Содержание

7.2. Порядок решения задач на законы Кирхгофа

1. Нарисовать схему цепи. На рисунке выбрать и показать направления токов на всех участках цепи, при этом надо учесть, что в узел токи не могут только входить или только выходить из узла. Это следует из первого закона Кирхгофа.

2. Выбрать замкнутые контуры обхода для применения второго закона Кирхгофа. Показать на рисунке направление обхода по контуру. Контуров может быть несколько. Число независимых уравнений, которые можно составить по второму закону Кирхгофа, меньше чем число контуров. Чтобы составить необходимое число независимых уравнений надо придерживаться следующего правила: Выбирать контуры так, чтобы в каждый новый контур входил хотя бы один участок цепи, которого бы не было нив одном ранее рассмотренных контуров.

3. Используя первый закон Кирхгофа можно написать ( n – 1) уравнений, где

nчисло узлов в рассматриваемой цепи.

4. Воспользоваться вторым законом Кирхгофа и записать такое число уравнений, чтобы число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равнялось числу неизвестных величин в задаче. При этом надо учитывать следующее правило знаков: падение напряжения на каждом участке записывается со знаком «+», если направление обхода по этому участку совпадает с направлением тока на нем. И наоборот, если обход совершался по этому сопротивлению обратно направлению тока, то ставится знак « – ».

ЭДС записывается со знаком «+» в том случае, когда направление обхода совпадает с направлением поля сторонних сил в источнике тока и наоборот.

Поле сторонних сил внутри источника всегда направлено от отрицательного полюса к положительному.

5. Решить полученную систему уравнений и найти искомые величины.

В результате решения полученной системы уравнений определяемые величины могут получаться отрицательными. Отрицательное значение тока указывает на то, что фактическое направление тока на данном участке цепи обратно тому, которое мы выбрали.

7.3. Примеры решения задач на законы Кирхгофа

П р и м е р 1.

Два элемента с одинаковыми ЭДС e1 = e2 = 2В и внутренними сопротивлениями r1 = 1 Ом, r2 = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R. Через первый элемент течет ток I1 = 1 А. Найдите сопротивление R, ток I2, текущий через второй элемент, и ток I, текущий через сопротивление R. Схема соединения показана на рисунке.

Дано:

e1 = e2 = 2 D;

r1 = 1 Ом;

r2 = 2 Ом;

I1 = 1 A

________

Найти:

I2 =? R=? I=?

Решение:

1.Выберем направления токов на всех участках цепи так, как показано на рисунке. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны разумно.

2. Выберем контуры обхода и покажем направления обхода по ним. Контуров выбрали два и нарисовали направления обхода по ним.

3. Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа. Узлов два, поэтому можно составить только одно уравнение, например для первого узла:

I1 + I2I = 0.

Токи, входящие в узел, пишем со знаком “+”, а выходящие с знаком”–”. Уравнение для второго узла будет тождественно первому.

4. Применим второй закон Кирхгофа для первого контура обхода. Падение напряжения на всех участках этого контура пишем со знаком «+», т.к. направление обхода на всех участках совпадает с направлением тока на этих участках

Uå = IR +I1 r.

В этот контур входит только один источник тока e1, и направление обхода по контуру совпадает с направлением поля сторонних сил, т.к. силы этого поля направлены от отрицательного полюса к положительному, т.е. вниз.

Запишем уравнение

IR + I1r1 = e1.

Для второго контура, рассуждая аналогично, получим U2 = +I2r2 + IR. ЭДС будет входить в уравнение также со знаком “+”.

Второе уравнение имеет вид: I2R2 + IR = e2.

5. Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решая систему, находим величину тока I2

.

Полный ток через сопротивление R равен сумме токов

I = I1 + I2 = 1,5 A.

Сопротивление R находим из одного из уравнений системы:

.

Ответ: ток через второй источник равен I2 = 0,5 А, суммарный ток

I = I1 + I2 = 1,5 А. Внешнее сопротивление R = 0,66 Ом.

П р и м е р 2.

Два одинаковых элемента имеют ЭДС e1 = e2 = 2 В и внутренние сопротивления r1 = r 2 = 0,5 Ом. Найдите токи I1 и I2, текущие через сопротивления R1 = 0,5 Ом и R2 = 1,5 Ом, а также ток I через первый элемент. Схема заданной цепи изображена на рисунке.

Дано:

e1 = e2 = 2 В;

r1=r2=0,5 Ом;

R1 = 0,5 Ом;

R2 = 1,5 Ом

I1 – ? I2 – ? I – ?

Решение:

1. Выберем направления токов на всех участках так, как показано на рисунке. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны верно.

2. Выберем два контура обхода: большой и малый. Укажем направления обходов по контурам. Контуров обхода в заданной цепи можно выбрать три, но для нахождения трех неизвестных величин достаточно трех уравнений. Узлов всего два, поэтому можно составить только одно уравнение, применяя первый закон Кирхгофа. Недостающих два уравнения составим используя второй закон Кирхгофа.

3. Для первого узла запишем:

I2 + I1I = 0.

4. Учитывая правила определения знаков всех слагаемых при применении второй закон Кирхгофа для большого контура, получаем уравнение:

I r1 + I2r2 + I2R2 = e1 + e2.

Для малого контура:

I r1 + I1

R1 = e1.

5.Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными величинами I1; I2 и I.

Решать систему линейных уравнений можно разными способами. В случае, когда система состоит из большого числа уравнений удобно пользоваться методом Крамера (методом определителей). Проиллюстрируем применение этого метода решения на нашей системе уравнений. Для этого перепишем систему ещё раз:

или в численном виде; если поделить правую и левую части второго и третьего уравнении на « 0,5» получим

Искомые величины токов по методу определителей находятся следующим образом: и ,

где определители – определитель системы уравнений, и -определители, которые получаются заменой соответствующих столбцов определителя столбцами, полученными из свободных членов уравнений образующих систему (с учетом заданных числовых значений). Запишем эти определители:

По приведенным выше формулам, получаем

и .

Значение третьего тока можно найти аналогичным способом, но проще его значение получить из первого уравнения нашей системы:

I2 + I1I = 0 или I = I2 + I1 = 1,33 + 1,33 = 2,66 А

Знаки у всех полученных значений силы тока положительные, это свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, все направления токов были выбраны правильно.

Ответ: I1 = 1,33 А ; I2 = 1.33 А;I = I1 + I2 = 2.66 А.

П р и м е р 3.

Два элемента с одинаковыми ЭДС 1 = 2 = 2В и внутренними сопротивлениями r1 = 1 Ом, r2 = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R. Через элемент с ЭДС 1 – течет ток I1 = 1 А. Найти сопротивление R и ток I2, текущий через элемент с ЭДС 2. Какой ток течет через сопротивление R. Схема соединения показана на рисунке.

Д ано:

1 = 2 = 2 D;

r1 = 1 Ом;

r2 = 2 Ом;

I1 = 1 A

__________

+I2 – ?

R – ? I – ?

Выберем направления токов на всех участках цепи. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны разумно.

Выберем контуры обхода и покажем направления обхода по ним.

Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа для первого узла:

I1 + I2I = 0.

Токи, входящие в узел, пишем со знаком “+”, а входящие с “–”. Всего можно написать одно уравнение, т.к. второе будет тождественно первому.

Воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Запишем уравнение для первого контура обхода. Падение напряжения на всех участках 1-го контура напишем со знаком «+», т.к. направление обхода на этих участках совпадает с направлением тока

U = IR +I1 r.

В этот контур входит только ЭДС 1, и направление обхода по контуру совпадает с направлением поля сторонних сил, т.к. силы этого поля направлены от отрицательного полюса к положительному.

Запишем уравнение

IR + I1r1 = 1.

Для второго контура U2 = +I2r2 + IR. И ЭДС будет входить в уравнение также со знаком “+”.

Запишем уравнение I2R2 + IR = 2.

Получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решая систему, получаем

.

Полный ток через сопротивление R равен сумме токов

I = I1 + I2 = 1,5 A.

Сопротивление R находим из одного из уравнений

.

Ответ. Ток через второй источник равен I2 = 0,5 А, суммарный ток

I = I1 + I2 = 1,5 А. Внешнее сопротивление R = 2/3 Ом.

П р и м е р 4.

Два одинаковых элемента имеют ЭДС 1 = 2 = 2 В и внутренние сопротивления r1 = l2 =0,5 Ом. Найти токи I1 и I2, текущие через сопротивления R1 = 0,5 Ом и R2 = 1,5 Ом, а также ток I через элемент с ЭДС. Схема изображена на рисунке.

Д ано:

1 = 2 = 2 В;

r1 = r2 = 0,5 Ом;

R1 = 0,5 Ом;

R2 = 1,5 Ом

_____________

I1 – ?

I2 – ?

I – ?

Решение:

Выберем направления токов на всех участках. Запишем первый закон Кирхгофа для 1-го узла

I2 + I1 = I .

Выберем большой и малый контуры обхода. Для большого контура уравнение будет иметь вид:

Ir1 + I2r2 + I2R2 = 1 + 2.

Для малого контура

Ir1 + I1R1 = 1.

Получили три уравнения

В эти уравнения входят три неизвестных величины I1; I2 и I. Решаем систему уравнений и находим

I1 = 2,28 А ; I2 = 0,56 А;I = I1 + I2 = 1,72 А.

Законы Кирхгофа, теория и примеры задач

Законы Кирхгофа (или правила Кирхгофа) – это приемы, которые используют для того, чтобы упрощать процедуру составления систем уравнений необходимых при расчетах сложных разветвленных цепей постоянного тока. Разветвленными цепями называют цепи, которые содержат несколько замкнутых контуров с несколькими источниками ЭДС.

Узлом цепи называют такую точку цепи, в которой сошлись три или более проводников с токами.

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа еще называют правилом узлов. Так как он касается именно узлов цепи и токов в них. Словесно этот закон формулируется следующим образом: Сумма токов в цепи с учетом их знаков равна нулю. В математическом виде этот закон представляют как формулу:

   

Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда. Если в цепи текут только постоянные токи, то нет в этой цепи точек, которые накапливали бы заряд. Иначе токи не были бы постоянными.

Первый закон Кирхгофа дает возможность составить независимое уравнение, если в цепи k узлов.

Второй закон Кирхгофа

Во втором законе Кирхгофа рассматривают контуры, поэтому он еще называется правилом контуров. Формулируется второй закон Кирхгофа так: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних ЭДС (), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:

   

Величины еще называют падениями напряжения. Прежде, чем применять второй закон Кирхгофа определяются с направлением положительного обхода контура. Выбирается направление произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго закона для данного контура входит с положительным знаком. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника.

Второй закона Кирхгофа является следствием закона Ома.

Любую цепь можно рассчитать при помощи закона сохранения заряда и закона Ома, правила Кирхгофа являются лишь подходами, упрощающими расчетные задачи.

При составлении уравнение, используя законы Кирхгофа, следует внимательно следить за расстановкой знаков у токов и ЭДС.

Примеры решения задач

1.4. Уравнения Кирхгофа в решении задачи анализа

Первый закон (правило) Кирхгофа можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом из узлов схемы, равна нулю:

;

2) сумма подтекающих к узлу токов равна сумме вытекающих из узла токов:

.

Второй закон Кирхгофа также можно сформулировать двояко:

1) алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в том же контуре:

;

2) алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю:

.

Для решения задачи анализа необходимо составить столько уравнений первого закона Кирхгофа, сколько цепь содержит узлов без одного (), и столько уравнений второго закона Кирхгофа, сколько цепь содержит ветвей без числа уравнений первого закона . Здесь y – число узлов электрической цепи , а b – число ветвей цепи.

При составлении уравнений второго закона Кирхгофа необходимо стремиться выбирать элементарные контуры и помнить о том, чтобы в каждом следующем уравнении появлялась хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая ни в одно из предыдущих уравнений. Элементарным называют контур, внутри которого нет ветвей.

Общее количество уравнений Кирхгофа должно соответствовать числу ветвей, которое будет соответствовать числу неизвестных токов.

Расчет токов ветвей по уравнениям Кирхгофа

Пусть дана схема (рис. 1.8), в которой заданы: Поставим задачу, определить:

Составим уравнение (1) по первому закону Кирхгофа для узла (а) и два уравнения (2) и (3) по

второму закону Кирхгофа для элементарных контуров I и П. Получим систему уравнений:

Найдем главный определитель системы (1.3):

и алгебраическое дополнение

, заменяя первый столбец главного определителя столбцом правой части системы (1.3).

Решение для тока I1 , будет иметь вид:

.

Аналогично замещая столбцом правой части системы (1.3) второй столбец главного определителя, а потом третий получим токи I3 и I4:

; .

Таким образом, задача анализа для заданной цепи решена.

Расчет электрических цепей с применением законов Кирхгофа и Ома


Законы Кирхгофа наиболее общие. Они являются отдельным случаем универсальных уравнений электрического поля относительно произвольных электрических цепей с сосредоточенными параметрами. Закон Ома используется для расчета только линейных цепей.
Алгоритм расчета:
1. Начертить по принципиальной схеме схему замещения; упростить схему, преобразовав последовательно и параллельно соединенные резисторы в эквивалентные, пронумеровать ЭДС соответствующих ветвей, узлы; произвольно выбрать и обозначить положительные направления токов в ветвях.
2. Записать n – 1 уравнений по первому и m – (n – 1) уравнений по второму закону Кирхгофа, где n – количество узлов, m – количество ветвей в цепи. Если бы мы записывали n уравнений по первому закону Кирхгофа, то одно из них – это линейная комбинация оставшихся, что привело бы к линейной зависимости уравнений.
Источник тока J входит только в уравнение первого закона Кирхгофа (баланс тока в узлах) и переносится как известное в правую часть уравнения.
Для схемы (рис. 1) n = 3, m = 4.
Смотрите еще:
 Пример решения задачи по правилам Кирхгофа № 1
 Пример решения задачи по правилам Кирхгофа № 2
 Пример решения задачи по правилам Кирхгофа № 3

Рис. 1.
Ветвь с идеальным источником тока не учитывается, поскольку ее сопротивление бесконечно велико.
Уравнение по первому закону Кирхгофа при n – 1 = 2 для узла 1: – I1 – I3 + I4 + J = 0; для узла 2: I1 + I2 – I4 = 0.
Уравнение по второму закону Кирхгофа при m – (n – 1) = 4 – 2 = 2 для контура 1 (направление обхода указано пунктиром):
I1R1 + I2R2 = E1; для контура 2 (направление обхода то же самое, но можно было взять и противоположное): I2R2 – I3R3 – I4R4 = – E2.
3. Решить систему уравнений относительно тока I:
Если среди компонент вектора I есть отрицательные, то это означает, что их направление противоположно положительному направлению, приведенному в схеме (рис. 1).
4. По закону Ома определить напряжения на элементах.
Сложность использования этого метода связана с чрезмерно большой размерностью систем уравнений.

 

Решение задач на применение законов Кирхгофа

Решение задач на применение законов Кирхгофа

Некрасов Александр Григорьевич, учитель физики

Статья относится к разделу : преподавание физики

Цели:


  1. Образовательная. Формировать понятие электрической цепи и ее элементов. Научится применять законы Кирхгофа для расчета сложных электрических цепей. Развивающая. Совершенствовать умения, активизировать познавательную деятельность учащихся через решение задач на расчет сложных электрических цепей.

  2. Воспитательная. Прививать культуру умственного труда, аккуратность, умение анализировать, видеть практическую ценность получаемых знаний, продолжить формирование коммуникативных умений.

Вид урока: практикум по решению задач.

Законы Кирхгофа применяются для расчета сложных электрических цепей.

Первый закон Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа: .

Напомним правила знаков. Направления токов в узле выбирается произвольно. Притекающие в узел токи будем брать со знаком плюс, а вытекающие из узла – со знаком минус. Выбираем положительное направление обхода контура (обозначено овалом со стрелкой). Выбираем направление напряжения по направлению тока. Если «направление» напряжения совпадает с направлением обхода контура, то напряжение берется со знаком плюс. В противном случае – со знаком минус. Обозначим стрелкой над ЭДС направление возрастания потенциала (от катода к аноду). Если эта стрелка совпадает с направлением обхода контура, то берется со знаком плюс, если нет, то с минусом.

Рассмотрим стандартную задачу на расчет сложной электрической цепи постоянного тока.

Задача1. Даны две батареи аккумуляторов с ЭДС с внутренним сопротивлением , Реостат имеет сопротивление Элементы цепи соединены по схеме, показанной на рисунке. Найти силу тока в батареях и реостате.

Дано:

Найти:

Решение:

Запишем уравнения законов Кирхгофа в соответствии с обозначениями на рисунке.

Так как то

Подставим в полученную систему данные, получим:

.

Решим эту систему по правилу Крамера. Найдем определитель системы:

Дополнительные определители для неизвестных:

.

Искомые значения токов определим по формуле

Как видно, пришлось находить определители третьего порядка. Напомним один из способов их определения. Схема расчета определителя третьего порядка:

).

Рассмотрим другие примеры.

Задача2. Резисторы с сопротивлениями и и конденсаторы емкостью включены в цепь с ЭДС (смотри рисунок), Внутренним сопротивлением которого можно пренебречь. Определите заряды, установившиеся на конденсаторах [1].

Дано:

Решение:

Через конденсаторы постоянный ток не протекает. Тогда ток, который протекает по цепи, равен

Этот ток протекает через все резисторы. Чтобы определить заряды на конденсаторах, необходимо знать напряжения на них. Для этого воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Поскольку всего два неизвестных, то и уравнений составим два.

Напряжение Из первого уравнения находим Найдем напряжение на : = 5 B. Из второго уравнения

Заряды определим по формуле

Это и есть ответы.

Приведем еще одну задачу в качестве примера применения законов Кирхгофа.

Задача 3. В схеме, изображенной на рисунке, ЭДС батареи сопротивление резистора индуктивности сверхпроводящих катушек – и причем Сначала замыкают ключ К1, а через некоторое ключ К2. Известно, что установившиеся токи через катушки и оказались одинаковыми. Определите силу тока, протекающего через резистор в момент замыкания ключа К2. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь [2].

Решение этой задачи, как и предыдущей, в указанных ссылках не приведено. Для решения также воспользуемся законами Кирхгофа.

Составим второе уравнение Кирхгофа при замкнутом ключе К1. Так как катушки индуктивности сверхпроводящие, то их омическое сопротивление равно нулю. Пусть в установившемся режиме сила тока равна Имеем

(1)

В некоторый момент времени сила тока равна Перепишем (1) в виде:

При замыкании ключа К2 соответствующие уравнения примут вид

и

Здесь необходимо отметить, что после установившегося режима Только в момент включения ключей эти производные отличны от нуля. Пусть ток и есть тот ток, который изменяется в момент включения ключа К2. По правилу Ленца, этот ток будет направлен навстречу внешнему току А это значит, что в момент включения ключа К2 ток через резистор уменьшится. Составим еще одно уравнение: или Так как то =

В установившемся режиме сила тока По условию задачи силы тока в катушках одинаковые, т. е. по после установления при замыкании ключа К 2. Изменения Имеем откуда Ток, который протечет через резистор в момент включения ключа К 2 равен

Так как тогда окончательно получим По-видимому, это и будет ответом. Такого рода задачи хорошо проверяются на опыте. По крайне мере, можно зафиксировать скачок тока в резисторе и в какую сторону.

Задача4. Какой должна быть ЭДС источника тока, чтобы напряженность электрического поля в плоском конденсаторе была равна , если внутреннее сопротивление источника тока , сопротивление резистора расстояние между пластинами конденсатора [3].

Для решения задачи воспользуемся вторым законом Кирхгофа для двух контуров, в которых указаны положительные направления обхода контуров.

.

Так как , то Из второго уравнения Для плоского конденсатора Тогда

=. Это ответ.

Список использованной литературы.


  1. Москалев А. Н., Никулова Г. А..Физика. Готовимся к единому государственному экзамену. – М.: Дрофа, 2008. – 224.

  2. Физика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы / Ю. И. Дик, В. А. Ильин, Д. А. Исаев и др. – М.: Дрофа, 2008, – 735 с.

  3. Отличник ЕГЭ. Физика. Решение сложных задач. Под ред. В. А. Макарова, М. В. Семенова, А. А. Якуты. ФИПИ. – М.: – Интеллект-Центр, 2010.-368 с.

Презентация по физике на тему “Закон Кирхгофа” 10 класс профиль

Урок-практикум в 10 классе

Расчет сложных электрических цепей. Законы Кирхгофа.

Цели урока:

  • формирование понятия о законах Кирхгофа

  • применение законов Кирхгофа для расчёта разветвлённых цепей

  • формирование чувства взаимопомощи, умения работать в группах

  • развитие самостоятельности мышления

  • развитие творческих способностей

1. Информационный модуль. Законы Кирхгофа.

Все э.д.с., токи и сопротивления любой цепи связаны между собой уравнениями, выражающими законы Кирхгофа. Эти уравнения могут быть записаны, если известны не только величины э.д.с. и токов, но и их направления.

I закон Кирхгофа: сумма токов, протекающих к точке разветвления (узловой точке), равна сумме токов, утекающих от этой точки (слайд 3)

II закон Кирхгофа: во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме падений напряжений на отдельных участках этого контура (Слайд 4)

Расчет сложной цепи при помощи уравнений Кирхгофа проводят в следующей последовательности (слайд 5):

  1. по возможности упрощают расчетную схему (заменив, например, несколько параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным сопротивлением

  2. наносят на схеме известные направления э.д.с.

  3. задаются произвольными положительными направлениями токов

  4. составляют уравнения по первому закону Кирхгофа для всех узловых точек схемы, кроме одной, так как для получения требуемого числа независимых уравнений следует применить первый закон Кирхгофа ко всем узловым точкам, кроме одной, т. е. составить (n—1) уравнений, если число узлов равно п. Недостающие уравнения должны быть составлены по второму закону Кирхгофа так, чтобы каждое следующее уравнение не могло быть получено из предыдущих.

  5. составляют недостающие уравнения по второму закону Кирхгофа, обходя замкнутые контуры по часовой стрелке или против часовой стрелки. При этом э.д.с. и токи, совпадающие с направлением обхода, принимаются положительными, а э.д.с. с. и токи, противоположные (т. е. встречные) этому направлению, — отрицательными;

  6. решают составленную систему уравнений и определяют неизвестные токи. Если некоторые значения токов получаются со знаком «минус», то это означает, что они имеют направления, обратные тем, которые были условно приняты для этих токов в начале расчета.

Если в результате расчета сложной цепи фактическое направление тока в энергопреобразующем устройстве (электрической машине или аккумуляторе) совпадает с направлением его э.д.с., то это свидетельствует о том, что рассматриваемое устройство работает в качестве источника электроэнергии, а не электроприемника. Если направление тока обратно направлению э.д.с., то это означает, что устройство является электроприемником.

Рис. 1.Схема разряда (а) и заряда (б) аккумулятора

На рисунке 1. а) аккумулятор работает как генератор, в схеме 1.б) он является потребителем электрической энергии.

2. Модуль практической деятельности. Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей.

Демонстрационная задача (слайд 6):

В электрической цепи ЭДС первого источника , а второго В.

Сопротивления всех резисторов одинаковые Ом. Определить токи во всех участках цепи.

Произвольно выбираем направления токов I, I1, I2 и две узловые точки А и В (слайд 7)

Так как требуется найти три неизвестных, то составим систему из трёх уравнений. Одно уравнение запишем согласно I закону Кирхгофа и два по II закону Кирхгофа

Считаем > 0 – так как ток переходит от «-» к «+», < 0 – так как ток переходит от «+» к «-»

Один из способов решения полученной системы:

Выразим из уравнений (2) значение тока

(2/)

Подставим полученное выражение (2/) в уравнение (3)

После сокращений и преобразований находим значение тока

(3/)

Из формул (1), (2/) и (3/) рассчитываем значения сил токов и получаем:

I1 = 5 А, I2 = 2 А, I= 7 А

Отработка алгоритма решения задач с использованием законов Кирхгофа. Задачи для самостоятельного решения (слайд 8):

Работа в группах предполагает обсуждение и совместное решение.

Задача 1 – подобная демонстрационной задаче

Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

Возможное решение:

 

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

Напомним, что по первому закону, сумма токов, сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи 

Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут: 

Все эти три уравнения образуют систему

Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым). 

Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

Задача 2

Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

Возможное решение:

 

Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2 

Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче. 

На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными 

Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины 

Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей, полученных приемниками. 

Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно. 

3. Модуль контроля знаний и умений

Внимательно рассмотрите схему и выполните задания по ней (слайд 9):

Запишите 1 закон Кирхгофа для узла А
  1. Запишите 1 закон Кирхгофа для узла С.

  1. Запишите второй закон Кирхгофа для контура АСD

  1. Запишите второй закон Кирхгофа для контура АСB

Домашнее задание: решить задачу, используя законы Кирхгофа

Какую силу тока покажет амперметр, включенный в схему, изображенную на рисунке, если R1 = 1,25 Ом, R2 = 1 Ом, R3 = 3 Ом, R4= 7 Ом и ЭДС источника 2,8 В? Сопротивлением амперметра и источника пренебречь.

pravilo_Kirkhgofa – презентация онлайн

1. Расчет сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа

2. Повторение изученного материала

3. Дайте определение сложной электрической цепи

• Сложными называются разветвленные
электрические цепи со многими источниками
энергии.

4. Дайте формулировку I закону Кирхгофа

• Алгебраическая сумма токов в каждом
узле любой цепи равна нулю. При этом
направленный к узлу ток принято считать
положительным, а направленный от узла
— отрицательным.
n
I
i 1
i
0

5. Дайте формулировку II закону Кирхгофа

• Алгебраическая сумма падений
напряжений на всех ветвях,
принадлежащих любому замкнутому
контуру цепи, равна алгебраической
сумме ЭДС ветвей этого контура.
n
n
U E
i 1
i
i 1
i

6. Решение задачи

7. Определить токи во всех ветвях данной электрической цепи

8. Найдем общее количество уравнений

• Для определения токов во всех ветвях
данной электрической цепи,
необходимо составить систему
уравнений по законам Кирхгофа.
• Общее число уравнений в системе должно
соответствовать числу неизвестных
токов, т. е. числу ветвей.

9. Посчитаем количество ветвей в нашей электрической цепи

R1
Итого
5 ветвей, т.е.
5 уравнений
R2
I2
I4
Е1
R4
Е2
R5
I5
I1
R3
I3
Е3

10. Найдем количество уравнений по I закону Кирхгофа

• По первому закону Кирхгофа составляется
число уравнений, на единицу меньшее
числа узлов цепи, т.к. уравнение для
последнего узла есть следствие всех
предыдущих уравнений и не дает
ничего нового для расчета.

11. Посчитаем количество узлов электрической цепи

2
R1
Итого
3 узла, т.е.
2 уравнения
R2
I2
I4
Е1
R4
Е2
R5
I5
I1
R3
1
I3
Е3
3

12. Зададим направление токов во всех ветвях цепи

2
R1
R2
I2
I4
Е1
R4
Е2
R5
I5
I1
R3
1
I3
Е3
3

13. Составим уравнения по I закону Кирхгофа

• Токи, подходящие к узлу, будем считать
положительными и брать со знаком (+),
а токи, отходящие от узла – (–).
2
R1
R2
I2
I4
Е1
R4
Е2
R5
I5
I1
R3
1
I3
Е3
Для узла № 1: –I1 – I3 – I4 = 0
Для узла № 2: I1 – I2 + I4 + I5 = 0
3

15. Найдем количество уравнений по II закону Кирхгофа

• По второму закону Кирхгофа
составляются все недостающие
уравнения для любых произвольно
выбранных контуров цепи.
• Посчитаем количество недостающих
уравнений: 5 – 2 = 3.

16. Зададим направление обхода выбранных контуров

2
R1
R2
I2
I
Е1
III
I4
R4
Е2
R5
II
I5
I1
R3
1
I3
Е3
3

17. Составим уравнения по II закону Кирхгофа

• При составлении уравнений ЭДС и
токи, совпадающие с выбранным
направлением обхода контура будем
брать со знаком (+), а несовпадающие –
со знаком (–).
2
R1
R2
I2
I
Е1
III
I4
R4
Е2
R5
II
I5
Е3
I1
R3
1
I3
3
Для I контура: I1R1 – I4R4 = Е1
Для II контура: I4R4 – I5R5 – I3R3 = Е3
Для III контура: I2R2 + I5R5 = –Е2

19. Получилась система уравнений

–I1 – I3 – I4 = 0
I1 – I2 + I4 + I5 = 0
I1R1 – I4R4 = E1
I4R4 – I5R5 – I3R3 = E3
I2R2 + I4R4 = –E2
Решив ее, получаем пять значений
токов.

Практические задачи: решения правил Кирхгофа

Практические проблемы: решения правил Кирхгофа

1. (умеренно) Студент утверждает, что правило петли, примененное к простой электрической цепи, подтверждает принцип сохранения заряда. Прав ли ученик? Объясните свой ответ.
Ученик не правильный. Правило цикла основано на сохранении энергии. Когда заряды движутся по петле, они испытывают различные изменения электрического потенциала.Поскольку заряд, умноженный на электрический потенциал, представляет собой электрическую потенциальную энергию, правило контура количественно определяет тот факт, что в контуре замкнутой цепи нет чистого выигрыша энергии. Возможно, студент путает правило цикла с правилом точек, поскольку правило точек связано с сохранением заряда.

2. (средний) Студент анализирует простую электрическую цепь, так что следующее правило цикла точно описывает, как электрический потенциал изменяется в контуре.
12 – 15I – 25I – 9I = 0
Определите ток в контуре, а затем создайте графическое представление этого правила контура.Предположим, что одна точка в контуре заземлена.

3. (умеренно) Используйте правила Кирхгофа для определения показаний счетчика в схеме, показанной ниже.


По правилу петли:
50 – 5I – 10 I – 5I = 0
50 = 20I
I = 2,5 A
(Это показание амперметра)
Для резисторов, В R = IR
Для каждых 5 Резистор Ом: В 5 = 2,5 (5) = 12,5 В
(Это показания на верхнем и нижнем вольтметрах)
Для резистора 10 Ом: В 10 = 2.5 (10) = 25 В
(Это показание на левом вольтметре)
Для оставшегося вольтметра: V = V 5 + V 10 = 12,5 + 25 = 37,5 В

4. (средняя) Найдите разность потенциалов V AB в схеме, показанной ниже.

5. (умеренный) Найдите токи в цепи, показанной ниже.

6. (умеренное) Найдите падение напряжения на каждом резисторе в схеме, показанной ниже.

7. (средняя) Найдите разность потенциалов V AB в схеме, показанной ниже.

Законы Кирхгофа, практические примеры и получение максимальной мощности от схем

Законы Кирхгофа

  1. На любом переходе в цепи общая сумма входящих токов равна общей сумме выходящих токов.
  2. Сумма ЭДС в замкнутой цепи, взятых в определенном направлении, равна сумме IR в той же цепи.

Например, 1

Рассчитайте ток через каждый резистор в следующей цепи, используя законы Кирхгофа.

Эту проблему можно решить тремя разными способами, используя законы Кирхгофа:

Примените Первый закон Кирхгофа к соединению между G и H,
Ток через 3 Ом, c = a-b
Примените Первый закон Кирхгофа к соединению между G и F,
Ток в соединении C = a

Метод 1:

Теперь давайте применим Второй закон Кирхгофа к набору различных цепей:
Помните, что выбор направления преобладает над всем:
Для AJGDCBA:
30 = 3a + 5a + 6b
30 = 8a + 6b
8a + 6b = 30
Для GHFDG:
0 = = 3c -6b = 3 (ab) -6b – ЭДС в этой цепи равна нулю; направление наш выбор отменяет направление существующих токов
3a – 3b = 6b
3a = 9b
a = 3b
Подставляем это в уравнение 1 ,
30 = 8 (3b) + 6b
30 = 30b
b = 1 А.
Подставьте это в уравнение 2 ,
a = 3 X 1 = 3
a = 3 A.
Следовательно, ток через 3Ω = 2 A; ток через 6Ω = 1 А; ток через 5Ω = 3 А.

Метод 2:

Применим Первый закон Кирхгофа на перекрестке H:
Теперь применим Второй закон Кирхгофа к цепи:
Помните, что выбор направления доминирует над всем:
Для AJGDCBA:
30 = 3a + 5a + 6b
30 = 8a + 6b
8a + 6b = 30
Для AJHFCBA:
30 = 3 (ab) + 3a + 5a – направление выбора преобладает над направлением существующего тока
30 = 3a – 3b + 8a
11a -3b = 30
2 X 2 => 22a – 6b = 60
1 + 2 => 30a = 90
a = 3 A.Подставьте это в уравнение 1 ,
30 = 8 X 3 + 6b
6 = 6b
b = 1 A
Следовательно, ток через 3Ω = 2 A; ток через 6Ω = 1 А; ток через 5Ω = 3 А.

Метод 3:

Теперь давайте применим Второй закон Кирхгофа к другому набору альтернативных схем:
Помните, что выбор направления преобладает над всем:
Для AJHFCBA:
30 = 3a + 5a + 6b
30 = 8a + 6b
Для GHFDG:
0 = 3 (ab) -6b – ЭДС в этой цепи равна нулю; направление наш выбор отменяет направление существующих токов
3a – 3b = 6b
3a = 9b
a = 3b
Подставляем это в уравнение 1 ,
30 = 8 (3b) + 6b
30 = 30b
b = 1 А.
Подставьте это в уравнение 2 ,
a = 3 X 1 = 3
a = 3 A.
Следовательно, ток через 3Ω = 2 A; ток через 6Ω = 1 А; ток через 5Ω = 3 А.

Токи одинаковы независимо от выбранной вами схемы.

Например, 2

Найдите ток через каждый резистор в следующей цепи:

Примените Первый закон Кирхгофа к переходу B:
Ток через каждую ветвь показан на принципиальной схеме.
Теперь применим Второй закон Кирхгофа к схемам.
Для ABFGA:
24 = 6a + 12 (a + b) = 6a + 12a + 12b
24 = 18a + 12b 1
Для ABCDFGA
24 – 6 = 6a – 8b
18 = 6a – 8b 2
3 X 2 => 54 = 18a -24b 3
1 3 => -30 = 36b
b = -0,8A.
Отрицательный знак означает, что ток идет в обратном направлении.
Из 1 => 24 = 18a + 12b
24 = 18a + 12 (-5/6)
18a = 34
a = 17/9 = 1.8 А.
Следовательно, ток через 6Ω = 1,8 А; ток через 12Ω = 1 А; ток через 8Ω = 0,8 А.

Как максимально увеличить мощность нагрузки

Общее сопротивление = (R + r)
Ток (I) = E / (R + r)
Мощность через нагрузку (R) = VI = [E / (R + r)] 2 R
P = E 2 R / (R + r) 2
Теперь посмотрим, как изменяется мощность при разных значениях R.
Пусть E = 12 В; r = 5 Ом R изменяется от 0 до 10 Ом

График показывает, что мощность максимальна при R = r.Итак, чтобы получить от нагрузки максимальную мощность, сопротивление нагрузки должно быть равно внутреннему сопротивлению источника питания.

Проба:

P = E 2 R / (R + r) 2
Давайте дифференцируем P относительно R
dP / dR = E 2/ / (R + r) 2 – 2E 2 R / (R + r) 3
Когда P максимальное, dP / dR = 0
Итак, E 2/ / (R + r) 2 – 2E 2 R / (R + r) 3 = 0
R + r = 2R
R = r

E.g.1

ЭДС и внутреннее сопротивление ячейки составляют 6 В и 2 Ом соответственно. Найдите максимальную мощность, которую можно получить от внешней нагрузки.
Поскольку внутреннее сопротивление составляет 2 Ом, сопротивление нагрузки также должно быть 2 Ом для максимальной мощности.
Общее сопротивление = 4 Ом
Общий ток = 6/4 = 1,5 A
V = IR = 1,5 X 2 = 3 В
P = VI = 1,5 X 3 = 4,5
P = 4,5 Вт.

Например, 2 Какое сопротивление лампочка, если она загорается с максимальной яркостью?

Ответ: 6 Ом

Как подключить вольтметр и амперметр?

Амперметр изготовлен таким образом, что он имеет незначительное сопротивление, потому что он включен в цепь последовательно.Так как амперметр не должен изменять ток в цепи, он сделан с очень небольшим сопротивлением в нем. С другой стороны, вольтметр подключается к двум точкам в цепи параллельно, чтобы определить разность потенциалов между двумя точками. Значит, мы должны минимизировать ток через него. В противном случае вольтметр может повлиять на напряжение на резисторе. Поэтому вольтметр выпускается с катушкой очень высокого сопротивления.
Теоретически, мы принимаем сопротивление амперметра равным нулю, а сопротивление вольтметра – бесконечностью.

Следующий Предыдущий

Правила Кирхгофа: примеры решенных задач

Решенные примеры проблем: первое правило Кирхгофа (правило тока или правило соединения), второе правило Кирхгофа (правило напряжения или правило петли), мост Уитстона, мост счетчика


Первое правило Кирхгофа (текущее правило или правило соединения): решенные примеры проблем

ПРИМЕР 2.20

Из данной схемы найдите значение I.


Решение

Применение правила Кирхгофа к точке P в цепи,

Стрелки, указывающие на P, положительные, а от P – отрицательные.

Следовательно, 0,2 A – 0,4 A + 0,6 A – 0,5 A + 0,7 A – I = 0

1,5 A – 0,9 A – I = 0

0,6 A – I = 0

I = 0,6 A

Второе правило Кирхгофа (правило напряжения или правило петли): решенные примеры проблем

ПРИМЕР 2.21

На следующем рисунке показана сложная сеть проводников, которую можно разделить на два замкнутых контура, такие как ACE и ABC.Примените правило Кирхгофа по напряжению.


Решение

Таким образом, применяя второй закон Кирхгофа к замкнутому контуру EACE

I 1 R 1 + I 2 R 2 903 903 903 3 = ξ

и для замкнутого контура ABCA

I 4 R 4 + I 5 R 5- I
064 2 R 9 = 2 =

ПРИМЕР 2.22

Рассчитайте ток, протекающий через резистор 1 Ом в следующей схеме.


Решение


Мы можем обозначить ток, который течет от батареи 9 В, как I1, и он разделяется на I2 и I1 – I2 в переходе в соответствии с правилом тока Кирхгофа (KCR). Это показано ниже.

Теперь рассмотрим петлю EFCBE и применим KVR, получаем

1I2 + 3I1 + 2I1 = 9

5I1 + I2 = 9 (1)

Применяя KVR к петле EADFE, мы получаем

3 (I1 – I2 ) – 1I2 = 6

3I1 – 4I2 = 6 (2)

Решая уравнения (1) и (2), получаем

I1 = 1.83 A и I2 = -0,13 A

Это означает, что ток в резисторе 1 Ом течет от F к E.

Мост Уитстона: решенные примеры проблем

ПРИМЕР 2.23

В мосте Уитстона P = 100 Ом, Q = 1000 Ом и R = 40 Ом. Если гальванометр показывает нулевое отклонение, определите значение S.

Решение


ПРИМЕР 2.24

Какое значение равно x , когда сеть Уитстона сбалансирована?

P = 500 Ом, Q = 800 Ом, R = x + 400, S = 1000 Ом


Решение

P / Q = R / S


x + 400 = 0.625 × 1000

x + 400 = 625

x = 625-400

x = 225 Ом

Измерительный мост: решенные примеры проблем

ПРИМЕР 2.25

В измерительном мосту со стандартным сопротивлением 15 Ом в правый зазор, соотношение балансировочной длины 3: 2. Найдите значение другого сопротивления.

Раствор


ПРИМЕР 2.25

В измерительном мосту значение сопротивления в ячейке сопротивления составляет 10 Ом.Балансировочная длина л 1 = 55 см. Найдите значение неизвестного сопротивления.

Решение

Q = 10 Ом

Учебный материал, Примечания к лекциям, Задание, Ссылка, Описание Wiki-описания, краткая информация

12-я Физика: Электричество тока: Правила Кирхгофа: Решенные примеры задач |

Закон Кирхгофа Проблемы с решением

Список результатов Закон Кирхгофа Проблемы с решением

Закон Кирхгофа – проблемы и решения Решенные проблемы

9 часов назад Physics.gurumuda.net Получить все