Примеры решения задач на законы Кирхгофа

Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.

Задача 1

Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

 

Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи 

Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус.

Аналогично с источниками ЭДС.

На примере первого контура – ток I₁ и I₃ совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут: 

Все эти три уравнения образуют систему

Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым). 

Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

Задача 2

Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

 

Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2 

Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче. 

На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными 

Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины 

Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками. 

Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно. 

Читайте также – расчет простых цепей постоянного тока

Просмотров: 97312

Алгоритм решения задач на законы Кирхгофа

Задачи на применение закона Кирхгофа решаются в школе не часто, и не во всех классах. Работая в школе, я давала законы Кирхгофа только тем ребятам, кто готовился к олимпиадам по физике, и учащимся, которые готовились в ВУЗы.

Задачи на использование законов Кирхгофа есть даже не всех сборниках задач, рекомендованных для использования в средней школе.

Ниже приведён алгоритм решения задач по данной теме. Алгоритм не сложен. Использование данного алгоритма поможет Вам в решении задач по этой теме.

Итак, начнем. Сначала необходимо выполнить некоторые подготовительные операции.

• перерисовать схему
• указать направление ЭДС источников тока
• указать предполагаемое направление токов, текущих в каждом резисторе (если итоговый ответ будет отрицательным, то направление тока было изначально выбрано не верно)
• выбрать направление обхода для всех линейно независимых контуров

После проведения предварительных операций, приступаем собственно к решению самой задачи.

• Записываем первый  закон Кирхгофа: сумма токов, втекающих и вытекающих в данный узел, равна нулю.

Важно! Если ток втекает в узел, то он берётся со знаком «плюс», если вытекает, то со знаком «минус». Число уравнений второго закона Кирхгофа равно n-1, где n — число узлов в данной схеме. (Узел — точка, в которой соединяются три проводника и более).

• Записываем второй закон Кирхгофа для всех линейно независимых контуров: Сумма ЭДС в контуре равно сумме падений напряжений в каждом из этих контуров.

Важно! Если направление ЭДС  совпадает с направлением обхода контура, то значение ЭДС берётся со знаком «плюс». Если направление ЭДС не совпадает с направлением обхода контура, то значение ЭДС берётся со знаком «минус». Если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения на данном участке берётся со знаком «плюс». Если направление тока через какой-либо резистор не совпадает с направлением обхода в данном контуре, то падение напряжения берётся со знаком «минус».

 

Решаем систему получившихся уравнений, относительно неизвестных величин.

Чаще всего в задачах этого типа, основную сложность представляет именно решение системы получившихся уравнений.

Ниже показан пример решения задачи с использованием законов Кирхгофа. Обратите внимание ещё раз на основные этапы решения. Они полностью соответствуют алгоритму, описанному выше.

Вот условие этой задачи.

Электрическая цепь состоит из двух гальванических элементов, трех резисторов и амперметра. В этой цепи R₁ = 100 Ом, R₂ = 50 Ом, R₃ = 20 Ом, ЭДС элемента ?

1 = 2 В. Амперметр регистрирует ток I₃ = 50 мА, идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить ЭДС ?₂ второго элемента. Сопротивлением амперметра и внутренним сопротивлением источников пренебречь.

Удачи в освоении этой довольно сложной темы!

Возникающие вопросы можете оставлять в комментариях.

Вы можете оставить комментарий, или поставить трэкбек со своего сайта.

Написать комментарий

Законы Кирхгофа: решение задач

Прочитав статейки про первый и второй законы Кирхгофа, уважаемый  читатель может сказать: «Хорошо, MyElectronix, ты рассказал мне, конечно, интересные штуки, но что мне дальше с ними делать? Пока по твоим словам я заключил, что если я соберу ручками схему, то я смогу в каждом ее узле и в каждом контуре намерить вот такие вот зависимости.

Это здорово, но я хотел бы рассчитывать схемы, а не просто наблюдать зависимости!»

Господа, все эти замечания абсолютно верные и в ответ на них можно лишь рассказать о расчете электрических схем с помощью законов Кирхгофа. Без лишних слов перейдем сразу к делу!

Начнем с самого простейшего случая. Он изображен на рисунке 1. Допустим, ЭДС источника питания равна Е1=5 В, а сопротивления R1=100 Ом, R2=510 Ом, R3=10 кОм. Требуется рассчитать напряжения на резисторах и ток через каждый резистор.

Господа, замечу сразу, эту задачу можно решить гораздо более простым способом, чем с применением законов Кирхгофа. Однако сейчас наша задача не искать оптимальные способы решения, а на наглядном примере рассмотреть методику применения законов Кирхгофа при расчете схем.

Рисунок 1 – Простая схема

В этой схеме мы можем видеть три контура. Если возник вопрос – а почему три, то рекомендую посмотреть статью про второй закон Кирхгофа.

В той статье имеется практически такая же схема с наглядным пояснением методики расчета числа контуров.

Господа, хочу отметить один тонкий момент. Хоть контура и три, независимых из них только два. Третий контур включает в себя все остальные и не может считаться независимым. И вообще всегда при всех расчетах мы должны использовать только независимые контура. Не поддавайтесь искушению записать еще одно уравнение за счет этого общего контура, ничего хорошего не выйдет .

Итак, будем использовать два независимых контура. Для этого зададимся в каждом контуре направлением обхода контура. Как мы уже говорили, это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода каждого контура нарисуем синей стрелкой.

Далее зададимся направлением токов в ветвях: просто проставим его наугад. Не важно, угадаем мы сейчас направление или нет.

Если угадали, то в конце расчета мы получим ток со знаком плюс, а если ошиблись – со знаком минус. Итак, обозначим токи в ветвях черными стрелочками с подписями I₁, I₂, I₃.

Мы видим, что в контуре №1 направление токов I₁ и I₃, а также направление источника питания совпадают с направлением обхода, поэтому будем считать их со знаком плюс. В контуре №2 ток I₂ совпадет с направлением обхода, поэтому будет со знаком плюс, а ток I₃ направлен в другую сторону, поэтому будет со знаком минус. Запишем второй закон Кирхгофа для контура №1:

А теперь запишем этот же закон для контура №2:

Видим, что в контуре №2 нет источников питания, поэтому в левой части (где у нас согласно второму закону Кирхгофа стоит сумма ЭДС) у нас нолик. Итак, у нас есть два уравнения, а неизвестных-то у нас три (I

1, I₂, I₃). А нам известно, что для нахождения трех неизвестных нужна система с тремя независимыми уравнениями. Где же взять третье недостающее уравнение? А, например, из первого закона Кирхгофа! Согласно этому закону мы можем записать

Господа, теперь полный порядок, у нас есть три уравнения и три неизвестных и нам остается только решить вот такую вот систему уравнений

Подставим конкретные числа. Все расчеты будем вести в кошерной системе СИ. Рекомендую всегда считать только в ней. Не поддавайтесь искушению подставлять куда-то миллиметры, мили, килоамперы и прочее. Возможно возникновение путаницы.

Решение таких систем рассматривается чуть ли не в начальной школе и, полагаю, не должно вызывать трудностей . Если что, есть куча математических пакетов, которые сделают это за вас, если вам лень самим ручками считай. Поэтому мы опустим процесс решения, а сразу приведем результат

Видим, что все токи получились у нас со знаком плюс. Это значит, что мы верно угадали их направление. Да, то есть токи в схеме текут именно в том направлении, как мы нарисовали стрелочки на рисунке 1. Однако из условия задачи необходимо найти не только токи через резисторы, но и падение напряжения на них. Как это сделать? Например, с помощью уже изученного нами закона Ома. Как мы помним, закон Ома связывает между собой ток, напряжение и сопротивление. Если нам известны любые две из этих величин, мы легко можем найти третью. В данном случае мы знаем сопротивление и ток, который течет через это сопротивление. Поэтому, используя вот эту формулу

находим напряжение на каждом резисторе

Заметим, господа, что напряжения на резисторах R2 и R3 равны между собой. Это и логично, поскольку они соединены между собой параллельно. Однако пока не будем на этом акцентировать большое внимание, рассмотрим это лучше в другой раз.

Итак, господа, мы решили эту простую задачку с помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома. Но это был совсем простой пример. Давайте попробуем решить более сложную задачу. Взгляните на рисунок 2.

Рисунок 2 – Схема посложнее

Схема выглядит внушительно, не правда ли? Возможно, вам даже не верится, что эту схему можно легко рассчитать. Однако, господа, уверяю вас, вы обладаете всеми необходимыми знаниями для расчета этой схемы, если уже изучили мои предыдущие статьи. Сейчас вы в этом убедитесь.

Для начала зададимся конкретными цифрами значений сопротивлений резисторов и напряжений источников.

Пусть Е1=15 В, Е2=24 В, R1= 10 Ом, R2 = 51 Ом, R3=100 Ом, R4=1 кОм, R5=10 Ом, R6=18 Ом, R7=10 кОм.

Найти, как и в прошлой задаче, требуется все токи в схеме и напряжения на всех резисторах.

В этой схеме мы можем видеть три независимых контура. Обозначим их римскими цифрами I, II, III. В каждом контуре зададимся направлением обхода. Они показаны синими стрелками.

Дальше как и в прошлый раз наугад расставим направления токов во всех ветвях и подпишем где какой ток. Видно, что всего у нас 6 ветвей и, соответственно, 6 разных токов (I1…I6).

Теперь запишем второй закон Кирхгофа для всех трех независимых контуров.

Второй закон Кирхгофа для контура I:

Второй закон Кирхгофа для контура II:

Второй закон Кирхгофа для контура III:

У нас есть три уравнения, однако неизвестных токов аж 6. Как и в прошлой задаче для получения недостающих уравнений запишем первые законы Кирхгофа для узлов.

Первый закон Кирхгофа для узла А:

Первый закон Кирхгофа для узла В:

Первый закон Кирхгофа для узла С:

Собственно, у нас теперь есть система из 6 уравнений с 6 неизвестными. Остается только решить эту систему

 

Подставляя числа, заданные в условии, получаем

 

Опуская решения за пределами статьи, приведем итоговый результат

 

Господа, мы видим, что почти все токи, кроме I₄ получились у нас со знаками “минус”. Это значит, что мы не угадали их направление, когда рисовали стрелочки на рисунке 2 . То есть все токи, кроме тока I₄ на самом деле текут в противоположные стороны. А ток I₄ течет так, как мы нарисовали. Хотя бы с ним мы угадали верно.

Теперь все по тому же закону Ома ровно как в прошлом примере рассчитаем напряжения на резисторах:

Вот и все, господа: схема рассчитана, а задачка решена. Таким образом, вы теперь обладаете весьма мощным инструментом по расчету электрических схем. С помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома вы сможете рассчитать весьма непростые схемы, найти величины токов и их направления, а также напряжения на всех нагрузках цепи. Более того, зная токи и напряжения вы легко сможете рассчитать  и мощности, которые на этих резисторах выделяются, если воспользуетесь рекомендациями из моей предыдущей статьи. 

На этом на сегодня все господа. Огромной вам всем удачи и успешных расчетов!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Правила Кирхгофа, теория и примеры задач

Очень часто электрическая цепь включает несколько источников тока и сопротивлений, которые соединены разными способами. Такую цепь называют сложной разветвленной электрической цепью. Значимыми для составления систем уравнений, позволяющих провести расчеты в сети постоянного тока, являются ее узлы и замкнутые контуры. Расчеты любой сети можно проводить, используя закон Ома и закон сохранения заряда. Но использование специальных правил, которые называют правилами Кирхгофа (иногда законами Кирхгофа) позволяют упростить процедуру составления уравнений для вычислений. Всего выделяют два правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа

Довольно часто в электрической цепи в одной точке сходятся более двух проводников, по которым текут токи. Такие точки в цепи называют узлами или разветвлениями. В любом узле, если ток в цепи постоянен, полное изменение заряда за некоторый промежуток времени равно:

   

где суммирование проводят с учетом знаков силы тока. Если мы имеем дело с постоянным током в цепи, то потенциалы всех ее точек остаются неизменными. Значит, в узлах не может накапливаться заряд. Поэтому рассматривая силу тока, как алгебраическую величину запишем:

   

где N – число токов, которые сходятся в узле. Выражение (2) носит название первого правила Кирхгофа (правило узлов): сумма токов, текущих через сопротивления в цепи постоянного тока, с учетом их знака, сходящихся в узле, равна нулю.

Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.

Первое правило Кирхгофа дает возможность составить независимое уравнение, если в цепи k узлов.

Второе правило Кирхгофа

Во втором правиле Кирхгофа рассматривают замкнутые контуры, поэтому оно называется правилом контуров. Формулируется это правило Кирхгофа следующим образом: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних ЭДС (), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:

   

Величины называют падениями напряжения. Прежде, чем применять второй закон Кирхгофа определяются с направлением положительного обхода контура. Выбирается направление произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго закона для данного контура входит с положительным знаком. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника. Более правильно было бы сказать, сто ЭДС считают положительной, если работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи в заданном направлении обхода контура является положительной величиной.

Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома.

Примеры решения задач

Постоянный ток: законы Кирхгофа

При решении задач на законы Кирхгофа лучше придерживаться определенного алгоритма: 1. определить число неизвестных токов – столько уравнений должно быть в системе ; 2. определить количество узлов – уравнений по первому закону тогда нужно составить на одно меньше; 3. проложить контуры и записать для них уравнения по второму закону. Кто хочет разобраться досконально – есть видео.

Задача 1. Два элемента с В и В соединены по схеме, показанной на рисунке . Сопротивление Ом. Внутреннее сопротивление элементов одинаково Ом. Определить силу тока, идущего через сопротивление .

К задаче 1

Обозначим токи в ветвях произвольно. По первому закону Кирхгофа сумма токов, сходящихся в узле, равна 0:

   

Будем обходить верхний контур против часовой стрелки. По второму закону Кирхгофа сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС:

   

   

Будем обходить второй контур по часовой стрелке:

   

   

Неизвестных токов – три, мы составили три уравнения. Этого достаточно, чтобы найти токи:

   

Выразим из второго уравнения, а – из третьего:

   

   

Подставим эти выражения в первое уравнение:

   

   

   

   

   

Тогда токи и

   

   

Ответ: A, A, A.
Задача 2. Найти силу тока на всех участках цепи‚ если В, В‚ В, Ом‚ Ом‚ Ом‚ Ом‚  Ом, Ом.

К задаче 2

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас два узла, поэтому уравнение будет одно.  Затем, обходя контуры, составим два уравнения по второму закону: их нужно составить два, так как неизвестных токов в цепи три.

   

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  , , .

Ответ: , , .

 

Задача 3. В схеме, показанной на рисунке, найти силу тока через гальванометр, если В, кОм; В, кОм.  Сопротивлением гальванометра пренебречь.

К задаче 3

Нам неизвестно сопротивление гальванометра, запишем для напряжения на нем два уравнения:

   

   

Приравнивая, получим

   

Заметим, что, если  , то равенство будет выполнено. Таким образом, ток через гальванометр не течет.

Ответ: .

Задача 4. В цепи   В‚ В, Ом,  Ом. Найти распределение токов в цепи. Внутреннее сопротивление источников тока не учитывать.

К задаче 4

Обозначаем токи в ветвях произвольно, выбираем направления обходов контуров и сами контуры. Составляем систему уравнений. Сначала составим уравнение по первому закону Кирхгофа – у нас три узла, поэтому уравнений будет два.  Затем, обходя контуры, составим три уравнения по второму закону: их нужно составить именно три, так как неизвестных токов в цепи шесть.

   

Решаем систему и находим ответ (я решала с помощью он-лайн калькулятора):  , , , , , .

Ответ: , , , , , .
Задача 5. Какую силу тока покажет амперметр в схеме, изображенной на рисунке? Сопротивлением амперметра пренебречь.

К задаче 5

Обозначим токи в цепи произвольно. Обозначим направления обхода контуров. Запишем систему уравнений: составим три уравнения по первому закону (на одно меньше, чем количество узлов) и три уравнения по второму закону, так как неизвестных токов шесть и система должна состоять из шести уравнений.

   

Чтобы воспользоваться калькулятором, я задала Ом и В.  В итоге получилось: , , , , , .

Минусы свидетельствуют о противоположном направлении тока в этой ветви тому, что мы нарисовали.

Методическая разработка занятия “Решение задач на разветвлённые цепи постоянного тока с использованием правил Кирхгофа”

Н.Б. Хомутская

преподаватель физики

ГБПОУ КО «Калужский колледж народного хозяйства и природообустройства»

город Калуга, Россия

homutsckaya0301@yandex.ru

Методическая разработка занятия по дисциплине «Физика» для повышения познавательной активности способных студентов 1 курсов по теме: «Решение задач на разветвлённые цепи постоянного тока с использованием правил Кирхгофа».

Дата проведения занятия: 24 апреля 2014 года.

Эпиграф к уроку:

«При изучении наук примеры не менее

поучительны, нежели правила»

И. Ньютон.

Актуальность темы: на практике часто приходиться рассчитывать сложные разветвлённые электрические цепи, содержащие узлы. Непосредственное применение закона Ома для полной цепи обычно затруднительно и приводит к ошибкам в расчёте.

Трудности при решении подобных задач упрощаются, если применять правила Кирхгофа.

Цели урока:

• обобщить и оценить знания студентов по данной теме;

• проверить умения учащихся применять правила Кирхгофа при расчёте разветвлённой цепи постоянного тока;

• развивать мышление, речь, умение комментировать, тренировать память;

• прививать интерес к дисциплине, путём понимания её актуальности в развитии практических компетенций.

Методы и приёмы: словестный, наглядный.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: интерактивная доска, «Листы учёта знаний», содержащие вопросы и задания.

План урока:

1. Повторение основных понятий разветвлённых электрических цепей.

2.Повторение закона Ома для полной цепи и правил Кирхгофа.

3.По данной схеме восстановить последовательность использования правил Кирхгофа

при расчёте сложной разветвлённой электрической цепи.

4.Расчёт электрической цепи, изображённой на схеме.

Ход урока:

1этап.

1.Организационный момент: студенты занимают свои места, готовят необходимые принадлежности для урока, проверка присутствующих.

2.Оглашение темы урока: преподаватель объявляет тему уроку, зачитываетэпиграф, план урока; учащиеся записывают тему и план в рабочую тетрадь.

3. Получение необходимой информации: преподаватель раздаёт учащимся «Листы учёта знаний», предлагает записать на них свои фамилии и напоминает правила их заполнения.

«Лист учёта знаний» для группы №1.

Фамилии студентов:

№	Формулировка задания	Возможное количество баллов	Набранное количество баллов	Примечание
1.	Что называют узлом в разветвлённой электрической цепи?	1
2.	Сформулируйте закон Ома для полной цепи и запишите его математическую формулу.	2
3.	Что означает, если при решении задачи значение какого-нибудь тока получится отрицательным?	1
4.	Как выбрать направление обхода замкнутого контура (по часовой или против часовой стрелки)?	1
5.	Работа у доски. Составление уравнений по правилам Кирхгофа в общем виде для данной схемы.	1
6.	Дополнение ответов – каждое	1
7.	Итого:

«Лист учёта знаний» для группы №2.

Фамилии студентов:

№	Формулировка задания	Возможное количество баллов	Набранное количество баллов	Примечание
1.	Что называют ветвью в разветвлённой электрической цепи?	1
2.	Сформулируйте первое правило Кирхгофа и запишите его математическую формулу.	2
3.	В каком случае перед Э.Д.С. ставится знак «+», если идти от отрицательного полюса к положительному или от положительного к отрицательному?	1
4.	В одной ветке цепи (участок между узлами) сколько значений и сколько направлений может иметь ток?	1
5.	Работа у доски. Составление уравнений по правилам Кирхгофа в общем виде для данной схемы.	1
6.	Дополнение ответов – каждое	1
7.	Итого:

«Лист учёта знаний» для группы №3.

Фамилии студентов:

№	Формулировка задания	Возможное количество баллов	Набранное количество баллов	Примечание
1.	Что называют замкнутым контуром в разветвлённой электрической цепи?	1
2.	Сформулируйте второе правило Кирхгофа и запишите его математическую формулу.	2
3.	Токи, подходящие к узлу, считаются положительными или отрицательными?	1
4.	Как выбрать на всех участках цепи направления токов?	1
5.	Работа у доски. Составление уравнений по правилам Кирхгофа в общем виде для данной схемы.	1
6.	Дополнение ответов – каждое	1
7.	Итого:

2этап.

Воспроизведение основных структурных блоков темы:

а) теоретическая часть.

1) Каждой группе студентов предлагается ответить на 4 вопроса, сформулированные в «Листе учёта знаний». Представители от каждого стола зачитывают последовательно свои ответы. Учащиеся за другими столами следят за правильностью ответов и при необходимости делают замечание, дополнение и получают за это дополнительные баллы. После каждого ответа появляется на доске слайд с правильным ответом.

По итогам работы студенты проставляют в «Лист учёта знаний» баллы, заработанные ими на этом этапе.

2) Работа у доски по схеме.

На доске появляется слайд с изображением схемы разветвлённой электрической цепи.

Учитель с помощью студентов выясняет из каких элементов состоит электрическая цепь, сколько она содержит узлов, ветвей, контуров и задаёт обход контуров и направления токов.

Группа №1 записывает уравнения для узла А и узла F. Группа №2 записывает уравнение для контура ВАКFВ. Группа №3 записывает уравнение для контура ВFDCВ.

Студенты каждой группы внимательно следят за работой своего представителя и могут подкорректировать его запись, если он где-то ошибся.

По окончании этой работы студенты выполняют проверку:

У первой группы работу проверяют студенты второй группы; у второй группы – студенты третьей группы; у третьей группы – студенты первой группы.

1 балл –записаны правильно уравнения для узлов;

1 балл – записаны правильно уравнения для контуров.

Заработанные баллы за это задание студенты каждой группы проставляют в «Лист учёта знаний».

б) выполнение практического задания.

На доске появляется схема электрической цепи.

Преподаватель диктует условие задачи и открывает слайд с данными условия задачи, учащиеся перерисовывают схему и записывают данные задачи в тетрадь.

Задача.

Определить силу токов, текущих в ветвях, если ξ₁ = 2,1 В, ξ₂ =1,9 В, внешние сопротивления

R₁=45 Ом, R₂ =10 Ом, R₃ =10 Ом. Внутренним сопротивлением элементов пренебречь.

Дано:

ξ₁ = 2,1В

ξ₂ =1,9 В

R₁=45 Ом

R₂ =10 Ом

R₃ =10 Ом

r₁= r₂₌0

I₁ =?, I₂ = ?_,I₃=?

Решение:

1). Выберем направление обхода контура по часовой стрелке.

2). Выберем и обозначим на схеме стрелками направления токов на всех участках цепи.

(Помним, что в пределах одной ветки ток имеет одно значение и одно направление).

3). По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла А. Пусть ток I₂входит в узел А, а

токи I₁иI₃ выходят из узла А.

(Если в цепи kузлов, то достаточно составить k – 1 уравнений).

В нашей цепи 2 узла А и С, поэтому достаточно составить одно уравнение:

I₂ –I₁ –I₃=0 (для узла А) или I₁ + I₃ – I₂ = 0 (для узла С)

4). Составим уравнения для замкнутых линейно не зависимых контуров данной цепи по второму

правилу Кирхгофа:

Замкнутых контуров в нашей цепи три –АВСА, АСDА и АВСD, но контур АВСD линейно и

зависим, поэтому достаточно составить два уравнения:

I₃R₃–I₁R₁=ξ₁ (для контура АВСА)

I₁R₁ + I₂R₂ = – ξ₂ (для контураАСDА).

5). Составим систему уравнений, подставим данные из условий задачи:

– I₁ + I₂ -I₃= 0

-R₁ I₁+ 0+ R₃I₃= ξ₁

R₁ I₁+R₂I₂ + 0 = –ξ₂

– I₁ + I₂ – I₃ = 0

-45I₁ + 0+ 10I₃ = 2,1

45I₁+ 10 I₂ + 0 = – 1,9 (можно решить систему формулами Крамера)

Обозначим I₁= х₁; I₂ = х₂; I₃= х₃

Получили: I₁ = – 0,04 А; I₂ = – 0,01А; I₃= 0,03А

Отрицательные значения токов I₁ и I₂ означают, что надо изменить первоначально выбранные направления этих токов на схеме, а значения токов взять без минуса.

Проверка: в уравнение– I₁ + I₂ – I₃ = 0 подставим полученные значения токов

-(-0,04) + (-0,01) – 0,03 =0

Ответ: I₁ = 0,04 А; I₂ = 0,01А; I₃= 0,03А

3этап.Формулировка домашнего задания.

Решить задачу, текст которой студенты записывают в тетрадь.

Задача.

Определить силу токов, текущих в ветвях, если ξ₁ = 10 В, ξ₂ = 24 В, внутренние сопротивления источников r₁ = 2 Ом, r₂ = 6 Ом, внешнее сопротивление R =16 Ом.

Дано:

ξ₁ = 10 В

ξ₂ = 24 В

r₁ = 2 Ом

r₂ = 6 Ом

R =16 Ом

Определить:

I₁ =?, I₂ = ?_,I=?

4 этап. Подведение итогов урока.

1). Самооценка работы учащимися:

– подсчёт количества выполненных заданий и заработанных баллов;

– какие работы вызвали затруднения и требуют повторения?

2). Оценка работы студентов преподавателем. Сбор «Листов учёта знаний» и выставление

оценок.

Итоговая оценка за урок выставляется с учётом набранных баллов по «Листу учёта знаний» и индивидуальной работы каждого студента.

Структура урока обобщения и систематизации знаний.

Этап урока	Время	Методическая цель	Развитие компетенций
1	2	3	4
Первый этап Организационный момент Оглашение темы и задача урока Получение необходимой информации	2 мин. 5мин. 5 мин.	готовность к уроку обеспечить понимание учащихся их деятельности, чего они должны достигнуть в результате урока инструктаж студентов для выполнения задания
Второй этап Воспроизведение основных структурных блоков темы: а) теоретическая часть; б) выполнение практического задания	33 мин. 35 мин.	установление уровня овладения студентами теоретических знаний проверка и оценка умений обучающихся	ОК 6 ОК7 ОК6
Третий этап Домашнее задание	5 мин.	закрепление пройденного материала
Четвёртый этап Подведение итогов	5 мин.	а) самооценка работы студентами (подсчёт баллов) б) оценка работы студентов преподавателем

При проведении занятий по физике для всех специальностей большое значение уделяется практическим занятиям – решению задач. Умение решать задачи делает знание действительными, практически применяемыми.

1)

2)

3)

Пример решения задачи по теме «Расчеты электрических цепей по правилам Кирхгофа» | Физика. Закон, формула, лекция, шпаргалка, шпора, доклад, ГДЗ, решебник, конспект, кратко

Тема:

Примеры решения задач по электродинамике

Рис. 5.28. К задаче на правило Кирх­гофа

Задача. Три одинаковых источника тока с электродвижущими силами Ɛ = 2 В и внут­ренними сопротивлениями r = 1 Ом и два одинаковых резистора с сопротивлениями R = 1 Ом включены так, как показано на схеме (рис. 5.28, а). Определить силы тока в точках A, B, C электрической цепи.

Решение:

Для решения задачи в электрической цепи не­обходимо определить узлы (D и К) и контуры, по которым осуществляются обходы. Выберем «внеш­ний» (I) и «внутренний» (II) обходы, осуществляя их по направлению движения часовой стрелки (можно выбрать и другие контуры).

Поскольку неизвестны значения трех сил токов, то минимальным количеством уравнений для реше­ния задачи есть три. Избираем направления токов, как показано на рис. 5.28, б, и для узла D записываем первое уравнение Кирхгофа:

I — I₁ — I₂ = 0.

Для контуров I и II записываем другие уравнения Кирхгофа:

Ir + I₁r + I₁R = Ɛ + Ɛ;

Ir + I₂r + I₂R = Ɛ — Ɛ;

Из 1-го уравнения имеем: I = I₁ + I₂. Это значение подставляем во второе и третье, и получаем:

I₁2r + I₂r + I₁R = 2Ɛ;

I₁r + I₂2r + I₂R = 0;

Преобразовав эти уравнения, имеем:

I₁ = -(I₂(2r + R)) / r;

I₂ = 2Ɛr / ((2r + R)² — r²). Материал с сайта http://worldofschool.ru

Имея в виду, что Ɛ = 2 В, a r = R = 1 Ом, находим значение I₂ = -0,5 А. Знак минус в полученном результате означает, что в процессе решения задачи мы избрали направление, противоположное действительному направлению тока в этой ветке.

Теперь легко находим значения I₁ = 1,5 А и I = 1,0 А.

Ответ: I = 1,0 А; I₁ = 1,5 А; I₂ = 0,5 А.

На этой странице материал по темам:

• Задачи на правило кирхгофа с решениями когда 2 сопротивление

• Примеры решения задач на правила кирхгофа рггму

• Физика задачи электрические цепи примеры решений

• Задачи на правило кирхгофа примеры

• Примеры решения задач на правила кирхгофа соединение по. диагонали

10.4: Правила Кирхгофа – Physics LibreTexts

Мы только что видели, что некоторые схемы можно анализировать, сводя схему к одному источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению. Многие сложные схемы не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в предыдущих разделах. В этом разделе мы подробно рассмотрим использование правил Кирхгофа для анализа более сложных схем. Например, схема на рисунке \ (\ PageIndex {1} \) известна как многоконтурная схема , которая состоит из переходов.Соединение, также известное как узел, представляет собой соединение трех или более проводов. В этой схеме нельзя использовать предыдущие методы, потому что не все резисторы имеют четкую последовательную или параллельную конфигурацию, которую можно уменьшить. Попробуйте. Резисторы \ (R_1 \) и \ (R_2 \) включены последовательно и могут быть уменьшены до эквивалентного сопротивления. То же самое и с резисторами \ (R_4 \) и \ (R_5 \). Но что же тогда делать?

Несмотря на то, что эта схема не может быть проанализирована с использованием уже изученных методов, два правила анализа схемы могут использоваться для анализа любой схемы, простой или сложной.Правила известны как правила Кирхгофа , в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

Теперь мы даем объяснения этих двух правил, за которыми следуют советы по их применению и рабочий пример, в котором они используются.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения ) применяется к заряду, входящему в соединение и выходящему из него (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)). Как указывалось ранее, соединение или узел – это соединение трех или более проводов.Ток – это поток заряда, и заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, попадающий в переход, должен вытекать.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Заряд должен сохраняться, поэтому сумма токов в переходе должна быть равна сумме токов на выходе.

Хотя это чрезмерное упрощение, можно провести аналогию с водопроводными трубами, соединенными в водопроводной разводке. Если провода на рисунке \ (\ PageIndex {2} \) были заменены водопроводными трубами и вода считалась несжимаемой, объем воды, текущей в соединение, должен быть равен объему воды, вытекающей из соединения.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило петли ) применяется к разности потенциалов. Правило цикла сформулировано в терминах потенциала В , а не потенциальной энергии, но они связаны между собой, поскольку \ (U = qV \). В замкнутом контуре, какая бы энергия ни поступала от источника напряжения, энергия должна быть передана в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в цепь или из нее.Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов, включая напряжение, подаваемое источниками напряжения и резистивными элементами, в любой петле должна быть равна нулю. Например, рассмотрим простой цикл без соединений, как на рисунке \ (\ PageIndex {3} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): простой цикл без соединений. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей напряжений равна нулю.

Схема состоит из источника напряжения и трех внешних нагрузочных резисторов.Ярлыки a , b , c и d служат в качестве ссылок и не имеют другого значения. Скоро станет очевидна полезность этих этикеток. Цепь обозначается как Loop abcda , и метки помогают отслеживать разницу напряжений при перемещении по цепи. Начните с точки a и двигайтесь к точке b . Напряжение источника напряжения добавляется к уравнению и вычитается падение потенциала резистора \ (R_1 \).От точки b до c вычитается падение потенциала на \ (R_2 \). Из c до d вычитается падение потенциала на \ (R_3 \). От точек d до a ничего не делается, потому что нет компонентов.

На рисунке \ (\ PageIndex {4} \) показан график напряжения при перемещении по контуру. Напряжение увеличивается при прохождении через батарею, тогда как напряжение уменьшается при прохождении через резистор. Падение потенциала , или изменение электрического потенциала, равно току через резистор, умноженному на сопротивление резистора.Поскольку провода имеют незначительное сопротивление, напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): график напряжения при движении по цепи. Напряжение увеличивается, когда мы пересекаем батарею, и уменьшается, когда мы пересекаем каждый резистор. Поскольку сопротивление провода довольно мало, мы предполагаем, что напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Тогда правило петли Кирхгофа утверждает

\ [V – IR_1 – IR_2 – IR_3 = 0.\]

Уравнение контура можно использовать для определения тока в контуре:

\ [I = \ frac {V} {R_1 + R_2 + R_3} = \ frac {12.00 \, V} {1.00 \, \ Omega + 2.00 \, \ Omega + 3.00 \, \ Omega} = 2.00 \, A . \]

Этот цикл можно было бы проанализировать с помощью предыдущих методов, но мы продемонстрируем мощь метода Кирхгофа в следующем разделе.

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем набор линейных уравнений, которые позволяют нам находить неизвестные значения в схемах.Это могут быть токи, напряжения или сопротивления. Каждый раз, когда применяется правило, оно создает уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена.

Использование метода анализа Кирхгофа требует нескольких шагов, перечисленных в следующей процедуре.

Стратегия решения проблем: правила Кирхгофа

1. Обозначьте точки на принципиальной схеме строчными буквами a , b , c ,….Эти метки просто помогают сориентироваться.
2. Найдите соединения в цепи. Соединения – это точки, в которых соединяются три или более проводов. Обозначьте каждое соединение токами и направлениями в него и из него. Убедитесь, что по крайней мере один ток направлен на соединение, а по крайней мере один ток выходит из соединения.
3. Выбрать петли в схеме. Каждый компонент должен содержаться хотя бы в одном цикле, но компонент может содержаться более чем в одном цикле.
4. Примените правило соединения. Опять же, некоторые стыки не следует включать в анализ. Вам нужно использовать достаточно узлов только для включения каждого тока.
5. Примените правило цикла. Используйте карту на рисунке \ (\ PageIndex {5} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от до до до . (a) При перемещении через резистор в том же направлении, что и ток, вычтите падение потенциала. (b) При перемещении через резистор в направлении, противоположном току, добавьте падение потенциала.(c) При перемещении источника напряжения от отрицательной клеммы к положительной, добавьте падение потенциала. (d) При перемещении через источник напряжения от положительной клеммы к отрицательной вычтите падение потенциала.

Давайте подробнее рассмотрим некоторые этапы этой процедуры. При размещении переходов в цепи не обращайте внимания на направление токов. Если направление потока тока неочевидно, выбора любого направления достаточно, если хотя бы один ток направлен в соединение и хотя бы один ток выходит из соединения.Если стрелка находится в направлении, противоположном обычному току, результат для рассматриваемого тока будет отрицательным, но ответ все равно будет правильным.

Количество узлов зависит от схемы. Каждый ток должен быть включен в узел и, таким образом, включен по крайней мере в одно уравнение соединения. Не включайте узлы, которые не являются линейно независимыми, то есть узлы, содержащие одинаковую информацию.

Рассмотрим рисунок \ (\ PageIndex {6} \). В этой цепи два перехода: переход b и переход e .Точки a , c , d и f не являются перекрестками, поскольку стык должен иметь три или более соединений. Уравнение для соединения b : \ (I_1 = I_2 + I_3 \), а уравнение для соединения e – \ (I_2 + I_3 = I_1 \). Это эквивалентные уравнения, поэтому необходимо оставить только одно из них.

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \): На первый взгляд, эта схема содержит два соединения, соединение b и соединение e , но следует рассматривать только один, поскольку их уравнения соединения эквивалентны.

При выборе петель в схеме вам необходимо достаточное количество петель, чтобы каждый компонент был покрыт один раз, без повторения петель. На рисунке \ (\ PageIndex {7} \) показаны четыре варианта циклов для решения примерной схемы; варианты (a), (b) и (c) имеют достаточное количество циклов для полного решения схемы. Вариант (d) отражает больше петель, чем необходимо для решения схемы.

Рисунок \ (\ PageIndex {7} \): Панели (a) – (c) достаточно для анализа схемы. В каждом случае два показанных контура содержат все элементы схемы, необходимые для полного решения схемы.На панели (d) показаны три использованных контура, что больше, чем необходимо. Любые две петли в системе будут содержать всю информацию, необходимую для решения схемы. Добавление третьего цикла дает избыточную информацию.

Рассмотрим схему на рисунке \ (\ PageIndex {8a} \). Давайте проанализируем эту схему, чтобы найти ток через каждый резистор. Сначала промаркируйте схему, как показано в части (b).

Рисунок \ (\ PageIndex {8} \): (a) Многоконтурная схема. (b) Пометьте цепь, чтобы облегчить ориентацию.

Далее определяем перекрестки.В этой схеме точки b и e имеют по три соединенных провода, что делает их соединениями. Начните применять правило соединения Кирхгофа \ (\ left (\ sum I_ {in} = \ sum I_ {out} \ right) \), рисуя стрелки, представляющие токи, и маркируя каждую стрелку, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {9 } \). Соединение b показывает, что \ (I_1 = I_2 + I_3 \), а соединение e показывает, что \ (I_2 + I_3 = I_1 \). Поскольку соединение e дает ту же информацию, что и соединение b , ее можно не принимать во внимание.Эта схема имеет три неизвестных, поэтому для ее анализа нам понадобятся три линейно независимых уравнения.

Рисунок \ (\ PageIndex {9} \): (a) Эта схема имеет два соединения, помеченных b и e, но в анализе используется только узел b. (b) Обозначенные стрелки представляют токи в переходах и на выходе из них.

Далее нам нужно выбрать петли. На рисунке \ (\ PageIndex {10} \) контур abefa включает источник напряжения \ (V_1 \) и резисторы \ (R_1 \) и \ (R_2 \). Цикл начинается в точке a , затем проходит через точки b , e и f , а затем возвращается к точке a .Второй контур, Loop ebcde , начинается в точке e и включает резисторы \ (R_2 \) и \ (R_3 \), а также источник напряжения \ (V_2 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {10} \): Выберите петли в схеме.

Теперь мы можем применить правило цикла Кирхгофа, используя карту на рисунке \ (\ PageIndex {5} \). Начиная с точки a и двигаясь к точке b , резистор \ (R_1 \) пересекается в том же направлении, что и ток \ (I_1 \), поэтому падение потенциала \ (I_1R_1 \) вычитается.Двигаясь от точки b к точке e , резистор \ (R_2 \) пересекается в том же направлении, что и ток \ (I_2 \), поэтому падение потенциала \ (I_2R_2 \) вычитается. При перемещении от точки e к точке f источник напряжения \ (V_1 \) пересекается от отрицательной клеммы к положительной клемме, поэтому добавляется \ (V_1 \). Между точками f и a нет компонентов. Сумма разностей напряжений должна равняться нулю:

\ [Петля \, abefa: \, -I_1R_1 – I_2R_2 + V_1 = 0 \ или \, V_1 = I_1R_1 + I_2R_2.\]

Наконец, проверяем цикл ebcde . Мы начинаем с точки e и переходим к точке b , пересекая \ (R_2 \) в направлении, противоположном текущему потоку \ (I_2 \). Потенциальное падение \ (I_2R_2 \) добавлено. Затем мы пересекаем \ (R_3 \) и \ (R_4 \) в том же направлении, что и текущий поток \ (I_3 \), и вычитаем потенциальные падения \ (I_3R_3 \) и \ (I_3R_4 \). Обратите внимание, что ток через резисторы \ (R_3 \) и \ (R_4 \) одинаков, потому что они соединены последовательно. Наконец, источник напряжения пересекается с положительной клеммы на отрицательную, а источник напряжения \ (V_2 \) вычитается.Сумма этих разностей напряжений равна нулю и дает уравнение контура

\ [Петля \, ebcde: \, I_2R_2 – I_3 (R_3 + R_4) – V_2 = 0. \]

Теперь у нас есть три уравнения, которые мы можем решить относительно трех неизвестных.

\ [\ text {Перекресток b:} \, I_1 – I_2 – I_3 = 0. \ label {eq1} \]

\ [\ text {Петля abefa:} \, I_1R_1 + I_2R_2 = V_1. \ label {eq2} \]

\ [\ text {Loop ebcde:} \, I_2R_2 – I_3 (R_3 + R_4) = V_2. \ label {eq3} \]

Чтобы решить три уравнения для трех неизвестных токов, начните с исключения тока \ (I_2 \).Сначала добавьте уравнение \ ref {eq1} times \ (R_2 \) к уравнению \ ref {eq2}. Результатом будет уравнение \ ref {eq4}:

.

\ [(R_1 + R_2) I_1 – R_2I_3 = V_1. \]

\ [6 \, \ Omega I_1 – 3 \ Omega I_3 = 24 \, V. \ label {eq4} \]

Затем вычтите уравнение \ ref {eq3} из уравнения \ ref {eq2}. Результатом будет уравнение \ ref {eq5}:

.

\ [I_1R_1 + I_3 (R_3 + R_4) = V_1 – V_2. \]

\ [3 \ Omega I_1 + 7 \ Omega I_3 = -5 \, V. \ label {eq5} \]

Мы можем решить уравнения \ ref {eq4} и \ ref {eq5} для тока \ (I_1 \).Если сложить семикратное уравнение \ ref {eq4} и трехкратное уравнение \ ref {eq5}, получится \ (51 \, \ Omega I_1 = 153 \, V \) или \ (I_1 = 3.00 \, A \). Использование уравнения \ ref {eq4} приводит к \ (I_3 = -2,00 \, A \). Наконец, уравнение \ ref {eq1} дает \ (I_2 = I_1 – I_3 = 5,00 \, A \). Один из способов проверить соответствие решений – проверить мощность, подаваемую источниками напряжения, и мощность, рассеиваемую резисторами:

\ [P_ {in} = I_1V_1 + I_3V_2 = 130 \, W, \ nonumber \]

\ [P_ {out} = I_1 ^ 2R_1 + I_2 ^ 2R_2 + I_3 ^ 2R_3 + I_3 ^ 2R_4 = 130 \, W.\ nonumber \]

Обратите внимание, что решение для текущего \ (I_3 \) отрицательно. Это правильный ответ, но он предполагает, что стрелка, первоначально нарисованная при анализе соединений, имеет направление, противоположное направлению обычного тока. Мощность, отдаваемая вторым источником напряжения, составляет 58 Вт, а не −58 Вт.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): расчет тока с использованием правил Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на рисунке \ (\ PageIndex {11} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {11} \): Эта схема представляет собой комбинацию последовательной и параллельной конфигураций резисторов и источников напряжения.Эта схема не может быть проанализирована с использованием методов, обсуждаемых в «Электродвижущей силе», но может быть проанализирована с использованием правил Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, чтобы найти токи с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов – необходимо использовать правила Кирхгофа. На рисунке токи обозначены \ (I_1, \, I_2 \) и \ (I_3 \), и были сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами от до до h .В решении мы применяем правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Применение правил соединения и петли дает следующие три уравнения. У нас есть три неизвестных, поэтому требуется три уравнения.

\ [Перекресток \, c: \, I_1 + I_2 = I_3. \]

\ [Петля \, abcdefa: \, I_1 (R_1 + R_4) – I_2 (R_2 + R_5 + R_6) = V_1 – V_3. \]

\ [Петля \, cdefc: \, I_2 (R_2 + R_5 + R_6) + I_3R_3 = V_2 + V_3.\]

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений.

\ [Узел \, c: \, I_1 + I_2 – I_3 = 0. \]

\ [Петля \, abcdefa: \, I_1 (3 \ Omega) – I_2 (8 \ Omega) = 0,5 \, V – 2,30 \, V. \]

\ [Цикл \, cdefc: \, I_2 (8 \ Omega) + I_3 (1 \ Omega) = 0,6 \, V + 2. 2R_1 = 0.2R_1 = 0,18 \, W. \]

\ [P_ {disipated} = 1.09 \, W. \]

\ [P_ {источник} = I_1V_1 + I_2V_3 + I_3V_2 = 0,10 \, + 0,69 \, W + 0,30 \, W = 1,09 \, W. \]

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

При рассмотрении следующей схемы и мощности, подаваемой и потребляемой схемой, всегда ли источник напряжения обеспечивает питание схемы или может ли источник напряжения потреблять энергию?

Ответ

Схема может быть проанализирована с использованием правила петли Кирхгофа.2R_2 = 7,2 \, мВт. \)

Пример \ (\ PageIndex {2} \): расчет тока с использованием правил Кирхгофа

Найдите ток, протекающий в цепи, показанной на рисунке \ (\ PageIndex {12} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {12} \): Эта схема состоит из трех резисторов и двух последовательно соединенных батарей. Обратите внимание, что батареи подключены с противоположной полярностью.

Стратегия

Эту схему можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа. Есть только один цикл и нет узлов.Выберите направление тока. В этом примере мы будем использовать направление по часовой стрелке от точки a до точки b . Рассмотрим цикл abcda и воспользуйтесь рисунком \ (\ PageIndex {5} \), чтобы написать уравнение цикла. Обратите внимание, что согласно рисунку \ (\ PageIndex {5} \), батарея \ (V_1 \) будет добавлена, а батарея \ (V_2 \) вычтена.

Решение

Применение правила соединения дает следующие три уравнения. У нас есть одно неизвестное, поэтому требуется одно уравнение:

\ [Цикл \, abcda: \, -IR_1 -V_1 -IR_2 + V_2 -IR_3 = 0.\]

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений. Используйте значения, указанные на рисунке.

\ [I (R_1 + R_2 + R_3) = V_2 – V_1. \]

\ [I = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_3} = \ frac {24 \, V – 12 \, V} {10.0 \, \ Omega + 30.0 \, \ Omega + 10.0 \, \ Омега} = 0,20 \, А. \]

Значение

Мощность, рассеиваемая или потребляемая схемой, равна мощности, подаваемой в схему, но обратите внимание, что ток в батарее \ (V_1 \) течет через батарею от положительной клеммы к отрицательной клемме и потребляет энергию.2R_3 = 0,80 \, Вт \]

\ [P_ {V_1} = IV_1 = 2,40 \, W \]

\ [P_ {рассеивается} = 4.80 \, Вт \]

\ [P_ {источник} = IV_2 = 4.80 \, W \]

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами и потребляемой батареей \ (V_1 \).

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \)

При использовании законов Кирхгофа вам необходимо решить, какие петли использовать, и направление тока, протекающего через каждую петлю. При анализе схемы в примере \ (\ PageIndex {2} \) было выбрано направление тока по часовой стрелке от точки a до точки b .Как бы изменились результаты, если бы направление тока было выбрано против часовой стрелки, от точки b до точки a ?

Ответ

Расчетный ток будет равен \ (I = -0.20 \, A \) вместо \ (I = 0.20 \, A \). Сумма рассеиваемой мощности и потребляемой мощности все равно будет равна подаваемой мощности.

Несколько источников напряжения

Для многих устройств требуется более одной батареи.Несколько источников напряжения, таких как батареи, могут быть подключены в последовательной конфигурации, параллельной конфигурации или их комбинации.

Последовательно положительная клемма одной батареи соединена с отрицательной клеммой другой батареи. Любое количество источников напряжения, в том числе аккумуляторы, можно подключать последовательно. Две последовательно соединенные батареи показаны на рисунке \ (\ PageIndex {13} \). Использование правила петли Кирхгофа для схемы в части (b) дает результат

\ [\ epsilon_1 – Ir_1 + \ epsilon_2 – Ir_2 – IR = 0, \]

\ [[(\ epsilon_1 + \ epsilon_2) – I (r_1 + r_2)] – IR = 0.\]

Рисунок \ (\ PageIndex {13} \): (a) Две батареи, соединенные последовательно с нагрузочным резистором. (b) Принципиальная схема двух батарей и нагрузочного резистора, каждая из которых моделируется как идеализированный источник ЭДС и внутреннее сопротивление.

Когда источники напряжения включены последовательно, их внутренние сопротивления можно складывать, а их ЭДС можно складывать вместе, чтобы получить общие значения. Последовательное соединение источников напряжения является обычным явлением, например, в фонариках, игрушках и других приборах.Обычно ячейки включены последовательно, чтобы обеспечить большую суммарную ЭДС. На рисунке \ (\ PageIndex {13} \) напряжение на клеммах равно

.

\ [V_ {терминал} = (\ epsilon_1 – Ir_1) + (\ epsilon_2 – Ir_2) = [(\ epsilon_1 + \ epsilon_2) – I (r_1 + r_2) – I (r_1 + r_2)] = (\ epsilon_1 + \ epsilon_2) + Ir_ {eq}. \]

Обратите внимание, что одинаковый ток I присутствует в каждой батарее, потому что они соединены последовательно. Недостаток последовательного соединения ячеек в том, что их внутренние сопротивления складываются.

Батареи соединены последовательно для увеличения напряжения, подаваемого в цепь. Например, светодиодный фонарик может иметь две батарейки типа AAA, каждая с напряжением на клеммах 1,5 В, чтобы обеспечить 3,0 В для фонарика.

Любое количество батарей можно подключить последовательно. Для последовательно включенных батарей N напряжение на зажимах равно

Примечание

\ [V_ {терминал} = (\ epsilon_1 + \ epsilon_2 +… + \ Epsilon_ {N-1} + \ epsilon_N) – I (r_1 + r_2 +.№ р_и \]

Когда нагрузка подключается к источникам напряжения последовательно, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {14} \), мы можем найти ток:

\ [(\ epsilon_1 – Ir_1) + (\ epsilon_2 – Ir_2) = IR, \]

\ [Ir_1 + Ir_2 + IR = \ epsilon_1 + \ epsilon_2, \]

\ [I = \ frac {\ epsilon_1 + \ epsilon_2} {r_1 + r_2 + R}. \]

Как и ожидалось, внутренние сопротивления увеличивают эквивалентное сопротивление.

Рисунок \ (\ PageIndex {14} \): две батареи подключаются последовательно к светодиодной лампе, как в фонарике.

Источники напряжения, такие как батареи, также можно подключать параллельно. На рисунке \ (\ PageIndex {15} \) показаны две батареи с одинаковыми ЭДС, включенные параллельно и подключенные к сопротивлению нагрузки. Когда батареи подключаются параллельно, положительные клеммы соединяются вместе, а отрицательные клеммы соединяются вместе, а сопротивление нагрузки подключается к положительной и отрицательной клеммам. Обычно источники напряжения, включенные параллельно, имеют идентичные ЭДС. В этом простом случае, поскольку источники напряжения подключены параллельно, общая ЭДС равна индивидуальной ЭДС каждой батареи.

Рисунок \ (\ PageIndex {15} \): (a) Две батареи подключаются параллельно к нагрузочному резистору. (b) На принципиальной схеме показана батарея как источник ЭДС и внутренний резистор. Два источника ЭДС имеют идентичные ЭДС (каждый помечен как \ (\ epsilon \)), соединенные параллельно, которые производят одинаковую ЭДС.

Рассмотрим анализ Кирхгофа схемы на рисунке \ (\ PageIndex {15b} \). {- 1} \]

Например, в некоторых грузовиках с дизельным двигателем параллельно используются две батареи на 12 В; они производят полную ЭДС 12 В, но могут обеспечивать больший ток, необходимый для запуска дизельного двигателя.

Таким образом, напряжение на клеммах последовательно соединенных батарей равно сумме индивидуальных ЭДС минус сумма внутренних сопротивлений, умноженная на ток. Когда батареи соединены параллельно, они обычно имеют равные ЭДС, а напряжение на клеммах равно ЭДС минус эквивалентное внутреннее сопротивление, умноженное на ток, где эквивалентное внутреннее сопротивление меньше, чем отдельные внутренние сопротивления. Аккумуляторы подключаются последовательно для увеличения напряжения на клеммах нагрузки.Аккумуляторы подключаются параллельно для увеличения тока нагрузки.

6.3 Правила Кирхгофа – Введение в электричество, магнетизм и электрические цепи

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

---

К концу раздела вы сможете:

• Государственное правило Кирхгофа
• Государственное правило петли Кирхгофа
• Анализировать сложные схемы по правилам Кирхгофа

Мы только что видели, что некоторые схемы можно проанализировать, сведя схему к одному источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению.Многие сложные схемы не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в предыдущих разделах. В этом разделе мы подробно рассмотрим использование правил Кирхгофа для анализа более сложных схем. Например, схема на рисунке 6.3.1 известна как многоконтурная схема , которая состоит из переходов. Соединение, также известное как узел, представляет собой соединение трех или более проводов. В этой схеме нельзя использовать предыдущие методы, потому что не все резисторы имеют четкую последовательную или параллельную конфигурацию, которую можно уменьшить.Попробуйте. Резисторы и включены последовательно и могут быть уменьшены до эквивалентного сопротивления. То же самое и с резисторами и. Но что же тогда делать?

Несмотря на то, что эта схема не может быть проанализирована с помощью уже изученных методов, два правила анализа схемы могут использоваться для анализа любой схемы, простой или сложной. Правила известны как правила Кирхгофа , в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

(рисунок 6.3.1)

Рисунок 6.3.1 Эта схема не может быть сведена к комбинации последовательного и параллельного соединения. Однако мы можем использовать правила Кирхгофа для его анализа.

ПРАВИЛА КИРХГОФА

---

• Первое правило Кирхгофа – правило соединения . Сумма всех токов, входящих в переход, должна равняться сумме всех токов, выходящих из перехода:
  

  (6.3.1)

• Второе правило Кирхгофа – правило петли. Алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг любого пути (контура) замкнутой цепи должна быть равна нулю:
  

  (6.3.2)

Теперь мы даем объяснения этих двух правил, за которыми следуют советы по их применению и рабочий пример, в котором они используются.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения) применяется к заряду, входящему в соединение и выходящему из него (рисунок 6.3.2). Как указывалось ранее, соединение или узел – это соединение трех или более проводов. Ток – это поток заряда, и заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, попадающий в переход, должен вытекать.

(рисунок 6.3.2)

Рисунок 6.3.2 Заряд должен сохраняться, поэтому сумма токов в переходе должна быть равна сумме токов на выходе.

Хотя это чрезмерное упрощение, можно провести аналогию с водопроводными трубами, соединенными в водопроводной разводке. Если провода на рис. 6.3.2 были заменены водопроводными трубами, а вода считалась несжимаемой, объем воды, поступающей в разветвление, должен был равняться объему воды, вытекающей из разветвления.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило петли ) применяется к разности потенциалов. Правило петли сформулировано в терминах потенциальной, а не потенциальной энергии, но они связаны между собой. В замкнутом контуре, какая бы энергия ни поступала от источника напряжения, энергия должна быть передана в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в цепь или из нее. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов, включая напряжение, подаваемое источниками напряжения и резистивными элементами, в любой петле должна быть равна нулю.Например, рассмотрим простую петлю без стыков, как на рисунке 6.3.3.

(рисунок 6.3.3)

Рисунок 6.3.3 Простая петля без стыков. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей напряжений равна нулю.

Схема состоит из источника напряжения и трех внешних нагрузочных резисторов. Ярлыки,, и служат в качестве ссылок и не имеют другого значения. Скоро станет очевидна полезность этих этикеток. Цепь обозначается как Цикл, и метки помогают отслеживать разницу напряжений при перемещении по цепи.Начните с точки и двигайтесь к ней. Напряжение источника напряжения добавляется к уравнению, а падение потенциала на резисторе вычитается. От точки до потенциальный перепад вычитается. От до вычитается потенциальный перепад. От пунктов до ничего не делается, потому что нет компонентов.

На рис. 6.3.4 показан график напряжения при перемещении по контуру. Напряжение увеличивается при прохождении через батарею, тогда как напряжение уменьшается при прохождении через резистор.Падение потенциала , или изменение электрического потенциала, равно току через резистор, умноженному на сопротивление резистора. Поскольку провода имеют незначительное сопротивление, напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

(рисунок 6.3.4)

Рисунок 6.3.4 График напряжения при движении по цепи. Напряжение увеличивается, когда мы пересекаем батарею, и уменьшается, когда мы пересекаем каждый резистор. Поскольку сопротивление провода довольно мало, мы предполагаем, что напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Тогда правило петли Кирхгофа утверждает

Уравнение контура можно использовать для определения тока в контуре:

Этот цикл можно было бы проанализировать с помощью предыдущих методов, но мы продемонстрируем мощь метода Кирхгофа в следующем разделе.

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем набор линейных уравнений, которые позволяют нам находить неизвестные значения в схемах. Это могут быть токи, напряжения или сопротивления.Каждый раз, когда применяется правило, оно создает уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена.

Использование метода анализа Кирхгофа требует нескольких шагов, перечисленных в следующей процедуре.

---

Стратегия решения проблем: правила Кирхгофа

1. Обозначьте точки на принципиальной схеме строчными буквами. Эти метки просто помогают сориентироваться.
2. Найдите соединения в цепи. Соединения – это точки, в которых соединяются три или более проводов.Обозначьте каждое соединение токами и направлениями в него и из него. Убедитесь, что по крайней мере один ток направлен на соединение, а по крайней мере один ток выходит из соединения.
3. Выбрать петли в схеме. Каждый компонент должен содержаться хотя бы в одном цикле, но компонент может содержаться более чем в одном цикле.
4. Примените правило соединения. Опять же, некоторые стыки не следует включать в анализ. Вам нужно использовать достаточно узлов только для включения каждого тока.
5. Примените правило цикла.Используйте карту на рисунке 6.3.5.

(рисунок 6.3.5)

Рисунок 6.3.5 Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от до. (a) При перемещении через резистор в том же направлении, что и ток, вычтите падение потенциала. (b) При перемещении через резистор в направлении, противоположном току, добавьте падение потенциала. (c) При перемещении источника напряжения от отрицательной клеммы к положительной, добавьте падение потенциала.(d) При перемещении через источник напряжения от положительной клеммы к отрицательной вычтите падение потенциала.

Давайте подробнее рассмотрим некоторые этапы этой процедуры. При размещении переходов в цепи не обращайте внимания на направление токов. Если направление потока тока неочевидно, выбора любого направления достаточно, если хотя бы один ток направлен в соединение и хотя бы один ток выходит из соединения. Если стрелка находится в направлении, противоположном обычному току, результат для рассматриваемого тока будет отрицательным, но ответ все равно будет правильным.

Количество узлов зависит от схемы. Каждый ток должен быть включен в узел и, таким образом, включен по крайней мере в одно уравнение соединения. Не включайте узлы, которые не являются линейно независимыми, то есть узлы, содержащие одинаковую информацию.

Рассмотрим рисунок 6.3.6. В этой цепи есть два соединения: соединение и соединение. Точки,, и не являются соединениями, потому что соединение должно иметь три или более соединений. Уравнение для соединения есть, а уравнение для соединения есть.Это эквивалентные уравнения, поэтому необходимо оставить только одно из них.

(рисунок 6.3.6)

Рисунок 6.3.6 На первый взгляд, эта схема содержит два соединения, соединение и соединение, но следует рассматривать только один, поскольку их уравнения соединения эквивалентны.

При выборе петель в схеме вам необходимо достаточное количество петель, чтобы каждый компонент был покрыт один раз, без повторения петель. На рис. 6.3.7 показаны четыре варианта петель для решения типовой схемы; варианты (a), (b) и (c) имеют достаточное количество циклов для полного решения схемы.Вариант (d) отражает больше петель, чем необходимо для решения схемы.

(рисунок 6.3.7)

Рисунок 6.3.7 Панели (a) – (c) достаточны для анализа схемы. В каждом случае два показанных контура содержат все элементы схемы, необходимые для полного решения схемы. На панели (d) показаны три использованных контура, что больше, чем необходимо. Любые две петли в системе будут содержать всю информацию, необходимую для решения схемы. Добавление третьего цикла дает избыточную информацию.

Рассмотрим схему на Рисунке 6.3.8 (a). Давайте проанализируем эту схему, чтобы найти ток через каждый резистор. Сначала промаркируйте схему, как показано в части (b).

(рисунок 6.3.8)

Рисунок 6.3.8 (a) Многоконтурная схема. (b) Пометьте цепь, чтобы облегчить ориентацию.

Далее определяем перекрестки. В этой схеме точки и каждая имеют по три соединенных провода, что делает их соединениями. Начните применять правило соединения Кирхгофа, нарисовав стрелки, представляющие токи, и пометив каждую стрелку, как показано на рисунке 6.3.9 (б). Junction показывает это, а Junction это показывает. Поскольку Junction предоставляет ту же информацию, что и Junction, ее можно не принимать во внимание. Эта схема имеет три неизвестных, поэтому для ее анализа нам понадобятся три линейно независимых уравнения.

(рисунок 6.3.9)

Рисунок 6.3.9 (a) Эта схема имеет два соединения, обозначенных b и e, но в анализе используется только узел b. (b) Обозначенные стрелки представляют токи в переходах и на выходе из них.

Далее нам нужно выбрать петли.На рисунке 6.3.10 контур включает источник напряжения, резисторы и. Цикл начинается с точки, затем проходит через точки, и, а затем возвращается к точке. Вторая петля, петля, начинается в точке и включает резисторы и источник напряжения.

(рисунок 6.3.10)

Рисунок 6.3.10 Выберите петли в схеме.

Теперь мы можем применить правило цикла Кирхгофа, используя карту на рис. 6.3.5. Начиная с точки и двигаясь к точке, резистор пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается.При перемещении от точки к точке резистор пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается. При перемещении от точки к точке источник напряжения пересекается от отрицательной клеммы к положительной, поэтому добавляется. Между точками и нет компонентов. Сумма разностей напряжений должна равняться нулю:

Наконец, проверяем цикл. Мы начинаем с точки и переходим к точке, пересекаясь в направлении, противоположном текущему потоку.Потенциальное падение добавлено. Затем мы пересекаем и в том же направлении, что и ток, и вычитаем падения потенциала и. Обратите внимание, что через резисторы и ток одинаковый, потому что они соединены последовательно. Наконец, источник напряжения пересекается с положительной клеммы на отрицательную, а источник напряжения вычитается. Сумма этих разностей напряжений равна нулю и дает уравнение контура

Теперь у нас есть три уравнения, которые мы можем решить относительно трех неизвестных.

Чтобы решить три уравнения для трех неизвестных токов, начните с исключения тока. Сначала добавьте уравнение. (1) раз к формуле. (2). Результат обозначен как уравнение. (4):

Затем вычтите уравнение. (3) из уравнения. (2). Результат обозначен как уравнение. (5):

Мы можем решить уравнения. (4) и (5) для тока. Сложив семь раз уравнение. (4) и троекратное уравнение. (5) приводит к, или. Используя уравнение.(4) приводит к. Наконец, уравнение. (1) дает. Один из способов проверить соответствие решений – проверить мощность, подаваемую источниками напряжения, и мощность, рассеиваемую резисторами:

Обратите внимание, что решение для тока отрицательное. Это правильный ответ, но он предполагает, что стрелка, первоначально нарисованная при анализе соединений, имеет направление, противоположное направлению обычного тока. Питание от второго источника напряжения есть и нет.

ПРИМЕР 6.3.1

---

Расчет тока по правилам Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на рисунке 6.3.11.

(рисунок 6.3.11)

Рисунок 6.3.11 Эта схема представляет собой комбинацию последовательной и параллельной конфигураций резисторов и источников напряжения. Эта схема не может быть проанализирована с использованием методов, обсуждаемых в «Электродвижущей силе», но может быть проанализирована с использованием правил Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, чтобы найти токи с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов – необходимо использовать правила Кирхгофа.На рисунке обозначены токи, и сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены сквозными буквами. В решении мы применяем правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Применение правил соединения и петли дает следующие три уравнения. У нас есть три неизвестных, поэтому требуется три уравнения.

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений.

Упростите уравнения. Уравнение первого цикла можно упростить, разделив обе части на. Уравнение второго цикла можно упростить, разделив обе части на.

Результатов:

Значение

Метод проверки расчетов заключается в вычислении мощности, рассеиваемой резисторами, и мощности, подаваемой источниками напряжения:

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами.

ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 6.6

---

При рассмотрении следующей схемы и мощности, подаваемой и потребляемой схемой, всегда ли источник напряжения обеспечивает питание схемы или может ли источник напряжения потреблять энергию?

ПРИМЕР 6.3.2

---

Расчет тока по правилам Кирхгофа

Найдите ток, протекающий в цепи, показанной на рисунке 6.3.12.

(рисунок 6.3.12)

Рисунок 6.3.12 Эта схема состоит из трех последовательно соединенных резисторов и двух батарей. Обратите внимание, что батареи подключены с противоположной полярностью.

Стратегия

Эту схему можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа. Есть только один цикл и нет узлов. Выберите направление тока. В этом примере мы будем использовать направление по часовой стрелке от точки к точке. Рассмотрим цикл и воспользуйтесь рисунком 6.3.5, чтобы написать уравнение цикла. Обратите внимание, что согласно рисунку 6.3.5, батарея будет добавлена, а батарея вычтена.

Решение

Применение правила соединения дает следующие три уравнения. У нас есть одно неизвестное, поэтому требуется одно уравнение:

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений. Используйте значения, указанные на рисунке.

Значение

Мощность, рассеиваемая или потребляемая схемой, равна мощности, подаваемой в схему, но обратите внимание, что ток в батарее протекает через батарею от положительной клеммы к отрицательной клемме и потребляет мощность.

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами и потребляемой батареей.

ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 6.7

---

При использовании законов Кирхгофа вам необходимо решить, какие петли использовать, и направление тока, протекающего через каждую петлю. При анализе схемы в Примере 6.3.2 направление тока было выбрано по часовой стрелке от точки a к точке b .Как бы изменились результаты, если бы направление тока было выбрано против часовой стрелки, от точки к точке?

Несколько источников напряжения

Для многих устройств требуется более одной батареи. Несколько источников напряжения, таких как батареи, могут быть подключены в последовательной конфигурации, параллельной конфигурации или их комбинации.

Последовательно положительная клемма одной батареи соединена с отрицательной клеммой другой батареи. Любое количество источников напряжения, в том числе аккумуляторы, можно подключать последовательно.Две последовательно соединенные батареи показаны на рисунке 6.3.13. Использование правила петли Кирхгофа для схемы в части (b) дает результат

(рисунок 6.3.13)

Рисунок 6.3.13 (a) Две батареи, соединенные последовательно с нагрузочным резистором. (b) Принципиальная схема двух батарей и нагрузочного резистора, каждая из которых моделируется как идеализированный источник ЭДС и внутреннее сопротивление.

Когда источники напряжения включены последовательно, их внутренние сопротивления можно складывать, а их ЭДС можно складывать вместе, чтобы получить общие значения.Последовательное соединение источников напряжения является обычным явлением, например, в фонариках, игрушках и других приборах. Обычно ячейки включены последовательно, чтобы обеспечить большую суммарную ЭДС. На рисунке 6.3.13 напряжение на клеммах равно

.

Обратите внимание, что в каждой батарее присутствует одинаковый ток, поскольку они соединены последовательно. Недостаток последовательного соединения ячеек в том, что их внутренние сопротивления складываются.

Батареи соединены последовательно для увеличения напряжения, подаваемого в цепь.Например, светодиодный фонарик может иметь две батарейки типа ААА, каждая с напряжением на клеммах, чтобы обеспечить фонарик.

Любое количество батарей можно подключить последовательно. Для аккумуляторов, включенных последовательно, напряжение на зажимах равно

.

(6.3.3)

, где эквивалентное сопротивление.

Когда нагрузка подключается к источникам напряжения последовательно, как показано на рисунке 6.3.14, мы можем найти ток:

Как и ожидалось, внутренние сопротивления увеличивают эквивалентное сопротивление.

(рисунок 6.3.14)

Рисунок 6.3.14 Две батареи подключаются последовательно к светодиодной лампе, как в фонарике.

Источники напряжения, такие как батареи, также можно подключать параллельно. На рисунке 6.3.15 показаны две батареи с одинаковыми ЭДС, включенные параллельно и подключенные к сопротивлению нагрузки. Когда батареи подключаются параллельно, положительные клеммы соединяются вместе, а отрицательные клеммы соединяются вместе, а сопротивление нагрузки подключается к положительной и отрицательной клеммам.Обычно источники напряжения, включенные параллельно, имеют идентичные ЭДС. В этом простом случае, поскольку источники напряжения подключены параллельно, общая ЭДС равна индивидуальной ЭДС каждой батареи.

(рисунок 6.3.15)

Рисунок 6.3.15 (a) Две батареи подключаются параллельно к нагрузочному резистору. (b) На принципиальной схеме показана батарея как источник ЭДС и внутренний резистор. Два источника ЭДС имеют идентичные ЭДС (каждый помечен значком), соединенные параллельно, которые создают одинаковую ЭДС.

Рассмотрим анализ Кирхгофа схемы на рис. 6.3.15 (b). В точке и есть две петли и узел.

Расчет тока через нагрузочный резистор дает, где. Напряжение на клеммах равно падению потенциала на нагрузочном резисторе. Параллельное соединение снижает внутреннее сопротивление и, таким образом, может производить больший ток.

Параллельно можно подключить любое количество батарей. Для аккумуляторов, включенных параллельно, напряжение на зажимах равно

(6.3.4)

, где эквивалентное сопротивление.

Например, в некоторых грузовиках с дизельным двигателем параллельно используются две батареи; они производят полную ЭДС, но могут обеспечить больший ток, необходимый для запуска дизельного двигателя.

Таким образом, напряжение на клеммах последовательно соединенных батарей равно сумме индивидуальных ЭДС минус сумма внутренних сопротивлений, умноженная на ток. Когда батареи соединены параллельно, они обычно имеют равные ЭДС, а напряжение на клеммах равно ЭДС минус эквивалентное внутреннее сопротивление, умноженное на ток, где эквивалентное внутреннее сопротивление меньше, чем отдельные внутренние сопротивления.Аккумуляторы подключаются последовательно для увеличения напряжения на клеммах нагрузки. Аккумуляторы подключаются параллельно для увеличения тока нагрузки.

Массив солнечных батарей

Другой пример, имеющий дело с несколькими источниками напряжения, – это комбинация солнечных элементов , соединенных как последовательно, так и параллельно, чтобы обеспечить желаемое напряжение и ток. Фотогальваническая генерация, которая представляет собой преобразование солнечного света непосредственно в электричество, основана на фотоэлектрическом эффекте.Фотоэлектрический эффект выходит за рамки этого учебника, но, как правило, фотоны, попадая на поверхность солнечного элемента, создают в нем электрический ток.

Большинство солнечных элементов изготовлено из чистого кремния. Большинство одиночных ячеек имеют выходное напряжение около, в то время как выходной ток зависит от количества солнечного света, падающего на элемент (падающее солнечное излучение, известное как инсоляция). При ярком полуденном солнечном свете типичные монокристаллические элементы производят ток на единицу площади примерно равной площади поверхности ячейки.

Отдельные солнечные элементы электрически соединены в модулях для удовлетворения потребностей в электроэнергии. Их можно соединить последовательно или параллельно – как батареи, о которых говорилось ранее. Массив или модуль солнечных элементов обычно состоит из промежуточных элементов и ячеек с выходной мощностью до.

Солнечные элементы, как и батареи, вырабатывают напряжение постоянного тока. Ток от источника постоянного напряжения однонаправлен. Большинству бытовых приборов требуется переменное напряжение.

Кандела Цитаты

Лицензионный контент CC, особая атрибуция

• Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/7a0f9770-1c44-4acd-9920-1cd9a99f2a1e@8.1. Получено с : http://cnx.org/contents/7a0f9770-1c44-4acd-9920-1cd9a99f2a1e@8.1. Лицензия : CC BY: Attribution

21.3 Правила Кирхгофа – Колледж Физики, главы 1-17

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем уравнения, которые позволяют нам находить неизвестные в схемах.Неизвестными могут быть токи, ЭДС или сопротивления. Каждый раз, когда применяется правило, создается уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена. При применении правил Кирхгофа вы должны принять два решения. Эти решения определяют знаки различных величин в уравнениях, которые вы получаете в результате применения правил.

Рисунок 4 и следующие пункты помогут правильно определить знаки плюса и минуса при применении правила цикла. Обратите внимание, что резисторы и ЭДС пересекаются при переходе от a к b.Во многих схемах потребуется построить более одного контура. Проходя каждый цикл, нужно быть последовательным в отношении знака изменения потенциала. (См. Пример 1.)

Пример 1: Расчет силы тока: с использованием правил Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на Рисунке 5.

Рисунок 5. Эта схема похожа на схему на Рисунке 1, но указаны сопротивления и ЭДС. (Каждая ЭДС обозначена буквой E.) Токи в каждой ветви обозначены и предполагается, что они движутся в показанных направлениях.В этом примере для определения токов используются правила Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, чтобы найти токи с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов – необходимо использовать правила Кирхгофа. На рисунке токи обозначены [латекс] \ boldsymbol {I_1} [/ latex], [latex] \ boldsymbol {I_2} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {I_3} [/ latex]. сделал о своих направлениях. Места на схеме обозначены буквами от a до h.В решении мы будем применять правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Начнем с применения правила Кирхгофа первого или перекрестка в точке а. Это дает

[латекс] \ boldsymbol {I_1 = I_2 + I_3}, [/ латекс]

, так как [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex] течет в соединение, а [latex] \ boldsymbol {I_2} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {I_3} [/ latex] вытекает. Применение правила соединения в e дает точно такое же уравнение, так что новая информация не получается.Это одно уравнение с тремя неизвестными – необходимы три независимых уравнения, поэтому необходимо применять правило цикла.

Теперь рассмотрим цикл abcdea. Переходя от a к b, мы пересекаем [латекс] \ boldsymbol {R_2} [/ latex] в том же (предполагаемом) направлении, что и текущий [латекс] \ boldsymbol {I_2} [/ latex], и поэтому изменение потенциала [латекс] \ boldsymbol {-I_2R_2} [/ латекс]. Затем, переходя от b к c, мы переходим от – к +, так что изменение потенциала составляет [latex] \ boldsymbol {+ \ textbf {emf} _1} [/ latex].Если пересечь внутреннее сопротивление [латекс] \ boldsymbol {r_1} [/ latex] от c до d, получим [латекс] \ boldsymbol {-I_2r_1} [/ latex]. Завершение цикла путем перехода от d к a снова проходит через резистор в том же направлении, что и его ток, давая изменение потенциала [latex] \ boldsymbol {-I_1R_1} [/ latex].

Правило цикла гласит, что сумма изменений потенциала равна нулю. Таким образом,

[латекс] \ boldsymbol {-I_2R_2 + \ textbf {emf} _1 – I_2r_1 – I_1R_1 = -I_2 (R_2 + r_1) + \ textbf {emf} _1 – I_1R_1 = 0}.[/ латекс]

Подставляя значения из принципиальной схемы для сопротивлений и ЭДС и отменяя единицу измерения ампер, получаем

[латекс] \ boldsymbol {-3I_2 + 18 -6I_1 = 0}. [/ Латекс]

Теперь, применяя правило цикла к aefgha (мы могли бы также выбрать abcdefgha), аналогично дает

[латекс] \ boldsymbol {+ I_1R_1 + I_3R_3 + I_3r_2 – \ textbf {emf} _2 = + I_1R_1 + I_3 (R_3 + r_2) – \ textbf {emf} _2 = 0}. [/ Латекс]

Обратите внимание, что знаки меняются местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении.С введенными значениями это становится

[латекс] \ boldsymbol {+ 6I_1 + 2I_3 – 45 = 0}. [/ Latex]

Этих трех уравнений достаточно для решения трех неизвестных токов. Сначала решите второе уравнение для [латекса] \ boldsymbol {I_2} [/ latex]:

[латекс] \ boldsymbol {I_2 = 6 – 2I_1}. [/ Латекс]

Теперь решите третье уравнение для [латекса] \ boldsymbol {I_3} [/ latex]:

[латекс] \ boldsymbol {I_3 = 22,5 – 3I_1}. [/ Latex]

Подстановка этих двух новых уравнений в первое позволяет нам найти значение для [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex]:

[латекс] \ boldsymbol {I_1 = I_2 + I_3 = (6 – 2I_1) + (22.5 – 3I_1) = 28,5 – 5I_1}. [/ Latex]

Объединение терминов дает

[латекс] \ boldsymbol {6I_1 = 28,5} [/ латекс] и

[латекс] \ boldsymbol {I_1 = 4.75 \; \ textbf {A}}. [/ Latex]

Подставляя это значение вместо [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex] обратно в четвертое уравнение, получаем

[латекс] \ boldsymbol {I_2 = 6 – 2I_1 = 6 – 9,50} [/ латекс]

[латекс] \ boldsymbol {I_2 = -3,50 \; \ textbf {A}}. [/ Latex]

Знак минус означает, что [латекс] \ boldsymbol {I_2} [/ latex] течет в направлении, противоположном предполагаемому на рисунке 5.

Наконец, подстановка значения [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex] в пятое уравнение дает

[латекс] \ boldsymbol {I_3 = 22,5 – 3I_1 = 22,5 – 14,25} [/ латекс]

[латекс] \ boldsymbol {I_3 = 8.25 \; \ textbf {A}}. [/ Latex]

Обсуждение

Для проверки отметим, что действительно [латекс] \ boldsymbol {I_1 = I_2 + I_3} [/ latex]. Результаты также можно было проверить, введя все значения в уравнение для цикла abcdefgha.

Материал в этом разделе теоретически верен. Мы должны иметь возможность проверить это, измерив ток и напряжение. Фактически, некоторые из устройств, используемых для проведения таких измерений, представляют собой прямое применение принципов, рассмотренных до сих пор, и будут рассмотрены в следующих модулях. Как мы увидим, результат очень основного, даже глубокого факта – выполнение измерения изменяет измеряемую величину.

Законы Кирхгофа

• Действующий закон Кирхгофа (KCL)

• Закон Кирхгофа о напряжении (KVL)

Действующий закон Кирхгофа (KCL) :

Алгебраическая сумма всех токов, входящих в узел, всегда должна быть равна нулю , где i n – это ток n th .N – количество ветвей. Обычное задание: , если ток входит в узел, присвойте отрицательный знак «-» и , если ток покидает узел, присвойте положительный знак «+». Для следующего рисунка Уравнение узла можно записать как Чтобы использовать KCL для анализа схемы, Напишите уравнения KCL для токов Используйте закон Ома, чтобы записать токи через напряжения Боде (одно уравнение для каждого резистора) Решить, чтобы найти значения напряжения и тока узла

---

Пример: Найдите ток через сопротивление 20 Ом и ток через сопротивление 40 Ом

---

Закон Кирхгофа о напряжении (KVL):

Алгебраическая сумма всех напряжений в замкнутом контуре всегда должна быть равна нулю.

, где v n – это напряжение n th . N – количество элементов в контуре Обычное задание: Если положительная (+) сторона напряжения встречается первой, присвойте положительный знак «+» напряжению на элементе. Если сначала встречается отрицательная (-) сторона напряжения, присвойте отрицательный знак «-» напряжению на элементе. Для следующего рисунка Чтобы использовать KVL для анализа схемы, Запишите уравнения КВЛ для напряжений Используйте закон Ома, чтобы записать напряжения через сопротивления и токи. Решите, чтобы найти значения токов, а затем напряжений.

---

Примеры:

Пример 2 : Найдите ток i и напряжение v на каждом резисторе.

---

Пример 3: Найдите v1 и v2 в следующей схеме
(примечание: стрелки указывают положительное положение поля, а отрицательное – в конце поля)

---

Пример 4 : Найдите V1, V2 и V3.
(примечание: стрелки указывают положительное положение поля, а отрицательное – в конце поля)

---

Пример 5: Найдите V1, V2, V3 и V4
(примечание: стрелки указывают положительное положение поля, а отрицательное – в конце поля)

---

Практические задачи :

(Щелкните изображение, чтобы просмотреть решение)

Задача 1: Найдите V1 в следующей цепи.

Просмотреть решение

---

Задача 2: Найдите V0 в следующей схеме.

Просмотреть решение

---

Задача 3: Найдите V1, V2 и V3 в следующей схеме.

Просмотреть решение

---

Задача 4 : Найдите I ₁ , I ₂ , I ₃ в следующей цепи

Просмотреть решение

---

Проблема 5 : Найдите значение резистора R в следующей цепи.

Просмотреть решение

---

Операции:

1. В ₁ = 8 В, В ₂ = -4 В, В ₄ = 14 В. Найдите V ₃ и V ₅ в следующей схеме

2. Найдите V _x и V _y в следующей схеме
   
3. Найдите V _x , V _y и V _z в следующей схеме
   
4. Найдите уравнения узлов KCL в узлах A, B, C и D

5. Если I ₁ = 4A, I ₂ = 5A и I ₃ = 3A, то с помощью KCL найдите I ₄ и, I ₅ в следующей схеме
   

Ответы:
1. В ₃ = 12 В и В ₅ = -2 В
2. В _x = 12 В и В _y = 9 В
3. V _x = 35 В, V _y = 5 В и V _z = 15 В
4. На узле A:
   
   На узле B:
   
   На узле C:
   
   На узле D:
   
   
5. I ₄ = 2A и I ₅ = 1A

Пример 7.3: Правила Кирхгофа

Пример 7.3: Правила Кирхгофа
Далее: Пример 7.4: Энергия в Up: Электрический ток Предыдущее: Пример 7.2: Эквивалентное сопротивление Вопрос: Найдите три тока, и в цепи, показанной на схеме, куда , “ V и В.

Ответ: Применяя правило соединения к точке и предполагая, что токи текут в указанном направлении (первоначальный выбор направления токов произвольны), имеем

Нет необходимости повторно применять правило соединения в точке, так как если Вышеупомянутое уравнение выполняется, то это правило автоматически выполняется при.

Давайте применим правило цикла, обходя различные петли в схеме. по часовой стрелке. Для цикла у нас есть

Обратите внимание, что оба члена, включающие резисторы, отрицательны, так как мы пересекаем рассматриваемые резисторы в направлении номинального тока. Точно так же член, включающий ЭДС, положителен, поскольку мы пересекаем ЭДС, о которой идет речь, от отрицательной к положительной пластине. Для цикла , мы нашли

Нет необходимости применять правило цикла ко всему циклу, поскольку этот цикл состоит из циклов и, а правила цикла для этих двух петли поэтому уже содержат всю информацию который был бы получен путем применения правило цикла до.

Комбинируя правило соединения с правилом первого цикла, получаем

Второе правило цикла можно изменить, чтобы дать

Приведенные выше два уравнения представляют собой пару одновременных алгебраических уравнений для токов и, и могут быть решены стандартным методом для решения таких уравнений. Умножив первое уравнение на, второе на и сложив полученных уравнений, получаем

который можно переставить, чтобы получить

или

Аналогичным образом, умножая первое уравнение на, второе на и взяв разность полученных уравнений, получим

который можно переставить, чтобы получить

или

Наконец, из правила соединения,

Дело в том, что указывает, что этот ток имеет величину A, но течет в направлении, противоположном тому, в котором мы изначально догадался.Фактически, мы можем видеть, что ток A циркулирует в направление против часовой стрелки в нижнем контуре схемы, тогда как нулевой ток циркулирует в верхней петле.

---

Далее: Пример 7.4: Энергия в Up: Электрический ток Предыдущее: Пример 7.2: Эквивалентное сопротивление

Ричард Фицпатрик 2007-07-14

Закон Кирхгофа – проблемы и решения

1. Если R ₁ = 2 Ом, R ₂ = 4 Ом, R ₃ = 6 Ом, определите электрический ток, протекающий в цепи ниже.

Известный:

Резистор 1 (R ₁ ) = 2 Ом

Резистор 2 (R ₂ ) = 4 Ом

Резистор 3 (R ₃ ) = 6 Ом

Источник ЭДС 1 (E ₁ ) = 9 В

Источник ЭДС 2 (E ₂ ) = 3 В

Требуется: Электрический ток (I)

Решение:

Этот вопрос относится к закону Кирхгофа. Как решить эту проблему:

Сначала , выберите направление тока.Вы можете выбрать противоположный ток или направление по часовой стрелке.

Второй , при прохождении тока через резистор (R) происходит уменьшение потенциала, так что V = IR со знаком минус. Третий , если ток переходит от низкого напряжения к высокому (- к +), то источник ЭДС (E) имеет положительный знак из-за зарядки энергии в источнике ЭДС. Если ток переходит от высокого к низкому напряжению (+ к -), то источник ЭДС (E) имеет отрицательный знак из-за потери энергии в источнике ЭДС.

В этом решении направление тока такое же, как и направление вращения по часовой стрелке.

– I R ₁ + E ₁ – I R ₂ – I R ₃ – E ₂ = 0

– 2 I + 9 – 4 I – 6 I – 3 = 0

– 12 I + 6 = 0

– 12 I = – 6

I = -6 / -12

I = 0,5

Электрический ток, протекающий в цепи, равен 0,5 А. Знак электрического тока со знаком плюс означает, что направление электрического тока совпадает с направлением вращения по часовой стрелке.Если электрический ток отрицательный, то электрический ток направлен против часовой стрелки.

2. Определите электрический ток, протекающий в цепи, как показано на рисунке ниже.

Решение:

В этом решении направление тока такое же, как и направление вращения по часовой стрелке.

-20 – 5I -5I – 12 – 10I = 0

-32-20I = 0

-32 = 20I

I = -32 / 20

I = -1,6 А

Поскольку электрический ток отрицательный, направление электрического тока фактически противоположно направлению по часовой стрелке.Направление электрического тока не совпадает с оценочным.

3. Определите электрический ток, протекающий в цепи, как показано на рисунке ниже.

Решение:

В этом решении направление тока такое же, как и направление вращения по часовой стрелке.

– I – 6I + 12 – 2I + 12 = 0

-9I + 24 = 0

-9I = -24

I = 24/9

I = 8/3 А

4. Электрическая цепь состоит из четырех резисторов, R ₁ = 12 Ом, R ₂ = 12 Ом, R ₃ = 3 Ом и R ₄ = 6 Ом, подключенных к источнику ЭДС E ₁ = 6 Вольт, E ₂ = 12 Вольт.Определите электрический ток, протекающий в цепи, как показано на рисунке ниже.

Известный:

Резистор 1 (R ₁ ) = 12 Ом

Резистор 2 (R ₂ ) = 12 Ом

Резистор 3 (R ₃ ) = 3 Ом

Резистор 4 (R ₄ ) = 6 Ом

Источник ЭДС 1 (E ₁ ) = 6 Вольт

Источник ЭДС 2 (E ₂ ) = 12 Вольт

Разыскивается: Электрический ток течет в цепи (I)

Решение:

Резистор 1 (R ₁ ) и резистор 2 (R ₂ ) подключены параллельно.Эквивалентный резистор:

1 / R ₁₂ = 1 / R ₁ + 1 / R ₂ = 1/12 + 1/12 = 2/12

R ₁₂ = 12/2 = 6 Ом

В этом решении направление тока такое же, как и направление вращения по часовой стрелке.

– I R ₁₂ – E ₁ – I R ₃ – I R ₄ + E ₂ = 0

– 6 I – 6 – 3I – 6I + 12 = 0

– 6I – 3I – 6I = 6-12

– 15I = – 6

I = -6 / -15

I = 2/5 А

5.Определите электрический ток, протекающий в цепи, как показано на рисунке ниже.

Известный:

Резистор 1 (R ₁ ) = 10 Ом

Резистор 2 (R ₂ ) = 6 Ом

Резистор 3 (R ₃ ) = 5 Ом

Резистор 4 (R ₄ ) = 20 Ом

Источник ЭДС 1 (E ₁ ) = 8 Вольт

Источник ЭДС 2 (E ₂ ) = 12 Вольт

Разыскивается: Электрический ток, протекающий в цепи

Решение:

Резистор 3 (R ₃ ) и резистор 4 (R ₄ ) подключены параллельно.Эквивалентный резистор:

1 / R ₃₄ = 1 / R ₃ + 1 / R ₄ = 1/5 + 1/20 = 4/20 + 1/20 = 5/20

R ₃₄ = 20/5 = 4 Ом

В этом решении направление тока такое же, как и направление вращения по часовой стрелке.

– I R ₁ – I R ₂ – E ₁ – I R ₃₄ + E ₂ = 0

– 10I – 6I – 8 – 4I + 12 = 0

– 10I – 6I – 4I = 8 – 12

– 20I = – 4

I = -4 / -20

I = 1/5 А

I = 0.2 А

6. Определите электрический ток, протекающий в цепи, как показано на рисунке ниже.

Известный:

Резистор 1 (R ₁ ) = 1 Ом

Резистор 2 (R ₂ ) = 6 Ом

Резистор 3 (R ₃ ) = 6 Ом

Резистор 4 (R ₄ ) = 4 Ом

Источник ЭДС 1 (E ₁ ) = 12 Вольт

Источник ЭДС 2 (E ₂ ) = 6 Вольт

Разыскивается: Электрический ток, протекающий в цепи

Решение:

Резистор 1 (R ₁ ) и резистор 2 (R ₂ ) подключены параллельно.Эквивалентный резистор:

1 / R ₁₂ = 1 / R ₁ + 1 / R ₂ = 1/1 + 1/6 = 6/6 + 1/6 = 7/6

R ₁₂ = 6/7 Ом

Направление тока такое же, как и при вращении по часовой стрелке.

E ₁ – I R ₁₂ – E ₂ – I R ₄ – I R ₃ = 0

12 – (6/7) I – 6 – 4I – 6I = 0

12-6 – (6/7) I – 4I – 6I = 0

6 – (6/7) I – 10I = 0

6 = (6/7) I + 10I

6 = (6/7) I + (70/7) I

6 = (76/7) I

(6) (7) = 76I

42 = 76I

I = 42/76

I = 0.5 А

Урок 13 – Решение цепей по законам Кирхгофа

«Покупка DVD с репетитором по алгебре, математике и физике была лучшим вложением в образование».

“В прошлом семестре я перешел с” C “на
и получил” пятерку “!”

Les J.
Matawan, NJ

---

“DVD-диски Math Tutor просто фантастические!
Джейсон представляет материал в ясной и хорошо организованной форме.«

S. Deeds-Rubin
Los Angeles, CA

---

«Ваши методы настолько ясны, что мой семилетний сын, которому
года, усваивал уроки тригонометрии. Я тоже подбираю около
новых вещей».

Гэри Г.

---

«Смотреть справочные видео по математике – это замечательно, потому что, работая над задачами, вы показываете и объясняете каждый шаг».

M. Dalrymple
Lancaster, CA

“Все инструкции
и примеры на DVD с репетитором математики очень четко объяснены, и стиль преподавания Джейсона определенно делает зрителя очень комфортным с представленным материалом.«

Д. Форбс
Мидлтаун, штат Нью-Джерси

---

«Я нашел лекции
очень четкими, прямо по делу, и темп был как раз для меня, который не видел никаких расчетов или триггеров за последние 10 лет и должен быстро набрать скорость».

София

---

«Просто хотел сообщить вам, что благодаря
основанию, которое я получил от вашего DVD с справкой по математике (особенно DVD с предварительным расчетом), я смог сдать свой курс по предварительному расчету в этом семестре на пятерку!»

Дж.Ректон

«У вас серьезный педагогический дар.
Доказательство того, что я смотрю ваши DVD, когда я обычно бываю
вне дома. Никогда не думал, что смогу выучить математику. Я сразу перехожу к математике, а затем к физике.