то можно составить определитель n-го порядка, строками которого являются векторы данной системы. Согласно свойству 2 определителей этот определитель будет равен 0 в случае линейной зависимости и отличен от нуля в случае линейной независимости системы векторов.

  1. Нахождение обратной матрицы. Если квадратная матрица A имеет об-

ратную, то ее строки линейно независимы и, следовательно, ее определитель  отличен от нуля. Вычислим алгебраические дополнения Ai j всех элементов матрицы A и составим из них матрицу (Ai j ).Тогдаобратная матрица A– 1

может быть найдена по формуле A– 1 = (Ai j)T.

Метод элементарных преобразований (методы Гаусса и Гаусса-Жордана для нахождения обратных матриц).

В первой части был рассмотрен способ нахождения обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений. Здесь же мы опишем иной метод нахождения обратных матриц: с использованием элементарных преобразований.

Пусть нам задана квадратная матрица $A_{n\times{n}}$. Допишем справа к матрице $A$ единичную матрицу $E$ n-го порядка. После такого дописывания мы получим матрицу $\left(A|E\right)$. {-1}$ не существует.

Когда мы придём к последней строке, матрица до черты станет верхней треугольной, т.е. все элементы под главной диагональю будут равны нулю. Это будет означать конец прямого хода метода Гаусса.

Обратный ход метода Гаусса

На этом этапе мы поднимаемся по матрице "снизу вверх". Сначала используем последнюю строку $r_n$, затем предпоследнюю $r_{n-1}$ и так далее, пока не дойдём до первой строки. С каждой строкой выполняем однотипные операции.

Пусть, например, речь идёт о некоей k-й строке. Матрица, расположенная до черты, содержит в строке $r_k$ диагональный элемент $a_{kk}$. Если $a_{kk}=1$, то это нас вполне устраивает, а если $a_{kk}\neq{1}$, то просто умножаем строку $r_k$ на коэффициент $\frac{1}{a_{kk}}$, чтобы диагональный элемент стал равен 1. Затем с помощью строки $r_k$ обнуляем элементы k-го столбца, расположенные над строкой $r_k$.

Как только мы дойдём до первой строки, матрица до черты станет единичной, и алгоритм завершится. {-1}\right)$.

Метод Гаусса

Прямой ход метода Гаусса

Первый шаг

На первом шаге прямого хода мы работаем с первой строкой. Первый элемент этой строки (число -5) не равен нулю, поэтому можем приступать к обнулению ненулевых элементов первого столбца, расположенных под первой строкой. Однако для тех преобразований, которые мы станем делать для обнуления элементов, удобно, когда ведущий элемент используемой строки равен 1 или -1. Почему это так, станет ясно из дальнейших действий. Чтобы ведущий элемент текущей строки стал равен -1, поменяем местами первую строку с одной из нижележащих строк – с второй строкой:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} \boldred{-1} & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ \normblue{-5} & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ \normblue{9} & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$

Теперь ведущий элемент первой строки стал равен -1 (я выделил этот элемент красным цветом). Приступим к обнулению ненулевых элементов первого столбца, лежащих под первой строкой (они выделены синим цветом). Для этого над строками матрицы нужно выполнить такие действия:

$$ \begin{aligned} &r_2-\frac{\normblue{-5}}{\boldred{-1}}\cdot{r_1}=r_2-5r_1;\\ &r_3-\frac{\normblue{9}}{\boldred{-1}}\cdot{r_1}=r_3+9r_1. \end{aligned} $$

Запись $r_2-5r_1$ означает, что от элементов второй строки вычли соответствующие элементы первой строки, умноженные на пять. Результат записывают на место второй строки в новую матрицу. Если с устным выполнением такой операции возникают сложности, то это действие можно выполнить отдельно:

$$ r_2-5r_1 =(-5;\;23;\;-24;\;1;\;0;\;0)-5\cdot(-1;\;4;\;-5;\;0;\;1;\;0)=\\ =(-5;\;23;\;-24;\;1;\;0;\;0)-(-5;\;20;\;-25;\;0;\;5;\;0) =(0;\;3;\;1;\;1;\;-5;\;0) $$

Действие $r_3+9r_1$ выполняется аналогично. Первую строку мы не трогали, поэтому в новую матрицу она перейдёт без изменений:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-5r_1 \\ r_3+9r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) $$

На этом первый шаг закончен. Нулевых строк в матрице до черты не возникло, поэтому продолжаем решение. Кстати, теперь, я полагаю, ясно, зачем надо было менять местами строки. Если бы не смена мест строк, нам пришлось бы выполнять действия $r_2-\frac{1}{5}\cdot{r_1}$ и $r_3+\frac{9}{5}\cdot{r_1}$, что привело бы к появлению дробей. А легче, разумеется, работать с целыми числами, чем с дробями.

Второй шаг

На втором шаге прямого хода мы работаем с второй строкой. Второй элемент этой строки (число 3) не равен нулю, поэтому можем приступать к обнулению ненулевых элементов второго столбца, расположенных под второй строкой:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_3+4/3\cdot{r_2} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) $$

Матрица до черты стала верхней треугольной, поэтому прямой ход метода Гаусса окончен.

Пару слов насчёт действий со строками, которые мы выполняли на втором шаге. На первом шаге мы меняли местами строки, чтобы ведущий элемент первой строки стал равен -1. Здесь такая смена строк ничего не даст, так как доступна к обмену лишь третья строка, а у неё ведущий элемент тоже не равен ни 1, ни -1. В этом случае можно выполнить дополнительное преобразование со второй строкой: $r_2+r_3$:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+r_3 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 & 4 & 1\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) $$

После этого текущий шаг прямого хода будет продолжен без дробей. Можно было сделать и такое действие: $3r_3+4r_2$, тогда и необходимый элемент третьего столбца был бы обнулён, и дробей бы не появилось. Выполнять такие действия или нет – надо смотреть по ситуации. Если работы с дробями предвидится немного, то особого смысла в попытках их избежать нет. Если же нас ожидают ещё несколько шагов прямого хода, то, возможно, лучше упростить себе расчёты и выполнить вспомогательное действие, чтобы потом не работать с дробями. К слову, если есть необходимость избавиться от дробей в некоей строке, то можно просто домножить данную строку на соответствующий коэффициент. Например, строку $\left(\frac{1}{3};\;-\frac{4}{5};\;2;0\right)$ можно домножить на число 15, тогда дроби исчезнут, и строка станет такой: $\left(5;\;-12;\;30;0\right)$.

Обратный ход метода Гаусса

Первый шаг

На первом шаге обратного хода мы работаем с последней, т.е. третьей строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент в третьей строке: он равен $-\frac{2}{3}$. Сделаем этот элемент единицей, домножив третью строку на $-\frac{3}{2}$, а затем с помощью третьей строки обнулим ненулевые элементы третьего столбца, расположенные над третьей строкой:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ -3/2\cdot{r_3} \end{array} \rightarrow\\ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1+5r_3 \phantom{0}\\ r_2-r_3\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\ 0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Второй шаг

На втором шаге обратного хода мы работаем с предпоследней, т. е. второй строкой матрицы. Посмотрим на диагональный элемент во второй строке: он равен 3. Сделаем этот элемент единицей, домножив вторую строку на $\frac{1}{3}$, а затем с помощью второй строки обнулим ненулевой элемент второго столбца, расположенный над второй строкой:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\ 0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ 1/3\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow\\ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1-4r_2\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Третий шаг

Работаем с первой строкой. {-1} =\left(\begin{array}{ccc} 14 & 29/2 & 19/2\\ 1 & -1/2 & 1/2\\ -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\rightarrow} $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2-5r_1 \\ r_3+9r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0} \\ r_3+4/3\cdot{r_2} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ \phantom{0}\\ -3/2\cdot{r_3} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1+5r_3 \phantom{0}\\ r_2-r_3\\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\ 0 & 3 & 0 & 3 & -3/2 & 3/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ 1/3\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & 0 & -10 & -33/2 & -15/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1-4r_2\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 0 & 0 & -14 & -29/2 & -19/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Теперь решим этот же пример методом Гаусса-Жордана.

Метод Гаусса-Жордана

Первый шаг

На первом шаге мы работаем с первой строкой. Первый элемент этой строки (число -5) не равен нулю, поэтому можем следовать стандартному алгоритму: домножить первую строку на $-\frac{1}{5}$, чтобы первый элемент стал равен единице, а затем обнулить все иные ненулевые элементы первого столбца. Однако, как и при решении методом Гаусса, удобно, когда ведущий элемент используемой строки равен 1 или -1. Поэтому как и на первом шаге метода Гаусса, поменяем местами первую строку с второй строкой:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ \normblue{-5} & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ \normblue{9} & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$

Теперь первый элемент первой строки стал равен -1. Чтобы этот элемент стал равен 1, домножим первую строку на -1, а потом обнулим все остальные ненулевые элементы первого столбца (они выделены в матрице выше синим цветом):

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5r_1 \\ r_3-9r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) $$

На этом первый шаг закончен. Нулевых строк в матрице до черты не возникло, поэтому продолжаем решение.

Второй шаг

На втором шаге мы работаем с второй строкой. Второй элемент этой строки (число 3) не равен нулю, поэтому домножаем вторую строку на $\frac{1}{3}$, чтобы второй элемент стал равен единице, а затем обнуляем все иные ненулевые элементы второго столбца.

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\1/3\cdot{r_2} \\\phantom{0}\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1+4r_2\\ \phantom{0} \\ r_3+4r_2 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) $$

Замечание относительно облегчения работы с дробями, сделанное после второго шага прямого хода метода Гаусса, остаётся в силе и здесь.

Третий шаг

На третьем шаге мы работаем с третьей строкой. Третий элемент этой строки (число -2/3) не равен нулю, поэтому домножаем третью строку на $-\frac{3}{2}$, чтобы третий элемент стал равен единице, а затем обнуляем все иные ненулевые элементы третьего столбца.

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0} \\ -3/2\cdot{r_3}\end{array} \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1-19/3r_3\\ r_2-1/3\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Матрица до черты стала единичной, преобразования завершены. {-1} =\left(\begin{array}{ccc} 14 & 29/2 & 19/2\\ 1 & -1/2 & 1/2\\ -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Если пропустить все пояснения, то решение будет таким:

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \overset{r_1\leftrightarrow{r_2}}{\rightarrow} \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1 & 4 & -5 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} -1\cdot{r_1}\\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ -5 & 23 & -24 & 1 & 0 & 0\\ 9 & -40 & 43 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\ r_2+5r_1 \\ r_3-9r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 3 & 1 & 1 & -5 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\1/3\cdot{r_2} \\\phantom{0}\end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -4 & 5 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & -4 & -2 & 0 & 9 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1+4r_2\\ \phantom{0} \\ r_3+4r_2 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & 0 & -2/3 & 4/3 & 7/3 & 1 \end{array}\right) \begin{array} {l} \phantom{0}\\\phantom{0} \\ -3/2\cdot{r_3}\end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 19/3 & 4/3 & -23/3 & 0\\ 0 & 1 & 1/3 & 1/3 & -5/3 & 0\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) \begin{array} {l} r_1-19/3r_3\\ r_2-1/3\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 14 & 29/2 & 19/2\\ 0 & 1 & 0 & 1 & -1/2 & 1/2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right) $$

Ответ: $A^{-1} =\left(\begin{array}{ccc} 14 & 29/2 & 19/2\\ 1 & -1/2 & 1/2\\ -2 & -7/2 & -3/2 \end{array}\right)$. {-1}$, если $A=\left(\begin{array}{cccc} -2 & 3 & 0 & 1\\ -6 & 9 & -2 & 7\\ 0 & -2 & -18 & 27\\ -4 & 5 & -8 & 14\end{array} \right)$.

Решение

В предыдущем примере были даны подробные пояснения каждого шага как метода Гаусса, так и метода Гаусса-Жордана. В этом примере я стану комментировать лишь некие нюансы, которые возникнут в ходе решения.

Метод Гаусса

$$ \left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ -6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2-3r_1 \\ \phantom{0} \\ r_4-2r_1 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Пора переходить ко второму шагу прямого хода метода Гаусса. На этом шаге должна использоваться вторая строка, однако второй элемент данной строки равен нулю. Согласно алгоритму, нужно поменять местами вторую строку с одной из нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Поменяем местами вторую и четвёртую строки, а потом продолжим преобразования:

$$ \left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \overset{r_2\leftrightarrow{r_4}}{\rightarrow} \left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ r_3-2r_2 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ r_4-r_3 \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1-r_4 \\ r_2-12r_4 \\ r_3-3r_1 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\\ 0 & -1 & -8 & 0 & 82 & -12 & 12 & -23\\ 0 & 0 & -2 & 0 & 25 & -3 & 4 & -8\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ -1/2\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\\ 0 & -1 & -8 & 0 & 82 & -12 & 12 & -23\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2+8r_3 \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\\ 0 & -1 & 0 & 0 & -18 & 0 & -4 & 9\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ -1\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 0 & 8 & -1 & 1 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1-3r_2 \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 0 & 0 & 0 & -46 & -1 & -11 & 25\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} -1/2\cdot{r_1} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right) $$

Из последней матрицы получаем ответ:

$$ A^{-1} =\left(\begin{array}{cccc} 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\\ 18 & 0 & 4 & -9\\ -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ -7 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right) $$

Метод Гаусса-Жордана

$$ \left(\begin{array}{cccc|cccc} -2 & 3 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ -6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array} {l} -1/2\cdot{r_1} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\\ -6 & 9 & -2 & 7 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -8 & 14 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2+6r_1 \\ \phantom{0} \\ r_4+4r_1 \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$

Пора переходить ко второму шагу метода Гаусса-Жордана. На этом шаге должна использоваться вторая строка, однако второй элемент данной строки равен нулю. Согласно алгоритму, нужно поменять местами вторую строку с одной из нижележащих строк, у которых второй элемент отличен от нуля. Поменяем местами вторую и четвёртую строки, а потом продолжим преобразования:

$$ \left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \overset{r_2\leftrightarrow{r_4}}{\rightarrow} $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & -8 & 12 & -2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ -1\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -3/2 & 0 & -1/2 & -1/2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & -2 & -18 & 27 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1+3/2\cdot{r_2} \\ \phantom{0} \\ r_3+2r_2 \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 12 & -37/2 & 5/2 & 0 & 0 & -3/2\\ 0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2 & 3 & 4 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ -1/2\cdot{r_3} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 12 & -37/2 & 5/2 & 0 & 0 & -3/2\\ 0 & 1 & 8 & -12 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -3/2 & -2 & 0 & -1/2 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 4 & -3 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1-12r_3 \\ r_2-8r_3 \\ \phantom{0} \\ r_4+2r_3 \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & -1/2 & 53/2 & 0 & 6 & -27/2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9 \\ 0 & 0 & 1 & -3/2 & -2 & 0 & -1/2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array} \right) \begin{array} {l} r_1+1/2\cdot{r_4} \\ \phantom{0} \\ r_3+3/2\cdot{r_4} \\ \phantom{0} \end{array} \rightarrow $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 18 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -7 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right) $$

Из последней матрицы получаем ответ:

$$ A^{-1} =\left(\begin{array}{cccc} 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\\ 18 & 0 & 4 & -9\\ -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ -7 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right) $$

Ответ: $ A^{-1} =\left(\begin{array}{cccc} 23 & 1/2 & 11/2 & -25/2\\ 18 & 0 & 4 & -9\\ -25/2 & 3/2 & -2 & 4\\ -7 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right) $. {-1}$, если $A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & 5\\ -2 & 5 & -13\\ -3 & 4 & -9\end{array} \right)$.

Решение

В данном примере применим метод Гаусса.

$$ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\\ -2 & 5 & -13 & 0 & 1 & 0\\ -3 & 4 & -9 & 0 & 0 & 1\end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ r_2+2r_1 \\ r_3+3r_1 \end{array} \rightarrow\\ $$ $$ \rightarrow\left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -3 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & 6 & 3 & 0 & 1\end{array} \right) \begin{array} {l} \phantom{0} \\ \phantom{0} \\ r_3+2r_2 \end{array} \rightarrow \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -2 & 5 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -3 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 7 & 2 & 1\end{array}\right) $$

В матрице до черты появилась нулевая строка. {-1}$ не существует.

Ответ: обратной матрицы не существует.

Нейронные сети, или Как обучить искусственный интеллект — Интернет изнутри

Машинное обучение является не единственным, но одним из фундаментальных разделов искусственного интеллекта, занимающимся вопросами самостоятельного извлечения знаний интеллектуальной системой в процессе ее работы. Основу машинного обучения составляют так называемые искусственные нейронные сети, принцип работы которых напоминает работу биологических нейронов нервной системы животных и человека.
Технологии искусственного интеллекта все активнее используются в самых различных областях – от производственных процессов до финансовой деятельности. Популярные услуги техгигантов, такие как «Яндекс.Алиса», Google Translate, Google Photos и Google Image Search (AlexNet, GoogleNet) основаны на работе нейронных сетей.
Что такое нейронные сети и как они работают – об этом пойдет речь в статье.

Введение

У искусственного интеллекта множество определений. Под этим термином понимается, например, научное направление, в рамках которого ставятся и решаются задачи аппаратного или программного моделирования тех видов человеческой деятельности, которые традиционно считаются творческими или интеллектуальными, а также соответствующий раздел информатики, задачей которого является воссоздание с помощью вычислительных систем и иных искусственных устройств разумных рассуждений и действий, равно как и свойство систем выполнять «творческие» функции. Искусственный интеллект уже сегодня прочно вошел в нашу жизнь, он используется так или иначе во многих вещах, которые нас окружают: от смартфонов до холодильников, — и сферах деятельности: компании многих направлений, от IT и банков до тяжелого производства, стремятся использовать последние разработки для
повышения эффективности. Данная тенденция будет лишь усиливаться в будущем.

Машинное обучение является не единственным, но одним из основных разделов, фундаментом искусственного интеллекта, занимающимся вопросами самостоятельного извлечения знаний интеллектуальной системой в процессе ее работы. Зародилось это направление еще в середине XX века, однако резко возросший интерес направление получило с существенным развитием области математики, специализирующейся на нейронных сетях, после недавнего изобретения эффективных алгоритмов обучения таких сетей. Идея создания искусственных нейронных сетей была перенята у природы. В качестве примера и аналога была использована нервная система как животного, так и человека. Принцип работы искусственной нейронной сети соответствует алгоритму работы биологических нейронов.

Нейрон – вычислительная единица, получающая информацию и производящая над этой информацией какие-либо вычисления. Нейроны являются простейшей структурной единицей любой нейронной сети, из их множества, упорядоченного некоторым образом в слои, а в конечном счете – во всю сеть, состоят все сети. Все нейроны функционируют примерно одинаковым образом, однако бывают некоторые частные случаи нейронов, выполняющих специфические функции. Три основных типа нейронов:

Рис. 1. Основные типы нейронов.

Входной – слой нейронов, получающий информацию (синий цвет на рис. 1).
Скрытый – некоторое количество слоев, обрабатывающих информацию (красный цвет на рис. 1).
Выходной – слой нейронов, представляющий результаты вычислений (зеленый цвет на рис. 1).

Помимо самих нейронов существуют синапсы. Синапс – связь, соединяющая выход одного нейрона со входом другого. Во время прохождения сигнала через синапс сигнал может усиливаться или ослабевать. Параметром синапса является вес (некоторый коэффициент, может быть любым вещественным числом), из-за которого информация, передающаяся от одного нейрона к другому, может изменяться. При помощи весов входная информация проходит обработку — и после мы получаем результат.

Рис. 2. Модель искусственного нейрона.

На рис. 2 изображена математическая модель нейрона. На вход подаются числа (сигналы), после они умножаются на веса (каждый сигнал – на свой вес) и суммируются. Функция активации высчитывает выходной сигнал и подает его на выход.

Сама идея функции активации также взята из биологии. Представьте себе ситуацию: вы подошли и положили палец на конфорку варочной панели. В зависимости от сигнала, который при этом поступит от пальца по нервным окончаниям в мозг, в нейронах вашего мозга будет принято решение: пропускать ли сигнал дальше по нейронным связям, давая посыл мышцам отдернуть палец от горячей конфорки, или не пропускать сигнал, если конфорка холодная и палец можно оставить. Математический аналог функции активации имеет то же назначение. Таким образом, функция активации позволяет проходить или не проходить сигналам от нейрона к нейронам в зависимости от информации, которую они передают. Т.е. если информация является важной, то функция пропускает ее, а если информации мало или она недостоверна, то функция активации не позволяет ей пройти дальше.

Таблица 1. Популярные разновидности активационных функций искусственного нейрона

В таблице 1 представлены некоторые виды активационных функций нейрона. Простейшей разновидностью функции активации является пороговая. Как следует из названия, ее график представляет из себя ступеньку. Например, если поступивший в нейрон суммарный сигнал от предыдущих нейронов меньше 0, то в результате применения функции активации сигнал полностью «тормозится» и дальше не проходит, т.е. на выход данного нейрона (и, соответственно, входы последующих нейронов) подается 0. Если же сигнал >= 0, то на выход данного нейрона подается 1.

Функция активации должна быть одинаковой для всех нейронов внутри одного слоя, однако для разных слоев могут выбираться разные функции активации. В искусственных нейронных сетях выбор функции обуславливается областью применения и является важной исследовательской задачей для специалиста по машинному обучению.

Нейронные сети набирают все большую популярность и область их использования также расширяется. Список некоторых областей, где применяются искусственные нейронные сети:

  1. Ввод и обработка информации. Распознавание текстов на фотографиях и различных документах, распознавание голосовых команд, голосовой ввод текста.
  2. Безопасность. Распознавание лиц и различных биометрических данных, анализ трафика в сети, обнаружение подделок.
  3. Интернет. Таргетинговая реклама, капча, составление новостных лент, блокировка спама, ассоциативный поиск информации.
  4. Связь. Маршрутизация пакетов, сжатие видеоинформации, увеличение скорости кодирования и декодирования информации.

Помимо перечисленных областей, нейронные сети применяются в робототехнике, компьютерных и настольных играх, авионике, медицине, экономике, бизнесе и в различных политических и социальных технологиях, финансово-экономическом анализе.

Архитектуры нейронных сетей

Архитектур нейронных сетей большое количество, и со временем появляются новые. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся базовые архитектуры.

Персептрон
Рис. 3. Пример архитектуры персептрона.

Персептрон – это простейшая модель нейросети, состоящая из одного нейрона. Нейрон может иметь произвольное количество входов (на рис. 3 изображен пример вида персептрона с четырьмя входами), а один из них обычно тождественно равен 1. Этот единичный вход называют смещением, его использование иногда бывает очень удобным. Каждый вход имеет свой собственный вес. При поступлении сигнала в нейрон, как и было описано выше, вычисляется взвешенная сумма сигналов, затем к сигналу применяется функция активации и сигнал передается на выход. Такая
простая на первый взгляд сеть, всего из одного-единственного нейрона, способна, тем не менее, решать ряд задач: выполнять простейший прогноз, регрессию данных и т.п., а также моделировать поведение несложных функций. Главное для эффективности работы этой сети – линейная разделимость данных.

Для читателей, немного знакомых с таким разделом как логика, будут знакомы логическое И (умножение) и логическое ИЛИ (сложение). Это булевы функции, принимающие значение, равное 0, всегда, кроме одного случая, для умножения, и, наоборот, значения, равные 1, всегда, кроме одного случая, для сложения. Для таких функций всегда можно провести прямую (или гиперплоскость в многомерном пространстве), отделяющие 0 значения от 1. Это и называют линейной разделимостью объектов. Тогда подобная модель сможет решить поставленную задачу классификации и сформировать базовый логический элемент. Если же объекты линейно неразделимы, то сеть из одного нейрона с ними не справится. Для этого существуют более сложные архитектуры нейронных сетей, в конечном счете, тем не менее, состоящие из множества таких персептронов, объединенных в слои.

Многослойный персептрон

Слоем называют объединение нейронов, на схемах, как правило, слои изображаются в виде одного вертикального ряда (в некоторых случаях схему могут поворачивать, и тогда ряд будет горизонтальным). Многослойный персептрон является обобщением однослойного персептрона. Он состоит из некоторого множества входных узлов, нескольких скрытых слоев вычислительных
нейронов и выходного слоя (см. рис. 4).

Рис. 4. Архитектура многослойного персептрона.

Отличительные признаки многослойного персептрона:

  • Все нейроны обладают нелинейной функцией активации, которая является дифференцируемой.
  • Сеть достигает высокой степени связности при помощи синаптических соединений.
  • Сеть имеет один или несколько скрытых слоев.

Такие многослойные сети еще называют глубокими. Эта сеть нужна для решения задач, с которыми не может справиться персептрон. В частности, линейно неразделимых задач. В действительности, как следствие из теоремы Колмогорова, именно многослойный персептрон является единственной универсальной нейронной сетью, универсальным аппроксиматором, способным решить любую задачу. Возможно, не самым эффективным способом, который могли бы обеспечить более узкопрофильные нейросети, но все же решить.
Именно поэтому, если исследователь не уверен, нейросеть какого вида подходит для решения стоящей перед ним задачи, он выбирает сначала многослойный персептрон.

Сверточная нейронная сеть (convolution neural network)

Сверточная нейронная сеть – сеть, которая обрабатывает передаваемые данные не целиком, а фрагментами. Данные последовательно обрабатываются, а после передаются дальше по слоям. Сверточные нейронные сети состоят из нескольких типов слоев: сверточный слой, субдискретизирующий слой, слой полносвязной сети (когда каждый нейрон одного слоя связан с каждым нейроном следующего – полная связь). Слои свертки и подвыборки (субдискретизации) чередуются и их набор может повторяться несколько раз (см. рис. 5). К конечным слоям часто добавляют персептроны, которые служат для последующей обработки данных.

Рис. 5. Архитектура сверточной нейронной сети.

Название архитектура сети получила из-за наличия операции свёртки, суть которой в том, что каждый фрагмент изображения умножается на матрицу (ядро) свёртки поэлементно, а результат суммируется и записывается в аналогичную позицию выходного изображения. Необходимо это для перехода от конкретных особенностей изображения к более абстрактным деталям, и далее – к
ещё более абстрактным, вплоть до выделения понятий высокого уровня (присутствует ли что-либо искомое на изображении).

Сверточные нейронные сети решают следующие задачи:

  • Классификация. Пример: нейронная сеть определяет, что или кто находится на изображении.
  • Детекция. Пример: нейронная сеть определяет, что/кто и где находится на изображении.
  • Сегментация. Пример: нейронная сеть может определить каждый пиксель изображения и понять, к чему он относится.

Описанные сети относятся к сетям прямого распространения. Наряду с ними существуют нейронные сети, архитектуры которых имеют в своем составе связи, по которым сигнал распространяется в обратную сторону.

Рекуррентная нейронная сеть

Рекуррентная нейронная сеть – сеть, соединения между нейронами которой образуют ориентированный цикл. Т.е. в сети имеются обратные связи. При этом информация к нейронам может передаваться как с предыдущих слоев, так и от самих себя с предыдущей итерации (задержка). Пример схемы первой рекуррентной нейронной сети (НС Хопфилда) представлен на рис. 6.

Рис. 6. Архитектура рекуррентной нейронной сети.

Характеристики сети:

  • Каждое соединение имеет свой вес, который также является приоритетом.
  • Узлы подразделяются на два типа: вводные (слева) и скрытые (1, 2, … K).
  • Информация, находящаяся в нейронной сети, может передаваться как по прямой, слой за слоем, так и между нейронами.

Такие сети еще называют «памятью» (в случае сети Хопфилда – автоассоциативной; бывают также гетероассоциативные (сеть Коско – развитие сети Хопфилда) и другие). Почему? Если подать данной сети на вход некие «образцы» – последовательности кодов (к примеру, 1000001, 0111110 и 0110110) — и обучить ее на запоминание этих образцов, настроив веса синапсов сети определенным образом при помощи правила Хебба3, то затем, в процессе функционирования, сеть сможет «узнавать» запомненные образы и выдавать их на выход, в том числе исправляя искаженные поданные на вход образы. К примеру, если после обучения такой сети я подам на вход 1001001, то сеть узнает и исправит запомненный образец, выдав на выходе 1000001. Правда, эта нейронная сеть не толерантна к поворотам и сдвигам образов, и все же для первой нейронной сети своего класса сеть весьма интересна.

Таким образом, особенность рекуррентной нейронной сети состоит в том, что она имеет «области внимания». Данная область позволяет задавать фрагменты передаваемых данных, которым требуется усиленная обработка.

Информация в рекуррентных сетях со временем теряется со скоростью, зависящей от активационных функций. Данные сети на сегодняшний день нашли свое применение в распознавании и обработке текстовых данных. Об этом речь пойдет далее.

Самоорганизующаяся нейронная сеть

Пример самоорганизующейся нейронной сети – сеть Кохонена. В процессе обучения осуществляется адаптация сети к поставленной задаче. В представленной сети (см. рис. 7) сигнал идет от входа к выходу в прямом направлении. Структура сети имеет один слой нейронов, которые не имеют коэффициентов смещения (тождественно единичных входов). Процесс обучения сети происходит при помощи метода последовательных приближений. Нейронная сеть подстраивается под закономерности входных данных, а не под лучшее значение на выходе. В результате обучения сеть находит окрестность, в которой находится лучший нейрон. Сеть функционирует по принципу «победитель получает все»: этот самый лучший нейрон в итоге на выходе будет иметь 1, а остальные нейроны, сигнал на которых получился меньше, 0. Визуализировать это можно так: представьте, что правый ряд нейронов, выходной, на
рис. 7 – это лампочки. Тогда после подачи на вход сети данных после их обработки на выходе «зажжется» только одна лампочка, указывающая, куда относится поданный объект. Именно поэтому такие сети часто используются в задачах кластеризации и классификации.

Рис. 7. Архитектура самоорганизующейся нейронной сети.
Алгоритмы обучения нейронных сетей

Чтобы получить решение поставленной задачи с использованием нейронной сети, вначале требуется сеть обучить (рис. 8). Процесс обучения сети заключается в настройке весовых коэффициентов связей между нейронами.

Рис. 8. Процесс обучения нейронной сети.

Алгоритмы обучения для нейронной сети бывают с
учителем и без.

  • С учителем: предоставление нейронной сети некоторой выборки обучающих примеров. Образец подается на вход, после происходит обработка внутри нейронной сети и рассчитывается выходной сигнал, сравнивающийся с соответствующим значением целевого вектора (известным нам «правильным ответом» для каждого из обучающих примеров). Если ответ сети не совпадает с требуемым, производится коррекция весов сети, напрямую зависящая от того, насколько отличается ответ сети от правильного (ошибка). Правило этой коррекции называется правилом Видроу-Хоффа и является прямой пропорциональностью коррекции каждого веса и размера ошибки, производной функции активации и входного сигнала нейрона. Именно после изобретения и доработок алгоритма распространения этой ошибки на все нейроны скрытых слоев глубоких нейронных сетей эта область искусственного интеллекта вернула к себе интерес.
  • Без учителя: алгоритм подготавливает веса сети таким образом, чтобы можно было получить согласованные выходные векторы, т.е. предоставление достаточно близких векторов будет давать похожие выходы. Одним из таких алгоритмов обучения является правило Хебба, по которому настраивается перед работой матрица весов, например, рекуррентной сети Хопфилда.

Рассмотрим теперь, какие архитектуры сетей являются наиболее востребованными сейчас, каковы особенности использования нейросетей на примерах известных крупных проектов.

Рекуррентные сети на примерах Google и «Яндекса»

Уже упоминавшаяся выше рекуррентная нейронная сеть (RNN) – сеть, которая обладает кратковременной «памятью», из-за чего может быстро производить анализ последовательностей различной длины. RNN разбивает потоки данных на части и производит оценку связей между ними.

Сеть долговременной краткосрочной памяти (Long shortterm memory – LSTM) – сеть, которая появилась в результате развития RNN-сетей. Это интересная модификация RNN-сетей, позволяющая сети не просто «держать контекст», но и умеющая «видеть» долговременные зависимости. Поэтому LSTM подходит для прогнозирования различных изменений при помощи экстраполяции (выявление тенденции на основе данных), а также в любых задачах, где важно умение «держать контекст», особенно хорошо подвластное для данной нейросети.

Рис. 9. Модули рекуррентной нейронной сети.

Форма рекуррентных нейронных сетей представляет собой несколько повторяющихся модулей. В стандартном виде эти модули имеют простую структуру. На рисунке 9 изображена сеть, которая имеет в одном из слоев гиперболический тангенс в качестве функции активации.


Рис. 10. Модуль LSTM-сети.

LSTM также имеет цепочечную структуру. Отличие состоит в том, что сеть имеет четыре слоя, а не один (рис. 10). Главным отличием LSTM-сети является ее клеточное состояние (или состояние ячейки), которое обозначается горизонтальной линией в верхней части диаграммы и по которой проходит информация (рис. 11). Это самое состояние ячейки напоминает ленту конвейера: она проходит напрямую через всю цепочку, участвуя в некоторых преобразованиях. Информация может как «течь» по ней, не подвергаясь изменениям, так и быть подвергнута преобразованиям со стороны нейросети7. (Представьте себе линию контроля на конвейере: изделия продвигаются на ленте перед сотрудником контроля, который лишь наблюдает за ними, но если ему что-то покажется важным или подозрительным, он может вмешаться).

Рис. 11. Клеточное состояние LSTM-модуля.

LSTM имеет способность удалять или добавлять информацию к клеточному состоянию. Данная способность осуществляется при помощи вентилей, которые регулируют процессы взаимодействия с информацией. Вентиль – возможность выборочно пропускать информацию. Он состоит из сигмоидного слоя нейронной сети и операции поточечного умножения (рис. 12).

Рис. 12. Вентиль.

Сигмоидный слой (нейроны с сигмоидальной функцией активации) подает на выход числа между нулем и единицей, описывая таким образом, насколько каждый компонент должен быть пропущен сквозь вентиль. Ноль – «не пропускать вовсе», один – «пропустить все». Таких «фильтров» в LSTM-сети несколько. Для чего сети нужна эта способность: решать, что важно, а что нет? Представьте себе следующее: сеть переводит предложение и в какой-то момент ей предстоит перевести с английского языка на русский, скажем, местоимение, прилагательное или причастие. Для этого сети необходимо, как минимум, помнить род и/или число предыдущего существительного, к которому переводимое слово относится. Однако как только мы встретим новое существительное, род предыдущего можно забыть. Конечно, это очень упрощенный пример, тем не
менее, он позволяет понять трудность принятия решения: какая информация еще важна, а какую уже можно забыть. Иначе говоря, сети нужно решить, какая информация будет храниться в состоянии ячейки, а затем – что на выходе из нее будет выводить.

Примеры использования нейронных сетей

Мы рассмотрели основные типы нейронных систем и познакомились с принципами их работы. Остановимся теперь на их практическом применении в системах Google Translate, «Яндекс. Алиса», Google Photos и Google Image Search (AlexNet, GoogleNet).

LSTM в Google Translate

Google-переводчик в настоящее время основан на методах машинного обучения и использует принцип работы LSTM-сетей. Система производит вычисления, чтобы понять значение слова или фразы, основываясь на предыдущих значениях в последовательности (контексте). Такой алгоритм помогает системе понимать контекст предложения и верно подбирать перевод среди различных вариантов. Еще несколько лет назад Google Translate работал на основе статистического машинного перевода – это разновидность перевода, где перевод генерируется на основе статистических моделей (бывают: по словам, по фразам, по синтаксису и т.д.), а параметры этих моделей являются результатами анализа корпусов текстов двух выбранных для перевода языков. Эти статистические модели обладали большим быстродействием, однако их эффективность ниже. Общий прирост качества перевода после внедрения системы на основе нейросетей в Google-переводчик составил, казалось бы, не очень много – порядка 10%, однако для отдельных языковых пар эффективность перевода достигла 80-90%,
вплотную приблизившись к оценкам качества человеческого перевода. «Платой» за такое качество перевода является сложность построения, обучения и перенастройки системы на основе нейросети: она занимает недели. Вообще для современных глубоких нейронных сетей, использующихся в таких крупных проектах, в порядке вещей обучение, занимающее дни и недели.

Рис. 13. Рекуррентная двунаправленная нейронная сеть Google-переводчика.

Рассмотрим LSTM-сеть переводчика (GNMT) подробнее. Нейронная сеть переводчика имеет разделение на два потока (см. рис. 13). Первый поток нейронной сети (слева) является анализирующим и состоит из восьми слоев. Данный поток помогает разбивать фразы или предложения на несколько смысловых частей, а после производит их анализ. Сеть позволяет читать предложения в двух направлениях, что помогает лучше понимать контекст. Также она занимается формированием модулей внимания, которые позволяют второму потоку определять ценности отдельно взятых смысловых фрагментов.

Второй поток нейронной сети (справа) является синтезирующим. Он позволяет вычислять самый подходящий вариант для перевода, основываясь на контексте и модулях внимания (показаны голубым цветом).

В системе нейронной сети самым маленьким элементом является фрагмент слова. Это позволяет сфокусировать вычислительную мощность на контексте предложения, что обеспечивает высокую скорость и точность переводчика. Также анализ фрагментов слова сокращает риски неточного перевода слов, которые имеют суффиксы, префиксы и окончания.

LSTM в «Яндекс.Алисе»

Компания «Яндекс» также использует нейросеть типа LSTM в продукте «Яндекс.Алиса». На рисунке 14 изображено взаимодействие пользователя с системой. После вопроса пользователя информация передается на сервер распознавания, где она преобразуется в текст. Затем текст поступает в классификатор интентов (интент (от англ. intent) – намерение, цель пользователя, которое он вкладывает в запрос), где при помощи машинного обучения анализируется. После анализа интентов они поступают на семантический теггер (tagger) – модель, которая позволяет выделить полезную и требующуюся информацию из предложения. Затем полученные результаты структурируются и передаются в модуль dialog manager, где обрабатывается полученная информация и генерируется ответ.

Рис. 14. Процесс работы сервиса «Яндекс.Алиса».


LSTM-сети применяются в семантическом теггере. В этом модуле используются двунаправленные LSTM с attention. На этом этапе генерируется не только самая вероятная гипотеза, потому что в зависимости от диалога могут потребоваться и другие. От состояния диалога в dialog manager происходит повторное взвешивание гипотез. Сети с долговременной памятью помогают лучше вести диалог с пользователем, потому что могут помнить предыдущие сообщения и более точно генерировать ответы, а также они помогают разрешать много проблемных ситуаций. В ходе диалога нейронная сеть может убирать слова, которые не несут никакой важной информации, а остальные анализировать и предоставлять ответ9. Для примера на рис. 14 результат работы системы будет следующим. Сначала речь пользователя в звуковом формате будет передана на сервер распознавания, который выполнит лексический анализ (т.е. переведет сказанное в текст и разобьет его на слова – лексемы), затем классификатор интентов выполнит уже роль семантического анализа (понимание смысла того, что было сказано; в данном случае – пользователя интересует погода), а семантический теггер выделит полезные элементы информации: теггер выдал бы, что завтра – это дата, на которую нужен прогноз погоды. В итоге данного анализа запроса пользователя будет составлено внутреннее представление запроса – фрейм, в котором будет указано, что интент – погода, что погода нужна на +1 день от текущего дня, а где – неизвестно. Этот фрейм попадет в диалоговый менеджер, который хранит тот самый контекст беседы и будет принимать на основе хранящегося контекста решение, что делать с этим запросом. Например, если до этого беседа не происходила, а для станции с «Яндекс.Алисой» указана геолокация г. Москва, то менеджер получит через специальный интерфейс (API) погоду на завтра в Москве, отправит команду на генерацию текста с этим прогнозом, после чего тот будет передан в синтезатор речи помощника. Если же Алиса до этого вела беседу с пользователем о достопримечательностях Парижа, то наиболее вероятно, что менеджер учтет это и либо уточнит у пользователя информацию о месте, либо сразу сообщит о погоде в Париже. Сам диалоговый менеджер работает на основе скриптов (сценариев обработки запросов) и правил, именуемых form-filling. Вот такой непростой набор технических решений, методов, алгоритмов и систем кроется за фасадом, позволяющим пользователю спросить и узнать ответ на простой бытовой вопрос или команду.

Свёрточные нейронные сети, используемые для классификации изображений, на примере Google Photos и Google Image Search

Задача классификации изображений – это получение на вход начального изображения и вывод его класса (стол, шкаф, кошка, собака и т.д.) или группы вероятных классов, которая лучше всего характеризует изображение. Для людей это совершенно естественно и просто: это один из первых навыков, который мы осваиваем с рождения. Компьютер лишь «видит» перед собой пиксели изображения, имеющие различный цвет и интенсивность. На сегодня задача классификации объектов, расположенных на изображении, является основной для области компьютерного зрения. Данная область начала активно развиваться с 1970-х, когда компьютеры стали достаточно мощными, чтобы оперировать большими объёмами данных. До развития нейронных сетей задачу классификации изображений решали с помощью специализированных алгоритмов. Например, выделение границ изображения с помощью фильтра Собеля и фильтра Шарра или использование гистограмм градиентов10. С появлением более мощных GPU, позволяющих значительно эффективнее обучать нейросеть, применение нейросетей в сфере компьютерного зрения значительно возросло.

В 1988 году Ян Лекун предложил свёрточную архитектуру нейросети, нацеленную на классификацию изображений. А в 2012 году сеть AlexNet, построенная по данной архитектуре, заняла первое место в конкурсе по распознаванию изображений ImageNet, имея ошибку распознавания равную 15,3%12. Свёрточная архитектура нейросети использует некоторые особенности биологического распознавания образов, происходящих в мозгу человека. Например, в мозгу есть некоторые группы клеток, которые активируются, если в определённое поле зрения попадает горизонтальная или вертикальная граница объекта. Данное явление обнаружили Хьюбель и Визель в 1962 году. Поэтому, когда мы смотрим на изображение, скажем, собаки, мы можем отнести его к конкретному классу, если у изображения есть характерные особенности, которые можно идентифицировать, такие как лапы или четыре ноги. Аналогичным образом компьютер может выполнять классификацию изображений через поиск характеристик базового уровня, например, границ и искривлений, а затем — с помощью построения более абстрактных концепций через группы сверточных слоев.

Рис. 15. Архитектура свёрточной сети AlexNet.

Рассмотрим подробнее архитектуру и работу свёрточной нейросети (convolution neural network) на примере нейросети AlexNet (см. рис. 15). На вход подаётся изображение 227х227 пикселей (на рисунке изображено желтым), которое необходимо классифицировать (всего 1000 возможных классов). Изображение цветное, поэтому оно разбито по трём RGB-каналам. Наиболее важная операция – операция свёртки.

Операция свёртки (convolution) производится над двумя матрицами A и B размера [axb] и [cxd], результатом которой является матрица С размера

, где s – шаг, на который сдвигают матрицу B. Вычисляется результирующая матрица следующим образом:

см. рис. 16.

Рисунок 16. Операция свёртки15: Исходная матрица A обозначена голубым цветом (имеет большую размерность), ядро свертки – матрица B — обозначена темно-синим цветом и перемещается по матрице A; результирующая матрица изображена зеленым, при этом соответствующая каждому шагу свертки результирующая ячейка отмечена темно-зеленым.

Рис. 16. Операция свёртки.

Чем больше результирующий элемент ci,j,, тем более похожа область матрицы A на матрицу B. A называют изображением, а B – ядром или фильтром. Обычно шаг смещения B равен s = 1. Если увеличить шаг смещения, можно добиться уменьшения влияния соседних пикселей друг на друга в сумме (уменьшить рецептивное поле восприятия нейросети), в подавляющем большинстве случаев шаг оставляют равным 1. На рецептивное поле также влияет и размер ядра свёртки. Как видно из рис. 16, при свёртке результат теряет в размерности по сравнению с матрицей A. Поэтому, чтобы избежать данного явления, матрицу A дополняют ячейками (padding). Если этого не сделать, данные при переходе на следующие слои будут теряться слишком быстро, а информация о границах слоя будет неточной.

Таким образом, свёртка позволяет одному нейрону отвечать за определённый набор пикселей в изображении. Весовыми коэффициентами являются коэффициенты фильтра, а входными переменными – интенсивность свечения пикселя плюс параметр смещения.

Данный пример свёртки (см. рис. 16) был одномерным и подходит, например, для черно-белого изображения. В случае цветного изображения операция свёртки происходит следующим образом: в один фильтр включены три ядра, для каждого канала RGB соответственно, над каждым каналом операция свёртки происходит идентично примеру выше, затем три результирующие матрицы поэлементно складываются — и получается результат работы одного
фильтра – карта признаков.

Эта на первый взгляд непростая с математической точки зрения процедура нужна для выделения тех самых границ и искривлений – контуров изображения, при помощи которых, по аналогии с мозгом человека, сеть должна понять, что же изображено на картинке. Т.е. на карте признаков будут содержаться выделенные характеристические очертания детектированных объектов. Эта карта признаков будет являться результатом работы чередующихся слоев свертки и пулинга (от англ. pooling, или иначе – subsampling layers). Помните, в разделе описания концепции архитектуры сверточных сетей мы говорили, что эти слои чередуются и их наборы могут повторяться несколько раз (см. рис. 5)? Для чего это нужно? После свертки, как мы знаем, выделяются и «заостряются» некие характеристические черты анализируемого изображения (матрицы пикселей) путем увеличения значений соответствующих ядру ячеек матрицы и «занулению» значений других. При операции субдискретизации, или пулинга, происходит уменьшение размерности сформированных отдельных карт признаков. Поскольку для сверточных нейросетей считается, что информация о факте наличия искомого признака важнее точного знания его координат на изображении, то из нескольких соседних нейронов карты признаков выбирается максимальный и принимается за один нейрон уплотнённой карты признаков меньшей размерности. За счёт данной операции, помимо ускорения дальнейших вычислений, сеть становится также более инвариантной к масштабу входного изображения, сдвигам и поворотам изображений. Данное чередование слоев мы видим и для данной сети AlexNet (см. рис. 15), где слои свертки (обозначены CONV) чередуются с пулингом (обозначены эти слои как POOL), при этом следует учитывать, что операции свертки тем ресурсозатратнее, чем больше размер ядра свертки (матрицы B на рис. 16), поэтому иногда, когда требуется свертка с ядром достаточно большой размерности, ее заменяют на две и более последовательных свертки с ядром меньших
размерностей. (Об этом мы поговорим далее.) Поэтому на рис. 15 мы можем увидеть участок архитектуры AlexNet, на котором три слоя CONV идут друг за другом.

Самая интересная часть в сети – полносвязный слой в конце. В этом слое по вводным данным (которые пришли с предыдущих слоев) строится и выводится вектор длины N, где N – число классов, по которым мы бы хотели классифицировать изображение, из них программа выбирает нужный. Например, если мы хотим построить сеть по распознаванию цифр, у N будет значение 10, потому что цифр всего 10. Каждое число в этом векторе представляет собой вероятность конкретного класса. Например, если результирующий вектор для распознавания цифр это [0 0.2 0 0.75 0 0 0 0 0.05], значит существует 20% вероятность, что на изображении «1», 75% вероятность – что «3», и 5% вероятность – что «9». Если мы хотим сеть по распознаванию букв латинского алфавита, то N должно быть равным 26 (без учета регистра), а если и буквы, и цифры вместе, то уже 36. И т.д. Конечно, это очень упрощенные примеры. В сети AlexNet конечная размерность выхода (изображена на рис. 15 зеленым) — 1000, а перед этим идут еще несколько полносвязных слоев с размерностями входа 9216 и выхода 4096 и обоими параметрами 4096 (изображены оранжевым и отмечены FC – full connected — на рисунке).

Способ, с помощью которого работает полносвязный слой, – это обращение к выходу предыдущего слоя (который, как мы помним, должен выводить высокоуровневые карты свойств) и определение свойств, которые больше связаны с определенным классом. Поэтому в результате работы окончания сверточной сети по поданному на вход изображению с лужайкой, на которой, скажем, собака гоняется за птичкой, упрощенно можно сказать, что результатом может являться следующий вывод:
[dog (0.6), bird (0.35), cloud (0.05)].

Свёрточная нейронная сеть GoogleNet

В 2014 году на том же соревновании ImageNet, где была представлена AlexNet, компания Google показала свою свёрточную нейросеть под названием GoogleNet. Отличительная особенность этой сети была в том, что она использовала в 12 раз меньше параметров (почувствуйте масштабы: 5 000 000 против 60 000 000) и её архитектура структурно была не похожа на архитектуру AlexNet, в которой было восемь слоёв, причём данная сеть давала более точный результат – 6,67% ошибки против 16,4%16.

Разработчики GoogleNet пытались избежать простого увеличения слоёв нейронной сети, потому что данный шаг привёл бы к значительному увеличению использования памяти и сеть была бы больше склонна к перенасыщению при обучении на небольшом и ограниченном наборе примеров.

Проанализируем приём, на который пошли разработчики компании Google для оптимизации скорости и использования памяти. В нейросети GoogleNet свёртка с размером фильтра 7×7 используется один раз в начале обработки изображения, далее максимальный размер – 5×5. Так как количество параметров при свёртке растёт квадратично с увеличением размерности ядра, нужно стараться заменять одну свёртку на несколько свёрток с меньшим размером фильтра, вместе с этим пропустить промежуточные результаты через ReLU (функция активации, возвращающая 0, если сигнал отрицателен, и само значение сигнала, если нет), чтобы внести дополнительную нелинейность. Например, свёртку с размером фильтра 5×5 можно заменить двумя последовательными операциями с размером ядра 3×3. Такая оптимизация позволяет строить более гибкие и глубокие сети. На хранение промежуточных свёрток тратится память, и использовать их более разумно в слоях, где размер карты признаков небольшой. Поэтому в начале сети GoogleNet вместо трёх свёрток 3×3 используется одна 7×7, чтобы избежать избыточного использования памяти.

Рис. 17. Первая реализация блока Inception.

Схему архитектуры сети целиком мы приводить здесь не будем, она слишком громоздка и на ней трудно что-либо разглядеть, кому это будет интересно, могут ознакомиться с ней на официальном ресурсе16. Отличительной особенностью нейросети от компании Google является использование специального модуля – Inception (см. рис. 17). Данный модуль, по своей сути, является небольшой локальной сетью. Идея данного блока состоит в том, что на одну карту признаков накладывается сразу несколько свёрток разного размера, вычисляющихся параллельно. В конце все свёртки объединяются в единый блок. Таким образом, можно из исходной карты признаков извлечь признаки разного размера, увеличив эффективность сети и точность обработки признаков. Однако при использовании данной реализации (см. рис. 17) нужно выполнить колоссальный объём вычислений, между тем, при включении данных модулей друг за другом размерность блока будет только расти. Поэтому разработчики во второй версии добавили свёртки, уменьшающие размерность (см. рис. 18).

Рис. 18. Вторая реализация блока Inception.

Жёлтые свёртки размера 1×1 введены для уменьшения глубины блоков, и благодаря им, значительно снижается нагрузка на память. GoogleNet содержит девять таких Inception-модулей и состоит из 22 слоёв.

Из-за большой глубины сети разработчики также столкнулись с проблемой затухания градиента при обучении (см. описание процедуры обучения нейросети: коррекция весов осуществляется в соответствии со значением ошибки, производной функции активации – градиента – и т.д.) и ввели два вспомогательных модуля классификатора (см. рис. 19). Данные модули представляют собой выходную часть малой свёрточной сети и уже частично классифицируют объект по внутренним характеристикам самой сети. При обучении нейронной сети данные модули не дают ошибке, распространяющиейся с конца, сильно уменьшиться, так как вводят в середину сети дополнительную ошибку.

Рис. 19. Вспомогательный модуль GoogleNet, использующийся при обучении сети.

Ещё один полезный аспект в архитектуре GoogleNet, по мнению разработчиков, состоит в том, что сеть интуитивно правильно обрабатывает изображение: сначала картинка обрабатывается в разных масштабах, а затем результаты агрегируются. Такой подход больше соответствует тому, как подсознательно выполняет анализ окружения человек.

В 2015 году разработчики из Google представили модифицированный модуль Inception v2, в котором свёртка 5×5 была заменена на две свёртки 3×3, по причинам, приведённым выше, вдобавок потери информации в картах признаков при таком действии происходят незначительные, так как соседние ячейки имеют между собой сильную корреляционную связь. Также, если заменить свёртку 3×3 на две последовательные свёртки 3×1 и 1×3, то это будет на 33% эффективнее, чем стандартная свёртка, а две свёртки 2×2 дадут выигрыш лишь в 11%17. Данная архитектура нейросети давала ошибку 5,6%, а потребляла ресурсов в 2,5 раза меньше.

Стоит отметить, что точного алгоритма построения архитектуры нейросети не существует. Разработчики составляют свёрточные нейросети, основываясь на результатах экспериментов и собственном опыте.

Нейронную сеть можно использовать для точной классификации изображений, загруженных в глобальную сеть, либо использовать для сортировки фотографий по определённому признаку в галерее смартфона.

Свёрточная нейронная сеть имеет следующие преимущества: благодаря своей структуре, она позволяет значительно снизить количество весов в сравнении с полносвязанной нейронной сетью, её операции легко поддаются распараллеливанию, что положительно сказывается на скорости обучения и на скорости работы, данная архитектура лидирует в области классификации изображений, занимая первые места на соревновании ImageNet. Из-за того, что для сети более важно наличие признака, а не его место на изображении, она инвариантна к различным сдвигам и поворотам сканируемого изображения.

К недостаткам данной архитектуры можно отнести следующие: состав сети (количество её слоёв, функция активации, размерность свёрток, размерность pooling-слоёв, очередность слоёв и т.п.) необходимо подбирать эмпирически к определённому размеру и виду
изображения; сложность обучения: нейросети с хорошим показателем ошибки должны тренироваться на мощных GPU долгое время; и, наверное, главный недостаток – атаки на данные нейросети. Инженеры Google в 2015 году показали, что к картинке можно подмешать невидимый для человеческого зрения градиент, который приведёт к неправильной классификации.

Помогите решить / разобраться (Ф)

Тогда тем более непонятно, почему люди зануляют , по идее ведь тогда и занулится. Где можно подробно почитать про майорановский фермион, в особенности про то, как строится его лагранжиан? Двухкомпонентные спиноры и , из которых строится Лагранжиан

не зануляются, да и не могут занулиться, если сохраняется пространственная инверсия (см. ответ выше), которая переводит один спинор в другой и оставляет инвариантным Лагранжиан. В безмассовом режиме зануляются компоненты 4-спиноров и из которых строится решение уравнений движения свободной частицы. Причем зануляются эти компоненты хитро: например, в остается только правовинтовая часть, а в --- левовинтовая часть, так что опять нельзя избавиться от либо той, либо другой. При квантовании все это отражается на спиральности частиц и античастиц.

Где можно подробно почитать про майорановский фермион, в особенности про то, как строится его лагранжиан?

Выше я написал что такое майорановский фермион. Если взять уравнения движения, получающиеся из вышенаписанного Лагранжиана и заменить на (который преобразуется по тому же представлению группы Лоренца), то получим
плюс аналогичное комплексно споряженное уравнение.
Применяя к обеим частям , получим уравнения Клейна--Гордона для :
.
Таким образом, мы получили массовый член, содержащий только . Он называется майорановским. Теперь удобно ввести четырехкомпонентный спинор . Тогда уравнения движения можно переписать в виде подобном уравнению Дирака:
(здесь должна быть перечеркнутой, но здешний TeX \slashed почему-то не хавает)
Казалось бы, это уравнение можно вывести из дираковского Лагранжиана, заменив всюду на . Но здесь возникает одна тонкость. А именно:

если считать вейлевское поле обычными (коммутирующими) комплексными числами, то правая часть уравнения выше (в компонентах)

обращается тождественно в нуль ( антисимметрична по ). Так что уже в классическом действии, еще до процедуры квантования, мы должны считать вейлевское поле антикоммутирующим. Здравствуйте, грассмановы числа!

Дальше можно почитать Langacker, The Standard Model and Beyond.

Устройство для коррекции изображений — PatentDB.ru

Устройство для коррекции изображений

Иллюстрации

Показать все

Реферат

 

Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике и может быть использовано в системах обработки изображения. Цель изобретения - расширение области применения устройства за счет возможности устранения дефектов изображения в виде белых пятен и разрывов линейных элементов изображения - достигается введением шести блоков сжатия, трех блоков фильтрации и блока задания кодов, что позволяет удалять на изображении шумы, искажающие границы изображения. 5 ил.

СОЮЗ СОВЕТСКИХ

СОЦИАЛИСТИЧЕСНИХ

РЕСПУБЛИН (19) ИИ

44 А1 (51)5 6 06 К 9 00

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ

ПО ИЗОБРЕТЕНИЯМ И ОТКРЫТИЯМ

ПРИ ГКНТ СССР (21) 4154618/24-24 (22) 01 ° 12 ° 86 (46) 07.08.90. Бюл. № 29 (71) Пензенский политехнический институт (72) A.Ë. Држевецкий, P.À. Абульханов, С.Т. Баканов и А.Б. Левин (53) 681.327.12(088.8) (56) Авторское свидетельство СССР № 1059585, кл. С 06 К 9/00, !982.

Авторское свидетельство СССР № 1527646, кл. G 06 К 9/46, 19.09.85. (54) УСТРОЙСТВО ДЛЯ КОРРЕКЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике и может быть использовано для удаления на бинарных.изображениях шума в виде темных и светлых пятен и линий °

Цель изобретения — расширение области применения устройства за счет возможности устранения дефектов изображения в виде белых пятен и разрывов линейных элементов изображения, На фиг. 1 представлена схема устройства; на фиг. 2 — схема блока сжатия, на фиг.3-4 — схемы блока фильтрации и выделения признаков; на фиг. 5 ". схемы, поясняющие работу устройства.

Устройство фиг.l, содержит блок 1 ввода иэображения, первый блок 2 сжатия, блок 3 задания кодов, второй блок 4 сжатия, первый блок 5 фильтрации, второй элемент 6 задержки, второй блок 7 фильтрации третий 8 и четвертый 9 блоки сжатий, первый блок 10

2 (57) Изобретение относится к автоматике и вычислительной технике и может быть использовано в системах обработки изображения. Цель изобретения— расширение области применения устройства sa счет воэможности устранения дефектов изображения в виде белых пятен и разрывов линейных элементов иэображения — достигается введением шести блоков сжатия, трех блоков фильтрации и блока задания кодов, что позволяет удалять на изображении шумы, искажающие границы изображения.

5 ил. выделения признаков, первый элемент

И 11, первый элемент 12 задержки,третий блок 13 фильтрации, пятый 14 и шестой 15 блоки сжатия, второй блок 16 выделения признаков, второй элемент

И 17, третий элемент 18 задержки, элемент ИЛИ 19, блок 20 вывода иэображения, блок 21 синхронизации.

Блок сжатия (фиг.2) содержит два коммутатора .22, блок 23 задержек, сумматор 24, две схемы 25 и 26 сравнения, третий элемент И 27 и первый элемент НЕ 28.

Блок. фильтрации (фиг,3) содержит второй. элемент НЕ 29, четвертый элемент И 30, второй 31 и третий 32 элементы ИЛИ, третий элемент НЕ 33.

Блок выделения признаков (фиг.4) содержит четвертый элемент НЕ 34, четвертый 35, пятый 36 и шестой 37 элементы задержки, два логических узла 38, причем в первом блоке 10 (фиг.1) .выделения признаков элемен1583944 ты 35 и 37 имеют задержку на и так" тов, элемент 36 - на п(ш«2) тактов, соответственно, во .втором блоке 16 выделения признаков элементы 35 и 32 имеют задержку на один такт, а элемент .36 задержки — íà (m-2) тактов.

На выходе каждого логического узла 38 формируется сигнал, определяемый выражением . 7= Х1 Х2 ХЗ.

Алгоритм работы устройства заключается в следующем. Дпя удаления шума и на бинарном изображении,. состоящем из горизонтальных и вертикальных линий, для ликвидации белых пятен на изображении и разрывов линий, размер которых в вертикальном-и горизонтальном направлениях не превышает определенного размера, и для удаления шумов, искажающих грайицы изображений, сначала формируют две матрицы вертикали с;„) и горизонтали Ь;„), затем происходит логическое сложейие откорректированных матриц, затем взаимная коррекция этих матриц, в результате чего получают откорректированное исходное йзображение. В процессе формирования матриц происходит удаление белых пятен.и разрывов, размер которых в вертикальном и горизонтальном направлениях не превышает величину ш. (где F- число отсчетов иэображения в вертикальном и горизонтальном направлениях, (cmi В связи с этим при формировании матриц вертикали после сжатия исходного изображения, которое определяется выражением (J) (|) где О,m; (0)

В(1 =а11 1 (mi

11 ij 11ij э восстановление элементов матриц вертикали, происходящее путем растяжежения в вертикальном направлении, достигается выполненем ш — кратной рекурентной операции (01 (0-11

С(LJ Р;,, (2)

К. 1 е где t. О,ш; (0) с (=Р; (Оъ!

P — корректирующая функция вер(( тикали, с вводом которой происходит ликвидация белых дятен и разрывов линий иэображения, размер которых в вертикальном направлении не превышает величины m-f ° определяется выражением

10 (5) г;1 =g,",- 0 (g, A Ь, ), (6) (Щ где g(определяется .из выражения (4)

45 при условии, что й=О, ; ш> .

После таких преобразований в матрицах горизонтали и вертикали отсутствуют элементы линий произвольной ориентации, темных пятен, размер ко50 торых в вертикальном и горизонтальном направлениях не превышает m отсчетов,и элементов светлых пятен на изображении или разрывов линий изображений, размер которых в вертикаль-.

55 нсм и горизонтальном направлениях не превышает m-f отстветов.

Устройство работает следующим образом. ((1 где В определяется из выраже- . ния (1) при условии, что й* О, ; m>g.

Аналогичным образом формируется матрица горизонтали, которая образу" ется из матрицы исходного изображения, в котором элементы, не удовлетворяющие m-кратному сжатию в соответ ствии с выражением (4) — Е - Ч.е °

2О где ГО ш; (о) я; =а; (в)

gij j эануляются, а затем происходит восстановление элементов матрицы путем растяжения в горизонтальном направлении, что выполняется m-кратной рекурентной операцией (Ц о 6(t !J

h j 0 г;1

8=1 где t=O,m; (0(h;> =r;J, (в)

Ь;;*Ь;;;

35 r — корректирующая функция roJ ризонтали, с вводом которой происходит ликвидация белых пятен и разрывов линий иэображения, размер которых в горизонтальном направлении не превы4О шает величьыы ш-, определяется выра- жением

Исходное иэображение с выхода блока ввода изображения подается на вход блока 2 сжатия, в котором дважды для t 0,m t 0,$ реализуется фекурентное выражение (1). Значение m определяет минимальный размер по строке полезного изображения или его элемента и задается к-разрядным кодом С "С, поступающим с блока 3.

Величина m- (характеризует, размер удаляемого разрыва линии по строке или размер белого пятна в том же направлении, причем m>P. Значение задается к-разрядным кодом А -А поa g 1 ступающим с блока 3 задания кодов, в котором также формируется нулевой к-разрядный код ВО-В1,, необходимый для обеспечения работы блоков 4,9,15 сжатия в режиме растяжения.

Операции сжатия и растяжения матриц вертикали и горизонтали осуществляются одинаковыми блоками сжатия: сжатие по вертикали блоки 2 и 8, по горизонтали блок 14; растяжение 2 по вертикали блоки 4 и 9, по горизонтали блок 15. Разница заключается в режимах работы. Блок 8 работает аналогично блоку 2, реализуя выражение (1) для

1583944

35

t=0 m- t=0

Результаты этих преобразований поступают на входы блока 7, на третий вход которого поступает сигнал растяжения с второго выхода блока 9, который работает в режиме растяжения, реализуя выражение (2). В блоке 7 реализуется соотношение (3), результат которого гредставляет полностью откорректированную матрицу вертикали, которая подается на вход элемента ИЛИ 19 для логического сложения сполностью откорректированной матрицей горизонтали, поступающей на другой вход элемента ИЛИ 19. Блок

14 производит реализацию выражения (4), выполняя операцию сжатия для двух значений

t=ОЩ3 =О ° E.

Блок 15, рабо тающий в режиме растяжения, реализует соотношение (5), результат которого поступает на блок

13 фильтрации, выполняющий соотноше.ние (6), результат которого представляет полностью откорректирован" ную матрицу горизонтали, которая подается на вход элемента ИЛИ 19.

Сигналы с выхода блока 1 поступают также на вход элемента 12 задержки на ш тактов, далее на элемент 6

5 задержки на ш ш тактов и два входа блока 14 сжатия, работающего в режи" ме сжатия. С выхода элемента б сигнал поступает на два входа блока 8, работающего в режиме сжатия, в котором одновременно (дважды для t=0,ш и t=0,$) подвергается преобразованию в соответствии с рекурентным соотношением (1), причем значения параметров m и (задаются кодами

С -С kи Ао А1,, поступающими с бло.ка 3. С выходов блока 8 сигналы двух изображений поступают на входы блока 7, на третий вход которого подается сигнал с выхода блока 9, работаю20 щего в режиме растяжения и выполняющего преобразование в соответствии с рекурентным соотношением (2). Блок

7 осуществляет реализацию соотношения (3) и формирует сигнал зануления

5 определенных элементов матрицы вертикали. Результат преобразования (2) с выхода блока 9, пройдя через элемент ИЛИ 32 блока 7, выделяется в виде сигнала Yl и одновременно с по0 ступлением на третий вход блока 9 поступает на один из входов элемента ИЛИ 19. Сигнал исходного изображения с выхода элемента 12 задержки поступает на вход блока.14, работающего в режиме сжатия, где он,i дважды для t=O,m и t=0, (подвергается преобразованию в соответствии с соотношением (4). С выходов блока 14 сигнал двух преобразований поступает на два входа блока 13, на третий вход которого подается сигнал с выхода блока

15, работающего в режиме растяжения, и выполняется преобразование (5) °

В блоке 13 реализуется соотношение (6)и формируется сигнал зануления У2 определенных элементов матрицы горизонтали.

Зануление элементов матрицы горизонтали осуществляется в блоке 8

О подачей нулевого сигнала коррекции с второго выхода блока 10 выделения признаков, а зануление элементов матрицы вертикали, находящихся выше элементов матрицы горизонтали, осуществляется в блоке 9 подачей нулевого сигнала коррекции с выхода элемента И ll который формируется на основании сигнала, выдаваемого с пер" вого выхода блока .!О выдслення прнзна44

7 15839 с ков, Восстановление элементов матрицы, вертикали, характеризующих корректируемые светлые пятна на исходном иэображении, осуществляется в блоке 7.

Аналогично эануление элементов матрицы горизонтали, находящихся левее элементов матрицы вертикали, осуществляется в блоке 14 подачей нулевого сигнала коррекции с выхода блока 16 выделение признаков, Зануление элементов матриц горизонтали, находящихся правее элементов матриц вертикали, осуществляется в блоке 15 подачей нулевого сигнала коррекции с вы-. 5 хода элемента И 17, который формируется сигналом, подаваемым с первого выхода блока 16 выделения признаков. Восстановление элементов матрицы горизонтали, характеризующих корректируемые светлые пятна на исходном изображении или разрывы линий, осуществляется в блоке 13.

Формула изобретения 25

Устройство для коррекции изображений, содержащее блок ввода изображения, выход которого соединен с входом первого элемента задержки, выход которого соединен с входом второго элемента. задержки, третий элемент задержки, выход которого соединен с первым входом элемента ИЛИ, выход которого соединен с информационным входом блока вывода изображений, первый и второй блоки выделения признаков, блок синхронизации, выход которого соединен с тактирующими входами блока ввода изображений, блока вы- 40 вода изображения, третьего блока задержки, первого и второго блоков выделения признаков, первый и второй элементы И, о т л и ч а ю щ е е с я тем, что, с целью расширения области 45 применения устройства .за счет возможности устранения дефектов иэображения в виде белых пятен и разрывов линейных элементов изображения, в него введены шесть блоков сжатия, три блока фильтрации и блок задания кодов, вход которого является управляющим входом устройства, первый выход блока задания кодов соединен с первыми управляющими входами первого, тре15 тьего и пятого блоков сжатия, второй выход соединен с первыми управляющими входами второго,.четвертого и шестого блоков сжатия, третий выход соединен с вторыми управляющими входами первого - шестогб блоков сжатия, выход блока ввода изображения соединен с первым и вторым информационными входами первого блока сжатия, тактовые входы первого - шестого блоков сжатия соединены с выходом блока синхронизации, первый и второй выходы первого, третьего и пятого блоков сжатия соединены с первым и вторым информационными входами первого второго и третьего блоков фильтрации, первый и второй выходы которых соединены с вторым и третьим информационными входами второго, четвертого и шесто-. го блоков сжатия соответственно, первый информационный вход второго блока сжатия соединен с его первым выходом, первый информационный вход четвертого блока сжатия соединен с выходом первого элемента И, первый . вход которого соединен с первым выходом четвертого блока сжатия, а второй вход — с первым выходом первого блока выделения признаков, выход второго элемента задержки соединен с первым и вторым информационными входами третьего блока сжатия, третий информационный вход которого соединен с вторым выходом первого блока выделения признаков, первый и второй информационные входы пятого блока сжатия соединены с выходом первого элемента задержки, а третий информационный вход соединен с вторым выходом второго блока выделения признаков, первый выход которого соединен с первым входом второго элемента И, пер.— вый вход которого соединен с первым выходом шестого блока сжатия, а вы.ход соединен с первым информационным входом шестого блока сжатия, вторые выходы второго, четвертого и шестого блоков сжатия соединены с управляющими входами первого — третьего блоков фильтрации соответственно, второй выход второго блока фильтрации соединен с первым;=.íôîðмационным входом первого блока выделения признаков, второй информационный вход первого блока выделения признаков и вход третьего элемента задержки соединены с первым выходом третьего блока фильтрации, первый информационный вход. второго блока выделения признаков соединен с вторым выходом третьего блока фильтрации, второй информационный вход которого

1583944

: соединен с первым выходомпервого блока фильтрации, второйвход элементаИЛИ соединен с пер вым выходом в торо го блока фильтрации.

1583944 водное изМра ååèå

Обрабатаннае щображение

Фиг. 5

Составитель А. Глотов

Редактор И. Шулла Техред Jl.Ñåðäþêîâà Корректор Т. Малец

Заказ 2256 Тираж 565 Подписное

ВНИИПИ Государственного комитета по изобретениям и открытиям при ГКНТ СССР

113035, Иосква, Ж-35, Раушская наб., д. 4/5

Производственно-издательский комбинат "Патент", г. Ужгород, ул, Гагарина, 101

      

Литье выжиманием - Технарь

Процесс выжимания представляется в следующем виде.

В металлоприемник (диффузор) литейной выжимной установки заливается расплавленный металл. Подвижная матрица установки перемещается в сторону неподвижной матрицы с постоянной угловой скоростью. При сближении матриц металл выжимается из металлоприемника и заполняет полость формы между матрицами.

Формирование отливки проходит в две стадии.

Первая стадия — формирование прочных и плотных кристаллизационных корок на стенках матриц в период их заполнения расплавленным металлом.

Вторая стадия—соединение полученных корок в единое целое (в отливку). Скорость сближенияматриц назначается из условий наращивания на их стенках твердых корок, суммарная толщина которых должна быть равна толщине отливки. Наращивание твердых корок на стенках литейной формы происходит в период сближения стенок, т. е. в условиях непрерывного потока металла около кристаллизующихся корок. Это дает возможность использовать гидродинамические параметры потока для регулирования процесса формирования отливки. Поэтому процессом формирования отливки можно легко управлять.

Способ литья выжиманием характеризуется принципиально новыми особенностями:

  • заполнением   литейной   формы   потоком   большого   сечения, что существенно снижает гидродинамические потери при заполнении полости формы,
  • формированием отливки  в условиях  непрерывного течения расплавленного металла при заполнении формы.

Непрерывное течение жидкого  металла   около  кристаллизующихся на стенках формы твердых корок обусловливает высокое качество отливки. При ламинарном режиме течения металла скорость по сечению потока распределяется по параболе. Аналогично распределяется и температура. Это обеспечивает мелкозернистую структуру твердых корок и повышенные механические свойства отливки в целом.

С увеличением скорости течения распределение температуры по сечению потока становится более крутым, и следовательно, кристаллизация корок будет проходить еще более тонкими слоями..

Вместе с тем поток расплавленного металла обеспечивает непрерывное питание  ристаллизующихся слоев металла и заполняет межкристаллизационные усадочные пространстваКроме того, при течении расплавленного металла в силу неоднородности поля скоростей потока создаются условия для дегазации расплава и удаления легких шлаковых включений. Это легко объясняется тем, что частички шлака и пузырей газа всегда отбрасываются в центр потока, в сторону больших скоростей и, следовательно, выжимаются вместе с избытком жидкого металла в конце процесса литья.

Практика литья тонкостенных крупногабаритных деталей способом выжимания показывает полное отсутствие в теле отливок газовых пор.

При литье выжиманием можно управлять процессом формирования поверхности отливки. На зеркале жидкого металла при течении его в установке между матрицами образуется пленка окислов, которая, разрываясь в центре потока, попадает на поверхность форм. На поверхности отливки в результате получаются дефекты в виде заворотов. Если одна из матриц будет холоднее другой, пленка окислов окажется прочнее у холодной поверхности, и поток жидкого металла разорвет пленку у горячей стенки. В этом случае пленка попадает только на одну поверхность отливки, другая будет совершенно чистой.

Способ литья выжиманием позволяет заполнять форму почти неограниченных размеров и получать тонкостенные отливки с плотным строением и чистой поверхностью. Указанные особенности этого способа открывают широкие перспективы его развития.

Скорость течения металла

Одним из важнейших условий освоения нового процесса литья является знание основных физических параметров потока жидкого металла — скорости и давления.

Знание законов изменения скорости подъема металла при выжимании, распределения давления металла по высоте отливки, а также максимального усилия закрытия матриц и допустимой угловой скорости движения подвижной матрицы необходимо для ведения процесса литья и проектирования новых установок.

Оборудование

Первая опытная литейно-выжимная установка была спроектирована для литья тонкостенных деталей панельного типа размером 800 X 800 мм.

Установка состоит из двух ребренных чугунных плит — матриц, одна из которых установлена под углом 70° и является неподвижной. Вторая плита жестко соединена с пустотелой трубой и может поворачиваться вместе с ней относительно оси трубы. Как труба, так и обе матрицы имеют систему электронагревателей (спирального типа) для подогрева их до необходимой для нормального процесса температуры.

С боков неподвижной матрицы крепятся две массивные чугунные щеки, между которыми перемещается подвижная матрица. На подвижной матрице закреплен вкладыш, формующий гладкую сторону отливки, на неподвижной матрице устанавливается песчаный стержень, формующий сребренную сторону отливки.

Определение нулевой матрицы

Нулевая матрица

Что такое нулевая матрица?

Вспомните из нашего урока по записи матриц, что матрица - это упорядоченный список чисел, заключенный в прямоугольную скобку. Для нулевой матрицы все упрощается, поскольку вам действительно не нужно беспокоиться о числах, содержащихся в прямоугольном массиве этой нотации, как и говорит название, есть только одно число, которое может содержаться внутри этих матриц, поскольку все его записи.

Таким образом, нулевая матрица - это матрица любых размеров, в которой все элементы элементов равны нулю.С математической точки зрения нулевую матрицу можно представить выражением:

Уравнение 1: Математическое выражение для нулевой матрицы размеров mxn

Где m представляет количество строк, а n количество столбцов, содержащихся в матрице. Следовательно, если мы должны записать нулевые матрицы разных размеров, нам просто нужно определить m и n в каждом случае и заполнить все записи внутри скобок матриц нулями.

Примеры нулевых матриц можно увидеть ниже:

Уравнение 2: Примеры нулевых матриц различных размеров

Из приведенных выше примеров нотации нулевой матрицы обратите внимание, что эти матрицы могут иметь любой размер и комбинацию измерений, и они не обязательно являются квадратными матрицами.Таким образом, у вас может быть нулевая матрица с любым количеством строк или столбцов, но помните, что для любого заданного размера можно получить только одну нулевую матрицу (что имеет смысл, поскольку есть только один способ иметь все нули в качестве записей в матрица определенного размера или размерной комбинации).

Не путайте нулевую матрицу с тем, что люди могут назвать «нулевой диагональной матрицей». Такая нулевая диагональная матрица обычно относится к полой матрице, где все диагональные элементы внутри нее равны нулю, а остальные ее элементы могут быть любым числом.Сходство между обычной нулевой матрицей и пустой матрицей происходит от их следа (сложения элементов на их диагоналях), поскольку у обоих есть все нулевые элементы, которые нужно добавить, чтобы получить след, равный нулю. Таким образом, оба этих типа матриц представляют собой то, что мы называем матрицей нулевого следа.

Важные примечания о нулевой матрице

После того, как мы изучили определение нулевой матрицы, давайте поговорим о некоторых особых характеристиках этой матрицы.

  • Каков ранг нулевой матрицы?
    Помните, что ранг матрицы соответствует максимальному количеству линейно независимых столбцов внутри матрицы. Мы можем определить ранг матрицы, вычислив ее форму эшелона строк, а затем подсчитав левые ненулевые строки, цель которых состоит в том, чтобы найти размерность векторного пространства для рассматриваемой матрицы.
    Итак, если мы говорим о разрешимой системе линейных уравнений, преобразованной в матричную запись, определение ранга такой матрицы позволяет нам увидеть максимальное количество независимых переменных и, таким образом, размерные плоскости, для которых система может быть представлена ​​графически.
    Как же тогда получить это для нулевой матрицы? Для этого нам сначала нужно спросить себя, являются ли векторы внутри нулевой матрицы линейно независимыми друг от друга? Не совсем, все они одинаковые и все нулевые векторы. Так случилось ли, что они представляют собой какую-либо плоскость измерения? Нет. Можете ли вы на самом деле свести его к форме эшелона строк? Нет. Таким образом, если задуматься, нулевая матрица содержит нулевое количество линейно независимых столбцов и нулевое количество ненулевых строк, поэтому наш окончательный вывод состоит в том, что ранг нулевой матрицы должен быть равен нулю.
    Если вы подумаете об этой идее более глубоко, вы поймете, что любая ненулевая матрица не может иметь ранг меньше единицы, другими словами, чтобы любая матрица имела ранг нуля, она должна содержать все нулевые элементы внутри, Итак, мы пришли к выводу, что только нулевые матрицы имеют нулевой ранг.
  • Обратима ли нулевая матрица?
    Для практических целей мы оставим полное объяснение того, как узнать, является ли матрица обратимой или нет, и как инвертировать те, которые для наших следующих уроков будут говорить об обратимой матрице 2x2.А пока прямо скажем, что нулевая матрица необратима.
    Есть несколько правил, которые могут доказать это, например, ее определитель равен нулю, а если матрица квадратная, то ее ранг меньше ее размеров. Опять же, мы поговорим об этом немного больше в наших следующих уроках об инвертировании матриц. Но давайте задумаемся над этой идеей на минуту: если мы упомянули ранее, что для любой матрицы определенного размера или размеров существует только одна конфигурация, в которой все ее элементы равны нулю, поэтому не может быть другого способа, которым вы можете переставить нули, чтобы получить обратную матрицу тех же размеров.Если все записи одинаковы, матрица будет точно такой же, нет «обратного» или «противоположного» от этого.
  • Можно ли диагонализовать нулевую матрицу?
    Мы все еще немного далеки от нашего урока по диагонализации, но пока мы можем сказать, что да, нулевая матрица диагонализуема, поскольку ее нулевые элементы могут легко содержать линейно независимые собственные векторы. Подробнее о диагонализации в последующих уроках.

Пустое пространство нулевой матрицы

Поскольку нулевая матрица - это небольшая и конкретная концепция, которую можно использовать во многих наших уроках линейной алгебры, теперь мы вынуждены еще раз вернуться к теме более позднего урока: нулевое пространство матрицы.

Давайте еще раз упростим и скажем, что для того, чтобы вектор был частью нулевого пространства матрицы, умножение такой матрицы на упомянутый вектор должно приводить к нулевому вектору, таким образом давая "нулевой" результат.
Если наша рассматриваемая матрица представляет собой матрицу с именем A, которая умножается на вектор u, мы говорим, что u находится в нулевом пространстве A, если выполняется следующее условие:
Уравнение 3: Условие для того, чтобы вектор u был частью нулевого пространства A

Если мы возьмем то, что мы знаем из наших уроков о представлении линейной системы в виде матрицы и матричного уравнения Ax = b, мы можем заметить, что при таком умножении умножаемый вектор фактически представляет собой набор решений, заданных однородной системой.

Теперь, как это можно применить к нулевой матрице?
Ну, любая нулевая матрица, умноженная на вектор, будет иметь в результате нулевой вектор. То есть, если размеры матрицы и вектора соответствуют правилам умножения матриц, другими словами, если умножение может быть определено, то результатом обязательно будет нулевой вектор.
Причина этого в том, что, учитывая, что нулевая матрица содержит только нулевые элементы, любая запись, умноженная на любой элемент в векторе, приведет к нулевому компоненту, который будет частью результирующего вектора.Итак, условие для нулевого пространства выполнено, и это приводит нас к чему-то важному, о котором мы до сих пор не упоминали: нулевая матрица - это то, что мы называем нулевой матрицей, и это можно ясно увидеть, следуя процессу, описанному выше, поскольку нет независимо от того, какой вектор к нему умножается, результат всегда будет содержать только нулевые элементы.

Сложение, вычитание и скалярное умножение нулевой матрицы

В этом разделе мы сосредоточимся на демонстрации примеров операций либо с нулевыми матрицами внутри, над которыми работают, либо с проблемами, приводящими к решениям с нулевыми матрицами.Для этого давайте сразу перейдем к примерам упражнений:

Пример 1

Начнем с добавления, содержащего нулевую матрицу. Это довольно простая операция, поэтому давайте начнем с добавления следующего вида:

Уравнение 4: Сложение с нулевой матрицей Чтобы решить эту проблему, мы просто добавляем все соответствующие элементы в обе матрицы, чтобы получить результирующую матрицу (которая имеет те же размеры, что и те, из которых она происходит). Итак, результат выглядит так: Уравнение 5: Решение сложения с нулевой матрицей Этот первый пример задачи показывает нам важное свойство нулевой матрицы: когда нулевая матрица либо добавляется, либо вычитается из другой матрицы с такими же размерами, эта матрица остается неизменной и равна результату операции.
Пример 2
Чтобы продолжить наш следующий пример, мы работаем над вычитанием матриц, где нулевая матрица вычитается из другой матрицы равного размера. Уравнение 6: вычитание с нулевой матрицей Операция следует тем же принципам, что и сложение в примере 1. Таким образом, решая эту операцию, мы получаем: Уравнение 7: Решение вычитания с нулевой матрицей Как мы уже упоминали в нашем уроке о сложении и вычитании матриц, хотя сложение матриц является коммутативным (вы можете изменить порядок матриц, и результат не изменится), вычитания матриц нет, и это хорошо видно на этом примере.
Если бы у вас была нулевая матрица справа от знака минус в уравнении 6, то результат был бы равен другой матрице, участвующей в операции. Но поскольку нулевая матрица была первой, результат операции оказывается отрицательным по сравнению с ненулевой матрицей.
Пример 3
В этом примере мы добавляем следующие две следующие матрицы: Уравнение 8: сложение противоположных матриц Заметили что-то особенное из приведенных выше матриц? Они представляют собой отрицательные матрицы друг друга, или, другими словами, если вы возьмете первую матрицу и умножите ее на отрицательную, вы получите вторую матрицу.Следовательно, эта конкретная операция эквивалентна вычитанию матрицы из самой себя. Чтобы показать это, давайте определим первую матрицу как A: Уравнение 9: Матрица A Затем мы записываем эквивалентную операцию, которую мы объяснили минуту назад: Уравнение 10: Преобразование сложения матриц в вычитание Обратите внимание, что скалярное умножение минус один на A было упрощено, чтобы просто записать его как вычитание двух матриц, которые к настоящему времени обе являются A, и поэтому то, что мы имеем в уравнении 10, можно просто записать как: A - A что, очевидно, имеет нулевой результат.Но поскольку здесь речь идет не только о числах, а о матрицах, нулевой результат должен быть массивом тех же размеров, что и A, и поэтому: Уравнение 11: вычитание самой матрицы Обратите внимание, что субиндексы в правой части уравнения обозначают размеры нулевой матрицы, что означает, что результирующая нулевая матрица должна иметь «m из A» (такое же количество строк, что и A) и «N из A». "(такое же количество столбцов, как у A). Давайте получим результат двумя разными способами: добавлением исходной матрицы, показанным в уравнении 8, и вычитанием матрицы, найденным в конце уравнения 10, чтобы показать, как мы получим тот же результат: нулевую матрицу, чтобы доказать уравнение 11.Уравнение 12: Окончательное решение, полученное двумя разными способами Вывод из этой проблемы состоит в том, что всякий раз, когда вы вычитаете матрицу из самой себя, вы получаете нулевую матрицу с теми же размерами, что и ваши исходные матрицы. Пример 4
В этом примере мы увидим вычитание двух равных матриц, которые оказываются векторами-столбцами. Уравнение 13: вычитание двух равных векторов-столбцов Здесь снова используется принцип, объясненный в предыдущем упражнении: при вычитании двух равных матриц (которые в данном случае оказываются двумя векторами-столбцами, поскольку каждая из матриц состоит только из одного столбца), результатом является нулевая матрица того же размера. как оригинальные: Уравнение 14: Решение вычитания двух равных векторов-столбцов Пример 5
Вычислите следующее скалярное умножение матрицы: Уравнение 15: Скалярное умножение матрицы на ноль В этом конкретном случае должно быть ясно, что результат будет равен нулю, поскольку все, что вы умножаете на ноль, приведет к нулю.Интересная часть здесь исходит из того факта, что вы умножаете матрицу, и поэтому каждый элемент будет умножен на скаляр снаружи, в данном случае ноль, и что произойдет, вместо того, чтобы получить просто ноль в результате, это умножение даст матрицу, в которой все ее элементы равны нулю, и, таким образом, результатом будет нулевая матрица: Уравнение 16: Результат скалярного умножения матрицы на ноль Что также можно записать как: Уравнение 17: нулевая матрица с размерами 3 x 2 Пример 6
Вычислить следующее скалярное умножение, содержащее нулевую матрицу Уравнение 18: Скалярное умножение нулевой матрицы Как и в случае с прошлыми проблемами, мы можем интуитивно записать ответ в виде нулевой матрицы, поскольку каждый элемент в матрице равен нулю, не имеет значения, умножаете ли вы на них любой другой скаляр, результат всегда будет равен нулю в каждом дело.Чтобы расширить операцию, вот как это происходит: Уравнение 19: Результат скалярного умножения нулевой матрицы Пример 7
Давайте изменим режим наших задач, теперь вам предоставлены матрицы, показанные ниже: Уравнение 20: матрицы B и 0 Имея это в виду, верны ли следующие матричные уравнения? Если нет, поправьте их.
  1. B + 0 = B
    Этот случай соответствует тому, что мы видели в примере 1: наличие двух матриц с одинаковыми размерами, одна из них нулевая матрица, а другая ненулевая матрица, когда вы складываете их вместе, результат равна ненулевой матрице, поскольку нулевая матрица ничего не вносит при добавлении каждого соответствующего элемента в две матрицы, участвующие в операции.Следовательно, это выражение ПРАВИЛЬНО.
  2. 0 - B = B
    В этом случае мы можем взглянуть на пример 2 и понять, что это выражение НЕПРАВИЛЬНО. При вычитании матрицы из нулевой матрицы той же размерности результат равен отрицательному значению ненулевой матрицы.
    Следовательно, правильным выражением будет 0 - B = -B
  3. B - B = 0
    Это выражение ПРАВИЛЬНО и соответствует тому, что мы видели в примерах 3 и 4: если вы вычтете матрицу сама по себе, это приведет к записи путем вычитания числа само по себе, и, таким образом, получится матрица в котором все его входные элементы будут равны нулю (нулевая матрица 0).
  4. 0 + 0 = B
    Вышеприведенное выражение НЕПРАВИЛЬНО. При добавлении нуля плюс ноль результат всегда равен нулю. Это случай для каждого элемента результирующей матрицы при добавлении нулевой матрицы и другой равной нулевой матрицы, результатом будет равная нулевая матрица. Таким образом, правильное выражение: 0 + 0 = 0.
  5. 0 ⋅ \ cdot⋅ B = 0
    Это выражение ПРАВИЛЬНО. Результатом умножения каждого элемента на элемент в результате этой операции будет ноль, в результате чего получится матрица с нулевыми элементами, то есть нулевая матрица 0.
  6. B ⋅ \ cdot⋅ 0 = 0
    Как и в случае e), это выражение ПРАВИЛЬНО, поскольку каждый соответствующий элемент из ненулевой матрицы будет умножен на ноль из нулевой матрицы.
Случаи e) и f) приводят к важному выводу: умножение матриц не коммутативно, если одна из двух матриц не является нулевой матрицей. Независимо от того, в каком порядке вы умножаете элементы каждой матрицы, одна из них имеет все нулевые элементы, производящие умножения, которые все приводят к нулю.
Как упоминалось ранее, нулевая матрица - это очень конкретная концепция, поэтому на этом уроке действительно нечего сказать о ней, но это не значит, что она не будет использоваться во многих областях линейной алгебры. Так же, как число ноль в математике, нулевая матрица предоставляет нам представление нулевого пространства, которое мы все еще можем охарактеризовать, другими словами, она может содержать нулевые элементы, но ее качества остаются там, чтобы использовать их по нашему усмотрению с другими матрицами.
Чтобы завершить наш урок, мы просто предоставим две дополнительные ссылки на случай, если вы захотите посетить их и посмотреть, как они определяют нулевую матрицу, и предоставим простой пример добавления с нулевой матрицей.На сегодня все, до встречи на следующем уроке!

Нулевая матрица - обзор

5.2 Статистический вывод для RSS

Предположим, что общее количество n единиц должно быть измерено из базовой совокупности по интересующей переменной. Пусть n наборов единиц, каждый размером k, случайным образом выбирается из совокупности с использованием метода простой случайной выборки (SRS). Единицы каждого набора ранжируются любым способом, кроме фактического количественного определения переменной. Наконец, по переменной измеряется одна единица в каждом упорядоченном наборе с заранее заданным рангом.Пусть mr будет количеством измерений на блоках ранга r, r = 1,…, k, таких, что n = ∑r = 1kmr. Пусть X (r) j обозначает измерение на j-й единице измерения с рангом r. Это приводит к URSS размера n из основной популяции как {X (r) j; r = 1,…, k, j = 1,…, mr}. Когда mr = m, r = 1,…, k, URSS сводится к сбалансированному RSS. Стоит отметить, что в схемах выборки ранжированных наборов X (1) j,…, X (k) j являются статистикой независимого порядка (поскольку они получены из независимых наборов), и каждый X (r) j предоставляет информацию о различных слой населения.Структуру URSS можно представить следующим образом:

Xr = {X (r) 1, X (r) 2,…, X (r) mr} ~ iidF (r), r = 1,…, k1,

где F (r) - функция распределения (df) статистики r-го порядка. Второй образец может быть создан с использованием той же процедуры. Мы предполагаем, что вторая выборка сгенерирована с использованием k2, которое может отличаться от k = k1

Yr = {Y (r) 1, Y (r) 2,…, Y (r) mr} ~ iidG (r), r = 1,…, к2.

Интересно проверить H0: F (x) = dG (x − Δ). В частности, нас интересует нулевая гипотеза H0: μx = μy + Δ по сравнению с H0: μx ≠ μy + Δ.Обычно используются два выборочных теста, чтобы определить, происходят ли образцы из одного и того же неизвестного распределения. В нашей настройке мы предполагаем, что X и Y собраны с разными размерами рангов. Следовательно, даже при одних и тех же родительских распределениях дисперсия оценки не будет одинаковой.

Следующее предложение может быть использовано для установления асимптотической нормальности статистики при нулевой гипотезе.

Предложение 1

Пусть F обозначает cdf члена семейства с ∫x2dF (x) <∞ и Fˆ (r) - эмпирическая функция распределения (edf) r-й строки. .Если ϑi = (X¯ (i) −μ (i)) , то (ϑ1,…, ϑk) сходится по распределению к многомерному нормальному распределению с нулевым средним вектором и ковариационной матрицей diag (σ (1) 2 / m1,…, σ (k) 2 / mk) , где σ (i) 2 = ∫ (x − μ (i)) 2dF (i) (x) и μ (i) = ∫xdF ( i) (x).

Предложение 1 предлагает следующую статистику для тестирования H0: µ = µ0,

Z = 1k∑r = 1kX¯ (r) −µ0σˆ → dN (0,1),

где σˆ2 - оценка плагина для V (1k∑r = 1kX¯ (r)),

σˆ2 = 1k2∑r = 1kσˆ (r) 2mr,

и σ (r) 2 - оценка V (X¯ (r)).Используя центральную предельную теорему, получаем доверительный интервал, где

P (μ∈ (X¯ + tα / 2, n − 1σn, X¯ + t1 − α / 2, n − 1σn)) ≈1 − α.

Для оценки дисперсии среднего требуется σ (r) 2. Следовательно, необходимо, чтобы mr≥2. Оценка дисперсии для небольших размеров выборки была бы очень неточной, из чего можно было бы предположить, что основная статистика может быть ненадежной. В разделе 5.4 мы покажем, что параметрическая статистика очень консервативна. Bootstrap предоставляет непараметрическую альтернативу для оценки дисперсии.Метод начальной загрузки может использоваться для получения выборочного распределения интересующей статистики и позволяет оценить стандартную ошибку любого четко определенного функционала. Следовательно, бутстрап позволяет нам делать выводы, когда точное или асимптотическое распределение интересующей статистики недоступно. Процедура генерации повторной выборки для вычисления дисперсии обсуждается в разделе 5.3.

Утверждение 1 можно использовать для получения тестовой статистики для двух выборок {X1,…, Xk1} и {Y1,…, Yk2}.Можно показать, что

T (X, Y) = (1k1∑r = 1k1X¯ (r) −1k2∑r = 1k2Y¯ (r)) - (μ1 − μ2) σˆ → dN (0,1),

, где

σˆ2 = 1k12∑r1 = 1k1σˆ (r1) 2mr1 + 1k22∑r2 = 1k2σˆ (r2) 2mr2.

Мы можем рассмотреть параметрический статистический вывод для асимметричного распределения: пусть X1,…, Xn равны i.i.d. случайная величина со средним значением μ и конечной дисперсией σ2. Поскольку характеристическая функция Sn сходится к e − t2 / 2, характеристическая функция стандартной нормали nSn = n (μ − μ) / σ асимптотически нормально распределена с нулевым средним и единичной дисперсией.Чтобы учесть асимметрию выборки, следующее предложение получает разложение Эджворта для nSn.

Предложение 2

Если EYi6 <∞ и условие Крамера выполняется, асимптотическая функция распределения nSn равна

P (nSn≤x) = Φ (x) + 1nγ (ax2 + b) ϕ (x) + O (n − 1),

где a и b - известные константы, γ - оцениваемая константа, а Φ и ϕ обозначают стандартное нормальное распределение и функции плотности соответственно.

Холл (1992) предложил две функции:

S1 (t) = t + aγˆt2 + 13a2γˆ2t3 + n − 1bγˆ, S2 (t) = (2an − 12γˆ) −1 {exp (2an − 12γˆt) −1} + n − 1bγˆ,

, где a = 1/3 и b = 1/6.Чжоу и Динь (2005) предложили

S3 (t) = t + t2 + 13t3 + n − 1bγˆ.

Используя Si (t), для i = 1,2,3, можно построить новые доверительные интервалы для μ как

(μˆ − Si (n − 1 / 2t1 − α / 2, n − 1) σˆ, μˆ− Si (n − 1 / 2tα / 2, n − 1) σˆ),

где t1 − α / 2, n − 1 - квартиль 1 − α / 2 распределения t. Однако использование асимптотического распределения выборки делает вывод менее надежным, особенно для параметрических методов. Например, асимптотическое распределение критерия вариации зависит от асимметрии.Этот параметр делает вывод о коэффициенте вариации неточным, см. Amiri (2016). Представляет интерес изучить эту проблему, используя полностью непараметрический подход через бутстрап.

Взломать кодовое интервью 1-8 Нулевая матрица (JavaScript)

Давайте поговорим об обнулении строк и столбцов в матрице при обнаружении 0 в сегодняшнем посте о взломе нулевой матрицы в кодовом интервью 1-8.

Всем привет! Надеюсь, у вас была хорошая неделя. Сегодня давайте перейдем прямо к этому и посмотрим на описание проблемы:

Напишите алгоритм так, что если элемент является матрицей MxN, равной нулю, вся его> строка и столбец также будут обнулены.

Хотя эта проблема выглядит обманчиво простой, есть несколько тонкостей, которые нам нужно продумать в рамках нашего подхода.

Обсуждение нашего подхода

Хорошо, давайте начнем с погружения в то, что алгоритм фактически просит нас сделать. Прежде всего нам нужно найти способ найти нули в матрице MxN. Это кажется достаточно простым. В худшем случае мы просто перебираем каждую строку, а затем также перебираем каждый индекс столбца для указанной строки. Итак, две петли. Легкий! ✅

Затем во второй части задачи для каждого нуля, найденного в матрице, нам нужно «обнулить» соответствующую строку и столбец для указанного индекса, мы находим нуль.То, что не означает , заключается в том, что в термине каждый новый 0, который мы генерируем, также обнуляет его соответствующую строку и столбец. В противном случае мы всегда будем иметь нулевую матрицу всякий раз, когда хотя бы один ноль обнаруживается в матрице. 😱

Итак, в псевдокоде мы действительно ищем эту проблему при использовании итеративного подхода:

  // генерируем «логическое» представление матрицы, для которой установлено значение false

// для каждой строки в матрице
// для каждого столбца в строке

// значение этого индекса равно нулю?
// если да, переворачиваем значения в логической матрице на истину для этой строки / столбца

// после завершения цикла вернуть модифицированную матрицу с новыми нулями в зависимости от результата логической матрицы
  

Итак, почему мы должны сначала сгенерировать логическую матрицу и изменить ее, а не просто изменить непосредственно саму матрицу.Ну, например, у нас может быть , два нуля в одной строке. Даже если 1 ноль вызовет обнуление всей строки , мы все равно должны обнулить столбцы, соответствующие всем экземплярам нуля в исходной матрице . Таким образом, в случае использования картографа очень полезно сохранять здравомыслие во время итерации.

Реализация

Реализация этой проблемы неожиданно проста и разбита на несколько функций

  const updateOriginalMatrixWithZeroes = (
  booleanMatrix: boolean [] [],
  матрица: число [] []
) => {
  для (пусть i = 0; i  {
  // для фиксированного столбца установить значение каждой строки в true
  for (let i = 0; i  {
  // для фиксированной строки устанавливаем значение каждого столбца в значение true
  for (let i = 0; i  {
  const booleanMatrix = [];
  let rowMatrix;
  для (пусть i = 0; i  

updateOriginalMatrixWithZeroes () выполняет итерацию по исходной матрице, сравнивая строку за строкой с нашей логической матрицей для каждого столбца, и в основном, если он находит истинное значение, заменяет значение в точке в нашей исходной матрице нулевым значением.

generateBooleanMatrix генерирует карту того, следует ли установить значение в исходной матрице равным нулю или оставить исходное значение. Это то, что изменяется, когда мы просматриваем матрицу, проверяющую нули.

zeroOutRow () для данного номера строки заменит значение в каждом столбце данной строки на нулевое значение. Обратите внимание, что мы всегда начинаем с первого столбца (0-й индекс), потому что мы должны обнулить всю строку независимо от того, где находится ноль, если он был впервые обнаружен в строке.

zeroOutColumn () для заданного номера строки заменит значение в каждой строке заданного столбца нулевым значением. Обратите внимание, что мы всегда начинаем с первой строки (0-й индекс), потому что мы должны обнулить весь столбец, независимо от того, где он находится впервые в столбце.

Наша основная функция setZeroes () сначала проверяет, имеет ли матрица размер 1x1 или меньше. В любом случае нет необходимости выполнять какую-либо работу, потому что нет дополнительных строк / столбцов для изменения.Так что мы просто выходим из функции. После этого мы инициализируем логическую матрицу размера MxN всеми ложными значениями.

После завершения этой настройки мы начинаем итерацию, проверяя каждую запись матрицы на ноль. Если он найден, мы устанавливаем все соответствующие значения строки / столбца, в котором мы находим ноль, на , истинное значение . После того, как мы закончили итерацию по всей матрице, мы вызываем updateOriginalMatrixWithZeroes () , который будет использовать логическую матрицу для обновления значений в исходной матрице на месте до нуля в зависимости от того, истинно ли соответствующее значение в логической матрице.

Анализ сложности

Как минимум наша сложность для этой задачи составляет O (MxN). Это потому, что в конце дня мы должны проверять каждую строку и столбец в матрице на поиск нулей. С точки зрения космической сложности мы проделали довольно плохую работу. Фактически мы создаем вторую матрицу MxN, которая действует как преобразователь. В сценариях с очень большой матрицей (или нехваткой системной памяти) это может занимать лишнее пространство. Так что может быть обходным путем?

Использование самой матрицы, чтобы указать, следует ли обнулять ее.

Оказывается, есть довольно умный способ избавиться от необходимости в полностью отдельной матрице слежения. Вспомните, если мы когда-нибудь найдем ноль, вся соответствующая строка и столбец для этого индекса должны быть обнулены. Это означает, что в определенный момент независимо от того, какие значения находятся в каждой строке / столбце в конце алгоритма, они будут уничтожены. Другими словами, что, если мы просто используем часть матрицы для хранения, где нужно обнулить остаток строки / столбца? Запутались? 🤔 Давайте сделаем небольшой пример.

Допустим, у нас есть матрица

1 | 0 | 1

0 | 1 | 1

1 | 1 | 1

Что мы здесь интуитивно видим еще до того, как мы начнем писать код? Что ж ... независимо от остальных значений в строке 1, поскольку у нас уже есть ноль в первом столбце для этой строки, остальная часть столбца будет обнулена. Точно так же мы видим, что даже если индекс 0,0 равен единице, индекс 0,1 все равно обнулит его. Итак, ключ здесь - , почему бы нам просто не использовать первую строку / столбец матрицы для представления статуса обнуления, который нам нужно выполнить в конце? Итак, давайте посмотрим, как это может выглядеть в псевдокоде

  1. Цикл по каждой строке
  2. Для каждой строки проверьте значение в первом (0-м) столбце.Если мы находим ноль, нам нужно установить весь первый столбец на ноль позже
  3. Затем перебрать оставшуюся часть столбца для строки, начинающейся с первого столбца
  4. Если какое-либо из значений столбца в строке равно нулю , установите значение первого столбца для этой строки равным нулю
  5. После того, как мы закончили итерацию по всей матрице, теперь повторите итерацию по строкам и столбцам настроек матрицы до нуля в зависимости от состояния первой строки / столбца
  6. , специально проверьте, индекс 0,0 устанавливается в ноль.Если это так, тогда весь первый столбец должен быть установлен на ноль
  7. , если наш первый столбец когда-либо имел начальное нулевое значение, тогда продолжайте и установите весь первый столбец также на 0

Теперь у меня нет реализации это (оставлю это вам, читателю, я могу продолжить пример реализации позже). Но опять же, по сути, мы просто используем первую строку / столбец как своего рода ход или запрет для определения, обнулять ли все значения. Затем два особых случая (любые нули в начальном столбце или индекс 0,0 равен нулю) обрабатываются отдельно.

Анализ сложности

Сложность необходимого износа не меняет O (MxN), потому что в конце дня нам все равно нужно перебирать все значения матрицы, чтобы определить, существуют ли нули. Однако наша космическая сложность теперь составляет звездный O (1), потому что мы используем существующую матрицу для определения статуса, и нам нужно только подключить 1 вспомогательную переменную, чтобы следить за нулевым статусом первого столбца.

Спасибо как всегда и удачи, алгоритмы решения!

Новые модели нейродинамики обнуления для диагонализации потока симметричных матриц

  • 1.

    Парлетт, Г. Н .: Симметричная проблема собственных значений. Прентис Холл, Нью-Джерси (1998)

    Бронировать Google Scholar

  • 2.

    Майер, К.Д .: Матричный анализ и прикладная линейная алгебра. Общество промышленной и прикладной математики, Филадельфия (2000)

  • 3.

    Голуб Г.Х., Ван Лоан К.Ф .: Матричные вычисления. Издательство Университета Джона Хопкинса, Балтимор (2013)

    MATH Google Scholar

  • 4.

    Ярлебринг, Э., Коскела, А., Меле, Г.: Замаскированные и новые квазиньютоновские методы для нелинейных задач на собственные значения. Нумер. Алгоритмы 79 , 311–335 (2018)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 5.

    Чжао, К., Ченг, Л., Ли, С .: Новый метод обновления систем с демпфируемой массой и пружиной. Прил. Математика. Модель. 62 , 119–133 (2018)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 6.

    Янг П., Шан П.: количественный анализ повторяемости на основе собственных значений матрицы. Commun. Нелинейный. Sci. 59 , 15–29 (2018)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 7.

    Ли, З., Хамбах, Р., Кайзер, У., Роуз, Х .: Значение диагонализации матрицы в моделировании неупругого рассеяния электронов. Ультрамикроскопия 175 , 58–66 (2017)

    Статья Google Scholar

  • 8.

    Аль-Бахрани Л.Т., Патра Дж.К .: Новый алгоритм ортогонального PSO, основанный на ортогональной диагонализации. Swarm Evol. Comput. 40 , 1–23 (2018)

    Артикул Google Scholar

  • 9.

    Чен, К., Йи, Ч .: Анализ устойчивости гибрида рекурсивной нейронной динамики для онлайн-инверсии матриц. Прил. Математика. Comput. 273 , 969–975 (2016)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 10.

    Сяо, Л .: Конвергентная конвергентная нейронная сеть Чжана и ее применение для поиска квадратного корня матрицы в реальном времени. Neural. Comput. Прил. 10 , 1–8 (2017)

    Google Scholar

  • 11.

    Го, Д., Ни, З., Ян, Л .: Новая нейронная сеть Чжан с дискретным временем для инверсии изменяющейся во времени матрицы. IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. Syst. 47 , 2301–2310 (2017)

    Артикул Google Scholar

  • 12.

    Сяо, Л., Ляо, Б., Ли, С., Чен, К .: Нелинейные рекуррентные нейронные сети для решения общих нестационарных линейных матричных уравнений за конечное время. Neural Netw. 98 , 103–113 (2018)

    Артикул Google Scholar

  • 13.

    Чжан, Ю., Ци, З., Ли, Дж., Цю, Б., Ян, М.: Подтверждение области шага и оптимума формулы ZeaD для будущей оптимизации. Нумер. Алгоритмы 81 , 561–573 (2019)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 14.

    Сяо, Л., Ли, С., Ян, Дж., Чжан, З .: Новая рекуррентная нейронная сеть с помехоустойчивостью и сходимостью за конечное время для динамической квадратичной минимизации. Нейрокомпьютинг 285 , 125–132 (2018)

    Статья Google Scholar

  • 15.

    Цзинь, Л., Ли, С., Ху, Б .: модели RNN для инверсии динамической матрицы: перспективы теории управления. IEEE Trans. Инд. Информ. 14 , 189–199 (2018)

    Статья Google Scholar

  • 16.

    Петкович, М.Д., Станимирович, П.С., Кацилис, В.Н .: Модифицированные дискретные итерации для вычисления обратной и псевдообратной матрицы изменяющейся во времени. Нейрокомпьютинг 289 , 155–165 (2018)

    Статья Google Scholar

  • 17.

    Бауманн, М., Хельмке, У .: Диагонализация изменяющихся во времени симметричных матриц. В: Материалы Международной конференции по вычислительной науке (ICCS), Амстердам, Нидерланды, стр. 419–428 (2002)

  • 18.

    Чжан Ю., Йи К .: Нейронные сети Чжана и нейро-динамический метод. Nova Science Publishers, Нью-Йорк (2011)

    Google Scholar

  • 19.

    Чжан, Ю., Сяо, Л., Сяо, З., Мао, М .: Обнуление динамики, Градиентная динамика и итерации Ньютона. CRC Press, Бока-Ратон (2015)

    MATH Google Scholar

  • 20.

    Qiu, B., Zhang, Y., Yang, Z .: Анализ, проверка и сравнение эквивалентности Ma с обратной связью и эквивалентности Zhang типа минимальной кинетической энергии для кинематического управления резервными роботами-манипуляторами.Азиатский J. Control 20 , 2154–2170 (2018)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 21.

    Ли, Дж., Мао, М., Улиг, Ф., Чжан, Й .: Нейродинамика Z-типа для нестационарной нелинейной оптимизации при ограничении линейного равенства с приложением робота. J. Comput. Прил. Математика. 327 , 155–166 (2018)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 22.

    Сяо, Л., Ляо, Б., Ли, С., Чжан, З., Дин, Л., Цзинь, Л.: Разработка и анализ FTZNN, применяемых к решению в реальном времени нестационарного уравнения Ляпунова и отслеживанию управление колесным мобильным манипулятором. IEEE Trans. Инд. Информ. 14 , 98–105 (2018)

    Статья Google Scholar

  • 23.

    Qiao, S., Wang, X., Wei, Y .: Две конвергентные конвергентные модели нейронной сети Чжана для изменяющейся во времени комплексной матрицы, инверсной Дразина.Линейная алгебра Appl. 542 , 101–117 (2018)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 24.

    Цзинь, Л., Чжан, Я .: Непрерывная и дискретная динамика Чжана для изменяющейся нелинейной оптимизации в реальном времени. Нумер. Алгоритмы 73 , 115–140 (2016)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 25.

    Го, Д., Линь, X., Су, З., Сунь, С., Хуанг, З.: Разработка и анализ двух алгоритмов ZD с дискретным временем для нестационарной нелинейной минимизации. Нумер. Алгоритмы 77 , 23–36 (2018)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 26.

    Чжан, Ю., Чжоу, Ю., Чжан, З., Сяо, Л .: Презентация, анализ ошибок и численные эксперименты над группой формул численного дифференцирования на 1 шаг вперед. J. Comput. Прил. Математика. 239 , 406–414 (2013)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 27.

    Jin, L., Zhang, Y .: Дискретно-временная нейронная сеть Zhang для непрерывной оперативной оптимизации с изменением во времени с применением для создания движения манупулятора. IEEE Trans. Neural Netw. Учить. Syst. 26 , 1525–1531 (2015)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 28.

    Мэтьюз, Дж. Х., Финк, К. Д.: Численные методы с использованием MATLAB. Прентис Холл, Нью-Джерси (2004)

    Google Scholar

  • 29.

    Цзинь, Л., Чжан, Й .: Дискретно-временная нейронная сеть Чжана с шаблоном O ( τ 3 ) для псевдообращения изменяющейся во времени матрицы с приложением к генерации движения манипулятора. Нейрокомпьютинг 142 , 165–173 (2014)

    Статья Google Scholar

  • 30.

    Zhang, Y., Yang, M., Li, J., He, L., Wu, S .: Формула ZFD 4I g SFD_Y, применяемая для будущей минимизации. Phys. Lett. A 381 , 1677–1681 (2017)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 31.

    Ши, Ю., Цю, Б., Чен, Д., Ли, Дж., Чжан, Ю.: Предложение и проверка новой четырехточечной формулы конечных разностей с применением манипулятора. IEEE Trans. Инд. Информ. 14 , 1323–1333 (2018)

    Артикул Google Scholar

  • 32.

    Гриффитс, Д.Ф., Хайэм, Д.Дж .: Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений: проблемы с начальным значением. Спрингер, Лондон (2010)

    Книга Google Scholar

  • 33.

    Сули, Э., Майерс, Д.Ф .: Введение в численный анализ. Издательство Кембриджского университета, Кембридж (2003)

    Книга Google Scholar

  • LeetCode - установка нулей матрицы (Java)

    Для матрицы m * n, если элемент равен 0, установите для всей строки и столбца значение 0.
    Сделайте это на месте.

    Анализ

    Эту проблему следует решать на месте, т. Е. Использовать другой массив не следует.Мы можем использовать первый столбец и первую строку, чтобы отслеживать, следует ли установить для строки / столбца значение 0.

    Поскольку мы использовали первую строку и первый столбец, чтобы отметить нулевую строку / столбец, исходные значения изменены.

    В частности, с учетом следующей матрицы

    эта проблема может быть решена с помощью следующих 4 шагов:

    Шаг 1:
    Первая строка содержит ноль = истина;
    Первый столбец содержит ноль = ложь;

    Шаг 2: используйте первую строку и столбец, чтобы отметить нулевую строку и столбец.

    Шаг 3: установите каждый элемент, используя отметки в первой строке и столбце.

    Шаг 4: Установите первый столбец и строку, используя метки на шаге 1.

    Решение Java

     Решение общественного класса {
        public void setZeroes (int [] [] matrix) {
            логическое firstRowZero = false;
            логическое firstColumnZero = false;
    
            // устанавливаем первую строку и нулевой столбец или нет
            for (int i = 0; i 

    Решение общественного класса { public void setZeroes (int [] [] matrix) { логическое firstRowZero = false; логическое firstColumnZero = false; // устанавливаем первую строку и нулевой столбец или нет для (int i = 0; i

    Найти индексы элементов, равных нулю в массиве NumPy

    Найти индексы элементов, равных нулю в массиве NumPy

    Иногда нам нужно узнать индексы всех нулевых элементов в массиве. Numpy предоставляет множество функций для вычисления индексов всех нулевых элементов.

    Метод 1: Нахождение индексов нулевых элементов с помощью numpy.where ()

    Эта функция возвращает индексы элементов во входном массиве, для которых выполнено данное условие.

    Синтаксис:

     numpy.where (условие [, x, y])
    Когда True, вывести x, иначе вывести y
     

    Python3



    импорт numpy as np

    n_array =

    2 , 0 , 3 , 0 , 0 , 5 ,

    , 5 , 0 , 8 ])

    печать ( "Исходный массив:" n_array)

    print ("\ nИндексы элементов равны нулю \

    9023 4 задано 1 - Массив D: ")

    res = np.где (n_array = = 0 ) [ 0 ]

    print (res)

    Метод вывода: : Поиск индексов нулевых элементов с помощью numpy.argwhere ()

    Эта функция используется для поиска индексов ненулевых элементов массива, сгруппированных по элементам.

    Синтаксис :

     numpy.argwhere (прибл)
     

    Python3

    3 0006

    import numpy as np

    n_array = np.array ([[2 2 3 ],

    [ 4 , 1 , 0 ],

    , 0 0 2 ]])

    печать ( «Исходный массив:» )

    печать

    0 (n_array)

    ( "\ nИндексы нулевых элементов:" )

    res = np.argwhere (n_array = = 0 )

    печать (res)

    Нахождение индексов нулевых элементов с помощью numpy.nonzero ()

    Эта функция используется для вычисления индексов ненулевых элементов. Он возвращает кортеж массивов, по одному для каждого измерения arr, содержащих индексы ненулевых элементов в этом измерении.

    Синтаксис:

     numpy.nonzero (arr) 

    Python3

    import numpy as np

    35 numpy

    numpy

    1 , 10 , 2 , 0 , 3 , 9 , 0 9 9 , 0 , 7 , 5 , 0 , 0 ])

    печать " )

    печать (n_array)

    печать ( " \ Индексы нулевых элементов: " )

    res = np.ненулевое значение (n_array = = 0 )

    печать (res)

    Выход:

    Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.

    Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . А чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединяйтесь к курсу Машинное обучение - базовый уровень

    Нулевая инициализация - cppreference.com

    Устанавливает начальное значение объекта равным нулю.

    [править] Синтаксис

    Обратите внимание, что это не синтаксис для инициализации нуля, который не имеет специального синтаксиса в языке. Это примеры других типов инициализаций, которые могут выполнять нулевую инициализацию.

    статический T объект ; (1)
    T () ;

    T t = {} ;
    T {} ;

    (2)

    (начиная с C ++ 11)

    Массив диаграмм [ n ] = ""; (3)

    [править] Пояснение

    Инициализация нуля выполняется в следующих ситуациях:

    2) Как часть последовательности инициализации значения для типов, не являющихся классами, и для членов типов классов, инициализированных значением, которые не имеют конструкторов, включая инициализацию значений элементов агрегатов, для которых не предусмотрены инициализаторы.

    Эффекты нулевой инициализации:

    • Если T является скалярным типом, начальным значением объекта является интегральная константа ноль, явно преобразованная в T .
    • Если T является типом класса без объединения, все базовые классы и нестатические элементы данных инициализируются нулем, а все заполнители инициализируются нулевыми битами. Конструкторы, если они есть, игнорируются.
    • Если T является типом объединения, первый нестатический именованный член данных инициализируется нулем, а все заполнение инициализируется нулевыми битами.
    • Если T является типом массива, каждый элемент инициализируется нулем.
    • Если T является ссылочным типом, ничего не делается.

    [править] Примечания

    Как описано в нелокальной инициализации, статические и локальные переменные потока, которые не инициализированы константой, инициализируются нулем перед любой другой инициализацией. Если определение нелокальной переменной, не относящейся к классу, не имеет инициализатора, то инициализация по умолчанию ничего не делает, оставляя результат предыдущей нулевой инициализации неизменным.

    Инициализированный нулем указатель - это значение нулевого указателя своего типа, даже если значение нулевого указателя не является целым нулем.

    [править] Пример

     #include <строка>
    #include 
    
    struct A {
        int a, b, c;
    };
    
    двойной f [3]; // инициализируется нулем тремя 0,0
    int * p; // инициализируется нулем значением нулевого указателя (даже если значение не является целым 0)
    std :: string s; // инициализируется нулем до неопределенного значения
                   // затем инициализируется по умолчанию как "" конструктором по умолчанию std :: string
    int main (int argc, char * [])
    {
        удалить p; // безопасно удалить нулевой указатель
        статический int n = argc; // инициализируется нулем в 0, затем инициализируется копией в argc
        std :: cout << "n =" << n << '\ n';
        А а = А (); // эффект такой же, как: A a {}; или A a = {};
        std :: cout << "а = {" << а.a << '' << a.b << '' << a.c << "} \ n";
    } 

    Возможный выход:

    [править] Отчеты о дефектах

    Следующие ниже отчеты о дефектах, изменяющих поведение, были применены задним числом к ​​ранее опубликованным стандартам C ++.

    Было указано, что
    DR Применяется к Поведение, как опубликовано Правильное поведение
    CWG 2026 C ++ 98 zero-init всегда выполняется первым, даже до constant-init нет нулевой инициализации, если применяется постоянная инициализация

    [править] См. Также

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *