6.1.3. Расчет сложных цепей при помощи уравнений Кирхгофа

Задача 2. Рассчитать схему рис. 1.30, составив систему уравнений на основании законов Кирхгофа.

Исходные данные к задаче:

E1 = 60 В; E2 = 80 В; E3 = 70 В;

R1 = 20 Ом; R2 = 50 Ом; r03 = 5 Ом; R4 = 65 Ом; R5 = 85 Ом.

Анализ и решение задачи 2

1. Определение необходимого числа уравнений.

В схеме рис. 1.30 пять ветвей и для расчета токов в них надо составить пять уравнений. По первому закону Кирхгофа составляются уравнения для всех узлов, кроме одного (уравнение для него будет следствием предыдущих), по второму – для независимых контуров (в каждый последующий контур входит хотя бы одна ветвь, не вошедшая в ранее рассмотренные). Для данной схемы надо составить два уравнения по первому закону и три – по второму.

2. Составление и решение системы уравнений.

Для составления уравнений задаемся произвольно направлениями токов в ветвях и направлениями обхода контуров (рис. 1.30).

Уравнение для узла d: I1 + I3 - I4 = 0. Уравнение для узла е: - I2 - I3 + I5 = 0. Уравнение для контура bcd: I1R1 + I4R4 = E1. Уравнение для контура abe: I2R2 + I5R5 = E2. Уравнение для контура bde: I3r03 + I4 R4 + I5R5 = E3.

Подставив в уравнения численные значения величин, получим алгебраическую систему уравнений:

I1 + I3 - I4 = 0; - I2 - I3 + I5 = 0; 20 I1 + 65 I4 = 60; 50 I2 + 85 I5 = 80; 5 I3 + 65 I4 + 85 I5 = 70.

Решение системы дает значения токов: I1 = 1,093 А; I2

 = 0,911 А; I3 =  –0,506 А; I4 = 0,587 А; I5 = 0,405 А.

Дополнительные вопросы к задаче 2

1. Что означает минус перед численным значением тока I3?

Знак «–» говорит о том, что реальное направление тока в данной ветви противоположно принятому в начале расчета.

2. В каких режимах работают элементы схемы, содержащие источники ЭДС?

В ветвях с E1 и E2 токи совпадают по направлению с ЭДС, т.е. данные элементы работают источниками, отдавая энергию в схему; в ветви с ЭДС E3 ток направлен против ЭДС, т.е. данный элемент работает потребителем (например, машина постоянного тока в режиме двигателя).

3. Как проверить правильность решения задачи?

Для проверки правильности расчета можно на основании законов Кирхгофа написать уравнения для узлов и контуров схемы, которые не использовались при составлении исходной системы. Независимой проверкой является уравнение баланса мощностей: сумма мощностей источников равна сумме мощностей, расходуемых в резистивных элементах схемы. Т.к. элемент схемы с ЭДС может работать как в режиме источника, так и в режиме потребителя, соответствующее слагаемое в левой части уравнения берется с плюсом, если Е и I совпадают по направлению (источник), и с минусом, если направления противоположны (потребитель).

Мощности элементов схемы с ЭДС:

E1I1+ E2I2 - E3I3 = 60 * 1 * 1,093 + 80 * 0,911 - 70 * 0,506 = 104,04 Вт.

Мощности, расходуемые в резистивных элементах схемы:

I12R1 + I22R2 + I32r03 + I42R4+ I52R5 = 1,0932 * 20 + 0,9112 * 50 + 0,5062 * 5 + 0,5872 * 65 + 0,4052 * 85 = 103,01 Вт

EI = P Баланс мощностей сошелся, следовательно задача решена верно.

studfiles.net

Алгоритм составления уравнений по законом Кирхгофа

Алгоритм составления уравнений по законом Кирхгофа:

Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа

Для составления уравнений по первому закону кирхгофа любой электрической цепи выполняем следующие действия.

  1. Количество уравнений по 1 закону киргофа равно количеству узлов минус один. 
  2. Произвольно задаемся направлением токов в каждой ветви электрической цепи.
  3. Если в ветви присутствует источник тока, то считаем данный ток уже известным, равным величине источника тока.
  4. Составляем уравнения по первому правилу Кирхгофа для любых узлов кроме одного.
  5. Расставляем знаки. Токи, которые втекают в узел берем с одним знаком, например с плюсом. Токи, которые вытекают из узла берем с противоположным знаком, например с минусом.

Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа

Для составления системы уравнения по 2 правилу Кирхгофа необходимо выполнить следующие пункты.

  1. Количество уравнений по второму закону Киргофа равно количеству независимых контуров. По второму закону можно записать В-ВI-У+1 независимых уравнений. Где В
    - число ветвей в схеме. ВI- число ветвей в схеме с источником тока. У - число узлов в схеме.
  2. Находим независимые контура в электрической цепи (чтобы отличались хотя бы одной ветвью).
  3. Если в цепи присутствуют источники тока, то данные ветви не учитываем при нахождении независимых контуров. 
  4. Задаемся произвольным направление обхода независимых контуров.
  5. Составляем уравнения по второму правилу Кирхгофа для каждого выбранного контура.
  6. Расставляем знаки на участках с нагрузкой. Если направление обхода контура совпадает с направлением протекающего тока, то падение напряжения на заданном участке берем со знаком "+". Если направление протекающего тока не совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения на данном участке берем со знаком "-".
  7. Расставляем знаки на участках с источниками ЭДС. Если направление действия ЭДС (направление стрелочки) совпадает с направлением обхода независимого контура, то знак будет "плюс". Если не совпадает, то знак - "минус".

Расчет токов по правилам Кирхгофа 

Полученные уравнения объединяем в систему уравнений. Количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных. Далее решаем систему уравнений любым известным способом.

Правильность расчета проверяется составлением уравнения баланса мощностей. 

p.s. Правила Кирхгофа необязательно использовать в виде систем уравнений. Они справедливы для любого узла и для любого замкнутого контура электрической цепи.

kurstoe.ru

Уравнения Кирхгофа для электрических цепей

Расчет сложных (разветвленных) сетей постоянного тока заключается в отыскании по заданным сопротивлениям участков цепи и приложенных к ним ЭДС сил токов в каждом участке. Для решения этой группы задач применяют правила (иногда в литературе их называют законами, что не корректно) Кирхгофа.

Сформулируем правила (уравнения) Кирхгофа. Но прежде, определим, что узлом в разветвленной цепи называют точку (на рисунке это точка А), в которой имеется более двух возможных направлений тока (рис. 1). В узле сходится более двух проводников.

рис. 1

Первое правило (уравнение) Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая сумма токов сходящихся в узле, равна нулю:

   

где n- количество проводников, сходящихся в узле. Надо отметить, что положительными считают токи, подходящие к узлу, отрицательными – токи, отходящие от него. Если рассмотреть рис. 1, то , а остальные токи отрицательные.

Второе правило (уравнение) Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило контуров): в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме приложенных в нем ЭДС :

   

При использовании второго правила Кирхгофа выбирают определенное направление обхода контура. Токи , совпадающие по направлению с направлением обхода, считают положительными. ЭДС источников тока считают положительными, если они создают токи, направленные в сторону обхода контура.

Таким образом, порядок расчёта цепи постоянного тока с использованием правил Кирхгофа следующий:

  1. произвольным образом выбираем направления токов во всех участках цепи;
  2. для m узлов цепи записываем m-1 независимых уравнений правила узлов;
  3. выделяем произвольные замкнутые контуры так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входящий в уже рассмотренные контуры. В разветвленной цепи, состоящей из p ветвей (участков цепи между соседними узлами) и m узлов, число независимых уравнений правила контуров равно p-m+1.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *