Содержание

Закон кирхгофа для токов примеры решения задач

Закон Кирхгофа (правила Кирхгофа), сформулированные Густавом Кирхгофом в 1845 году, являются следствиями из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля.

Закон Кирхгофа – это соотношения, выполняемые между токами и напряжениями на участках любых электрических цепей. Они позволяют рассчитывать любые электрические цепи: постоянного, переменного или квазистационарного тока.

При формулировании правил Кирхгофа используют такие понятия, как ветвь, контур и узел электрической цепи.

  • Ветвь – участок электрической цепи с одни и тем же током.
  • Узел – точка соединения трех или более ветвей.
  • Контур – замкнутый путь, проходящий через несколько узлов и ветвей разветвлённой электрической цепи.

При обходе надо учесть, что ветвь и узел могут одновременно принадлежать нескольким контурам. Правила Кирхгофа справедливы как для линейных, так и для нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений. Правила Кирхгофа широко применяются при решении задач электротехники за счет легкости в расчетах.

Алгоритм решения задач на законы Кирхгофа

Задачи на применение закона Кирхгофа решаются в школе не часто, и не во всех классах. Работая в школе, я давала законы Кирхгофа только тем ребятам, кто готовился к олимпиадам по физике, и учащимся, которые готовились в ВУЗы.
Задачи на использование законов Кирхгофа есть даже не всех сборниках задач, рекомендованных для использования в средней школе.

Ниже приведён алгоритм решения задач по данной теме. Алгоритм не сложен. Использование данного алгоритма поможет Вам в решении задач по этой теме.

Итак, начнем. Сначала необходимо выполнить некоторые подготовительные операции.

  • перерисовать схему
  • указать направление ЭДС источников тока
  • указать предполагаемое направление токов, текущих в каждом резисторе (если итоговый ответ будет отрицательным, то направление тока было изначально выбрано не верно)
  • выбрать направление обхода для всех линейно независимых контуров

После проведения предварительных операций, приступаем собственно к решению самой задачи.

  • Записываем первый закон Кирхгофа: сумма токов, втекающих и вытекающих в данный узел, равна нулю.

Важно! Если ток втекает в узел, то он берётся со знаком «плюс», если вытекает, то со знаком «минус». Число уравнений второго закона Кирхгофа равно n-1, где n — число узлов в данной схеме. (Узел — точка, в которой соединяются три проводника и более).

  • Записываем второй закон Кирхгофа для всех линейно независимых контуров: Сумма ЭДС в контуре равно сумме падений напряжений в каждом из этих контуров.

Важно! Если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то значение ЭДС берётся со знаком «плюс». Если направление ЭДС не совпадает с направлением обхода контура, то значение ЭДС берётся со знаком «минус». Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения на данном участке берётся со знаком «плюс». Если направление тока через какой-либо резистор не совпадает с направлением обхода в данном контуре, то падение напряжения берётся со знаком «минус».

Решаем систему получившихся уравнений, относительно неизвестных величин.

Чаще всего в задачах этого типа, основную сложность представляет именно решение системы получившихся уравнений.

Ниже показан пример решения задачи с использованием законов Кирхгофа. Обратите внимание ещё раз на основные этапы решения. Они полностью соответствуют алгоритму, описанному выше.

Вот условие этой задачи.

Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех резисторов и амперметра. В этой цепи R1 = 100 Ом, R2 = 50 Ом, R3 = 20 Ом, ЭДС элемента ?1 = 2 В. Амперметр регистрирует ток I3 = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС ?2 второго элемента. Сопротивлением амперметра и внутренним сопротивлением источников пренебречь.

Удачи в освоении этой довольно сложной темы!

Возникающие вопросы можете оставлять в комментариях.

Источник

Задача 1

Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи

Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:

Все эти три уравнения образуют систему

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Содержание:

Законы Кирхгофа

Уравнения, описывающие поведение электрической цепи, составляют на основе законов Кирхгофа. Они определяют связь между токами и напряжениями элементов, образующих цепь. Уравнения, составленные согласно этим законам, называют уравнениями Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах электрической цепи.

Он формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

В уравнении (3.1) токи, направленные от узла, записывают с положительным знаком. Токи, направленные к узлу, записывают со знаком минус.

Система уравнений по первому закону Кирхгофа, записанная для всех узлов цепи, линейно зависима. В этом легко убедиться, сложив все уравнения. Поскольку ток каждой ветви входит в два уравнения с разными знаками, сумма тождественно равна нулю. Поэтому число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно

, где — число узлов цепи.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контуре цепи:

Алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю:

Если напряжение ветви совпадает с направлением обхода контура, то напряжению приписывают знак плюс, если же нет — знак минус. Перенесем напряжения источников напряжения, равные ЭДС этих источников, в правую часть. Уравнение (3.2) примет вид

В соответствии с последним равенством алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре электрической цепи равна алгебраической сумме ЭДС источников.

Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров. Число таких контуров определяется формулой

, где — число ветвей.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Порядок составления уравнений но законам Кирхгофа

1. Необходимо сначала выбрать положительные направления токов и напряжений ветвей. Положительное направление тока показывают стрелкой на выводе элемента. Положительное направление напряжения показывают стрелкой, расположенной рядом с элементом. Полярности напряжений резисторов выбирают согласованными с направлениями токов. Направления токов источников напряжения выбирают совпадающими с направлениями ЭДС.

2. Записываем уравнения по первому закону Кирхгофа для

узлов.

3. Выбираем направления обхода контуров и записываем уравнения по законам Кирхгофа. Сопротивление проводника, соединяющего элементы, очень мало по сравнению с сопротивлением резистора и игнорируется. Ячейки внутренней цепи удобно выбирать в качестве независимых цепей. Можно воспользоваться и другим способом: выбрать по порядку контуры, так, чтобы каждый следующий контур содержал, по меньшей мере, одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры.

4. Решаем полученную систему уравнений и определяем токи и напряжения цепи.

5. После определения токов и напряжений необходимо выполнить проверку. Для этого вычисленные значения переменных подставляют в одно из уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

При составлении уравнений в качестве неизвестных рассматривают либо токи, либо напряжения резистивных элементов.

В первом случае уравнения цепи составляют относительно неизвестных токов резистивных элементов и напряжений на источниках тока. Напряжения на резистивных элементах, входящие в уравнения по второму закону Кирхгофа, выражают через токи по закону Ома. Такой способ составления уравнений называют токов ветвей.

Число совместно решаемых уравнений в методе токов ветвей можно сократить, если контуры выбирать так, чтобы они не включали источники тока. В этом случае неизвестными будут только токи резистивных элементов, и по второму закону Кирхгофа достаточно составить

уравнений, где — количество источников тока.

Задача 2

Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2

Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.

На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными

Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины

Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками. Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.

Источник

Постоянный ток

Прочитав статейки про первый и второй законы Кирхгофа, уважаемый читатель может сказать: «Хорошо, MyElectronix, ты рассказал мне, конечно, интересные штуки, но что мне дальше с ними делать? Пока по твоим словам я заключил, что если я соберу ручками схему, то я смогу в каждом ее узле и в каждом контуре намерить вот такие вот зависимости. Это здорово, но я хотел бы рассчитывать схемы, а не просто наблюдать зависимости!»

Господа, все эти замечания абсолютно верные и в ответ на них можно лишь рассказать о расчете электрических схем с помощью законов Кирхгофа. Без лишних слов перейдем сразу к делу!

Начнем с самого простейшего случая. Он изображен на рисунке 1. Допустим, ЭДС источника питания равна Е1=5 В, а сопротивления R1=100 Ом, R2=510 Ом, R3=10 кОм. Требуется рассчитать напряжения на резисторах и ток через каждый резистор.

Господа, замечу сразу, эту задачу можно решить гораздо более простым способом, чем с применением законов Кирхгофа. Однако сейчас наша задача не искать оптимальные способы решения, а на наглядном примере рассмотреть методику применения законов Кирхгофа при расчете схем.

Рисунок 1 – Простая схема

В этой схеме мы можем видеть три контура. Если возник вопрос – а почему три, то рекомендую посмотреть статью про второй закон Кирхгофа . В той статье имеется практически такая же схема с наглядным пояснением методики расчета числа контуров.

Господа, хочу отметить один тонкий момент. Хоть контура и три, независимых из них только два. Третий контур включает в себя все остальные и не может считаться независимым. И вообще всегда при всех расчетах мы должны использовать только независимые контура. Не поддавайтесь искушению записать еще одно уравнение за счет этого общего контура, ничего хорошего не выйдет .

Итак, будем использовать два независимых контура. Для этого зададимся в каждом контуре направлением обхода контура. Как мы уже говорили, это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода каждого контура нарисуем синей стрелкой.

Далее зададимся направлением токов в ветвях: просто проставим его наугад. Не важно, угадаем мы сейчас направление или нет. Если угадали, то в конце расчета мы получим ток со знаком плюс, а если ошиблись – со знаком минус. Итак, обозначим токи в ветвях черными стрелочками с подписями I1, I2, I3.

Мы видим, что в контуре №1 направление токов I1 и I3, а также направление источника питания совпадают с направлением обхода, поэтому будем считать их со знаком плюс. В контуре №2 ток I2 совпадет с направлением обхода, поэтому будет со знаком плюс, а ток I3 направлен в другую сторону, поэтому будет со знаком минус. Запишем второй закон Кирхгофа для контура №1:

Задачи на правило Кирхгофа с решением

Мы уже писали про закон Ома, а также параллельное и последовательное соединение проводников. Но это были цветочки. Сегодня разберемся с задачами посложнее: посмотрим, как решаются задачи на правила Кирхгофа.

Не забывайте подписаться на наш телеграм-канал: там вас ждут актуальные новости сферы образования, полезные лайфхаки и скидки для студентов.

Поурочный план_ 2_Законы Кирхгофа

Раздел долгосрочного плана

10.3В – Постоянный ток

Школа: 

ФИО учителя:

Дата:

 

 

Класс: 10

Количество присутствующих:

 

отсутствующих: –

Тема урока

Законы Кирхгофа

 

Вид урока

Урок отработки навыков решения задач

Цели обучения, которые достигаются на данном  уроке

10.

4.2.6 – применять законы Кирхгофа к разветвленным электрическим цепям

 

Цели урока

– применять первый закон Кирхгофа при решении задач;

– применять второй закон Кирхгофа при решении задач;

– применять универсальный метод для  расчета сложных цепей.

Критерии оценки

Знание : понятия – узел. Ветвь, контур

Понимание: Понимать первый и второй законы Кирхгофа

Применение: законы при решении задач

Анализ: анализировать условие задачи и результат расчетов.

Синтез: решение задач практического характера.

Оценивание: самооценка своей деятельности

Языковые цели

Учащиеся могут …

читать сложные цепи, записывать уравнения по первому и второму законам Кирхгофа

Словарь специфических терминов и терминология: узел, ветвь, контур направление обхода контура.

Набор полезных фраз для общения/письма: для расчета цепи необходимо найти токи на всех участках цепи;

Сила тока на участке цепи прямо пропорциональна…

Общее сопротивление цепи при смешанном соединении…;

падение напряжения на концах проводника;

Привитие ценностей

 

Развивать мышление учащихся, интерес к изучению физики.
Воспитывать положительное отношение к труду.

Обучение на протяжении всей жизни

Межпредметные связи

Умение решать систему линейных уравнений ученики научились на математике

Первоначальные знания

Закон Ома для полной цепи; источники постоянного тока; закон Ома для участка цепи;  элементы электрических схем и их обозначения; последовательное и параллельное соединение проводников; энергия и мощность электрического тока. Законы Кирхгофа.

План

Этапы урока

Запланированная деятельность на уроке

Ресурсы

Начало

1 мин.

 

2-3 мин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 мин

 

 

  1. Организационный момент 

 

2.      « Проверка и актуализация опорных знаний »

Цель: Проверить понимание темы предыдущего урока.Систематизировать знания учеников, настроить на отработку навыков решения задач на расчет сложных цепей

Описание: Ученики открывают тетради с выполненным домашним заданием. Учитель узнает – нет ли вопросов по решению домашней задачи у учеников. Если вопросов нет, то учитель задает наводящие вопросы по решению задачи. Отвечает  ученик по выбору учителя.Если есть вопросы, то учитель просит ответить на них учеников, справившихся с решением.

Деятельность учителя: задает вопросы, контролирует ответы учеников и их обсуждение.

Деятельность ученика: отвечает на вопрос. Слушают остальных учеников, дополняет и комментирует ответы.

Оценивание: самооценка. Взаимооценка, проверка знаний по теме.

  1.  « Формулировка темы урока. Постановка цели урока»

Деятельность учителя: Учитель сообщает тему урока  “Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей”. Сообщает цель обучения и цели урока.

 

 

Слайд № 2-4

 

 

 

 

 

 

Слайд № 5-7

 

Середина

10 мин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15 мин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5-7 мин

 

4.      «Практическое применение законов Кирхгофа»

Цель: Познакомить учеников с практическим применением законов Кирхгофа..

Описание: Ученики просматривают видео, зарисовывают схемы в тетрадь, записывают результаты опыта, делают выводы. Ученики выполняют работу самостоятельно. (Используются индивидуальные компьютеры или видео транслируются на интерактивной доске)

Деятельность учителя: Учитель контролирует выполнение задание всеми учениками, оказывает поддержку ученикам, не справляющимся с заданием. Учитель может останавливать трансляцию видео, задавать дополнитнльные вопросы.

Деятельность ученика: Ученики самостоятельно выполняют задание. Делают выводы, правильно зарисовывают схемы и подключение измерительных приборов.

Оценивание:  Самооценка

 

5.      «Решение задач»

Цель: Отработать навыки решения задач по теме  – законы Кирхгофа»

Описание: Задачи №10.86 (задачник по физике авт. Волькенштейн В.Л.) и № 21.30 ( задачник по физике  авт. Гольдфабр Н.И.). Если нет задачника, условие можно взять из видео «Урок265». При необходимости можно ученикам дать возможность просмотреть решение задачи или проверить решение после самостоятельного решения.

Деятельность учителя: Учитель объясняет алгоритм  решения задач, контролирует выполнение всеми учениками, оказывает поддержку ученикам, не справляющимся с заданием. Ведет беседу с учениками и демонстрирует  выводы на доске.

Деятельность ученика: Ученики ведут записи в тетрадях, Ведут совместные рассуждения, выполняют самостоятельно расчеты, сравнивают результаты. По готовым ответам проверяют себя.

Оценивание:  Самооценка

 

6.      «Проверка усвоения знаний и умений»

Цель: Проверка усвоения материала .

Описание: Тестовые задания, которые позволят быстро проверить первичные знания учеников. Ученики выполняют самостоятельно.

Деятельность учителя: Учитель объясняет правила выполнения теста, контролирует выполнение всеми учениками, оказывает поддержку ученикам, не справляющимся с заданием.

Деятельность ученика: Ученики самостоятельно выполняют задание. По готовым ответам проверяют себя.

Оценивание:  Самооценка  (по слайду)

 

Видео 1 и 2 закон

Слайд № 8

 

 

 

 

 

 

 

Видео урок № 265

Слайды №10

 

 

 

 

 

Приложение 4

 

Слайд № 12

 

 

Конец

2 мин

 

 

 

 

1 мин

 

1.      «Рефлексия»

Цель: проверить усвоение материала

Описание: беседа – что узнали нового? – где используется изученное? – что вам дает умение вести расчеты сложных цепей?

Оценивание: обратная связь

  1. Домашняя работа § 9,6,   Б. Кронгарт, В.Кем, Физика, учебник для 10 кл.,- Алматы «Мектеп» ,2010

Задача № 10.91 , (задачник по физике авт. Волькенштейн В.Л.

 

 

Слайд № 13

 

 

Слайд № 14

 

Дополнительная информация

Дифференциация – как Вы планируете оказать больше поддержки? Какие задачи Вы планируете поставить перед более способными учащимися?

Оценивание – как Вы планируете проверить уровень усвоения материала учащихся?

Межпредметные связи

При объяснении нового материала трудно дифференцировать подаче материала. Для учеников самостоятельно изучающих физику и опережающих программу следует подготовить дополнительные задания с критериями оценивания.

Самооценка учеников по готовым ответам при выполнении теста.

Во время изучения нового материала – обратная связь и поддержка со стороны учителя.

При решении системы линейных уравнений ученики используют знания, полученные на уроках математики.

Общая оценка

 

Какие два аспекта урока прошли хорошо (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1: Коллективная работа при осмыслении нового материала.

2:Использование слайдов при поэтапном разборе решения задачи.

Какие две вещи могли бы улучшить урок (подумайте как о преподавании, так и об обучении)?

1: Просмотр видеоролика каждым учеником самостоятельно, позволит ускорить понимание продвинутым ученикам и при необходимости, повторить просмотр некоторым ученикам

2: Проверить выполнение законов Кирхгофа ри выполнении практической работы.

Что я узнал(а) за время урока о классе или отдельных учениках такого, что поможет мне подготовиться к следующему уроку?

Следующий урок следует начать с проверки решения домашней задачи. Обязательно про решать несколько задач на расчет сложных цепей.

 

Электротехника ТОЭ: 1.5.2. Законы Кирхгофа

Теория  /  1.5. Основные законы, действующие в электрических цепях  /  1.5.2. Законы Кирхгофа

Для расчета электрических цепей используют два закона Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи и выражает баланс токов в них.

Первый закон Кирхгофа состоит в том, что алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. В общем виде формулировку этого закона можно записать как


Возьмем произвольный узел, в котором протекают токи, указанные стрелками (рис. 1.21).

 

Токи, направленные к узлу берутся с одним знаком,  токи, направленные от узла – с противоположным. Будем считать положительными токи, направленные от узла, тогда первый закон Кирхгофа запишется


Это выражение можно преобразовать, перенеся отрицательные токи в правую часть,


Отсюда следует другая формулировка первого закона Кирхгофа: сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, отходящих от узла. Это говорит о том, что в узле заряд не накапливается.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и выражает баланс напряжений в них: алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура. При составлении уравнений действует следующее правило знаков:  электродвижущая сила  берется со знаком плюс, если ее действие совпадает с направлением обхода контура, падение напряжения берется со знаком плюс, если направление тока в элементе совпадает с направлением обхода контура, в противном случае знак – минус. Для  доказательства рассмотрим разветвленную электрическую цепь, представленную на рис. 1.22.


Выберем направление обхода контура по часовой стрелке и определим потенциалы точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1. Начнем с точки 1, считая потенциал этой точки   φ1 известным.  ЭДС, направленная вдоль контура, повышает потенциал, тогда потенциал точки 2 определится выражением

На участке 2 – 3 ток течет вдоль обхода контура от точки 2 к точке 3, следовательно, потенциал точки 3 ниже потенциала точки 2 на величину падения напряжения на сопротивлении R2 . В этом случае потенциал третьей точки выразится через потенциал второй в соответствии с  формулой

На участках с сопротивлениями R4  и  R5  ток направлен против обхода контура, следовательно, вдоль обхода потенциалы повышаются:

Аналогично определим потенциалы остальных точек:

Изменение потенциала вдоль замкнутого контура равно нулю, так как мы вышли из точки с потенциалом φ1 и возвращаемся в эту же точку:

Подставляя в эту формулу выведенные выше выражения для потенциалов, получим

Поскольку сумма потенциалов равна нулю, то получим

Задачи по “Электротехнике” – Задача

Задача 1. Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке, по заданным сопротивлениям и ЭДС источника выполнить следующее: составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа, найти все токи, пользуясь методом контурных токов, составить баланс мощностей для заданной схемы.


[pic 1]

Исходные данные: R1=2 Ом, R2=2 Ом, R3=6 Ом, R4=6 Ом, R5=4 Ом, R6=4 Ом, Е1=25 В, Е2=25 В.

Решение

Составим систему уравнений на основании законов Кирхгофа для определения токов во всех ветвях цепи.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре электрической цепи равна сумме падений напряжения на всех участках контура.

Произвольно намечаем направления токов ветвей. Цепь имеет n=4 узла, следовательно, записываем (n-1)=3 уравнения по первому закону Кирхгофа.

[pic 2]

Произвольно намечаем обхода контуров (все направления обхода выбираем против часовой стрелки) и по второму закону Кирхгофа записываем m-(n-1), где m – количество неизвестных токов цепи, m=6, следовательно, имеем 6-3=3 уравнения по второму закону Кирхгофа.

[pic 3]

Решая систему из 6 уравнений, находят токи. Если значения некоторых токов отрицательные, то действительные направления их будут противоположны первоначально выбранным.

Для определения токов по методу контурных токов, обозначим на схеме контурные токи и запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов.

[pic 4]

[pic 5]

Систему уравнения с тремя неизвестными решаем методом Крамера. Представим уравнение в матричной форме:

[pic 6]

Найдем определители матриц:

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Находим значения контурных токов:

[pic 11]

Определяем значения токов ветвей:

[pic 12]

Направления токов I3 и I6 противоположны выбранным.

Составляем баланс мощностей:

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Как видим, баланс мощностей совпадает, что говорит о правильности расчетов.

Задача 3. Для электрической цепи, схема которой изображена на рисунке по заданным параметрам и ЭДС определить токи во всех ветвях цепи и напряжения на отдельных участках символическим методом, составить баланс активной и реактивной мощностей, построить векторную диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости.

[pic 16]

Исходные данные:

Е=200 В, f=50 Гц, С2=318 мкФ, С3=200 мкФ, L1=15,9 мГн, L3=95 мГн, r1=8 Ом, r3=4 Ом.

Решение

Символический метод расчета цепей переменного тока позволяет рассчитывать их как цепи постоянного тока.

Определяем сопротивления реактивных элементов.

[pic 17]

Определяем полные сопротивления ветвей:

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Ветви 2 и 3 соединены параллельно:

[pic 21]

Полное сопротивление цепи:

[pic 22]

Ток в неразветвленной части цепи:

[pic 23]

Напряжение на неразветвленной части цепи:

[pic 24]

Напряжение на параллельных ветвях:

[pic 25]

Ток через ветвь 2:

[pic 26]

Ток через ветвь 3:

[pic 27]

Комплексная мощность цепи:

[pic 28]

Активная мощность источника:

[pic 29]

Реактивная мощность источника:

[pic 30]

Активная и реактивная мощности приемников:

[pic 31]

[pic 32]Как видим, баланс активных и реактивных мощностей сходится, что говорит о правильности расчетов.

Напряжения на элементах схемы:

[pic 33]

На комплексной плоскости в масштабе откладываем векторы в соответствии с расчетными значениями, при этом положительные фазы отсчитываем от  оси +1 против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке.

Примеры закона напряжения Кирхгофа – ваше руководство по электрике

Законы Кирхгофа очень полезны при решении электрических сетей, которые нелегко решить с помощью закона Ома. В этой статье я опишу эти законы и покажу некоторые из примеров закона напряжения Кирхгофа , чтобы сделать эти законы легко понятными. Законов Кирхгофа, всего два, следующие:

  • Действующий закон Кирхгофа
  • Закон напряжения Кирхгофа или закон петли Кирхгофа

Действующий закон Кирхгофа


Этот закон гласит, что « Алгебраическая сумма всех токов , встречающихся в точке или стыке в электрической цепи, равна нулю ».

  • Рассмотрим пять проводов, по которым проходит ток I 1 , I 2 , I 3 , I 4 , I 5 , пересекающихся в точке O.
  • Чтобы получить алгебраическую сумму, нужно учитывать силу тока.
  • Если мы примем поток тока к точке O как положительный, то поток тока от точки O будет отрицательным.


Применение закона Кирхгофа,

Алгебраическая сумма тока в точке O = ноль

i.е. I 1 + I 2 + (-I 3 ) + (-I 4 ) + (-I 5 ) = 0

или I 1 + I 2 = I 3 + I 4 + I 5

, т.е. входящие токи = исходящие токи

Следовательно, закон Кирхгофа по току можно также сформулировать следующим образом: « Сумма входящих токов равна сумме исходящих токов при точка или соединение в электрической цепи ».

Закон Кирхгофа о напряжении


Этот закон относится к напряжениям и применяется к замкнутой цепи или сети, поэтому он также известен как Закон петли Кирхгофа .

Этот закон гласит, что « В любой замкнутой цепи или сети алгебраическая сумма всех ЭДС плюс алгебраическая сумма падений напряжения равна нулю ».

Условные обозначения


Каждый раз, когда закон Кирхгофа должен применяться к любой замкнутой цепи, необходимо учитывать сеточную алгебраическую сумму ЭДС и падений напряжения. Следовательно, ЭДС и падения напряжения должны иметь соответствующий знак.

Повышение потенциала следует рассматривать как положительное, а снижение – как отрицательное.

Знаки подавать в ЭМП


При отслеживании любой цепи, , если мы перейдем от отрицательной клеммы батареи или источника ЭДС к положительной клемме, будет наблюдаться повышение потенциала, и он должен получить знак + ve.

Принимая во внимание, что , если мы перейдем от положительной клеммы к отрицательной, произойдет падение потенциала, и ему следует присвоить знак –ve.


Следует отметить, что знак ЭДС не зависит от направления тока .

Знаки падения напряжения


Когда ток проходит через сопротивление, происходит падение напряжения (IR).

Если мы пойдем в направлении протекания тока, падению напряжения (падению потенциала) следует присвоить отрицательный знак, поскольку ток течет от более высокого потенциала к более низкому потенциалу.

Однако, , если мы пойдем в направлении, противоположном течению тока, падению напряжения (повышению потенциала) следует присвоить положительный знак.


Следует отметить, что знак падения напряжения зависит от направления протекания тока через сопротивление.

Шаги по устранению цепей в соответствии с законом Кирхгофа о напряжении

  • Отметьте направление протекания тока в различных ветвях цепи в соответствии с Законом Кирхгофа о токе.
  • Выберите количество замкнутых контуров, равное количеству неизвестных величин.
  • Найдите алгебраическую сумму падений напряжения и ЭДС в этой цепи и положите их сумму равной нулю.
  • После решения проблемы, если вычисленное значение тока имеет знак + ve, это указывает на правильность принятого направления. Если он имеет знак –ve, это означает, что фактическое направление потока тока противоположно предполагаемому направлению.


Пример : Примените закон напряжения Кирхгофа к прилегающей цепи и вычислите ток в каждой ветви цепи.


Решение:

  • Чтобы решить эту схему, отметьте точки A, B, C, D, E, F.
  • Примените закон Кирхгофа по току на переходе B, отметьте предполагаемое направление потока тока в различных ветвях, то есть входящие токи = исходящие токи.
  • В этой задаче есть две неизвестные величины (I 1 и I 2 ). Следовательно, мы должны выбрать два замкнутых контура, чтобы решить задачу .

Ток, идущий от положительной пластины ячейки 3 В, равен I 1 . Этот ток после прохождения через сопротивление 10 Ом делится на две части в точке B.

Одна часть I 2 проходит через сопротивление 20 Ом и сопротивление 50 Ом, а оставшаяся часть I 1 – I 2 проходит через сопротивление 15 В Ом.

Оба тока встречаются в точке E, и снова ток I 1 достигает отрицательной пластины ячейки.


Рассмотрим замкнутый путь ABEFA.

Если проследить замкнутый путь в направлении ABEFA, различные падения напряжения и ЭДС будут иметь следующие знаки:

  • Падение напряжения на 10 Ом = 10 I 1 отрицательное (падение потенциала).
  • Падение напряжения в 15 Ом = 15 (I 1 – I 2 ) отрицательное (падение потенциала).
  • ЭДС = 3 положительных (рост потенциала).

Применяя закон Кирхгофа к сетке ABEFA, мы получаем:

– 10 I 1 – 15 (I 1 – I 2 ) + 3 = 0

или – 10 I 1 – 15 I 1 + 15 I 2 +3 = 0
или – 25 I 1 + 15 I 2 + 3 = 0

или 25 I 1 – 15 I 2 – 3 = 0… …….(i)

Теперь, чтобы получить второе уравнение, рассмотрим замкнутый путь BCDEB .

Если проследить замкнутый путь в направлении BCDEB, различные падения напряжения и ЭДС будут иметь следующие знаки:

  • Падение напряжения в 20 Ом = 20 I 2 отрицательное (падение потенциала).
  • Падение напряжения на 50 Ом = 50 I 2 отрицательное (падение потенциала).
  • Падение напряжения в 15 Ом = 15 (I 1 – I 2 ) положительное (повышение потенциала).
  • ЭДС = 0 (в этой сетке нет источника ЭДС).

Применяя закон Кирхгофа к сетке BCDEB, мы получаем:

– 20 I 2 – 50 I 2 + 15 (I 1 – I 2 ) + 0 = 0

или – 20 I 2 -50 I 2 + 15 I 1 -15 I 2 ) = 0
или – 85 I 2 + 15 I 1 = 0
или – 17 I 2 + 3 I 1 = 0

или 3 I 1 – 17 I 2 = 0 ……….(ii)

Решая уравнения (i) и (ii), мы получаем, что

I 1 = 0,134 A и
I 2 = 0,024 A


Пример : Схема показана на Фигура. Рассчитайте ток в каждой ветви цепи.

Решение :

  • Для решения вышеуказанной схемы отметьте точки A, B, C, D, E, F.
  • Примените закон Кирхгофа по току на соединении B, отметьте предполагаемое направление потока тока в различных ветвях i.е. Входящие токи = исходящие токи.
  • В этой задаче есть две неизвестные величины (I 1 и I 2 ). Следовательно, мы должны выбрать две замкнутые цепи для решения проблемы.

Рассмотрим замкнутый путь ABEFA .


Если проследить замкнутый путь в направлении ABEFA, различные падения напряжения и ЭДС будут иметь следующие знаки:

  • Падение напряжения в 20 Ом = 20 (I 1 + I 2 ) отрицательное (падение потенциала).
  • Падение напряжения на 6 Ом = 6 I 2 отрицательное (падение потенциала).
  • ЭДС = 140 положительных (рост потенциала).

Применяя закон Кирхгофа к сетке ABEFA, мы получаем:

– 20 (I 1 + I 2 ) – 6 I 2 + 140 = 0
или 20 I 1 + 26 I 2 = 140
или 10 I 1 + 13 I 2 = 70 …… .. (i)

Теперь, чтобы получить второе уравнение, рассмотрим замкнутый путь BCDEB .

Если проследить замкнутый путь в направлении BCDEB, различные падения напряжения и ЭДС будут иметь следующие знаки:

  • Падение напряжения в 5 Ом = 5 I 1 отрицательное (падение потенциала).
  • Падение напряжения на 6 Ом = 6 I 2 положительное (рост потенциала).
  • ЭДС = 90 минус (падение потенциала).

Применяя закон Кирхгофа к сетке BCDEB, мы получаем:

– 5 I 1 – 90 + 6 I 2 = 0
или – 5 I 1 + 6 I 2 = 90 ……… .(ii)

Решая уравнения (i) и (ii), получаем:

I 2 = 10 A
I 1 = – 6 A

Следовательно, ток в ветви BE равен 10 A, ток в ветви BC составляет 6 A (но противоположно предполагаемому направлению , потому что I 1 имеет отрицательный знак в решении), а ток в ветви AB равен 16 A.

Спасибо за чтение примерно примеров закона Кирхгофа . Если вам нужна помощь в домашнем задании по физике от экспертов, посетите этот сайт, чтобы выполнять свои задания онлайн.

Основные понятия | Все сообщения

© www.yourelectricalguide.com/ Примеры законов напряжения kirchhoff.

Закон Кирхгофа с примерами задач и расчетов

ЗАКОН КИРХОФФА

Первый закон Кирхгофа – Текущий закон, (KCL)

“Полный ток или заряд, входящий в соединение или узел, в точности равен заряд покидает узел, поскольку ему некуда идти, кроме как уйти, поскольку в узле заряд не теряется ».

Другими словами, алгебраическая сумма ВСЕХ токов, входящих и выходящих из узла, должна быть равна нулю,

I (выход) + I (вход) = 0.

Эта идея Кирхгофа известна как Сохранение заряда .


Здесь все 3 тока, входящие в узел, I1, I2, I3, имеют положительное значение, а 2 тока, выходящие из узла, I4 и I5 имеют отрицательное значение.

Тогда это означает, что мы также можем переписать уравнение как; I1 + I2 + I3 – I4 – I5 = 0

Второй закон Кирхгофа – Закон напряжения, (KVL)

В любой замкнутой сети общее напряжение около Петля равна сумме всех падений напряжения в той же петле , которая также равна нулю. Другими словами, алгебраическая сумма всех напряжений в контуре должна быть равна нулю.Эта идея Кирхгофа известна как «Сохранение энергии» .

Запуск в любой точке цикла, продолжайте в том же направлении, отмечая направление всех падений напряжения, положительных или отрицательных, и возвращаясь к той же начальной точке. Важно поддерживать одно и то же направление по часовой стрелке или против часовой стрелки, иначе итоговая сумма напряжений не будет равна нулю.

Мы можем использовать закон напряжения Кирхгофа при анализе последовательных цепей.


Задача 1:

Через сопротивление 10 Ом протекает ток 0,5 А. Найдите разность потенциалов между его концами.

Решение:

Ток I = 0,5 А.

Сопротивление R = 10 Ом

Разность потенциалов V =?

V = IR

= 0,5 × 10

= 5 В.

Проблема: 2

На резистор 100 подается напряжение питания 220 В. Найдите ток, протекающий через него.

Решение:

Напряжение V = 220 В Сопротивление R = 100 Ом Ток I = V / R

= 2 2 0/100

= 2,2

= 2,2 А.

Проблема: 3

Рассчитайте сопротивление проводника, если через него протекает ток 2 А, когда разность потенциалов на его концах составляет 6 В.

Решение:

Ток I = 2A. Разность потенциалов = V = 6. Сопротивление R = V / I

= 6/2

= 3 Ом.

Проблема: 4

Рассчитайте ток и сопротивление электрической лампочки 100 Вт, 200 В.

Решение:

Мощность, P = 100 Вт

Напряжение, В = 200 В Мощность p = VI

Ток I = P / V

= 100/200

= 0 .5A

Сопротивление R = V / I

= 200 / 0,5

= 400 Вт.

Проблема: 5

Рассчитайте номинальную мощность змеевика нагревателя при питании 220 В при 5 А.

Решение:

Напряжение, В = 220 В Ток, I = 5A, Мощность, P = VI

= 220 × 5

= 11002 = 11002 = 220 × 5

= 11002 = 11002 = 11002 1.1 кВт.

Проблема: 6

Цепь состоит из 0,4 провода, Ωa 150bulbΩ и реостата 120 , подключенных последовательно Ω . Определите полное сопротивление цепи.

Решение:

Сопротивление провода = 0,4 Сопротивление колбы = 1 5 0 Ом Сопротивление реостата = 120 Ом

Последовательно,

Общее сопротивление R = 0.4 + 150 +120 = 270,4 Ом

Проблема: 7

Три сопротивления величинами 2 Ом, 3 Ом подключены и последовательно 5 Ом через 20 В, источник постоянного тока

(а) эквивалентное сопротивление цепи (б) полный ток цепи (в) падение напряжения на каждом резисторе и (г) мощность, рассеиваемая в каждом резисторе.

Решение:

Общее сопротивление R = R1 + R 2+ R3.

= 2 + 3 + 5 = 10 Ом

Напряжение = 20 В

Общий ток I = V / R = 20/10 = 2A.

Падение напряжения на резисторе 2 Ом V1 = I R1

= 2 × 2 = 4 В.

Падение напряжения на резисторе 3 Ом V 2 = IR2

= 2 × 3 = 6 вольт.

Падение напряжения на резисторе 5 Ом V3 = I R3

= 2 × 5 = 10 вольт.

Мощность, рассеиваемая на резисторе 2 Ом, равна P1 = I2 R1

= 22 × 2 = 8 Вт.

Мощность, рассеиваемая на резисторе 3, равна P2 = I2 R2.

= 22 × 3 = 12 Вт.

Мощность, рассеиваемая на резисторе 5, равна P3 = I2 R3

= 22 × 5 = 20 Вт.

Проблема: 8

Лампа может работать от сети 50 В и потребляющей ток 2 А. Какое значение сопротивления необходимо подключить к нему последовательно, чтобы он мог работать от сети 200 вольт, давая такую ​​же мощность.

Решение:

Напряжение лампы, В = 50 В Ток, I = 2 ампера.

Сопротивление лампы = V / I = 50/25 = 25 Ом

Сопротивление, подключенное последовательно с лампой = r.

Напряжение питания = 200 вольт.

Ток цепи I = 2A

Общее сопротивление Rt = V / I = 200/2 = 100 Ом

Rt = R + r 100 = 25 + r

r = 75 Ом

Проблема: 9

Найдите ток, протекающий в резисторе 40 Ом,


Решение:

Схема имеет 3 ответвления, 2 узла ) и 2 независимых петли.

Используя закон Кирхгофа, KCL уравнения представлены как;

В узле A: I1 + I2 = I3

В узле B: I3 = I1 + I2

Используя закон напряжения Кирхгофа, KVL уравнения представлены в виде;

Цикл 1 задается как: 10 = R1 x I1 + R3 x I3 = 10I1 + 40I3

Цикл 2 задается как: 20 = R2 x I2 + R3 x I3 = 20I2 + 40I3

Цикл 3 задается как: 10-20 = 10I1 – 20I2

Поскольку I3 является суммой I1 + I2, мы можем переписать уравнения в виде;

Ур.Нет 1:10 = 10I1 + 40 (I1 + I2) = 50I1 + 40I2

Уравнение №2: 20 = 20I1 + 40 (I1 + I2) = 40I1 + 60I2

Теперь у нас есть два «Одновременных уравнения», которые могут Чтобы получить значение I1 и

I2

Замена I1 на I2 дает нам значение I1 как -0,143 А

Замена I2 на I1 дает нам значение I2 как +0,429 А

Как: I3 = I1 + I2

Ток, протекающий в резисторе R3, определяется как: -0.143 + 0,429 = 0,286 А, а напряжение на резисторе R3 определяется как: 0,286 x 40 = 11,44 В

Задача: 10

Найдите ток в цепи, используя закон напряжения Кирхгофа


Решенная задача о законах Кирхгофа

В приведенной ниже схеме найдите токи и их направления.

Данные о проблемах

Резисторы:
  • R 1 = 0,5 Ом;
  • R 2 = 0,5 Ом;
  • R 3 = 1 Ом;
  • R 4 = 0,5 Ом;
  • R 5 = 0,5 Ом;
  • R 6 = 3 Ом;
  • R 7 = 1 Ом.
Батареи:
  • E 1 = 20 В;
  • E 2 = 20 В;
  • E 3 = 6 В;
Решение

Сначала мы произвольно выбираем направление тока для каждой ветви цепи. В филиале EFAB , у нас текущий i 1 по часовой стрелке, в ветке BE текущий i 2 от От B до E и в ответвлении EDCB текущий i 3 в направлении против часовой стрелки.Во-вторых, для каждого цикла схемы мы назначаем направление, также произвольно, для пересечения сетки. Α-сетка ( ABEFA ) по часовой стрелке и β-сетка ( BCDEB ) также по часовой стрелке. Все эти элементы мы видим на рисунке 1.

Рисунок 1
  • Использование Первого закона Кирхгофа
Токи i 1 и i 3 текут в узел B , а ток i 2 вытекать из узла.

\ [ i_ {2} = i_ {1} + i_ {3} \ tag {I} \]

  • Использование Второго закона Кирхгофа
Для α-сетки от точки A в выбранном направлении, забывая β-сетку (рисунок 2), мы имеем фигура 2

\ [ R_ {2} i_ {1} + R_ {4} i_ {2} + E_ {2} + R_ {5} i_ {2} + R_ {3} i_ {1} + R_ {1} i_ {1} – E_ {1} = 0 \]

подставляя данные задачи

\ [ \ begin {align} 0.5i_ {1} + 0,5i_ {2} + 20 + 0,5i_ {2} & + 1i_ {1} + 0,5i_ {1} -20 = 0 \\ 2i_ {1} + i_ {2} & = 0 \ tag {II} \ end {align} \]

Для α-сетки от точки B в выбранном направлении, забывая β-сетку (рисунок 3), мы имеем фигура 3

\ [ -R_ {6} i_ {3} + E_ {3} -R_ {7} i_ {3} -R_ {5} i_ {2} -E_ {2} -R_ {4} i_ {2} = 0 \]

подстановка данных

\ [ \ begin {align} -3i_ {3} + 6-1i_ {3} -0.5i_ {2} & – 20-0,5i_ {2} = 0 \\ -i_ {2} -4i_ {3} – & 14 = 0 \\ -i_ {2} -4i_ {3} & = 14 \ tag {III} \ end {align} \]

Уравнения (I), (II) и (III) могут быть записаны в виде системы линейных уравнений с тремя переменными ( i 1 , i 2 и i 3 )

\ [ \ left \ {\ begin {массив} \; i_ {2} = i_ {1} + i_ {3} \\ \; 2i_ {1} + i_ {2} = 0 \\ \; – i_ {2} -4i_ {3} = 14 \ end {array} \ right.\]

решение второго уравнения относительно i 1

\ [ i_ {1} = \ frac {- {i_ {2}}} {2} \ tag {IV} \]

решение третьего уравнения относительно i 2

\ [ i_ {3} = \ frac {-14-i_ {2}} {4} \ tag {V} \]

подставив выражения (IV) и (V) в первое уравнение

\ [ i_ {2} = \ frac {- {i_ {2}}} {2} + \ frac {\ left (\; – 14-i_ {2} \; \ right)} {4} \\ -i_ {2} – \ frac {i_ {2}} {2} + \ frac {\ left (\; – 14-i_ {2} \; \ right)} {4} = 0 \]

наименьшее общее кратное ( LCM ) из 1, 2 и 4 равно 4

\ [ \ begin {align} \ frac {-4i_ {2} -2i_ {2} -14-i_ {2}} {4} = 0 \; \\ -4i_ {2} -2i_ {2} -14-i_ {2} = 0 \ times 4 \\ -7i_ {2} -14 = 0 \ qquad \ quad \\ -7i_ {2} = 14 \ qquad \ qquad \\\ i_ {2} = \ frac {14} {- 7} \ qquad \ qquad \\\ i_ {2} = – 2 \; \ text {A} \ qquad \ quad \ \ tag {VI} \ end {align} \]

подставляя значение (VI) в выражения (IV) и (V), находим значения i 1 и i 3 соответственно

\ [ i_ {1} = \ frac {- {(\; – 2 \;)}} {2} \\ i_ {1} = 1 \; \ текст {A} \]

\ [ i_ {3} = \ frac {-14 – (\; – 2 \;)} {4} \\ i_ {3} = \ frac {-14 + 2} {4} \\ i_ {3} = \ frac {-12} {4} \\ i_ {3} = – 3 \; \ text {A} \]

Поскольку значения токов, i 2 и i 3 , отрицательны, это означает, что их реальные направления противоположны предполагаемым на рисунке 1.Значения токов равны i 1 = 1 А, i 2 = 2 А, а также i 3 = 3 А, и их направления показаны на рисунке 4. фигура 4

Лекция (L2-2) Законы Кирхгофа (KCL, KVL)

Вопрос дня:
Что такое законы Кирхгофа и как их применять? (Напишите себе поваренную книгу с подробностями для решения неизвестных I и V в схемах с использованием KCL и KVL).
Самооценка: ECE1250_Assess2_2.pdf

Введение: Законы Кирхгофа – это первый из нескольких методов, которые мы будем использовать для решения схемных проблем. Мы также будем использовать этот метод, чтобы ПОЛУЧИТЬ несколько других методов. Две основные концепции законов Кирхгофа являются ключевыми в электротехнике: (1) сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю и (2) сумма токов, входящих в узел, = сумма выходящих токов.

Справочный материал:

Учебник: Глава 2-2

Поваренная книга: законы Кирхгофа KCL KVL на одной странице.pdf

поваренная книга KVL KCl с матрицами.pdf

Поваренная книга (подробнее): KVL KCL Eq’ns и Cookbook: KVL KCL Complete Guide

Карты ECE Toolbox для планирования процедуры решения KVL languages.pdf

Делители напряжения и тока: поваренная книга VI.pdf

Видео-лекция:

L (2-2) Закон Кирхгофа KVL, KCL

Power Point для заметок: L (2-2) – законы Кирхгофа KCL KVL [режим совместимости].pdf

Указатель для L (2-2): pdf | docx

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ:

Ниже я привел несколько дополнительных примеров. Вам НЕ нужно смотреть их перед уроком. Они здесь для вашего будущего обзора по мере необходимости.

1. Дополнительный (Furse) видео пример законов Кирхгофа:

kvl.pdf (для заметок)

квл Пример закона Кирхгофа (с настроенной матрицей)

2. И еще пример

1 Уравнения KVL / KCL для получения I2 из I и V найти мощность

3 Найдите напряжения в узлах 4 Набор инструментов ECE

4. Дополнительные практические примеры (спасибо Арну Столпу):

Дополнительные примеры законов Кирхгофа.pdf

5. Другой пример, аналогичный задаче 2.27

Пример Кирхгофа

6. Дополнительные примеры

R последовательно и параллельно (2) и KVCL с Matlab и контрольными схемами.pdf

7. KVL KCL.pdf

8. Наши домашние задания в виде матричных уравнений:

Домашнее задание КВЛ с использованием матричных уравнений.pdf

проблема 2.27 неправильный и правильный путь.pdf

еще примеры из книги.pdf

9. Примеры из концептуальных инструментов доктора Коттера:

C Цирк: Кирхгоф: узел i sum

C Цикл: петля Кирхгофа: v

C Цирк: Кирхгофа: v i eqn’s: Ex1

C Цирк: Кирхгоф: v i eqn’s: Ex2

C Цикл: Кирхгофа: решить: Ex1

C Цикл: Кирхгофа: решить: Ex2

Другие примеры KVL / KCL:

Q2solSu19.pdf

Q2 sol Su18.pdf

Q2solU17.pdf

Q2sol su16.pdf

В классе: (Принесите записи из Вопроса дня)

Хаскелл, Ричард Э., Ханна, Даррин М .: 9780982497005: Amazon.com: Книги

Об авторе

Ричард Э. Хаскелл – заслуженный профессор инженерных наук факультета электротехники и вычислительной техники Оклендского университета в Рочестере, штат Мичиган.Он получил докторскую степень. окончил политехнический институт Ренсселера в 1963 году. Он проработал на факультете в Оклендском университете 46 лет, где он разработал и преподавал широкий спектр курсов для студентов и аспирантов, включая курсы по теории электромагнитного поля, когерентной оптике, распознаванию образов, компьютерному программированию, микропроцессорам и т. д. встроенные системы и цифровой дизайн. Его исследовательские интересы включали физику плазмы, голографию и когерентную оптику, распознавание образов и обработку изображений, компьютерное обучение, а также микропроцессорные приложения и встроенные системы.Он является автором более 30 книг, от динамики плазмы до цифрового дизайна. Даррин Ханна – доцент кафедры инженерии и информатики Оклендского университета. Доктор Ханна получил докторскую степень. получил степень магистра системного инжиниринга в Оклендском университете в мае 2003 года после получения трех высших наград университета в области науки, математики и инженерии. Его исследовательские интересы включают реконфигурируемые встроенные системы, искусственный интеллект и проблемное обучение в области информатики и инженерии.В дополнение к своей курсовой работе доктор Ханна также успешно перенес исследования в коммерческие приложения, получив Премию за успех в коммерциализации Мичиганской корпорации экономического развития. Он преподавал множество курсов бакалавриата и магистратуры по решению инженерных проблем, микропроцессорам, реконфигурируемым встроенным системам и цифровому дизайну с использованием VHDL. Член IEEE и ASEE, доктор Ханна активно вносит свой вклад в сообщество преподавателей и ученых, получая награду за лучшую научную работу Северной Центральной секции ASEE в течение трех лет подряд и премию IEEE Computer Society для студентов, обучающихся в области компьютерных наук и инженерии, за 2007 год.

5. Применение ODE: Серия RL Circuit


Схема RL

Цепь RL на показанном выше резисторе и катушке индуктивности соединены последовательно. Постоянное напряжение В применяется, когда переключатель находится в закрыто.

(переменное) напряжение на резисторе определяется по формуле:

`V_R = iR`

(переменное) напряжение на катушке индуктивности определяется по формуле:

`V_L = L (di) / (dt)`

Закон Кирхгофа по напряжению гласит, что направленная сумма напряжений в цепи должна быть равна нулю.(- (R “/” L) t)) `

Проба

Начнем с:

`Ri + L (di) / (dt) = V`

Вычитая Ri с обеих сторон:

`L (di) / (dt) = V-Ri`

Разделите обе стороны на L :

`(di) / (dt) = (V-Ri) / L`

Умножьте обе стороны на dt и разделите обе на ( V – Ri ):

`(ди) / (V-Ri) = (dt) / L`

Интеграция (см. (- (R” / “L) t))`

[Мы сделали ту же проблему, но с определенными значениями в разделе 2.(-t “/” \ tau)) `

Давайте теперь рассмотрим несколько примеров схем RL.

Пример 1

Цепь RL имеет ЭДС 5 В, сопротивление 50 Ом, индуктивность 1 Гн, начальный ток отсутствует.

Найти ток в цепи в любой момент t . Различают переходный и установившийся ток.

Ответ

Метод 1 – Решение DE

Формула: `Ri + L (di) / (dt) = V`

После замены: `50i + (di) / (dt) = 5`

Мы перестраиваем, чтобы получить:

`(di) / (dt) + 50i = 5`

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка.(-50т)) `.

В этом примере постоянная времени TC равна

.

`тау = L / R = 1/50 = 0,02`

Итак, мы видим, что ток достиг установившегося состояния к t = 0,02 \ times 5 = 0,1 \ “с”.

Метод 3. Использование решения ODE
от Scientific Notebook

Если у вас есть Scientific Notebook, действуйте следующим образом:

У этого DE начальное условие: i (0) = 0. Мы устанавливаем матрицу с 1 столбцом и 2 строками.

Для ответа: Вычислить Решить ODE… Точно

Пример 2

Последовательная цепь RL с R = 50 Ом и L = 10 H имеет постоянное напряжение В = 100 В приложенное при t = 0 закрытием переключателя.

Найдите

(a) уравнение для i (вы можете использовать формулу а не DE),

(б) ток при t = 0,5 с

(c) выражения для V R и В L

(d) время, в которое V R = В L

Ответ

(а) Решаем по формуле:

`i = V / R (1-e ^ (- (R” / “L) t))`

У нас:

`i = 100/50 (1-e ^ (- 5t))`

`= 2 (1-е ^ (- 5t))`

График тока в момент времени `t`, определяемый как` i = 2 (1-e ^ (- 5t)) `.(-5t) `(серым цветом).

Постоянная времени TC для этого примера:

`тау = L / R = 10/50 = 0,2`

ПРИМЕЧАНИЕ (только для интереса и сравнения): Если бы мы не могли использовать формулу в (a) и не использовали разделение переменных, мы могли бы признать, что DE является линейным 1-го порядка, и поэтому мы могли бы решить его, используя интегрирующий фактор.

Используем формулу:

`Ri + L (di) / (dt) = V`

Требуемый DE:

`10 (di) / (dt) + 50i = 100`

`(di) / (dt) + 5i = 10`

“” И.(-5т)) `

Работает 🙂

Цепи с двумя ячейками

Следующие два примера относятся к типам с двумя сетками, в которых дифференциальные уравнения становятся более сложными. Мы будем использовать Scientific Notebook для выполнения основной работы после того, как составим правильные уравнения.

Пример 3

В сети с двумя ячейками, показанной ниже, коммутатор замкнут на t = 0, а источник напряжения равен В = 150 sin 1000 t В. Найдите сеточные токи i 1 и i 2 , как показано на схеме.

Ответ

Раньше мы не видели, как решать “2-ячеистые” сети. Мы рассматриваем полное напряжение внутреннего контура и полное напряжение внешнего контура. Затем мы решаем полученные два уравнения одновременно.

Используем основную формулу: `Ri + L (di) / (dt) = V`

С учетом внутреннего цикла:

`10 (i_1 + i_2) + 5i_1 + 0,01 (di_1) / (dt) =` 150 sin 1000t`

`15 \ i_1 + 10 \ i_2 + 0,01 (di_1) / (dt) =` 150 sin 1000t`

`3i_1 + 2i_2 + 0.002 (di_1) / (dt) = “ 30 sin 1000t \ \ \ … (1) `

Теперь, учитывая внешний цикл:

`10 (i_1 + i_2) + 5i_2 = 150 sin 1000t`

`10i_1 + 15i_2 = 150 sin 1000t`

`2i_1 + 3i_2 = 30 sin 1000t \ \ \ … (2)`

Теперь мы решаем (1) и (2) одновременно:

(1) × 3 – (2) × 2 дает:

`5i_1 + 0,006 (di_1) / (dt) = 30 sin 1000t`

Решение этой проблемы с использованием SNB с граничным условием i 1 (0) = 0 дает:

`i_1 (t) = – 2.(-833т) `

График i 2 :

График текущего `i_2` в момент` t`. Он также находится в устойчивом состоянии примерно на «t = 0,007».

Пример 4

Коммутатор замкнут при t = 0 в двухъячеистой сети показано ниже. Источник напряжения равен В = 30 sin 100 t В. Найдите сеточные токи i 1 и i 2 , как показано на диаграмме.

Ответ

Решаем 2 способами:

1.Составление уравнений и получение помощи SNB для их решения.

2. Непосредственное использование SNB для одновременного решения 2 уравнений.

Решение 1

Используем основную формулу: `Ri + L (di) / (dt) = V`

Рассматривая левую петлю, ток через резистор 8 Ом противоположен для «i_1» и «i_2». Мы рассматриваем i_1 как имеющее положительное направление:

`0,2 (di_1) / (dt) +8 (i_1-i_2) =` `30 sin 100t \ \ \ … (1)`

Теперь мы рассматриваем правую петлю и считаем направление `i_2` положительным:

`8 (i_2-i_1) + 4i_2 = 0`

`12i_2-8i_1 = 0`

`i_2 = 2 / 3i_1 \ \ \.(-13,3 т) `

Это, конечно, тот же график, только это «2/3» амплитуды:

График текущего `i_2` в момент` t`. Он также находится в устойчивом состоянии примерно на t = 0,25.

Решение 2. Прямое использование SNB

Если мы попытаемся решить это с помощью Scientific Notebook, как показано ниже, не удастся , потому что он может решить только 2 дифференциальных уравнения одновременно (вторая строка не является дифференциальным уравнением):

`0,2 (di_1) / (dt) +8 (i_1-i_2) = 30 sin 100t`

`i_2 = 2 / 3i_1`

`i_1 (0) = 0`

`i_2 (0) = 0`

Но если мы дифференцируем вторую строку следующим образом (превращая ее в дифференциальное уравнение, чтобы у нас было 2 DE с 2 неизвестными), SNB с радостью решит его, используя Compute → Solve ODE.-9`.

Закон

Ома / Закон Кирхгофа с использованием линейных дифференциальных уравнений первого порядка

В этой статье мы пытаемся понять закон Ома и закон Кирхгофа с помощью стандартных инженерных формул и объяснений, а также путем применения линейных дифференциальных уравнений первого порядка для решения примеров наборов задач.

Что такое электрическая цепь

Простейшая электрическая цепь обычно представляет собой последовательную цепь, имеющую источник энергии или вход электродвижущей силы, например, от батареи или генератора постоянного тока, и резистивную нагрузку, которая потребляет эту энергию для Например, электрическая лампочка, как показано на схеме ниже:


Ссылаясь на схему, когда переключатель замкнут, ток I проходит через резистор, вызывая образование напряжения на резисторе.Это означает, что при измерении разности потенциалов в двух конечных точках резистора будут иметь разные значения. Это можно подтвердить с помощью вольтметра.


Из описанной выше ситуации стандартный закон Ома может быть выведен как:

Падение напряжения ER на резисторе пропорционально мгновенному току I и может быть выражено как:

ER = RI (Уравнение № 1)

В приведенном выше выражении R определяется как константа пропорциональности и называется сопротивлением резистора.

Здесь мы измеряем напряжение ER в вольтах, сопротивление R в омах и ток I в амперах.

Это объясняет закон Ома в его основной форме в простой электрической цепи.
В более сложных схемах есть еще два важных элемента в виде конденсаторов и катушек индуктивности.

Что такое индуктор

Катушка индуктивности может быть определена как элемент, который противодействует изменению тока, создавая инерционный эффект в потоке электричества, как это делает масса в механических системах.Эксперименты показали следующее для катушек индуктивности:

Падение напряжения EL на катушке индуктивности пропорционально мгновенной скорости изменения тока I. Это может быть выражено как:

EL = L dl / dt (Уравнение 2)

где L становится константой пропорциональности и называется индуктивностью индуктора и измеряется в генри. Время t указано в секундах.

Что такое конденсатор

Конденсатор – это просто устройство, которое накапливает электрическую энергию.Эксперименты позволяют нам получить следующее объяснение:

Падение напряжения на конденсаторе пропорционально мгновенному электрическому заряду Q на конденсаторе, это может быть выражено как:

EC = 1 / C x Q ( Уравнение № 3)

, где C обозначается как емкость и измеряется в фарадах; заряд Q измеряется в кулонах.

Однако, поскольку I (C) = dQ / dt, мы можем записать приведенное выше уравнение как:

Значение тока I (t) может быть решено в данной схеме путем решения уравнение, полученное применением следующего физического закона:

Понимание закона Кирхгофа (KVL)

Густав Роберт Кирхгоф (1824-1887) был немецким физиком, его популярные законы можно понять, как изложено ниже:

Закон Кирхгофа по току (KCL) гласит:

В любой точке цепи сумма входящих токов равна сумме выходящих токов.

Закон Кирхгофа о напряжении (KVL) гласит, что:

Алгебраическая сумма всех мгновенных падений напряжения вокруг любого замкнутого контура равна нулю, или напряжение, приложенное к замкнутому контуру, равно сумме падения напряжения в остальной части контура.

Пример № 1: Ссылаясь на диаграмму RL ниже и комбинируя уравнение № 1,2 и напряжение Кирхгофа, мы можем получить следующее выражение:

Уравнение: 4

Давайте рассмотрим случай A с постоянной электродвижущей силой:

В описанном выше уравнении № 4, если E = E0 = constant, мы можем управлять следующим уравнением:

Уравнение: 5

Здесь последний член приближается к нулю, поскольку t стремится к бесконечности, так что I (t) стремится к предельному значению E0 / R.После достаточно долгой задержки я доберусь до практически постоянного значения, не зависящего от значения c, что также подразумевает, что это не будет зависеть от начального условия, которое может быть вызвано нами.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *