Содержание

Законы Кирхгофа для расчёта электрических цепей

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим её работы.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.

Ветвью электрической цепи называется такой её участок, который состоит только из последовательно включённых источников ЭДС и сопротивлений, вдоль которого протекает один и тот же ток. Узлом электрической цепи называется место (точка) соединения трёх и более ветвей. При обходе по соединённым в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи. Каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза [1].

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

$$ \sum{i} = 0, $$

или в комплексной форме

$$ \sum{\underline{I}} = 0. $$

Второй закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

$$ \sum{\underline{Z} \cdot \underline{I}} = \sum{\underline{E}}. $$

Количество уравнений, составляемых для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm{у}-1 $, где $ N_\textrm{у} $ – число узлов. Количество уравнений, составляемой для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, равно $ N_\textrm{в}-N_\textrm{у}+1 $, где $ N_\textrm{в} $ – число ветвей.

Количество составляемых уравнений по второму закону Кирхгофа легко определить по виду схемы: для этого достаточно посчитать число «окошек» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что контур с источником тока не рассматривается.

Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим её на примере электрической цепи, представленной на рис. 1.


Рис. 1. Рассматриваемая электрическая цепь

Для начала необходимо задать произвольно направления токов в ветвях и задать направления обхода контуров (рис. 2).


Рис. 2. Задание направления токов и направления обхода контуров для электрической цепи

Количество уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, в данном случае равно 5 – 1 = 4. Количество уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окошек» в данном случае 4. Но напомним, что «окошко», содержащее источник тока $ \underline{J}_{1} $, не рассматривается.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа. Для этого «втекающие» в узел токи будем брать со знаком «+», а «вытекающие» — со знаком «-». Отсюда для узла «1 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline{I}_{1}- \underline{I}_{2}- \underline{I}_{3} = 0; $$

для узла «2 у.» уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -\underline{I}_{1}- \underline{I}_{4} + \underline{I}_{6} = 0; $$

для узла «3 у.»:

$$ \underline{I}_{2}+ \underline{I}_{4} + \underline{I}_{5}- \underline{I}_{7} = 0; $$

для узла «4 у.»:

$$ \underline{I}_{3}- \underline{I}_{5}- \underline{J}_{1} = 0. $$

Уравнение для узла «5 у.» можно не составлять.

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях положительные значения для токов и ЭДС выбираются в том случае, если они совпадают с направлением обхода контура. Для контура «1 к.» уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ \underline{Z}_{C1} \cdot \underline{I}_{1} + R_{2} \cdot \underline{I}_{2}- \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} = \underline{E}_{1}; $$

для контура «2 к. » уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть следующим образом:

$$ -R_{2} \cdot \underline{I}_{2} + R_{4} \cdot \underline{I}_{3} + \underline{Z}_{C2} \cdot \underline{I}_{5} = \underline{E}_{2}; $$

для контура «3 к.»:

$$ \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} + (\underline{Z}_{L2} + R_{1}) \cdot \underline{I}_{6} + R_{3} \cdot \underline{I}_{7} = \underline{E}_{3}; $$

где $ \underline{Z}_{C} = -\frac{1}{\omega C} $, $ \underline{Z}_{L} = \omega L $.

Таким образом, для того, чтобы найти искомые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:

$$ \begin{cases} \underline{I}_{1}- \underline{I}_{2}- \underline{I}_{3} = 0 \\ -\underline{I}_{1}- \underline{I}_{4} + \underline{I}_{6} = 0 \\ \underline{I}_{2}+ \underline{I}_{4} + \underline{I}_{5}- \underline{I}_{7} = 0 \\ \underline{I}_{3}- \underline{I}_{5}- \underline{J}_{1} = 0 \\ \underline{Z}_{C1} \cdot \underline{I}_{1} + R_{2} \cdot \underline{I}_{2}- \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} = \underline{E}_{1} \\ -R_{2} \cdot \underline{I}_{2} + R_{4} \cdot \underline{I}_{3} + \underline{Z}_{C2} \cdot \underline{I}_{5} = \underline{E}_{2} \\ \underline{Z}_{L1} \cdot \underline{I}_{4} + (\underline{Z}_{L2} + R_{1}) \cdot \underline{I}_{6} + R_{3} \cdot \underline{I}_{7} = \underline{E}_{3} \end{cases} $$

В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения данной системы уравнений удобно пользоваться Matlab. Для этого представим эту систему уравнений в матричной форме:

$$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ \underline{Z}_{C1} & R_{2} & 0 & -\underline{Z}_{L1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -R_{2} & R_{4} & 0 & \underline{Z}_{C2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \underline{Z}_{L1} & 0 & R_{1}+\underline{Z}_{L2} & R_{3} \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \underline{I}_{1} \\ \underline{I}_{2} \\ \underline{I}_{3} \\ \underline{I}_{4} \\ \underline{I}_{5} \\ \underline{I}_{6} \\ \underline{I}_{7} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \underline{J}_{1} \\ \underline{E}_{1} \\ \underline{E}_{2} \\ \underline{E}_{3} \\ \end{bmatrix} $$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся следующим скриптом Matlab:

>> syms R1 R2 R3 R4 Zc1 Zc2 Zl1 Zl2 J1 E1 E2 E3;
>> A = [1  -1 -1    0   0        0  0;
       -1   0  0   -1   0        1  0;
        0   1  0    1   1        0 -1;
        0   0  1    0  -1        0  0;
      Zc1  R2  0 -Zl1   0        0  0;
        0 -R2 R4    0 Zc2        0  0;
        0   0  0  Zl1   0 (R1+Zl2) R3];
>> b = [0;
        0;
        0;
       J1;
       E1;
       E2;
       E3];
>> I = A\b

В результате получим вектор-столбец $ \underline{\bold{I}} $ токов из семи элементов, состоящий из искомых токов, записанный в общем виде. Видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.

Рекомендуемые записи

Моделирование в электроэнергетике - Расчет электрической цепи. Первый и второй законы Кирхгофа. Метод контурных токов и метод узловых потенциалов.

Расчет электрической цепи. Первый и второй законы Кирхгофа. Метод контурных токов и метод узловых потенциалов.

 

Электрическая цепь представляет собой совокупность электрических элементов (резисторов, катушек индуктивностей, батарей конденсаторов, постоянные и переменные источники напряжения и т. д.), которые соединены между собой таким образом, что в полученном замкнутом контуре протекает электрический ток.

Для определения действующих (или мгновенных) значений токов и падений напряжений на элементах электрической цепи необходимо выполнить следующую последовательность действий:

• Этап 1. Составить схему замещения электрической цепи, в которой реальные элементы заменяются идеализированными элементами электрической цепи (активное сопротивление, индуктивность, емкость, ЭДС и т.д.).

• Этап 2. Обозначить на схеме замещения условно положительное направление токов в ветвях и падение напряжения на элементах расчетной схемы замещения. Следует отметить, что в качестве положительного направления падения напряжения выбирают направление, которое совпадает с направлением тока в ветви расчетной схемы замещения.

• Этап 3. Записать систему уравнений, которая связывает напряжения и токи, по одному из следующих способов:

– 1-ого и 2-ого закона Кирхгофа;

– метод контурных токов;

– метод узловых потенциалов.

Каждый из представленных методов позволяет получить необходимый результат, но при разном количестве записанных уравнений в исходной системе уравнений. Следует отметить, что данные методы справедливы как для мгновенных значений токов и напряжений, так и для векторных переменных токов и напряжений.

• Этап 4. Выполнить расчет записанной системы уравнений и определить величины напряжения, токов, перетоков активной и реактивной мощности в ветвях расчетной схемы.

Составление системы уравнений, используя первый и второй закон Кирхгофа.

Первый и второй законы Кирхгофа обеспечивают связь между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Впервые законы были сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году.  Данные законы вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третье уравнение Максвелла при неизменном магнитном поле).

Первый закон Кирхгофа - алгебраическая сумма токов в каждом узле расчетной схемы равна нулю. Данное утверждение справедливо как для мгновенных значений, так и для векторных значений.

где p – количество ветвей, которые присоединены к рассматриваемому узлу расчетной схемы.

При составлении уравнений согласно первому закону Кирхгофа со знаком «плюс» записываются токи, направленные к узлу, а со знаком «минус» записываются токи, направленные от узла.

Формулировка данного закона может быть переписана в следующем виде: алгебраическая сумма токов, втекающих в узел расчетной схемы, равна алгебраической сумме токов, вытекающих из узла расчетной схемы.

Рис.1. Пояснение к первому закону Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа - алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС действующих в этом контуре. Данное утверждение справедливо как для мгновенных значений, так и для векторных значений.

где n – число ветвей в замкнутом контуре;

m – число источников ЭДС.

При составлении уравнений согласно второму закону Кирхгофа со знаком «плюс» записываются падения напряжения (или ЭДС) направление которых совпадает с направлением обхода контура, а со знаком «минус» записываются падения напряжения (или ЭДС) направление которых противоположно

 направлению обхода контура

Рис.2. Пояснение ко второму закону Кирхгофа

В качестве примера рассмотрим расчетную схему замещению, которая состоит из двух источников ЭДС и трех сопротивлений. Произвольно выберем положительные направления токов и падений напряжений во всех ветвях расчётной схемы, а также выберем направление обхода во всех контурах.

Рис.3. Расчетная схема замещения для пояснения первого и второго закона Кирхгофа.

Рассматриваемая схема замещения состоит из 2 узлов (q = 2) и 3 ветвей (p = 3). В соответствии с первым законом Кирхгофа можно записать одно уравнение (q – 1):

В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно записать два уравнения (p – q + 1):

В результате была получена система уравнений, которая позволяет определить токи во всех ветвях расчетной схемы исходя из заданных значений ЭДС и сопротивлений.

Составление системы уравнений, используя метод контурных токов

Метод контурных токов позволяет упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом по первому и второму законам Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений. Данный метод основан на применении второго закона Кирхгофа.

При выполнении расчета методом контурных токов необходимо выбрать одинаковое направление обхода в каждом рассматриваемом контуре (либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелке). Далее в соответствии с данным методом записывается система уравнений относительно контурных токов, которые протекают в каждом независимом контуре, используя следующие правила:

Правило №1. В левой части i-го уравнения записываются:

со знаком «+» записывается произведение контурного тока i-го контура на сумму сопротивлений всех звеньев, входящих в контур;

со знаком «-» записывается остальные контурные токи, умноженные на суммы сопротивлений звеньев, по которым i-ый контур пересекается с этими контурами.

- ток i-го контура, для которого записывается уравнение;

- сопротивления звеньев, входящих в i-ый контур;

- токи соседних контуров, который пересекаются с i-ым контуром;

- сопротивления звеньев, по которым i-ый контур пересекается с другими контурами.

Правило №2. В правой части i-го уравнения записывается сумма источников ЭДС с учётом знаков («плюс» — если направления ЭДС и обхода контура совпадают, в противном случае – «минус»), а также добавляются источники тока, умноженные на сопротивление соответствующего звена с учётом знаков («плюс» — если направления источника тока и обхода контура совпадают, в противном случае – «минус»)

- источники ЭДС, которые входят в i-ый контур;

 - произведение тока и сопротивление ветви с источником тока, которые входят в i-ый контур.

Заключительным этапом определяются токи во всех ветвях расчетной схемы по найденным значениям контурных токов.

В качестве примера рассмотрим расчетную схему замещению, которая состоит из двух источников ЭДС и трех сопротивлений. Произвольно выберем положительные направления обхода в каждом рассматриваемом контуре: направление по часовой стрелке.

Рис.4. Расчетная схема замещения для пояснения метода контурных токов.

Рассматриваемая схема замещения состоит из 2 узлов (q = 2) и 3 ветвей (p = 3), таким образом, в расчетной схеме замещения можно выделить два независимых контура. В соответствии с методом контурных токов можно записать два уравнения (p – q + 1):

В результате была получена система уравнений, которая позволяет определить контурные токи исходя из заданных значений ЭДС и сопротивлений. Заключительным этапом расчета будет являться процесс определения токов во всех ветвях расчетной схемы по найденным значениям контурных токов.

Составление системы уравнений, используя метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом по первому и второму законам Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений. Данный метод основан на применении первого закона Кирхгофа.

При выполнении расчета методом узловых потенциалов необходимо выбрать один узел, в котором потенциал узла приравнивается к нулю. Остальные потенциалы узлов расчетной схемы определяются относительно узла с нулевым потенциалом. Далее в соответствии с данным методом записывается система уравнений, относительно потенциалов узлов расчетной схемы, используя следующие правила:

Правило №1. В левой части i-го уравнения записываются:

 со знаком «+» потенциал i-го узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i-му узлу;

- со знаком «-» потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к i-муи k-му узлам.

- потенциал i-го узла, для которого записывается уравнение;

- сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i-му узлу;

- потенциал k-го узла, который связан через ветвь с i-ым узлом;

- проводимость ветви, которая связывает i-ый и k-ый узел.

Правило №2. В правой части i-го уравнения записывается так называемый узловой ток, который равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i-му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “–”. Если в подходящих к i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

- источники тока, которые присоединены к i-му узлу;

- произведение ЭДС и проводимости ветви с источником ЭДС, которые присоединены к i-му узлу.

В качестве примера рассмотрим расчетную схему замещению, которая состоит из двух источников ЭДС и трех сопротивлений. В одном из рассматриваемых узлов расчетной схеме обозначим нулевой потенциал.

Рис.5. Расчетная схема замещения для пояснения метода узловых потенциалов.

В соответствии с методом узловых потенциалов можно записать одно уравнение (q - 1):

В результате была получена система уравнений, которая позволяет определить потенциал узлов рассматриваемой схемы замещения исходя из заданных значений ЭДС и сопротивлений. Заключительным этапом расчета будет являться процесс определения токов во всех ветвях расчетной схемы по найденным значениям потенциалов узлов рассматриваемой схемы замещения.

Представленные выше методы позволяют определять токи и напряжения в ветвях расчетной схемы для любой электрической цепи постоянного и переменного тока.

 

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Расчет сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа

Технология урока: интерактивная.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цели урока:

образовательные:

  • помочь учащимся получить представление об основах расчета сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа;
  • разобраться в выборе направлений протекания токов и обходов контуров;

воспитательные:

  • воспитание информационной культуры учащихся, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, организованности;

развивающие:

  • развитие познавательных интересов;
  • самоконтроля;
  • умения конспектировать;
  • памяти.

Оборудование: доска, компьютер, мультимедиа проектор, программа презентаций Microsoft Office PowerPoint 2003.

Методическое обеспечение урока: компьютерная презентация, электронные тесты, карточки самоконтроля учащихся, карточка контроля учащихся

План проведения урока.

Организационный момент – 2 мин.

Проверка и актуализация опорных знаний – 5 мин.

Объяснение нового материала – 20 мин.

Проверка усвоения новых знаний и умений – 12 мин.

Подведение итогов – 4 мин.

Домашнее задание – 2 мин.

План урока

Этапы урока Время Организация работы
1. Организационный момент 1 мин.
  • учащиеся рассаживаются
  • достают тетради, ручки
2. Формулировка темы урока. Постановка цели урока 2 мин.
  • сообщение учителем плана работы
3. Проверка опорных знаний 4 мин.
  • учащиеся устно отвечают на вопросы учителя
4. Объяснение нового материала 20 мин.
  • объяснение нового материала
  • ответы на вопросы учащихся
5. Проверка усвоения новых знаний и умений 12 мин.
  • объяснение правил выполнения теста
  • заполнение карточек самоконтроля учащимися
6. Подведение итогов 4 мин.
  • учащиеся подсчитывают баллы за выполненные упражнения и выставляют себе оценки в карточках самоконтроля (соответствие оценок набранным баллам приведено на доске)
  • рефлексия
7. Домашнее задание 2 мин.
  • получение учащимися индивидуальных заданий

Ход урока

Организационный момент

Учащиеся заходят в класс, приветствуют преподавателя, рассаживаются, достают тетради и ручки

Формулировка темы урока. Постановка цели урока

Учитель сообщает тему урока “Расчет сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа” и его план.

Сегодня мы проверим, как вы усвоили материал прошлого урока и научимся рассчитывать сложные цепи постоянного тока по законам Кирхгофа. Затем мы проверим, как вы усвоили новый материал.

У вас на столах лежат карточки самоконтроля. В них вы будете заносить полученные баллы за ответы на уроке, а также за тест. За каждый правильный устный ответ вы будете ставить себе один балл. За каждый правильный ответ на вопрос из теста оценивается также в один балл. На доске находится таблица соответствия набранных баллов оценке. При подведении итогов урока вы выставите эти оценки в карточки самоконтроля и сдадите их. Эти оценки будут выставлены в журнал.

В конце урока вы получите домашнее задание.

Проверка опорных знаний

Дайте определение сложной электрической цепи.

Сложными называются разветвленные электрические цепи со многими источниками энергии.

Дайте формулировку I закону Кирхгофа.

Алгебраическая сумма токов в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным. Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу равна сумме токов, направленных от узла.

где Ii – ток в узле,

n – число проводников, сходящихся в узле

Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает.

Дайте формулировку II закону Кирхгофа

Алгебраическая сумма падений напряжений на всех ветвях, принадлежащих любому замкнутому контуру цепи, равна алгебраической сумме ЭДС ветвей этого контура. Если в контуре нет источников ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю.

Объяснение нового материала

На рисунке представлена схема электрической цепи.

Для ее расчета, т.е. для определения токов во всех ее ветвях, необходимо составить систему уравнений по законам Кирхгофа. Общее число уравнений в системе должно соответствовать числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей.

Давайте посчитаем количество ветвей в нашей электрической цепи.

Получилось пять ветвей, а значит и пять неизвестных токов I1, I2, I3, I4 и I5 (токам пока не задано направление).

По первому закону Кирхгофа составляется число уравнений, на единицу меньшее числа узлов цепи, поскольку уравнение для последнего узла есть следствие всех предыдущих уравнений и не дает ничего нового для расчета.

Посчитаем количество узлов электрической цепи.

В цепи три узла, значит по 1-му закону Кирхгофа надо составить (3 – 1 = 2) два уравнения.

По второму закону Кирхгофа составляются все недостающие уравнения для любых произвольно выбранных контуров цепи.

Посчитаем количество недостающих уравнений: 5 – 2 = 3.

В нашем примере по II закону Кирхгофа надо составить три уравнения.

Предварительно следует задаться (произвольно) направлением токов во всех ветвях цепи и направлением обхода выбранных контуров.

Заметим, что произвольность выбора направлений токов в ветвях цепи и направлений обхода контуров не влияет на конечный результат расчета. Если в результате расчетов некоторые из найденных токов будут иметь знак (–), то это будет означать, что их истинное направление противоположно предварительно принятому.

Зададим направление токов во всех ветвях цепи.

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа токи, подходящие к узлу, будем считать положительными и брать со знаком (+), а токи, отходящие от узла – отрицательными и брать со знаком (–).

По I закону Кирхгофа надо составить два уравнения. Для этого выберем любые два узла цепи. Например, первый и второй.

Узел 1: –I1 – I3 – I4 = 0

Узел 2: I1 – I2 + I4 + I5 = 0

Зададим направление обхода выбранных контуров.

При составлении уравнений по II закону Кирхгофа ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура будем брать со знаком (+), а несовпадающие – со знаком (–).

Контур I: I1R1 – I4R4 = E1

Контур II: I4R4 – I5R5 – I3R3 = E3

Контур III: I2R2 + I4R4 = –E2

Запишем систему уравнений.

–I1 – I3 – I4 = 0

I1 – I2 + I4 + I5 = 0

I1R1 – I4R4 = E1

I4R4 – I5R5 – I3R3 = E3

I2R2 + I4R4 = –E2

Решим полученную систему уравнений и определим токи во всех пяти ветвях этой цепи.

Выводы.

Количество уравнений по законам Кирхгофа = количество неизвестных токов цепи, т.е. количеству ветвей цепи.

  1. Количество уравнений по I закону Кирхгофа = количество узлов цепи – 1.
  2. Количество уравнений по II закону Кирхгофа = общее количество уравнений – количество уравнений по I закону Кирхгофа.
  3. Для уравнений по I закону Кирхгофа: токи входящие в узел записываются со знаком (+), а выходящие – со знаком (–).
  4. Для уравнений по II закону Кирхгофа: ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура записываются со знаком (+), а несовпадающие – со знаком (–).

Проверка усвоения новых знаний и умений.

Учащиеся выполняют тест (приложение 1). Проверяют его сами (приложение 2). Заполняют карточки самоконтроля (приложение 3). Выставляют себе отметки. Таблица соответствия отметок и баллов определяется учителем и выводится на доске.

Рефлексия.

Домашнее задание.

Учащиеся получают домашнее задание.

Презентация

1.9. Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму зако­нам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравне­ний с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только (– 1) уравнений являются независи­мыми друг от друга. Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый по­следующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Ос­тальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений. Контур называется независи­мым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры. Соста­вим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 1.26). Схема со­держит четыре узла и шесть ветвей. Поэтому по первому закону Кирхгофа соста­вим уравнения, а по второму, также три урав­нения. Произвольно выберем положительные направления токов во всех вет­вях (рис. 1.26). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке. Со­ставляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

;

Рис. 1.26

;;

;.

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при рас­чете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.

1.10. Метод контурных токов

Расчет любой сложной электрической цепи может быть сведен к решению системы из уравнений, если использовать так называемые контур­ные токи, т.е. токи, замыкающиеся в независимых контурах. В соответствии с этим методом составляются уравнения только по второму закону Кирхгофа, для чего выбирается необходимое число контуров. При расчете полагают, что в каж­дом контуре течет свой контурный ток.

Последовательность расчета и вывод основных уравнений проведем приме­нительно к схеме, показанной на рис. 1.26.

Для расчета по методу контурных токов в схеме выделяют независимые контуры. Если в левом верхнем контуре протекает ток, в правом верх­нем –, в нижнем –, то при направлении обхода всех контуров по часовой стрелке для контурных токов можно составить следующие уравнения по второму закону Кирхгофа

;

. (1.45)

После преобразования получим:

. (1.46)

Введем обозначения

;;;

;;;

;;,

где – полные или собственные сопротивления первого, второго и третьего контуров;– сопротивления смежных ветвей между пер­вым и вторым, первым и третьим, вторым и третьим контурами, взятые со зна­ком минус;– контурные ЭДС первого, второго и третьего конту­ров (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с на­правлением обхода контура).

Перепишем уравнения (1.46)

; (1.47)

.

По контурным токам определяют токи в ветвях:

1) токи в наружных ветвях равны контурным токам и совпадают с ними по направлению, если контурный ток является положительным; если контурный ток – отрицательный, то направление тока в ветви меняется;

2) ток в смежной ветви, которая является общей для двух контуров, опреде­ляется как алгебраическая сумма соответствующих контурных токов.

Так, для схемы на рис. 1.26 имеем

Порядок расчета методом контурных токов:

1) для каждого независимого контура произвольно выбирают положитель­ное направление контурного тока;

2) для каждого контура составляют уравнение (1.46) по второму закону Кирхгофа. Для этого направление обхода контура выбирают совпадающим с на­правлением контурного тока;

3) решают систему уравнений относительно контурных токов;

4) определяют токи в ветвях через контурные токи;

  1. проверяют решения по второму закону Кирхгофа.

Законы Кирхгофа и их применение

Для расчета разветвленной сложной электрической цепи существенное значение имеет число ветвей и узлов.
Ветвью электрической цепи и ее схемы называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи и схемы называется место или точка соединения трех и более ветвей (узлом иногда называют и точку соединения двух ветвей).
При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

На рис. 1.13 в качестве примера показана схема электрической цепи с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с резистивными элементами без источников ЭДС (ветвь 1 — у) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 — р). Так как напряжение между выводами ветви 2 — р равно нулю (сопротивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и р одинаковы и оба узла можно объединить в один.
Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна пулю:

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, направленные к узлу, с отрицательными знаками, а направленные от узла, — с положительными.
Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (1.19а) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где I — ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, a J — ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в (1.196) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю:

при этом положительные направления для напряжений на элементах и участках выбираются произвольно; в уравнении (1.20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.
В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например, заданы токи и напряжения на некоторых участках, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами синтеза электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.
В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.
Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.
Пусть электрическая цепь содержит В ветвей и У узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно У — 1 и В — У + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения В токов (во всех ветвях).
На основании первого закона Кирхгофа для У узлов (рис. 1.13) можно написать У уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения 2 раза, причем I12=-I21; I13=-I31 и т.д.
Следовательно, сумма левых частей всех У уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из У уравнений может быть получено как следствие остальных У — 1 уравнений или число взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно У — 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1.14,о с четырьмя узлами

Добавим к этим У — 1 = 3 уравнениям уравнение

Суммируя четыре уравнения, получаем тождество 0 = 0; следовательно, из этих четырех уравнений любые три независимые, например первые три (1.21а).
Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности — сечению.

Законы Кирхгофа для расчета линейной электрической цепи постоянного тока. Первый и второй закон Кирхгофа

Общие сведения о законах Кирхгофа

Законы Кирхгофа применяют для анализа и расчета разветвленных сложных электрических цепей постоянного и переменного тока. Они позволяют рассчитать электрические токи во всех ветвях. По найденным токам можно рассчитать падение напряжения, мощность и т.д.

Существует мнение, что "Законы Кирхгофа" нужно называть "Правилами Кирхгофа", т.к. они могут быть выведены из других положений и предположений. Данные правила не являются обобщением большого количества опытных данных. Они являются одной из форм закона сохранения энергии и потому относятся к фундаментальным законам природы.

В некоторых книгах пишут фамилию ученого Густава с буквой Х - Кирхгоф. В некоторых изданиях пишут без буквы х - Киргоф. 

Сколько всего законов Кирхгофа?

В отличии от Ньютона, который "придумал" три закона, Кирхгоф придумал только два закона. Они названы в его честь: 1 и 2 закон Кирхгофа. 3-ий закон Кирхгофа не существует.

Как применять правила Кирхгофа

Законы Кирхгофа необязательно использовать в виде систем уравнений. Они могут быть использованы для любого узла или для любого замкнутого контура в электрической цепи.

Правила Кирхгофа имеют прикладной характер и позволяют наряду и в сочетании с другими приёмами и способами (метод эквивалентного генератора, метод контурных токов, метод узловых напряжений, принцип суперпозиции (метод наложения)) решать задачи электротехники.

Плюсы правил Кирхгофа 

  1. Правила Кирхгофа нашли широкое применение благодаря простой формулировке уравнений и возможности их решения стандартными способами линейной алгебры (методом Крамера, методом Гаусса и др.). 
  2. Простой и понятный алгоритм составления уравнений 

Минусы законов Кирхгофа

  1. Большое количество уравнений по сравнению с другими методами.

Расчет цепей по законам кирхгофа онлайн

Постоянный ток

Прочитав статейки про первый и второй законы Кирхгофа, уважаемый читатель может сказать: «Хорошо, MyElectronix, ты рассказал мне, конечно, интересные штуки, но что мне дальше с ними делать? Пока по твоим словам я заключил, что если я соберу ручками схему, то я смогу в каждом ее узле и в каждом контуре намерить вот такие вот зависимости. Это здорово, но я хотел бы рассчитывать схемы, а не просто наблюдать зависимости!»

Господа, все эти замечания абсолютно верные и в ответ на них можно лишь рассказать о расчете электрических схем с помощью законов Кирхгофа. Без лишних слов перейдем сразу к делу!

Начнем с самого простейшего случая. Он изображен на рисунке 1. Допустим, ЭДС источника питания равна Е1=5 В, а сопротивления R1=100 Ом, R2=510 Ом, R3=10 кОм. Требуется рассчитать напряжения на резисторах и ток через каждый резистор.

Господа, замечу сразу, эту задачу можно решить гораздо более простым способом, чем с применением законов Кирхгофа. Однако сейчас наша задача не искать оптимальные способы решения, а на наглядном примере рассмотреть методику применения законов Кирхгофа при расчете схем.

Рисунок 1 – Простая схема

В этой схеме мы можем видеть три контура. Если возник вопрос – а почему три, то рекомендую посмотреть статью про второй закон Кирхгофа . В той статье имеется практически такая же схема с наглядным пояснением методики расчета числа контуров.

Господа, хочу отметить один тонкий момент. Хоть контура и три, независимых из них только два. Третий контур включает в себя все остальные и не может считаться независимым. И вообще всегда при всех расчетах мы должны использовать только независимые контура. Не поддавайтесь искушению записать еще одно уравнение за счет этого общего контура, ничего хорошего не выйдет .

Итак, будем использовать два независимых контура. Для этого зададимся в каждом контуре направлением обхода контура. Как мы уже говорили, это некоторое направление в контуре, которое мы принимаем за положительное. Можно в какой-то степени назвать это аналогом осей координат в математике. Направление обхода каждого контура нарисуем синей стрелкой.

Далее зададимся направлением токов в ветвях: просто проставим его наугад. Не важно, угадаем мы сейчас направление или нет. Если угадали, то в конце расчета мы получим ток со знаком плюс, а если ошиблись – со знаком минус. Итак, обозначим токи в ветвях черными стрелочками с подписями I1, I2, I3.

Мы видим, что в контуре №1 направление токов I1 и I3, а также направление источника питания совпадают с направлением обхода, поэтому будем считать их со знаком плюс. В контуре №2 ток I2 совпадет с направлением обхода, поэтому будет со знаком плюс, а ток I3 направлен в другую сторону, поэтому будет со знаком минус. Запишем второй закон Кирхгофа для контура №1:

А теперь запишем этот же закон для контура №2:

Видим, что в контуре №2 нет источников питания, поэтому в левой части (где у нас согласно второму закону Кирхгофа стоит сумма ЭДС) у нас нолик. Итак, у нас есть два уравнения, а неизвестных-то у нас три (I1, I2, I3). А нам известно, что для нахождения трех неизвестных нужна система с тремя независимыми уравнениями. Где же взять третье недостающее уравнение? А, например, из первого закона Кирхгофа ! Согласно этому закону мы можем записать

Господа, теперь полный порядок, у нас есть три уравнения и три неизвестных и нам остается только решить вот такую вот систему уравнений

Подставим конкретные числа. Все расчеты будем вести в кошерной системе СИ. Рекомендую всегда считать только в ней. Не поддавайтесь искушению подставлять куда-то миллиметры, мили, килоамперы и прочее. Возможно возникновение путаницы.

Решение таких систем рассматривается чуть ли не в начальной школе и, полагаю, не должно вызывать трудностей . Если что, есть куча математических пакетов, которые сделают это за вас, если вам лень самим ручками считай. Поэтому мы опустим процесс решения, а сразу приведем результат

Видим, что все токи получились у нас со знаком плюс. Это значит, что мы верно угадали их направление. Да, то есть токи в схеме текут именно в том направлении, как мы нарисовали стрелочки на рисунке 1. Однако из условия задачи необходимо найти не только токи через резисторы, но и падение напряжения на них. Как это сделать? Например, с помощью уже изученного нами закона Ома . Как мы помним, закон Ома связывает между собой ток, напряжение и сопротивление. Если нам известны любые две из этих величин, мы легко можем найти третью. В данном случае мы знаем сопротивление и ток, который течет через это сопротивление. Поэтому, используя вот эту формулу

находим напряжение на каждом резисторе

Заметим, господа, что напряжения на резисторах R2 и R3 равны между собой. Это и логично, поскольку они соединены между собой параллельно. Однако пока не будем на этом акцентировать большое внимание, рассмотрим это лучше в другой раз.

Итак, господа, мы решили эту простую задачку с помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома . Но это был совсем простой пример. Давайте попробуем решить более сложную задачу. Взгляните на рисунок 2.

Рисунок 2 – Схема посложнее

Схема выглядит внушительно, не правда ли? Возможно, вам даже не верится, что эту схему можно легко рассчитать. Однако, господа, уверяю вас, вы обладаете всеми необходимыми знаниями для расчета этой схемы, если уже изучили мои предыдущие статьи. Сейчас вы в этом убедитесь.

Для начала зададимся конкретными цифрами значений сопротивлений резисторов и напряжений источников.

Пусть Е1=15 В, Е2=24 В, R1= 10 Ом, R2 = 51 Ом, R3=100 Ом, R4=1 кОм, R5=10 Ом, R6=18 Ом, R7=10 кОм.

Найти, как и в прошлой задаче, требуется все токи в схеме и напряжения на всех резисторах.

В этой схеме мы можем видеть три независимых контура. Обозначим их римскими цифрами I, II, III. В каждом контуре зададимся направлением обхода. Они показаны синими стрелками.

Дальше как и в прошлый раз наугад расставим направления токов во всех ветвях и подпишем где какой ток. Видно, что всего у нас 6 ветвей и, соответственно, 6 разных токов (I1…I6).

Теперь запишем второй закон Кирхгофа для всех трех независимых контуров.

Второй закон Кирхгофа для контура I:

Второй закон Кирхгофа для контура II:

Второй закон Кирхгофа для контура III:

У нас есть три уравнения, однако неизвестных токов аж 6. Как и в прошлой задаче для получения недостающих уравнений запишем первые законы Кирхгофа для узлов.

Первый закон Кирхгофа для узла А:

Первый закон Кирхгофа для узла В:

Первый закон Кирхгофа для узла С:

Собственно, у нас теперь есть система из 6 уравнений с 6 неизвестными. Остается только решить эту систему

Подставляя числа, заданные в условии, получаем

Опуская решения за пределами статьи, приведем итоговый результат

Господа, мы видим, что почти все токи, кроме I4 получились у нас со знаками «минус». Это значит, что мы не угадали их направление, когда рисовали стрелочки на рисунке 2 . То есть все токи, кроме тока I4 на самом деле текут в противоположные стороны. А ток I4 течет так, как мы нарисовали. Хотя бы с ним мы угадали верно.

Теперь все по тому же закону Ома ровно как в прошлом примере рассчитаем напряжения на резисторах:

Вот и все, господа: схема рассчитана, а задачка решена. Таким образом, вы теперь обладаете весьма мощным инструментом по расчету электрических схем. С помощью двух законов Кирхгофа и закона Ома вы сможете рассчитать весьма непростые схемы, найти величины токов и их направления, а также напряжения на всех нагрузках цепи. Более того, зная токи и напряжения вы легко сможете рассчитать и мощности, которые на этих резисторах выделяются, если воспользуетесь рекомендациями из моей предыдущей статьи .

На этом на сегодня все господа. Огромной вам всем удачи и успешных расчетов!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Уравнения Кирхгофа для цепи с индуктивными связями

Задачи для самостоятельного решения

В электрической цепи с двумя источниками синусоидальной ЭДС одна из катушек имеет индуктивные связи с двумя другими катушками.

Требуется составить систему уравнений по законам Кирхгофа для определения комплексных действующих значений токов ветвей.

Расчет сложной цепи постоянного тока различными методами

Расчет сложной цепи постоянного тока

Расчет сложной цепи постоянного тока на основании законов Кирхгофа, методом контурных токов, методом наложения, методом эквивалентного генератора. Построение потенциальной диаграммы.

Для электрической цепи (рис. 0) выполнить следующее:

1) составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для определения токов во всех ветвях схемы;

2) определить токи во всех ветвях схемы, используя метод контурных токов;

3) определить токи во всех ветвях схемы на основании метода наложения;

4) составить баланс мощностей для заданной схемы;

5) результаты расчетов токов по пунктам 2 и 3 представить в виде таблицы и сравнить:

6) определить ток во второй ветви методом эквивалентного генератора;

7) построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего обе ЭДС.

РГР №2 Расчет электрических цепей синусоидального тока НвГУ

РГР №2 Расчет электрических цепей синусоидального тока, НвГУ, Нижневартовск 2011

А.В. Бубнов, В.Л. Федоров. Расчетно-графическая работа № 2 Расчет электрических цепей синусоидального тока, НвГУ, Нижневартовск 2011

Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта, выполнить следующее:

1. На основании законов Кирхгофа составить в общем виде систему уравнений для расчета токов во всех ветвях цепи, записав ее в двух формах:

2. Определить комплексы действующих значений токов во всех ветвях, воспользовавшись одним из методов расчета линейных электрических цепей.

3. По результатам расчета в п.2 произвести проверку выполненных расчетов при помощи законов Кирхгофа.

4. Определить комплексную мощность источника питания и проверить баланс мощностей.

5. Определить показания ваттметра.

6. Используя данные расчетов, записать мгновенные значения токов и напряжений.

7. Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов. При этом потенциал точки а, указанной на схеме, принять равным нулю.

Расчет электрической цепи постоянного тока ЕНУ (ЦИСИ, ЦГПИ)

Расчет электрической цепи постоянного тока ЕНУ

Задания для самостоятельной работы обучающихся

Задача 1 Расчет электрической цепи постоянного тока

1. Для электрической схемы, изображенной на рис.0, по заданным сопротивлениям и ЭДС найти все токи способами:

а) используя законы Кирхгофа;

б) методом контурных токов;

в) методом узловых напряжений;

г) определить ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора.

Свести результаты расчетов в одну таблицу.

2. Определить показание вольтметра.

3. Составить баланс мощностей.

Скачать расчет электрической цепи постоянного тока

Расчет цепи постоянного тока по законам Кирхгофа

Расчет цепи постоянного тока по законам Кирхгофа

Задача 1.10 Определить ток в ветви с сопротивлением R3, используя законы Кирхгофа, если: E1 = 54 В, E2 = 162 В, R1 = R2 = 9 Ом, R3 = 40 Ом, внутренние соапотивления источников ЭДС r1 = r2 = 1 Ом.

Задача Расчет электрической цепи постоянного тока

Задача

Расчет электрической цепи постоянного тока

Электротехника и основы электроники: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений / Соколов Б.П., Соколов В.Б. – М.: Высш. шк., 1985

Задача 1 Расчет электрической цепи постоянного тока

Для электрической схемы, изображенной на рисунке, по заданным сопротивлениям и ЭДС выполнить следующее:

1) составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;

2) найти все токи, пользуясь методом контурных токов;

3) проверить правильность решения, применив метод узлового напряжения. Предварительно упростить схему, заменив треугольник сопротивления R4, R5 и R6 эквивалентной звездой. Начертить расчетную схему с эквивалентной звездой и показать на ней токи;

4) определить ток в резисторе R6методом эквивалентного генератора;

5) определить показание вольтметра и составить баланс мощностей для заданной схемы;

6) построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Расчет сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа

Разделы: Физика

Технология урока: интерактивная.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

образовательные:

  • помочь учащимся получить представление об основах расчета сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа;
  • разобраться в выборе направлений протекания токов и обходов контуров;
  • воспитательные:

  • воспитание информационной культуры учащихся, внимательности, аккуратности, дисциплинированности, организованности;
  • развивающие:

  • развитие познавательных интересов;
  • самоконтроля;
  • умения конспектировать;
  • памяти.
  • Оборудование: доска, компьютер, мультимедиа проектор, программа презентаций Microsoft Office PowerPoint 2003.

    Методическое обеспечение урока: компьютерная презентация, электронные тесты, карточки самоконтроля учащихся, карточка контроля учащихся

    План проведения урока.

    Организационный момент – 2 мин.

    Проверка и актуализация опорных знаний – 5 мин.

    Объяснение нового материала – 20 мин.

    Проверка усвоения новых знаний и умений – 12 мин.

    Подведение итогов – 4 мин.

    Домашнее задание – 2 мин.

    Время1. Организационный момент
    • учащиеся рассаживаются
    • достают тетради, ручки
    2 мин.3. Проверка опорных знаний
    • учащиеся устно отвечают на вопросы учителя
    20 мин.5. Проверка усвоения новых знаний и умений
    • объяснение правил выполнения теста
    • заполнение карточек самоконтроля учащимися
    4 мин.7. Домашнее задание
    • получение учащимися индивидуальных заданий

    Учащиеся заходят в класс, приветствуют преподавателя, рассаживаются, достают тетради и ручки

    Формулировка темы урока. Постановка цели урока

    Учитель сообщает тему урока “Расчет сложных цепей постоянного тока по I и II законам Кирхгофа” и его план.

    Сегодня мы проверим, как вы усвоили материал прошлого урока и научимся рассчитывать сложные цепи постоянного тока по законам Кирхгофа. Затем мы проверим, как вы усвоили новый материал.

    У вас на столах лежат карточки самоконтроля. В них вы будете заносить полученные баллы за ответы на уроке, а также за тест. За каждый правильный устный ответ вы будете ставить себе один балл. За каждый правильный ответ на вопрос из теста оценивается также в один балл. На доске находится таблица соответствия набранных баллов оценке. При подведении итогов урока вы выставите эти оценки в карточки самоконтроля и сдадите их. Эти оценки будут выставлены в журнал.

    В конце урока вы получите домашнее задание.

    Проверка опорных знаний

    Дайте определение сложной электрической цепи.

    Сложными называются разветвленные электрические цепи со многими источниками энергии.

    Дайте формулировку I закону Кирхгофа.

    Алгебраическая сумма токов в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным. Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу равна сумме токов, направленных от узла.

    где Ii – ток в узле,

    n – число проводников, сходящихся в узле

    Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает.

    Дайте формулировку II закону Кирхгофа

    Алгебраическая сумма падений напряжений на всех ветвях, принадлежащих любому замкнутому контуру цепи, равна алгебраической сумме ЭДС ветвей этого контура. Если в контуре нет источников ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю.

    Объяснение нового материала

    На рисунке представлена схема электрической цепи.

    Для ее расчета, т.е. для определения токов во всех ее ветвях, необходимо составить систему уравнений по законам Кирхгофа. Общее число уравнений в системе должно соответствовать числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей.

    Давайте посчитаем количество ветвей в нашей электрической цепи.

    Получилось пять ветвей, а значит и пять неизвестных токов I1, I2, I3, I4 и I5 (токам пока не задано направление).

    По первому закону Кирхгофа составляется число уравнений, на единицу меньшее числа узлов цепи, поскольку уравнение для последнего узла есть следствие всех предыдущих уравнений и не дает ничего нового для расчета.

    Посчитаем количество узлов электрической цепи.

    В цепи три узла, значит по 1-му закону Кирхгофа надо составить (3 – 1 = 2) два уравнения.

    По второму закону Кирхгофа составляются все недостающие уравнения для любых произвольно выбранных контуров цепи.

    Посчитаем количество недостающих уравнений: 5 – 2 = 3.

    В нашем примере по II закону Кирхгофа надо составить три уравнения.

    Предварительно следует задаться (произвольно) направлением токов во всех ветвях цепи и направлением обхода выбранных контуров.

    Заметим, что произвольность выбора направлений токов в ветвях цепи и направлений обхода контуров не влияет на конечный результат расчета. Если в результате расчетов некоторые из найденных токов будут иметь знак (–), то это будет означать, что их истинное направление противоположно предварительно принятому.

    Зададим направление токов во всех ветвях цепи.

    При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа токи, подходящие к узлу, будем считать положительными и брать со знаком (+), а токи, отходящие от узла – отрицательными и брать со знаком (–).

    По I закону Кирхгофа надо составить два уравнения. Для этого выберем любые два узла цепи. Например, первый и второй.

    Зададим направление обхода выбранных контуров.

    При составлении уравнений по II закону Кирхгофа ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура будем брать со знаком (+), а несовпадающие – со знаком (–).

    Запишем систему уравнений.

    Решим полученную систему уравнений и определим токи во всех пяти ветвях этой цепи.

    Количество уравнений по законам Кирхгофа = количество неизвестных токов цепи, т.е. количеству ветвей цепи.

  • Количество уравнений по I закону Кирхгофа = количество узлов цепи – 1.
  • Количество уравнений по II закону Кирхгофа = общее количество уравнений – количество уравнений по I закону Кирхгофа.
  • Для уравнений по I закону Кирхгофа: токи входящие в узел записываются со знаком (+), а выходящие – со знаком (–).
  • Для уравнений по II закону Кирхгофа: ЭДС и токи, совпадающие с выбранным направлением обхода контура записываются со знаком (+), а несовпадающие – со знаком (–).
  • Проверка усвоения новых знаний и умений.

    Учащиеся выполняют тест (приложение 1). Проверяют его сами (приложение 2). Заполняют карточки самоконтроля (приложение 3). Выставляют себе отметки. Таблица соответствия отметок и баллов определяется учителем и выводится на доске.

    Примеры решения задач на законы Кирхгофа

    Рассмотрим на примерах как можно использовать законы Кирхгофа при решении задач.

    Задача 1

    Дана схема, и известны сопротивления резисторов и ЭДС источников. Требуется найти токи в ветвях, используя законы Кирхгофа.

    Используя первый закон Кирхгофа, можно записать n-1 уравнений для цепи. В нашем случае количество узлов n=2, а значит нужно составить только одно уравнение.

    Напомним, что по первому закону, сумма токов сходящихся в узле равна нулю. При этом, условно принято считать входящие токи в узел положительными, а выходящими отрицательными. Значит для нашей задачи

    Затем используя второй закон (сумма падений напряжения в независимом контуре равна сумме ЭДС в нем) составим уравнения для первого и второго контуров цепи. Направления обхода выбраны произвольными, при этом если направление тока через резистор совпадает с направлением обхода, берем со знаком плюс, и наоборот если не совпадает, то со знаком минус. Аналогично с источниками ЭДС.

    На примере первого контура – ток I1 и I3 совпадают с направлением обхода контура (против часовой стрелки), ЭДС E1 также совпадает, поэтому берем их со знаком плюс.

    Уравнения для первого и второго контуров по второму закону будут:

    Все эти три уравнения образуют систему

    Подставив известные значения и решив данную линейную систему уравнений, найдем токи в ветвях (способ решения может быть любым).

    Проверку правильности решения можно осуществить разными способами, но самым надежным является проверка балансом мощностей.

    Задача 2

    Зная сопротивления резисторов и ЭДС трех источников найти ЭДС четвертого и токи в ветвях.

    Как и в предыдущей задаче начнем решение с составления уравнений на основании первого закона Кирхгофа. Количество уравнений n-1= 2

    Затем составляем уравнения по второму закону для трех контуров. Учитываем направления обхода, как и в предыдущей задаче.

    На основании этих уравнений составляем систему с 5-ью неизвестными

    Решив эту систему любым удобным способом, найдем неизвестные величины

    Для этой задачи выполним проверку с помощью баланса мощностей, при этом сумма мощностей, отданная источниками, должна равняться сумме мощностей полученных приемниками.Баланс мощностей сошелся, а значит токи и ЭДС найдены верно.

    Правила (законы) Кирхгофа простыми словами

    На практике часто встречаются задачи по расчётам параметров токов и напряжений в различных разветвлённых цепях. В качестве инструмента для расчётов используют правила Кирхгофа (в некоторой литературе их называют еще законами, хотя это не совсем корректно) – одни из фундаментальных правил, которые совместно с законами Ома позволяет определять параметры независимых контуров в самых сложных цепях.

    Учёный Густав Киргхоф сформулировал два правила [1], для понимания которых введено понятие узла, ветви, контура. В нашей ситуации ветвью будем называть участок, по которому протекает один и тот же ток. Точки соединения ветвей образуют узлы. Ветви вместе с узлами образуют контуры – замкнутые пути, по которым течёт ток.

    Первое правило Кирхгофа

    Первое правило Густава Кирхгофа сформулировано исходя из закона сохранения заряда. Физик понимал, что заряд не может задерживаться в узле, а распределяется по ветвям контура, образующим это соединение.

    Кирхгоф предположил, а впоследствии обосновал на основании экспериментов, что количество зарядов зашедших в узел такое же, как и количество тока вытекающего из него.

    На рисунке 1 изображена простая схема, состоящая из контуров. Точками A, B, C, D обозначены узлы контура в центре схемы.

    Рис. 1. Схема контура

    Ток I1 входит в узел A, образованный ветвями контура. На схеме электрический заряд распределяется в двух направлениях – по ветвям AB и AD. Согласно правилу Кирхгофа, входящий ток равен сумме выходящих: I1 = I2 + I3.

    На рисунке 2 представлен абстрактный узел, по ветвям которого течёт ток в разных направлениях. Если сложить векторы i1, i2, i3, i4 то, согласно первому правилу Кирхгофа, векторная сумма будет равняться 0: i1 + i2 + i3 + i4 = 0. Ветвей может быть сколько угодно много, но равенство всегда будет справедливым, с учётом направления векторов.

    Рис. 2. Абстрактный узел

    Запишем наши выводы в алгебраической форме, для общего случая:

    Для использования этой формулы, требуется учитывать знаки. Для этого необходимо выбрать направление одного из векторов тока (не важно, какого) и обозначить его знаком «плюс». При этом знаки всех других величин определить, исходя от их направления, по отношению к выбранному вектору.

    Чтобы избежать путаницы, ток, направленный в точку узла, принято считать положительным, а векторы, направленные от узла – отрицательными.

    Изложим первое правило Кирхгофа, выраженное приведённой выше формулой: «Алгебраическая сумма сходящихся в определённом узле токов, равна нулю, если считать входящие токи положительными, а отходящими – отрицательными».

    Первое правило дополняет второе правило, сформулированное Кирхгофом. Перейдём к его рассмотрению.

    Второе правило Киргхофа

    Из третьего уравнения Максвелла вытекает правило Кирхгофа для напряжений. Его ещё называют вторым законом.

    Это правило гласит, что в замкнутом контуре, на резистивных элементах, алгебраическая сумма напряжений (включая внутренние), равна сумме ЭДС, присутствующих в этом же замкнутом контуре.

    При этом токи и ЭДС, векторы которых совпадают с направлением (выбирается произвольно) обхода контура, считаются положительными, а встречные к обходу токи – отрицательными.

    Рис. 4. Иллюстрация второго правила Кирхгофа

    Формулы, которые изображены на рисунке применяются в частных случаях для вычисления параметров простых схем.

    Формулировки уравнений общего характера:

    , где где Lk и Ck – это индуктивности и ёмкости, соответственно.

    Линейные уравнения справедливы как для линейных, так и для нелинейных линеаризованных цепей. Они применяются при любом характере временных изменений токов и напряжений, для разных источников ЭДС. При этом законы Кирхгофа справедливы и для магнитных цепей. Это позволяет выполнять вычисления для поиска соответствующие параметров.

    Закон Кирхгофа для магнитной цепи

    Применение независимых уравнений возможно и при расчётах магнитных цепей. Сформулированные выше правила Кирхгофа справедливы и для вычисления параметров магнитных потоков и намагничивающих сил.

    Рис. 4. Магнитные контуры цепей

    То есть, для магнитных потоков первое правило Кирхгофа можно выразить словами: «Алгебраическая сумма всевозможных магнитных потоков относительно узла магнитной цепи равняется нулю.

    Сформулируем второе правило для намагничивающих сил F: «В замкнутом магнитном контуре алгебраическая сумма намагничивающих сил приравнивается к сумме магнитных напряжений». Данное утверждение выражается формулой: ∑F=∑U или ∑Iω = ∑НL, где ω – количество витков, H – напряжённость магнитного поля, символ L обозначает длину средней линии магнитопровода. ( Условно принимается, что каждая точка этой линии совпадает с линиями магнитной индукции).

    Второе правило, применяемое для вычисления магнитных цепей, есть не что иное, как альтернативная форма представления закона полного тока.

    Примечание: Составляя уравнения с использованием формул, вытекающих из правил Кирхгофа, надо прежде определиться с положительным направлением потоков, функционирующих в ветвях, сопоставив их с направлением обходов существующих контуров.

    При совпадении векторов магнитного потока с направлениями обхода (на некоторых участках), падение напряжения на этих ветвях берём со знаком « + », а встречные ему – со знаком « – ».

    Примеры расчета цепей

    Рассмотрим ещё раз рисунок 3. На нём изображено 4 разнонаправленных вектора: i1, i2, i3, i4. Из них – два входящие ( i2, i3) и два исходящие из узла (i1, i4). Положительными будем считать те векторы, которые направлены в точку соединения ветвей, а остальные – отрицательными.

    Тогда, по формуле Кирхгофа, составим уравнение и запишем его в следующем виде: – i1 + i2 + i3 – i4 = 0.

    На практике такие узлы являются частью контуров, обходя которые можно составить ещё несколько линейных уравнений с этими же неизвестными. Количество уравнений всегда достаточно для решения задачи.

    Рассмотрим алгоритм решения на примере рис. 5.

    Рис. 5. Пример для расчёта

    Схема содержит 3 ветви и два узла, которые образуют три пары по два независимых контура:

    Запишем независимое уравнение, выполняющееся, например, в точке а. Из первого правила Кирхгофа вытекает: I1 + I2 – I3 = 0.

    Воспользуемся вторым правилом Кирхгофа. Для составления уравнений можно выбрать любой из контуров, но нам необходимы контуры с узлом а, так как для него мы уже составили уравнение. Это будут контуры 1 и 2.

    Пишем уравнения:

    Решаем систему уравнений:

    Так как значения R и E известны (см. рисунок 5), мы придём к системе уравнений:

    Решая эту систему, получим:

    Потенциал узла а равен: Ua = I3*R3 = 3,55 × 3 = 10,65 В. Чтобы убедиться в верности наших расчётов, проверим выполнение второго правила по отношению к контуру 3:

    E1 – E2 + I1R1+ I2R2 = 12 – 15 + 1,36 – 4,38 = – 0,02 ≈ 0 (с учётом погрешностей, связанных с округлениями чисел при вычислениях).

    Если проверка выполнения второго правила успешно завершена, то расчёты сделаны правильно, а полученные данные являются достоверными.

    Применяя правила (законы) Кирхгофа можно вычислять параметры электрической энергии для магнитных цепей.

    1. Теория: Законы Кирхгофа

    В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа. Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике, на страницах сайта http://www.sxemotehnika.ru.

    Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.

    Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.

    Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.

    Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.

    Первый закон Кирхгофа

    Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.

    Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.

    Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.

    Рисунок 2. Узел электрической цепи.

    Здесь ток I1— ток, втекающий в узел , а токи I2 и I3 — токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:

    Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I2 и I 3 в левую часть выражения (1), тем самым получим:

    Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.

    Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2)).

    Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.

    Второй закон Кирхгофа.

    Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.

    Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:

    1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).

    2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.

    3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:

    — ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».

    — напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».

    Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

    Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.

    Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).

    Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.

    Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.

    Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E1=12 в и E2=5 в , с внутренним сопротивлением источников r1=r2=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.

    Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.

    Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:

    так как I1 и I 2 втекают в узел А , а ток I вытекает из него.

    Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

    Для внешнего контура:

    Для внутреннего левого контура:

    Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:

    Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:

    12 = 0,1I1 +2I.

    Далее из первого и второго уравнения выразим ток I2

    12 = 0,1I1 + 2I.

    Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:

    12 = 0,1I1 + 2I.

    Выражаем из первого уравнения значение I

    I = 2I1– 70;

    И подставляем его значение во второе уравнение

    Решаем полученное уравнение

    12 = 0,1I1 + 4I1 – 140.

    12 + 140= 4,1I1

    Теперь в выражение I = 2I1– 70 подставим значение

    I1=37,073 (А) и получим:

    I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А

    Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I2=I — I1

    I2=4,146 — 37,073 = -32,927

    Знак «минус» для тока I2 означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I 2 вытекает из узла А .

    Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.

    Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.

    Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.

    Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:

    ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

    правил Кирхгофа | Безграничная физика

    Введение и значение

    Законы цепи Кирхгофа - это два уравнения, которые касаются сохранения энергии и заряда в контексте электрических цепей.

    Цели обучения

    Опишите взаимосвязь между законами цепи Кирхгофа и энергией и зарядом в электрических цепях.

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Кирхгоф использовал работу Георга Ома в качестве основы для создания закона Кирхгофа (KCL) и закона напряжения Кирхгофа (KVL) в 1845 году.Их можно вывести из уравнений Максвелла, появившихся 16-17 лет спустя.
    • Невозможно проанализировать некоторые схемы с обратной связью путем упрощения в виде суммы и / или ряда компонентов. В этих случаях можно использовать законы Кирхгофа.
    • Законы Кирхгофа - частные случаи сохранения энергии и заряда.
    Ключевые термины
    • резистор : Электрический компонент, который передает ток прямо пропорционально напряжению на нем.
    • электродвижущая сила : (ЭДС) - напряжение, генерируемое батареей или магнитной силой в соответствии с законом Фарадея.Она измеряется в вольтах (не в ньютонах, Н; ЭДС - это не сила).
    • конденсатор : Электронный компонент, состоящий из двух проводящих пластин, разделенных пустым пространством (иногда вместо этого между пластинами помещается диэлектрический материал), и способный хранить определенное количество заряда.

    Введение в законы Кирхгофа

    Законы цепи Кирхгофа - это два уравнения, впервые опубликованные Густавом Кирхгофом в 1845 году. По сути, они касаются сохранения энергии и заряда в контексте электрических цепей.

    Хотя законы Кирхгофа можно вывести из уравнений Джеймса Клерка Максвелла, Максвелл не публиковал свою систему дифференциальных уравнений (которые составляют основу классической электродинамики, оптики и электрических цепей) до 1861 и 1862 годов. Кирхгоф, скорее, использовал Георга. Работа Ома как основа для текущего закона Кирхгофа (KCL) и закона напряжения Кирхгофа (KVL) .

    Законы Кирхгофа чрезвычайно важны для анализа замкнутых цепей.Рассмотрим, например, схему, показанную на рисунке ниже, состоящую из пяти резисторов, соединенных последовательно и параллельно. Упрощение этой схемы до комбинации последовательного и параллельного включения невозможно. Однако, используя правила Кирхгофа, можно проанализировать схему, чтобы определить параметры этой схемы, используя номиналы резисторов (R 1 , R 2 , R 3 , r 1 и r 2 ). . Также важно в этом примере то, что значения E 1 и E 2 представляют источники напряжения (например.г., батарейки).

    Замкнутая цепь : Чтобы определить все переменные (т. Е. Падение тока и напряжения на различных резисторах) в этой цепи, необходимо применить правила Кирхгофа.

    В заключение, законы Кирхгофа зависят от определенных условий. Закон напряжения является упрощением закона индукции Фарадея и основан на предположении, что внутри замкнутого контура нет флуктуирующего магнитного поля . Таким образом, хотя этот закон может быть применен к схемам, содержащим резисторы и конденсаторы (а также другие элементы схемы), его можно использовать только как приближение к поведению схемы при изменении тока и, следовательно, магнитного поля.

    Правило пересечения

    Правило соединения Кирхгофа гласит, что в любом соединении цепи сумма токов, текущих в это соединение и из него, равна.

    Цели обучения

    Сформулируйте правило пересечения Кирхгофа и опишите его ограничения

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Правило соединения Кирхгофа - это применение принципа сохранения электрического заряда: ток - это поток заряда за время, и если ток постоянный, то, что течет в точку в цепи, должно быть равно тому, что вытекает из нее.{\ text {n}} \ text {I} _ \ text {k} = 0 [/ latex], где I k - ток k, а n - общее количество проводов, входящих и выходящих из соединения. с учетом.
    • Закон перехода Кирхгофа ограничен в его применимости в регионах, в которых плотность заряда может быть непостоянной. Поскольку заряд сохраняется, это возможно только при наличии потока заряда через границу области. Этот поток был бы током, нарушая закон.
    Ключевые термины
    • электрический заряд : квантовое число, определяющее электромагнитные взаимодействия некоторых субатомных частиц; По соглашению, электрон имеет электрический заряд -1, а протон +1, а кварки имеют дробный заряд.
    • ток : временная скорость протекания электрического заряда.

    Правило соединения Кирхгофа, также известное как текущий закон Кирхгофа (KCL), первый закон Кирхгофа, правило точки Кирхгофа и узловое правило Кирхгофа, является применением принципа сохранения электрического заряда.

    Правило соединений Кирхгофа гласит, что в любом соединении (узле) в электрической цепи сумма токов, протекающих в этом соединении, равна сумме токов, вытекающих из этого соединения.Другими словами, при условии, что ток будет положительным или отрицательным в зависимости от того, течет ли он к стыку или от него, алгебраическая сумма токов в сети проводников, встречающихся в одной точке, равна нулю. Визуальное представление можно увидеть на.

    Закон соединения Кирхгофа : Закон соединения Кирхгофа, проиллюстрированный как токи, текущие в соединение и выходящие из него.

    Теория правил Кирхгофа петли и соединений : Мы оправдываем правила Кирхгофа, исходя из сохранения энергии.{\ text {n}} \ text {I} _ \ text {k} = 0 [/ latex]

    , где n - общее количество ветвей, по которым ток идет к узлу или от него.

    Этот закон основан на сохранении заряда (измеряется в кулонах), который является произведением силы тока (в амперах) и времени (в секундах).

    Ограничение

    Применимость закона Кирхгофа ограничена. Это справедливо для всех случаев, когда полный электрический заряд (Q) постоянен в рассматриваемой области. На практике это всегда так, если закон применяется к определенной точке.Однако в определенной области плотность заряда может быть непостоянной. Поскольку заряд сохраняется, это возможно только при наличии потока заряда через границу области. Этот поток был бы током, что нарушало бы закон Кирхгофа.

    Правило цикла

    Правило петли Кирхгофа гласит, что сумма значений ЭДС в любом замкнутом контуре равна сумме падений потенциала в этом контуре.

    Цели обучения

    Сформулируйте правило петли Кирхгофа, учитывая его допущения.

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Правило петли Кирхгофа - это правило, относящееся к схемам, основанное на принципе сохранения энергии.\ text {n} \ text {V} _ \ text {k} = 0 [/ latex].
    • Правило петли Кирхгофа является упрощением закона индукции Фарадея и выполняется при предположении, что нет флуктуирующего магнитного поля, связывающего замкнутый контур.
    Ключевые термины
    • электродвижущая сила : (ЭДС) - напряжение, генерируемое батареей или магнитной силой в соответствии с законом Фарадея. Она измеряется в вольтах, а не в ньютонах, и поэтому на самом деле не является силой.
    • резистор : Электрический компонент, который передает ток прямо пропорционально напряжению на нем.

    Правило петли Кирхгофа (иначе известное как закон напряжения Кирхгофа (KVL), правило сетки Кирхгофа, второй закон Кирхгофа, или второе правило Кирхгофа ) - это правило, относящееся к схемам, и основано на принципе сохранения энергия.

    Сохранение энергии - принцип, согласно которому энергия не создается и не разрушается - широко используется во многих исследованиях в области физики, включая электрические схемы. Применительно к схемотехнике подразумевается, что направленная сумма разностей электрических потенциалов (напряжений) вокруг любой замкнутой сети равна нулю.Другими словами, сумма значений электродвижущей силы (ЭДС) в любом замкнутом контуре равна сумме падений потенциала в этом контуре (которые могут исходить от резисторов).

    Другое эквивалентное утверждение состоит в том, что алгебраическая сумма произведений сопротивлений проводников (и токов в них) в замкнутом контуре равна общей электродвижущей силе, доступной в этом контуре. Математически правило петли Кирхгофа можно представить как сумму напряжений в цепи, которая приравнивается к нулю:

    Теория правил Кирхгофа петли и соединений : Мы оправдываем правила Кирхгофа, исходя из сохранения энергии.\ text {n} \ text {V} _ \ text {k} = 0 [/ latex].

    Здесь V k - напряжение на элементе k, а n - общее количество элементов в замкнутой цепи. Иллюстрация такой схемы показана на. В этом примере сумма v 1 , v 2 , v 3 и v 4 (и v 5 , если она включена) равна нуль.

    Правило петли Кирхгофа : Правило петли Кирхгофа гласит, что сумма всех напряжений вокруг петли равна нулю: v1 + v2 + v3 - v4 = 0.

    Учитывая, что напряжение является мерой энергии на единицу заряда, правило петли Кирхгофа основано на законе сохранения энергии, который гласит: общая энергия, полученная на единицу заряда, должна равняться количеству энергии, потерянной на единицу заряда .

    Пример

    иллюстрирует изменения потенциала в простой петле последовательной цепи. Второе правило Кирхгофа требует, чтобы ЭДС-Ir-IR 1 -IR 2 = 0. В перестановке это ЭДС = Ir + IR 1 + IR 2 , что означает, что ЭДС равна сумме падений IR (напряжения) в контуре.ЭДС подает 18 В, которое уменьшается до нуля из-за сопротивления, с 1 В на внутреннем сопротивлении и 12 В и 5 В на двух сопротивлениях нагрузки, всего 18 В.

    Правило цикла : пример второго правила Кирхгофа, согласно которому сумма изменений потенциала вокруг замкнутого контура должна быть равна нулю. (a) В этой стандартной схеме простой последовательной цепи ЭДС подает 18 В, которое снижается до нуля из-за сопротивлений, с 1 В на внутреннем сопротивлении и 12 В и 5 В на двух сопротивлениях нагрузки для всего 18 В.(b) Этот вид в перспективе представляет потенциал как что-то вроде американских горок, где потенциал повышается за счет ЭДС и понижается за счет сопротивлений. (Обратите внимание, что сценарий E означает ЭДС.)

    Ограничение

    Правило петли Кирхгофа является упрощением закона индукции Фарадея и выполняется при предположении, что нет флуктуирующего магнитного поля, связывающего замкнутый контур. В присутствии переменного магнитного поля могут индуцироваться электрические поля и возникать ЭДС, и в этом случае правило петли Кирхгофа нарушается.

    Приложения

    Правила Кирхгофа можно использовать для анализа любой схемы и модифицировать для схем с ЭДС, резисторами, конденсаторами и т. Д.

    Цели обучения

    Опишите условия, при которых полезно применять правила Кирхгофа.

    Основные выводы

    Ключевые моменты
    • Правила Кирхгофа применимы к любой цепи, независимо от ее состава и структуры.
    • Поскольку часто легко комбинировать элементы параллельно и последовательно, не всегда удобно применять правила Кирхгофа.
    • Для определения тока в цепи можно применить правила петли и соединения. Как только все токи связаны правилом соединения, можно использовать правило петли для получения нескольких уравнений, которые будут использоваться в качестве системы для нахождения каждого значения тока в терминах других токов. Их можно решить как систему.
    Ключевые термины
    • электродвижущая сила : (ЭДС) - напряжение, генерируемое батареей или магнитной силой в соответствии с законом Фарадея. Она измеряется в вольтах, а не в ньютонах, и поэтому на самом деле не является силой.

    Обзор

    Правила Кирхгофа можно использовать для анализа любой цепи, изменяя их для тех цепей с электродвижущими силами, резисторами, конденсаторами и т. Д. Однако с практической точки зрения правила полезны только для характеристики тех цепей, которые нельзя упростить, комбинируя элементы последовательно и параллельно.

    Последовательные и параллельные комбинации, как правило, намного проще выполнить, чем применение любого из правил Кирхгофа, но правила Кирхгофа применимы более широко и должны использоваться для решения проблем, связанных со сложными схемами, которые нельзя упростить, комбинируя элементы схемы последовательно или параллельно.

    Пример правил Кирхгофа

    показывает очень сложную схему, но правила Кирхгофа для петель и соединений могут быть применены. Чтобы решить схему для токов I 1 , I 2 и I 3 , необходимы оба правила.

    Правила Кирхгофа: пример задачи : На этом изображении показана очень сложная схема, которую можно сократить и решить с помощью правил Кирхгофа.

    Применяя правило Кирхгофа в точке a, находим:

    [латекс] \ text {I} _1 = \ text {I} _2 + \ text {I} _3 [/ latex]

    , потому что I 1 течет в точку a, а I 2 и I3 вытекает.То же самое можно найти в точке e. Теперь мы должны решить это уравнение для каждой из трех неизвестных переменных, что потребует трех разных уравнений.

    Учитывая цикл abcdea, мы можем использовать правило цикла Кирхгофа:

    [латекс] - \ text {I} _2 \ text {R} _2 + \ mathrm {\ text {emf}} _ 1- \ text {I} _2 \ text {r} _1- \ text {I} _1 \ text { R} _1 = - \ text {I} _2 (\ text {R} _2) + \ text {r} _1) + \ mathrm {\ text {emf}} _ 1- \ text {I} _1 \ text {R} _1 = 0 [/ латекс]

    Подставляя значения сопротивления и ЭДС из рисунка на диаграмме и отменяя единицу измерения ампер, получаем:

    [латекс] -3 \ text {I} _2 + 18-6 \ text {I} _1 = 0 [/ латекс]

    Это вторая часть системы трех уравнений, которую мы можем использовать, чтобы найти все три текущих значения.Последнюю можно найти, применив правило цикла к циклу aefgha, которое дает:

    [латекс] \ text {I} _1 \ text {R} _1 + \ text {I} _3 \ text {R} _3 + \ text {I} _3 \ text {r} _2- \ mathrm {\ text {emf}} _2 = \ text {I} _1 \ text {R} _1 + \ text {I} _3 (\ text {R} _3 + \ text {r} _2) - \ mathrm {\ text {emf}} _ 2 = 0 [/ латекс ]

    Используя замену и упрощение, это становится:

    [латекс] 6 \ text {I} _1 + 2 \ text {I} _3-45 = 0 [/ латекс]

    В этом случае знаки поменялись местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении.

    Теперь у нас есть три уравнения, которые можно использовать в системе. Второй будет использоваться для определения I 2 и может быть изменен на:

    [латекс] \ text {I} _2 = 6-2 \ text {I} _1 [/ латекс]

    Третье уравнение может использоваться для определения I 3 и может быть преобразовано в:

    [латекс] \ text {I} _3 = 22,5-3 \ text {I} _1 [/ латекс]

    Подставляя новые определения I 2 и I 3 (которые являются общими терминами I 1 ) в первое уравнение (I 1 = I 2 + I 3 ), получаем:

    [латекс] \ text {I} _1 = (6-2 \ text {I} _1) + (22.5-3 \ text {I} _1) = 28,5-5 \ text {I} _1 [/ latex]

    Упрощая, получаем, что I 1 = 4,75 A. Подставляя это значение в два других уравнения, мы находим, что I 2 = -3,50 A и I 3 = 8,25 A.

    законов Кирхгофа

    законов Кирхгофа были опубликованы в 1845 году немецким физиком Густавом Кирхгофом. Когда законы Кирхгофа сочетаются с законом Ома, мы можем рассчитывать напряжение и ток для сложных цепей.

    Электрический потенциал в цепях

    Электрический потенциал примерно представляет собой концентрацию энергии в цепи.Потенциал быстро распространяется до однородного значения по непрерывному участку провода. Это похоже на то, как вода в чашке остается на той же высоте, потому что она распространяется против силы тяжести.

    Разница в электрическом потенциале называется напряжением.

    Электрический потенциал постоянен, пока не достигнет элемента схемы.
    На резисторе падает потенциал, поэтому напряжение отрицательное.
    В аккумуляторе потенциал увеличивается, поэтому напряжение положительное.

    4 V2 V Пример: На схеме выше потенциал, выделенный красным цветом, равен 4 В. Потенциал, выделенный серым цветом, равен 2 В. Какова разность потенциалов на резисторе? решение $$ \ Delta V = V_f-V_i $$ $$ \ Delta V = 2 \, \ mathrm {V} -4 \, \ mathrm {V} $$ $$ \ Delta V = -2 \, \ mathrm {V} $$
    Какое напряжение на резисторе? решение

    Напряжение означает разность потенциалов. Они одинаковые.

    $$ \ Delta V = V_f-V_i $$ $$ \ Delta V = 2 \, \ mathrm {V} -4 \, \ mathrm {V} $$ $$ \ Delta V = -2 \, \ mathrm {V} $$ 0 V1.50 В Пример: Какое напряжение обеспечивает аккумулятор? Раствор

    Потенциал скачет от 0 до 1,5 В. Аккумулятор добавляет в цепь 1,5 вольта.

    1,50 В0,70 В0,0020 A Пример: Используйте закон Ома для расчета сопротивления на диаграмме выше. решение $$ \ Delta V = V_f-V_i $$ $$ \ Delta V = 0.70 \, \ mathrm {V} -1.50 \, \ mathrm {V} $$ $$ \ Delta V = -0.80 \, \ mathrm {V} $$
    $$ \ Delta V = IR $$ $$ R = \ frac {\ Delta V} {I} $$ $$ R = \ frac {0.80} {0.0020} $$ $$ R = 400 \, \ Omega $$ 5.5 V9.0 V Пример: Когда провод разветвляется, потенциал одинаков для непрерывного участка. Используйте потенциал, чтобы найти разность потенциалов или напряжение на каждом резисторе. решение $$ \ Delta V = V_f-V_i $$ $$ \ Delta V = 5.5 \, \ mathrm {V} -9 \, \ mathrm {V} $$ 5,5 В 9,0 ВΔV = -3,5 ВΔV = -3,5 ВΔV = -3,5 В

    Ток направлен влево, потому что потенциал падает справа налево, а резисторы всегда уменьшают напряжение.

    0 В1,5 В 400 Ом 200 Ом 100 Ом Вопрос: В каком направлении течет ток? ответ

    Течение направлено влево. Ток - это поток заряда, а заряд перетекает от высокого потенциала к низкому.


    Вопрос: Какой путь имеет наибольший ток? Почему? ответ

    Резистор 100 Ом имеет наибольший ток

    Все три цепи имеют одинаковое напряжение, поэтому единственная разница заключается в сопротивлении. Сопротивление затрудняет прохождение тока.Самый низкий резистор будет иметь самый высокий ток.


    Пример: Рассчитайте ток на каждом резисторе. решение $$ \ Delta V = IR $$ $$ I = \ frac {\ Delta V} {R} $$ $$ I = \ frac {1.5 \, \ mathrm {V}} {400 \, \ Omega} \ quad \ enspace \ quad I = \ frac {1.5 \, \ mathrm {V}} {200 \, \ Omega} \ quad \ enspace \ quad I = \ frac {1.5 \, \ mathrm {V}} {100 \, \ Omega} $$ $$ I = 0,00375 \, \ mathrm {A} \ quad \ quad I = 0,0075 \, \ mathrm {A} \ quad \ quad I = 0,015 \, \ mathrm {A} $$ $$ I = 3.75 \, \ mathrm {mA} \ quad \ quad I = 7.5 \, \ mathrm {mA} \ quad \ quad I = 15 \, \ mathrm {mA} $$ 0.0 V6.0 V6.0 V6.0 V2.0 V2.0 V Пример: Электрический потенциал для каждого непрерывного участка провода показан на принципиальной схеме выше. Используйте потенциал, чтобы найти разность потенциалов или напряжение на каждом элементе цепи. решение

    Вычтите потенциал до и после каждого элемента, чтобы найти разность потенциалов на каждом элементе.

    $$ V_f-V_i = \ Delta V $$ $$ 2 \, \ mathrm {V} -6 \, \ mathrm {V} = -4 \, \ mathrm {V} $$ $$ 0 \, \ mathrm {V} -2 \, \ mathrm {V} = -2 \, \ mathrm {V} $$ $$ 6 \, \ mathrm {V} -0 \, \ mathrm {V} = 6 \, \ mathrm {V} $$ 0.0 V6.0 V6.0 V6.0 V2.0 V2.0 V + 6.0 V-4.0 V-4.0 V-2.0 V

    Вы могли заметить, что общее напряжение для любого пути, по которому может пройти ток, в сумме равно нулю. Это важный принцип.

    $$ + 6 \, \ mathrm {V} -4 \, \ mathrm {V} -2 \, \ mathrm {V} = 0 $$

    Закон Кирхгофа: напряжение

    Если ток может проходить по цепи через контур, полное изменение потенциала равно нулю. В противном случае потенциал продолжал бы расти.

    V1V2V3V4

    Для любого замкнутого контура сумма всех напряжений равна нулю.

    \ (V \) = разность потенциалов, напряжение [В, вольт]

    Закон Кирхгофа о напряжении является следствием сохранения энергии. Напряжение - это электрическая потенциальная энергия на заряд. По мере прохождения тока по цепи общая энергия не меняется.

    1,51 В-0,55 В-0,33 В =? Пример: Какое падение напряжения на резисторе показано на схеме? подсказка

    Суммарное напряжение для любого контура должно быть равно нулю.

    $$ V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = 0 $$ решение $$ V_1 + V_2 + V_3 + V_4 = 0 $$ $$ 1.51-0.55-0.33-V_ {4} = 0 $$ $$ V_ {4} = -0,63 \, \ mathrm {V} $$ V =? 6 кОм 20 кОм 5 кОм 0,194 мА Пример: Используйте закон Ома, чтобы найти напряжение для каждого резистора. решение

    Все элементы в серии имеют одинаковый ток

    $$ V = IR $$ $$ V = (0,000194) (6000) $$ $$ V = 1.164 \, \ mathrm {V} $$
    $$ V = IR $$ $$ V = (0,000194) (20000) $$ $$ V = 3.88 \, \ mathrm {V} $$
    $$ V = IR $$ $$ V = (0.000194) (5000) $$ $$ V = 0,97 \, \ mathrm {V} $$
    Используйте напряжения резистора, чтобы рассчитать напряжение в батарее. раствор V =? -1,164 В-3,88 В-0,97 В $$ \ sum V = 0 $$ $$ V_ {bat} + V_1 + V_2 + V_3 = 0 $$ $$ V_ {bat} = -V_1-V_2-V_3 $$ $$ V_ {bat} = 1,164 + 3,88 + 0,97 $$ $$ V_ {4} = 6.014 \, \ mathrm {V} $$ > 9,0 VR =? 3,4 В3,4 В0,5 мА Пример: Найдите недостающее сопротивление. решение

    Только одно падение 3,4 В в каждом шлейфе.

    $$ \ sum V = 0 $$ $$ 9 - 3.4 - V = 0 $$ $$ V = 5.6 \, \ mathrm {V} $$
    $$ V = IR $$ $$ R = \ frac {V} {I} $$ $$ R = \ frac {5.6} {0.0005} $$ $$ R = 11200 \, \ Omega $$

    Закон Кирхгофа: Действующий

    Текущий закон Кирхгофа верен, потому что заряд сохраняется. Общий заряд не может увеличиваться или уменьшаться.

    В любой точке цепи общий входящий заряд равен общему выходящему заряду.

    \ (I_ {in} \) = заряд вводится точек в секунду [A, амперы]
    \ (I_ {out} \) = заряд на выходе точек в секунду [A, амперы]

    Участки цепи, которые не разветвляются, будут иметь одинаковый ток повсюду.

    2 A2 AI =? Пример: Если трехходовая разветвление имеет два провода с входом по 2 А каждый. Сколько тока в 3-м проводе? решение $$ I _ {\ text {in}} = I _ {\ text {out}} $$ $$ 2 \, \ mathrm {A} + 2 \, \ mathrm {A} = I _ {\ text {out}} $$ $$ 4 \, \ mathrm {A} = I _ {\ text {out}} $$ I = 10 мА I =? 166 Ом 166 Ом Пример: Ток 10 мА перед двумя резисторами 166 Ом. Какой ток после резисторов? решение I = 10 мА I = 10 мА

    Полный ток, входящий в часть цепи, должен равняться полному току на выходе.Если цепь не разветвляется, она будет иметь одинаковый ток во всех точках. Ток не меняется на резисторах и батареях.

    I =? 20 мА40 мА55 мА Пример: Найдите ток до того, как цепь разделится на 3 ветви. решение

    нет необходимости преобразовывать единицы только для сложения и вычитания

    $$ I _ {\ text {in}} = I _ {\ text {out}} $$ $$ I _ {\ text {in}} = 20 \, \ mathrm {mA} + 40 \, \ mathrm {mA} + 55 \, \ mathrm {mA} $$ $$ I _ {\ text {in}} = 115 \, \ mathrm {mA} $$ 450 мА 450 мА 115 мА I =? 120 мА Пример: Найдите ток в верхней ветви.решение $$ I _ {\ text {in}} = I _ {\ text {out}} $$ $$ 450 \, \ mathrm {mA} = I_ {1} + 115 \, \ mathrm {mA} + 120 \, \ mathrm {mA} $$ $$ 450 \, \ mathrm {mA} - 115 \, \ mathrm {mA} - 120 \, \ mathrm {mA} = I_ {1} $$ $$ 215 \, \ mathrm {mA} = I_ {1} $$

    Резисторы серии

    Электрические компоненты входят в серию и , когда они соединены одним путем, так что весь заряд проходит через одни и те же компоненты.

    Общее эквивалентное сопротивление резисторов в серии - это сумма резисторов.

    R1R2R3R4Req \ (R_ {n} \) = Один резистор в серии [Ом, Ом]
    \ (R_ {eq} \) = Эквивалентное сопротивление. Сопротивление одного резистора, который может заменить несколько резисторов. [Ом, Ом] Последовательное добавление резисторов увеличивает общее сопротивление. 120 Ом 150 Ом 200 Ом 100 Ом Пример: Вы можете последовательно заменить резисторы одним эквивалентным резистором. Какой один резистор мог заменить эти четыре резистора? решение 570 Ом $$ R_ {экв} = R_1 + R_2 + R_3 + R_4 $$ $$ R_ {eq} = 120 \, \ Omega + 150 \, \ Omega + 200 \, \ Omega + 100 \, \ Omega $$ $$ R_ {eq} = 570 \, \ Omega $$

    Параллельные резисторы

    Электрические компоненты находятся на параллелях , когда путь разветвляется, и заряды идут разными путями.Уравнение для параллельной замены резисторов немного сложнее.

    Значение, обратное полному эквивалентному сопротивлению для параллельных резисторов, равно сумме обратных сопротивлений каждого сопротивления.

    R1R2R3Req

    $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {R_ {1}} + \ frac {1} {R_ {2}} + \ frac {1} {R_ {3} } + \ cdots $$

    \ (R_ {n} \) = Один параллельный резистор [Ом, Ом]
    \ (R_ {eq} \) = Эквивалентное сопротивление. Сопротивление одного резистора, который может заменить несколько резисторов [Ом, Ом] Добавление резисторов параллельно снижает общее сопротивление.Это имеет смысл, если вы думаете о каждом параллельном резисторе как о возможном пути прохождения тока. Чем больше путей, тем больше ток и меньше общее сопротивление.

    Пример: Какое эквивалентное сопротивление для пяти резисторов по 100 Ом, включенных параллельно друг другу? решение $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {R_ {1}} + \ frac {1} {R_ {2}} + \ frac {1} {R_ {3}} + \ frac {1} {R_ {4}} + \ frac {1} {R_ {5}} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} + \ frac {1} {100} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {5} {100} $$ $$ R_ {eq} = \ frac {100} {5} $$ $$ R_ {eq} = 20 \, \ Omega $$

    400 Ом 200 Ом 100 Ом Пример: Найдите эквивалентное сопротивление для трех вышеуказанных резисторов.раствор 57,14 Ом $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {R_ {1}} + \ frac {1} {R_ {2}} + \ frac {1} {R_ {3}} $ $ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {400} + \ frac {1} {200} + \ frac {1} {100} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {400} + \ left (\ frac {2} {2} \ right) \ frac {1} {200} + \ left (\ frac {4} {4} \ right) \ frac {1} {100} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {400} + \ frac {2} {400} + \ frac {4} {400} $$ $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {7} {400} $$ $$ R_ {eq} = \ frac {400} {7} $$ $$ R_ {eq} = 57,14 \, \ Omega $$ 30 кОм R2 =? Пример: Эквивалентное сопротивление для указанной выше цепи составляет 10 кОм.Используйте эту информацию, чтобы найти недостающее сопротивление. решение $$ \ frac {1} {R_ {eq}} = \ frac {1} {R_ {1}} + \ frac {1} {R_ {2}} $$ $$ \ frac {1} {10} = \ frac {1} {30} + \ frac {1} {R_ {2}} $$ $$ \ frac {1} {10} - \ frac {1} {30} = \ frac {1} {R_ {2}} $$ $$ \ frac {3} {30} - \ frac {1} {30} = \ frac {1} {R_ {2}} $$ $$ \ frac {2} {30} = \ frac {1} {R_ {2}} $$ $$ 15 \, \ mathrm {k} \ Omega = R_ {2} $$ 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом Пример: Определите группы резисторов, включенных последовательно или параллельно. Объедините их, чтобы сжать схему, пока вы не уменьшите схему до одного резистора.
    (начните последовательно с выделенных резисторов.) 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 200 Ом 100 Ом 100 Ом 100 Ом 66,6 Ом 266,6 Ом $$ \ text {Эквивалентное сопротивление} = 266,6 \, \ Omega $$

    Решение сложных схем

    6.0 VR1600 Ом R2800 Ом R3900 Ом R4500 Ом

    Как решить схему с последовательными и параллельными элементами? Один из способов - упростить схему путем последовательной или параллельной замены резисторов одним эквивалентным резистором.

    определение сопротивления для упрощенной схемы

    Мы можем начать с объединения двух параллельных резисторов.{-1} $$ $$ R_ {eq} = 420 \, \ Omega $$ 6.0 VR1600 ΩReq420 ΩR4500 Ω

    Затем мы можем объединить 3 резистора последовательно.

    $$ R_ {eq} = 600 + 420 + 500 $$ $$ R_ {eq} = 1520 \, \ Omega $$ 6.0 VReq1520 Ом с использованием законов Кирхгофа для восстановления полной схемы

    Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что полное положительное напряжение должно равняться отрицательному. Это говорит о том, что падение напряжения на резисторе такое же, как и на батарее.

    $$ V_ {bat} + V_1 = 0 $$ $$ 6.0 \, \ mathrm {V} + V_1 = 0 $$ $$ V_1 = -6.0 \, \ mathrm {V} $$ 6.0 VReq1520 Ω-6.0 V

    Мы можем найти ток через резистор с помощью закона Ома.

    $$ V = IR $$ $$ I = \ frac {V} {R} $$ $$ I = \ frac {6.0 \, \ mathrm {V}} {1530 \, \ Omega} $$ $$ I = 0,0039 \, \ mathrm {A} $$ 6.0 VReq0.0039 A1523 Ω-6.0 V

    Этот ток может быть приложен к любому элементу схемы последовательно с Req. Если мы расширим схему до состояния, когда все они были включены последовательно, мы узнаем ток для всех резисторов.

    6.0 VR1600 Ω0.0039 AReq420 Ω0.0039 AR4500 Ω0.0039 A

    Мы можем использовать закон Ома, чтобы найти напряжения.

    $$ V = IR_1 $$ $$ V = (0,0039 \, \ mathrm {A}) (600 \, \ Omega) $$ $$ V = 2.3 \, \ mathrm {V} $$

    $$ V = IR_4 $$ $$ V = (0,0039 \, \ mathrm {A}) (500 \, \ Omega) $$ $$ V = 2.0 \, \ mathrm {V} $$

    $$ V = IR_ {eq} $$ $$ V = (0,0039 \, \ mathrm {A}) (420 \, \ Omega) $$ $$ V = 1,7 \, \ mathrm {V} $$ 6.0 VR1600 Ω0.0039 A-2.3 VReq420 Ω0.0039 A-1.7 VR4500 Ω0.0039 A-2.0 V

    Параллельно подключенные резисторы имеют одинаковое напряжение, но не одинаковый ток.Давайте вернемся к нашей полноразмерной схеме и введем напряжение.

    6.0 VR1600 Ω0.0039 A-2.3 VR2800 Ω-1.7 VR3900 Ω-1.7 VR4500 Ω0.0039 A-2.0 V

    Мы можем использовать закон Ома для R2 и R3, чтобы найти ток.

    $$ I = \ frac {V} {R_2} $$ $$ I = \ frac {1.7} {800} $$ $$ I = 0,0021 \, \ mathrm {A} $$

    $$ I = \ frac {V} {R_3} $$ $$ I = \ frac {1.7} {900} $$ $$ I = 0,0019 \, \ mathrm {A} $$

    6,0 VR1600 Ом 0,0039 A-2,3 VR2800 Ом-1,7 В 0,0021 AR3900 Ом-1.7 V0.0019 AR4500 Ω0.0039 A-2.0 V решение для рассеиваемой мощности

    Мы можем рассчитать мощность, рассеиваемую каждым элементом.

    $$ \ quad P = IV $$ $$ P = (0,0039) (2,3) $$ $$ P = 0,0090 \, \ mathrm {W} $$

    $$ \ text {\ color {# f06} {(R4)}} \ quad P = IV $$ $$ P = (0,0039) (2,0) $$ $$ P = 0,0078 \, \ mathrm {W} $$

    $$ \ text {\ color {# f06} {(R2)}} \ quad P = IV $$ $$ P = (0,0021) (1,7) $$ $$ P = 0,0036 \, \ mathrm {W} $$

    $$ \ text {\ color {# f06} {(R3)}} \ quad P = IV $$ $$ P = (0.0019) (1.7) $$ $$ P = 0,0032 \, \ mathrm {W} $$

    6.0 VR1600 Ω0.0039 A-2.3 V0.0090 WR2800 Ω-1.7 V0.0021 A0.0036 WR3900 Ω-1.7 V0.0019 A0.0032 WR4500 Ω0.0039 A-2.0 V0.0078 W проверка нашей работы

    Это была долгая проблема. Проверим нашу работу. Суммарное напряжение должно равняться нулю, если считать резисторы, включенные параллельно, за единицу.

    $$ V_1 + V_4 + V_ {eq} + V_ {bat} = 0 $$ $$ - 2.3-2.0-1.7 + 6.0 = 0 $$ $$ 0 = 0 $$

    Мощность от аккумулятора должна равняться сумме мощности, потерянной в резисторах.

    $$ P_ {bat} = IV $$ $$ P_ {bat} = (0,0039) (6.0) $$ $$ P_ {bat} = 0,023 \, \ mathrm {W} $$
    $$ P_ {res} = 0.0090 \, \ mathrm {W} +0.0078 \, \ mathrm {W} +0.0036 \, \ mathrm {W} +0.0032 \, \ mathrm {W} $$ $$ P_ {res} = 0,023 \, \ mathrm {W} $$

    Выглядит хорошо!

    V =? 80 кОм 3,0 В90 кОм 90 кОм 30 кОм Пример: Найдите напряжение аккумулятора. стратегия

    Замените три резистора параллельно одним эквивалентным резистором. Эквивалентный резистор будет иметь то же напряжение, что и все резисторы, включенные параллельно, из-за закона Кирхгофа для напряжения.

    Используйте закон Ома, чтобы найти ток через эквивалентный резистор. Это будет тот же ток, который протекает через резистор 30 кОм. Тогда мы сможем найти напряжение на этом резисторе по закону Ома.

    Напряжение батареи равно сумме напряжений на каждом резисторе из-за закона напряжения Кирхгофа.

    решение $$ \ frac {1} {R _ {\ mathrm {eq}}} = \ frac {1} {R_1} + \ frac {1} {R_2} + \ frac {1} {R_3} $$ $$ \ frac {1} {R _ {\ mathrm {eq}}} = \ frac {1} {80} + \ frac {1} {90} + \ frac {1} {90} $$ $$ R _ {\ mathrm {eq}} = {\ color {# e30} 28.8 \, \ mathrm {k} \ Omega} $$

    Напряжение одинаково параллельно. Эквивалентное сопротивление составляет 3,0 В, потому что резистор 80 кОм имеет 3,0 В.

    $$ V = I R _ {\ mathrm {eq}} $$ $$ I = \ frac {V} {R _ {\ mathrm {eq}}} $$ $$ I = \ frac {3.0 \, \ mathrm {A}} {28 \, 800 \, \ Omega} $$ $$ I = 0.000104 \, \ mathrm {A} = {\ color {# 08c} 0.104 \, \ mathrm {mA}} $$

    V =? 28,8 кОм 3,0 В 0,104 мА 30 кОм

    Ток в серии такой же, поэтому мы также знаем ток в резисторе 30 кОм.С помощью тока и сопротивления мы также можем рассчитать напряжение.

    $$ V = IR $$ $$ V = (0.000104 \, \ mathrm {A}) (30 \, 000 \, \ Omega) $$ $$ V = {\ color {# 0a7} 3,125 \, \ mathrm {V}} $$ V =? 28,8 кОм 3,0 В 0,104 мА 30 кОм 0,104 мА 3,125 В

    Мы можем использовать закон Кирхгофа для определения напряжения в батарее.

    $$ 0 = V _ {\ mathrm {bat}} + V_1 + V_2 $$ $$ V _ {\ mathrm {летучая мышь}} = -V_1 - V_2 $$ $$ V _ {\ mathrm {bat}} = 3.0 \, \ mathrm {V} + 3.125 \, \ mathrm {V} $$ $$ V _ {\ mathrm {bat}} = {\ color {# c09} 6.125 \, \ mathrm {V}} $$

    Расчет электрических цепей по законам Кирхгофа

    При расчетах электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие полностью определить режим его работы.

    Прежде чем перейти к самим законам Кирхгофа, дадим определение ветвей и узлов электрической цепи.

    Ветвь электрической цепи - это такой участок, который состоит только из последовательно соединенных источников ЭДС и сопротивлений, по которым протекает один и тот же ток.Узел электрической схемы - это место (точка) соединения трех и более ответвлений. При обходе ответвлений, соединенных в узлы, можно получить замкнутой цепи электрической цепи. Каждая схема представляет собой замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей, причем каждый узел в рассматриваемой схеме встречается не более одного раза [1].

    Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

    ∑i = 0,

    или в сложной форме

    ∑I = 0.

    Второй закон Кирхгофа применяется к цепям электрической цепи и формулируется следующим образом: в любой замкнутой цепи алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, включенных в эту цепь, равна алгебраической сумме ЭДС:

    ∑Z I = E .

    Количество уравнений, составленных для электрической цепи по первому закону Кирхгофа, равно N n - 1, где N n - количество узлов.Количество уравнений, составленных для электрической цепи по второму закону Кирхгофа, составляет N b - N n + 1, где N b - количество ветвей. Количество уравнений, которые необходимо составить по второму закону Кирхгофа, легко определить по типу схемы: для этого достаточно подсчитать количество «окон» схемы, но с одним уточнением: следует помнить, что цепь с источником тока не считается .

    Опишем методику составления уравнений по законам Кирхгофа. Рассмотрим это на примере электрической схемы, представленной на рис. 1.


    Рис. 1. Рассмотрим электрическую схему

    Для начала необходимо указать произвольные направления токов в ветвях и указать направления цепей (рис. 2).


    Рис. 2. Установка направления токов и направления обхода цепи для электрической цепи

    Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, в данном случае 5 - 1 = 4.Количество уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, равно 3, хотя «окон» в данном случае равно 4. Но напомним, что «окно», содержащее ток источника J 1 , не рассматривается.

    Составьте уравнения согласно первому закону Кирхгофа. Для этого возьмем токи, «текущие» в узел со знаком «+», и «вытекающие» со знаком «-». Следовательно, для узла «1 н.» Уравнение по первому закону Кирхгофа будет выглядеть так:

    I 1 - I 2 - I 3 = 0;

    за узел «2 н.”Уравнение по первому закону Кирхгофа будет иметь следующий вид:

    - I 1 - I 4 + I 6 = 0;

    для узла «3 н.»:

    I 2 + I 4 + I 5 - I 7 = 0;

    за узел «4 п.”

    I 3 - I 5 - J 1 = 0

    Уравнение для узла «5 н.» вы не можете сделать.

    Составим уравнения по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях выбираются положительные значения для токов и ЭДС, если они совпадают с направлением цепи. Для «1 с.» схемы уравнение по второму закону Кирхгофа будет выглядеть так:

    Z C 1 I 1 + R 2 I 2 - Z L 1 I 4 = E 1 ;

    для «2 c.”Уравнение по второму закону Кирхгофа будет иметь следующий вид:

    -R 2 I 2 + R 4 I 3 + Z C 2 Я 5 = E 2 ;

    за «3 с.» цепь:

    Z L 1 I 4 + ( Z L 2 + R 1 ) ∙ I 6 + R 3 I 7 = E 3 ,

    , где Z C = - 1 / (ωC), Z L = ω L .

    Таким образом, чтобы найти требуемые токи, необходимо решить следующую систему уравнений:

    В данном случае это система из 7 уравнений с 7 неизвестными. Для решения этой системы уравнений удобно использовать Matlab. Для этого представьте эту систему уравнений в матричной форме:

    Для решения этой системы уравнений мы используем следующий скрипт:

     >> syms R1 R2 R3 R4 Zc1 Zc2 Zl1 Zl2 J1 E1 E2 E3;
    >> А = [1-1-1 0 0 0 0;
           -1 0 0 -1 0 1 0;
            0 1 0 1 1 0 -1;
            0 0 1 0 -1 0 0;
          Zc1 R2 0 -Zl1 0 0 0;
            0 -R2 R4 0 Zc2 0 0;
            0 0 0 Zl1 0 (R1 + Zl2) R3];
    >> b = [0;
            0;
            0;
           J1;
           E1;
           E2;
           E3];
    >> I = A \ b 

    В результате получаем вектор-столбец I токов от семи элементов, состоящий из искомых токов, записанных в общем виде.Мы видим, что программный комплекс Matlab позволяет существенно упростить решение сложных систем уравнений, составленных по законам Кирхгофа.

    Список литературы
    1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Эд. 4-я, исправленная. М., «Энергия», 1975.

    Как решить сложные схемы с помощью…

    Кирхгофа Мы рассмотрели Закон Кирхгофа (KCL) в предыдущем учебном пособии, а Закон напряжения Кирхгофа (KVL) очень похож, но сосредоточен на напряжении в цепи, а не на токе.Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что сумма напряжений в замкнутом контуре будет равна нулю. Другими словами, если вы посмотрите на любую петлю, которая идет полностью по всему периметру, любое увеличение напряжения по всей петле будет компенсировано равным уменьшением напряжения. Визуально это можно увидеть на изображении ниже.

    Используя эту концепцию, так же, как мы можем использовать узловой анализ с KCL, мы можем использовать анализ сетки из-за KVL. Хотя сетка - это, по сути, любой цикл в цепи, для анализа сетки нам нужно будет определить сетки, которые не охватывают никакие другие сетки.

    Вы можете видеть, что если мы сделаем цикл вокруг «внешней части» всей схемы, технически это будет сетка, потому что цикл может быть завершен. Однако для анализа нам нужно разбить его на три разные сетки. Итак, давайте рассмотрим шаги, как решить схему с помощью анализа сетки, прежде чем переходить к нескольким примерам.

    Есть 5 шагов, которые мы рекомендуем, и, как мы делали с шагами KCL / узлового анализа, два шага - успокоиться и отступить, убедившись, что все интуитивно понятно.

    1. Не торопитесь, подышите и оцените проблему. Запишите, какая информация вам была предоставлена, и какие у вас есть интуитивные идеи.
    2. Назначьте токи сетки всем сеткам. Каждой сетке должен быть назначен один ток. Вам нужно выбрать, в каком направлении течет ваш ток - это наполовину произвольно, потому что, пока вы правильно рассчитываете, это не имеет значения. Но в большинстве случаев люди принимают направление тока по часовой стрелке.
    3. Примените KVL к каждой из ячеек, используя закон Ома, чтобы показать напряжения через ток.
    4. Решите одновременные уравнения (как мы это делали с KCL), чтобы найти фактические значения.
    5. Проверка работоспособности. Найдите минутку, чтобы проанализировать, что вы сделали, и посмотрите, имеют ли цифры смысл и внутренне согласованы.

    Сейчас мы рассмотрим несколько примеров, и, честно говоря, после этих примеров единственными реальными дополнениями и изменениями будут сложности, которые усложняют математические вычисления. Концептуально задачи не должны становиться намного сложнее, но математика может стать значительно сложнее.Пожалуйста, не теряйтесь в математике. Если числа начинают терять свои числа, не забудьте выпустить воздух и вспомнить, что вы делаете и что пытаетесь сделать.


    Пример 1

    Простой пример - 1 сетка.

    Начнем здесь! Это простая схема, настолько простая, что мы можем решить эту проблему с помощью уже известных инструментов. Но я хочу начать с простого, чтобы мы могли сосредоточиться на концепциях и шагах. Итак, давайте сделаем это.

    Шаг 1. Подведем итоги схемы.Очевидно, у него только одна петля, и у нас есть источник напряжения и два резистора. Нам даны значения источника напряжения и обоих резисторов, поэтому все, что нам нужно, это узнать ток в контуре и падение напряжения на резисторах. И как только мы находим одно, мы можем быстро использовать закон Ома, чтобы получить другое. Это будет легко.

    Шаг 2: Мы уже заметили на шаге 1, что будет только одна сетка, поэтому давайте нарисуем нашу сетку текущую, зададим ей направление и дадим имя.Пойдем по часовой стрелке и назовем его 1 . Я обычно небрежен и не различаю i 1 и I 1 , но в этом случае мы будем использовать строчную букву «i». Это будет важно в следующих примерах. И мы знаем, что, поскольку у нас есть одна сетка, будет только одно уравнение.

    Шаг 3. Давайте создадим наши уравнения на основе KVL. Это первый шаг, требующий математических вычислений. Итак, с помощью KVL давайте разберемся с нашим уравнением.

    Есть два взгляда на это, которые могут вызвать неописуемую путаницу.Я объясню различия, и если вы будете последовательны в каждом уравнении (даже не обязательно в каждой проблеме, но, черт возьми, зачем вам без надобности запутывать себя?), Тогда все будет хорошо.

    В первом варианте, когда мы обходим контур, мы видим, что мы увеличиваем напряжение на 5 В на источнике напряжения, а затем падаем напряжение на R 1 и R 2 , давая нам наши положительные 5 вольт, а затем наши два негативы. Для меня это более интуитивно понятно, потому что вы повышаете напряжение на источнике напряжения так, как мы определили поток тока, и вы понижаете напряжение на резисторах по мере прохождения через них тока.Однако очень часто люди изучают его вторым способом.

    Во втором варианте вы просто используете знак напряжения на той стороне вашей ветви, в которую входит ток. В случае источника напряжения, поскольку мы движемся по часовой стрелке, ток сначала видит отрицательный знак, так что это отрицательный знак. По мере того, как напряжение на резисторах падает с положительного на отрицательный, ток сначала видит положительный знак на резисторах, поэтому вы добавляете их. Если это для вас более интуитивно понятно - воспользуйтесь! Ни один из этих вариантов не является неправильным, вы видите, что вы получаете те же уравнения (просто умножьте обе стороны на -1), но убедитесь, что вы согласны с каждым уравнением.Пожалуйста.

    Шаг 4: Поскольку неизвестных нет, мы можем просто подставить значения для R 1 и R 2 и узнать, что такое i 1 .

    А теперь мы можем найти напряжения на R 1 и R 2 .

    Шаг 5: Проверка работоспособности! Обратите внимание, что V 1 + V 2 в основном равняется 5 В (ошибки округления!), Что означает, что напряжение, которое падает на двух резисторах, совпадает с увеличением напряжения от источника напряжения.

    Давайте немного усложним ситуацию.


    Пример 2

    Шаг 1: Что мы здесь имеем? Похоже, у нас есть две сетки, которые имеют общий резистор посередине, R 3 . Опять же, у нас есть все значения источников напряжения и резисторов, поэтому мы должны иметь возможность получать фактические значения для тока и напряжения через эти резисторы. Даже без каких-либо значений мы могли бы провести анализ и показать взаимосвязи, но мне немного приятнее прийти к числовому ответу.Нам действительно нужно знать, как обращаться с R 3 , но мы позаботимся об этом на шаге 3.

    Шаг 2: Давайте определим сетки. Мы заставим обе токовые петли течь по часовой стрелке и назовем левую i 1 , а правую - 2 . Обратите внимание, что это все еще строчные буквы. И на этот раз это имеет значение, потому что у нас также есть ток через резистор R 1 , который равен I 1 (обратите внимание на букву «I» с большой буквы), ток через резистор R 2 , то есть I 2 . , а затем через R 3 , то есть I 3 .Использование заглавных букв - это то, как различать токи сетки (i 1 и i 2 ) и токи ответвления (I 1 , I 2 и I 3 ).

    Шаг 3: Создайте уравнения для сеток. Это будет довольно просто, но нам нужно знать, что делать с напряжением на R 3 . Давайте на самом деле составим уравнение для i 1 , а затем немного поговорим о нем.

    Итак, глядя на это уравнение, вы, вероятно, задаетесь вопросом, почему i 2 в нашем уравнении для тока сетки i 1 .Помните, что каждая секция относится к напряжению. Мы увеличиваем на 10В, что несложно. Мы понижаем напряжение на R 1 , что равно i 1 * R 2 , все еще довольно просто. Но падение напряжения на R 3 - это величина тока, текущего вниз, как i 1 , минус величина тока, текущего вверх, как i 2 , умноженная на R 3 .

    В нашем направлении по часовой стрелке мы заявили, что i 2 течет с вверх с по 3 рэндов.Очевидно, что на самом деле ток течет только в одну сторону, но мы не знаем, в какую сторону прямо сейчас, и математически мы сказали, что есть оба тока, протекающие через R 3 , так как 1 и текущие через 3 рэнд как i 2 . Хитрость здесь в том, что если бы мы определили i 2 в противоположном (против часовой стрелки) направлении, нам пришлось бы добавить к току i 2 к i 1 , чтобы вычислить падение напряжения на R 3 .

    Итак, сделайте паузу, остановитесь на секунду, убедитесь, что вы понимаете, почему мы создали уравнение, которое мы сделали для тока первой сетки. Затем посмотрите, что вы получите для второго тока сетки, прежде чем проверять, что мы получим. Однако вам придется контролировать свои глаза, потому что ответ находится прямо под этим текстом.

    Это то, что у вас есть? Помните, что с нашим определением, что ток течет по часовой стрелке, напряжение падает, когда мы идем от земли через R 3 , и все еще падает, когда мы идем через R 2 , прежде чем подойти к источнику напряжения, который, поскольку мы Определив это направление по часовой стрелке, мы получаем отрицательные 5 вольт.Именно здесь невероятно важно понимать, что происходит интуитивно - если вы слишком увязнетесь в математике, не зная, что происходит, вы будете составлять и решать неправильные уравнения! Поверьте мне - я говорю на основе очень болезненного опыта.

    Итак, теперь у нас есть два уравнения и два неизвестных. Мы можем либо решить эту проблему с помощью подстановки, либо подготовившись к некоторой линейной алгебре. Сделаем замену.

    Введите значения резисторов.

    Упростим первое уравнение.

    Перед заменой i 1 немного упростите второе уравнение.

    Пример 3 (Суперсетки)

    С KCL, если бы у нас был источник напряжения, который не был напрямую подключен к опорной земле, мы бы создали суперузел, а затем, как часть процесса, нам нужно было бы сделать немного КВЛ, чтобы закончить анализ. В KVL, если у нас есть текущий источник, который используется двумя сетками, мы должны относиться к нему аналогичным образом. Мы избавляемся от текущего источника и всего, что связано с ним последовательно.Затем мы рассматриваем оставшуюся часть как одну большую суперсетку.

    После создания этой сетки мы создаем уравнение для ее описания. В этом случае мы получаем:

    Теперь у нас есть уравнение для супер-сетки, но у нас есть два неизвестных и только одно уравнение. Итак, давайте снова подключим источник тока к любым элементам, которые были последовательно с ним, и проведем KCL в узле, где они подключаются к большей цепи. Как только это будет сделано, мы используем KCL в этом узле, чтобы создать второе уравнение.

    Теперь у нас есть два уравнения и два неизвестных! Давайте представим это в формате, необходимом для выполнения некоторой линейной алгебры, и посмотрим, что у нас получится.

    Итак, наши два уравнения:

    Которые мы помещаем в программу решения линейных уравнений, чтобы получить:

    Поскольку я склонен к математическим ошибкам, я предпочитаю метод линейных уравнений, поскольку он обычно быстрее и менее вероятно, что я ошибаюсь. вверх это. В случае супер-сетки это не обычная проблема, поскольку, если вы не имеете дело с транзисторами или схемой уровня CMOS, источники тока не очень типичны. Однако это хороший инструмент на случай, если он возникнет, и поможет нам лучше понять взаимосвязь между физическими схемами и математическими представлениями.


    Сводка

    Это наш краткий обзор закона напряжения Кирхгофа и того, как он приводит к анализу сетки. Вы заметите, что иногда мы использовали анализ сетки и KVL как синонимы. Хотя технически это не то же самое, очень часто можно услышать, как их используют таким образом. В зависимости от того, где вы находитесь и с кем учились, вы можете обнаружить некоторые другие различия в подходах, соглашениях об именах и даже в предположениях относительно направления. Однако, несмотря на эти внешние различия, весь анализ сетки сводится к нахождению напряжения на различных элементах сетки.Если вы последовательны и хорошо понимаете, что делаете, вы сможете получить ответ, который ищете.

    Что такое закон Кирхгофа и закон напряжения Кирхгофа?

    Закон Кирхгофа: Немецкий физик Густав Кирхгоф разработал два закона, позволяющих легко анализировать взаимосвязь любого количества элементов схемы. Первый закон касается протекания тока и широко известен как закон Кирхгофа ( KCL), а второй закон касается падения напряжения в замкнутой сети и известен как закон напряжения Кирхгофа (KVL).

    KCL утверждает, что сумма тока в переходе остается нулевой, и согласно KVL сумма электродвижущей силы и падения напряжения в замкнутой цепи остается нулевой.

    При применении KCL входящий ток принимается как положительный, а исходящий - как отрицательный. Аналогично, при применении KVL повышение потенциала принимается как положительное, а падение потенциала - как отрицательное.

    KVL и KCL помогают найти аналогичное электрическое сопротивление и импедансы сложной системы.Он также определяет ток, протекающий через каждую ветвь сети.

    В комплекте:

    Два закона описаны ниже

    Действующий закон Кирхгофа

    Текущий закон Кирхгофа гласит, что «алгебраическая сумма всех токов в любой узловой точке или стыке цепи равна нулю».

    Σ I = 0

    Учитывая приведенную выше цифру в соответствии с действующим законодательством Кирхгофа:

    i 1 + i 2 - i 3 - i 4 - i 5 + i 6 = 0 ……… (1)

    Направление входящих токов к узлу считается положительным, а исходящие токи - отрицательным.Также можно принять обратное, т. Е. Входящий ток как отрицательный, а исходящий как положительный. Это зависит от вашего выбора.

    Уравнение (1) также можно записать как:

    i 1 + i 2 + i 6 = i 3 + i 4 + i 5

    Сумма входящих токов = Сумма исходящих токов

    В соответствии с Законом Кирхгофа по току , алгебраическая сумма токов, входящих в узел, должна быть равна алгебраической сумме токов, покидающих узел в электрической сети.

    Закон Кирхгофа о напряжении

    Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что алгебраическая сумма напряжений (или падений напряжения) на любом замкнутом пути сети, которая является поперечной в одном направлении, равна нулю. Другими словами, в замкнутой цепи алгебраическая сумма всех ЭДС и алгебраическая сумма всех падений напряжения (произведение тока (I) и сопротивления (R)) равна нулю.

    Σ E + Σ V = 0

    На приведенном выше рисунке показан замкнутый контур, также называемый сеткой.В соответствии с законом Кирхгофа о напряжении:

    Здесь предполагаемый ток I вызывает положительное падение напряжения при переходе от положительного к отрицательному потенциалу, в то время как отрицательное падение потенциала происходит при протекании тока от отрицательного к положительному потенциалу.

    Учитывая другой рисунок, показанный ниже, и принимая направление тока i

    Следовательно,

    Видно, что напряжение V 1 отрицательно как в уравнении (2), так и в уравнении (3), тогда как V 2 отрицательно в уравнении (2), но положительно в уравнении (3).Это связано с изменением направления тока, принятым на обоих рисунках.

    На рисунке A ток в обоих источниках V 1 и V 2 течет с отрицательной полярности на положительную, в то время как на рисунке B ток в источнике V 1 отрицательный до положительного, но для V 2 равен от положительной к отрицательной полярности.

    Для зависимых источников в цепи также может применяться KVL. В случае расчета мощности любого источника, когда ток входит в источник, мощность поглощается источниками, в то время как источник подает мощность, если ток выходит из источника.

    Важно знать некоторые термины, используемые в схеме при применении KCL и KVL, такие как узел, соединение, ветвь, петля, сетка. Они объясняются с помощью схемы, показанной ниже:

    Узел

    Узел - это точка в сети или цепи, где соединяются два или более элемента схемы. Например, на приведенной выше принципиальной схеме A и B - узловые точки.

    Перекресток

    Соединение - это точка в сети, в которой соединяются три или более элемента схемы.Это точка, где разделяется ток. В приведенной выше схеме B и D - это переходы.

    Филиал

    Часть сети, которая находится между двумя точками соединения, называется ветвью. В приведенной выше схеме DAB, BCD и BD являются ветвями схемы.

    Петля

    Замкнутый путь сети называется петлей. ABDA, BCDB - это петли на приведенной выше принципиальной схеме.

    Сетка

    Самая простая форма петли, которую нельзя разделить дальше, называется сеткой.

    Анализ цепей

    Развитие понимания схем - это первый шаг в изучении современных электронных устройств, которые доминируют в том, что становится известным как «век информации». Основной тип цепи, последовательная цепь, представляет собой цепь, в которой есть только один путь тока. Законы Кирхгофа предоставляют нам инструменты для анализа цепей любого типа.


    Законы Кирхгофа

    Текущий закон Кирхгофа (KCL), названный в честь немецкого физика Густава Кирхгофа, гласит, что сумма всего тока, входящего в любую точку цепи, должна равняться сумме всего тока, выходящего из любой точки в цепи.Проще говоря, это еще один способ взглянуть на закон сохранения заряда .

    Закон Кирхгофа о напряжении (KVL) гласит, что сумма всех падений потенциала в любом замкнутом контуре цепи должна быть равна нулю. Проще говоря, KVL - это метод применения закона сохранения энергии к цепи.


    Вопрос: Резистор сопротивлением 3,0 Ом и резистор 6,0 Ом соединены последовательно в рабочую электрическую цепь.Если ток через резистор сопротивлением 3,0 Ом составляет 4,0 ампера, какова разница потенциалов на резисторе сопротивлением 6,0 Ом?

    Ответ: Для начала нарисуем картину ситуации. Если через резистор сопротивлением 3 Ом протекает ток 4 ампера, то в соответствии с законом Кирхгофа через резистор 6 Ом должно протекать 4 ампера тока. Зная ток и сопротивление, мы можем рассчитать падение напряжения на 6-омном резисторе, используя закон Ома:


    Резисторы серии

    Рассмотрим пример схемы, состоящей из трех резисторов сопротивлением 2000 Ом (2K):

    В цепи есть только один путь тока, который проходит через все три резистора.Вместо использования трех отдельных резисторов 2K, мы могли бы заменить три резистора одним резистором с эквивалентным сопротивлением. Чтобы найти эквивалентное сопротивление любого количества последовательных резисторов, мы просто складываем их отдельные сопротивления:

    Обратите внимание: поскольку существует только один путь тока, одинаковый ток должен протекать через каждый из резисторов.


    Таблицы VIRP

    Простой и понятный метод анализа цепей включает создание таблицы VIRP для каждой обнаруженной цепи.Объединив свои знания о законе Ома, законе тока Кирхгофа, законе напряжения Кирхгофа и эквивалентном сопротивлении, вы можете использовать эту таблицу для определения деталей любой схемы.

    Таблица VIRP описывает падение потенциала (V-напряжение), ток (I-ток), сопротивление (R) и рассеиваемую мощность (P-мощность) для каждого элемента в вашей цепи, а также для цепи в целом. . Давайте использовать нашу схему с тремя резисторами на 2000 Ом в качестве примера, чтобы продемонстрировать, как используется таблица VIRP.Чтобы создать таблицу VIRP, мы сначала перечисляем наши элементы схемы и итоги в строках таблицы, затем создаем столбцы для V, I, R и P:

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1
    R2
    R3
    Всего

    Далее мы заполняем информацию в таблице, которая нам известна.Например, нам известно общее напряжение в цепи (12 В), обеспечиваемое батареей, и нам известны значения сопротивления для каждого отдельного резистора:

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1 2000
    R2 2000
    R3 2000
    Итого 12В

    После того, как мы введем нашу исходную информацию, мы также можем вычислить полное сопротивление или эквивалентное сопротивление всей цепи.В нашем случае это 6000 Ом:

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1 2000
    R2 2000
    R3 2000
    Итого 12В 6000

    Если я посмотрю на нижнюю (итоговую) строку моей таблицы, я знаю как падение напряжения (V), так и сопротивление (R).Зная эти два элемента, я могу рассчитать общий ток, протекающий в цепи, используя закон Ома, а также могу рассчитать общую мощность, рассеиваемую в цепи, используя свои формулы для электрической мощности:

    Теперь я могу ввести дополнительную информацию в таблицу VIRP:

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1 2000
    R2 2000
    R3 2000
    Итого 12В 0.002A 6000 0,024 Вт

    Поскольку это последовательная схема, общий ток должен быть таким же, как ток через каждый отдельный элемент, поэтому я могу заполнить ток через каждый из отдельных резисторов:

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1 0.002A 2000
    R2 0,002A 2000
    R3 0,002A 2000
    Итого 12В 0,002A 6000 0.024W

    Наконец, для каждого элемента в цепи я теперь знаю ток и сопротивление. Используя эти знания, я могу применить закон Ома, чтобы получить падение напряжения (V = IR), и формулу для мощности (P = I2R), чтобы заполнить таблицу.

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1 0.002A 2000 0,008 Вт
    R2 0,002A 2000 0,008 Вт
    R3 0,002A 2000 0,008 Вт
    Итого 12В 0,002A 6000 0.024W

    Итак, что на самом деле говорит нам эта таблица теперь, когда она полностью заполнена? Нам известны падение потенциала на каждом резисторе (4 В), ток через каждый резистор (2 мА) и мощность, рассеиваемая каждым резистором (8 мВт). Кроме того, мы знаем, что полное падение потенциала для всей цепи составляет 12 В, и вся схема рассеивает 24 мВт мощности. Обратите внимание, что для последовательной цепи сумма отдельных падений напряжения на каждом элементе равна общей разности потенциалов в цепи, ток одинаков во всей цепи, а значения сопротивления и рассеиваемой мощности также складываются в общее сопротивление и общая рассеиваемая мощность.Они кратко изложены для вас в справочной таблице следующим образом:


    Пример задачи

    Параллельные схемы

    Другой базовый тип схемы - это параллельная цепь, в которой имеется более одного пути тока. Для анализа резисторов в последовательной цепи мы нашли эквивалентное сопротивление.Мы будем следовать той же стратегии при параллельном анализе резисторов.

    Параллельные резисторы

    Давайте посмотрим на схему, состоящую из тех же компонентов, которые мы использовали в нашем исследовании последовательных схем, но теперь мы соединим наши компоненты, чтобы обеспечить несколько путей тока, создав параллельную схему .

    Обратите внимание, что в этой цепи электричество может проходить по одному из трех разных путей через каждый из резисторов. Во многом это похоже на реку, которая разветвляется на три разные более мелкие реки.Таким образом, каждый резистор вызывает падение потенциала (аналогично водопаду), затем три реки рекомбинируют, прежде чем вернуться к батарее, которую мы можем представить как насос, поднимая реку до более высокого потенциала, прежде чем отправить ее обратно. зацикленный путь.

    Мы можем найти эквивалентное сопротивление резисторов, включенных параллельно, по формуле:

    Будьте осторожны при использовании этого уравнения, так как при выполнении расчетов легко допустить ошибку. Посмотрим, сможем ли мы найти эквивалентное сопротивление для нашего образца схемы.

    Анализ цепей

    Мы снова можем использовать таблицу VIRP для анализа нашей схемы, начав с заполнения того, что мы знаем непосредственно из принципиальной схемы.

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1 2000
    R2 2000
    R3 2000
    Итого 12В

    Из принципиальной схемы также видно, что падение потенциала на каждом резисторе должно составлять 12 В, так как концы каждого резистора удерживаются аккумулятором с разницей в 12 В.

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1 12В 2000
    R2 12В 2000
    R3 12В 2000
    Итого 12В

    Затем мы можем ввести ток через каждый из отдельных резисторов, так как мы знаем падение напряжения на каждом резисторе, используя закон Ома (I = V / R), чтобы найти I = 0.006A.

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1 12В 0,006A 2000
    R2 12В 0,006A 2000
    R3 12В 0.006A 2000
    Итого 12В

    Используя закон Кирхгофа по току, мы можем увидеть, что если через каждый из резисторов протекает 0,006 А, все эти токи объединяются, образуя общий ток 0,018 А.

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1 12В 0.006A 2000
    R2 12В 0,006A 2000
    R3 12В 0,006A 2000
    Итого 12В 0,018A

    Поскольку каждый из трех резисторов имеет одинаковое сопротивление, имеет смысл только то, что ток будет равномерно распределяться между ними.И мы можем подтвердить наш предыдущий расчет эквивалентного сопротивления, вычислив полное сопротивление цепи с помощью закона Ома:.

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1 12В 0,006A 2000
    R2 12В 0.006A 2000
    R3 12В 0,006A 2000
    Итого 12В 0,018A 667

    Наконец, мы можем закончить нашу таблицу VIRP, используя любое из трех применимых уравнений для рассеяния мощности, чтобы найти:

    Таблица VIRP
    В I R П
    R1 12В 0.006A 2000 0,072 Вт
    R2 12В 0,006A 2000 0,072 Вт
    R3 12В 0,006A 2000 0,072 Вт
    Итого 12В 0.018A 667 0,216 Вт

    Обратите внимание, что для резисторов, включенных параллельно, эквивалентное сопротивление всегда меньше, чем сопротивление любого из отдельных резисторов. Разность потенциалов на каждом из резисторов, включенных параллельно, одинакова, а ток через каждый из резисторов складывается в общий ток. Это кратко изложено для вас в справочной таблице:

    .

    Примеры задач

    Давайте посмотрим на базовую задачу анализа параллельной цепи:

    Аналогичным образом мы также сможем построить принципиальные схемы из описаний схемы:

    Давайте посмотрим на последний пример задачи, на этот раз с использованием амперметров при анализе нашей параллельной цепи:

    Комбинированные последовательно-параллельные схемы

    Цепь не обязательно должна быть полностью последовательной или параллельной.Фактически, в большинстве схем есть элементы обоих типов. Анализ этих цепей может быть выполнен с использованием основ, которые вы изучили при анализе последовательных и параллельных цепей по отдельности и их применении в логической последовательности.

    Во-первых, ищите части схемы с параллельными элементами. Поскольку напряжение на параллельных элементах должно быть одинаковым, замените параллельные резисторы на эквивалентный одиночный резистор, включенный последовательно, и нарисуйте новую схему.Теперь вы можете проанализировать эквивалентную последовательную схему с помощью таблицы VIRP. После того, как ваша таблица будет заполнена, вернитесь к исходной схеме, используя KCL и KVL, пока не узнаете ток, напряжение и сопротивление каждого отдельного элемента в вашей цепи.

    Вопрос: Найдите ток через R 2 в схеме ниже.

    Ответ: Сначала найдите эквивалентное сопротивление для R 2 и R 3 , включенных параллельно.

    Затем нарисуйте принципиальную электрическую схему как эквивалентную последовательную схему.

    Теперь вы можете использовать свою таблицу VIRP для анализа цепи.

    Таблица VIRP
    В I R П
    р 1 3.39V 0,169A 20 0,57 Вт
    р 23 3,22 В 0,169A 19 0,54 Вт
    р 4 3,39 В 0,169A 20 0,57 Вт
    Итого 10 В 0.169A 59 1,69 Вт

    Следовательно, падение напряжения на R 2 и R 3 должно составлять 3,22 В. Отсюда вы можете применить закон Ома, чтобы найти ток через R 2 :

    .

    Законы Кирхгофа (ток и напряжение): что это такое и почему это важно?

    Обновлено 28 декабря 2020 г.

    Автор: GAYLE TOWELL

    По мере того, как электрические цепи становятся все более сложными с множеством ветвей и элементов, становится все сложнее определить, какой ток может протекать через любую данную ветвь, и как соответствующим образом отрегулировать ситуацию.Полезно иметь систематический способ анализа цепей.

    Важные определения

    Чтобы понять законы Кирхгофа, необходимо несколько определений:

    • Напряжение В - это разность потенциалов на элементе схемы. Он измеряется в вольтах (В).
    • Ток I - это мера скорости прохождения заряда через точку в цепи. Он измеряется в амперах (А).
    • Сопротивление R - это мера сопротивления элемента схемы протеканию тока.Он измеряется в омах (Ом).
    • Закон Ома связывает эти три величины следующим уравнением: V = IR.

    Что такое законы Кирхгофа?

    В 1845 году немецкий физик Густав Кирхгоф формализовал следующие два правила для схем:

    1. Правило соединения (также известное как закон Кирхгофа или KCL): Сумма всех токов, протекающих в переходе в цепь должна равняться полному току, протекающему из перехода.

    Другой способ формулировки этого закона состоит в том, что алгебраическая сумма токов, текущих в переход, равна 0. Это означало бы рассматривать любые токи, текущие в переход, как положительные, а любые токи, протекающие через переход, как отрицательные. Поскольку общий приток должен равняться общему оттоку, это эквивалентно утверждению, что суммы будут равны 0, поскольку это равносильно перемещению оттекающих к другой стороне уравнения с отрицательным знаком.

    Этот закон выполняется при простом применении сохранения заряда.Все, что входит, должно равняться тому, что вытекает. Представьте, что водопроводные трубы соединяются и разветвляются подобным образом. Точно так же, как вы ожидаете, что общая вода, текущая в переход, будет равна общему количеству воды, вытекающей из перехода, так и с текущими электронами.

    2. Правило цикла (также известное как закон напряжения Кирхгофа или KVL): Сумма разностей потенциалов (напряжений) вокруг замкнутого контура в цепи должна равняться 0.

    Чтобы понять второй закон Кирхгофа, представьте себе что бы случилось, если бы это было неправдой.Рассмотрим одноконтурный контур, в котором есть несколько батарей и резисторов. Представьте, что вы начинаете с точки A и двигаетесь по петле по часовой стрелке. Вы набираете напряжение, когда идете через батарею, а затем падаете, когда вы проходите через резистор, и так далее.

    Обойдя весь круг, вы снова окажетесь в точке A . Сумма всех разностей потенциалов при обходе контура должна тогда равняться разнице потенциалов между точкой A и самой собой.Что ж, одна точка не может иметь два разных значения потенциала, поэтому эта сумма должна быть 0.

    В качестве аналогии рассмотрим, что произойдет, если вы пойдете по круговой пешеходной тропе. Предположим, вы начинаете с точки A и начинаете поход. Часть похода ведет в гору, часть - под гору и так далее. После завершения цикла вы снова вернетесь в точку A . Это обязательно тот случай, когда сумма ваших приростов и перепадов высоты в этом замкнутом контуре должна быть равна 0 именно потому, что высота в точке A должна равняться сама себе.

    Почему законы Кирхгофа важны?

    При работе с простой последовательной цепью определение тока в контуре требует только знания приложенного напряжения и суммы сопротивлений в контуре (с последующим применением закона Ома).

    В параллельных цепях и электрических цепях с комбинациями Однако при использовании последовательных и параллельных элементов задача определения тока, протекающего через каждую ветвь, быстро усложняется. Ток, входящий в соединение, будет разделяться по мере того, как он входит в разные части цепи, и без тщательного анализа неочевидно, сколько будет проходить в каждую сторону.

    Два правила Кирхгофа позволяют анализировать все более сложные схемы. Хотя требуемые алгебраические шаги по-прежнему довольно сложны, сам процесс прост. Эти законы широко используются в области электротехники.

    Возможность анализировать схемы важна для предотвращения перегрузки элементов схемы. Если вы не знаете, какой ток будет протекать через устройство или какое напряжение упадет на нем, вы не будете знать, какой будет выходная мощность, и все это имеет значение для функционирования устройства.

    Как применять законы Кирхгофа

    Правила Кирхгофа можно применить для анализа принципиальной схемы, выполнив следующие шаги:

      Для каждой ветви, и , пометьте неизвестный ток, протекающий через это как I i и выберите направление для этого тока. (Направление не обязательно должно быть правильным. Если окажется, что этот ток на самом деле течет в противоположном направлении, то вы просто получите отрицательное значение при решении для этого тока позже.)

      Для каждой петли в цепи выберите направление. (Это произвольно. Вы можете выбрать против часовой стрелки или по часовой стрелке. Это не имеет значения.)

      Для каждого цикла начните с одной точки и двигайтесь в выбранном направлении, складывая разности потенциалов по каждому элементу. Эти разности потенциалов можно определить следующим образом:

      • Если ток проходит в положительном направлении через источник напряжения, это положительное значение напряжения. Если ток проходит через источник напряжения в отрицательном направлении, напряжение должно иметь отрицательный знак.
      • Если ток проходит в положительном направлении через резистивный элемент, то вы используете закон Ома и добавляете -I i × R (падение напряжения на этом резисторе) для этого элемента. Если ток проходит в отрицательном направлении через резистивный элемент, вы добавляете + I i × R для этого элемента.
      • После того, как вы обошли контур, установите эту сумму всех напряжений равной 0. Повторите для всех контуров в цепи.

      Для каждого перехода сумма токов, протекающих в этом переходе, должна равняться сумме токов, вытекающих из этого перехода.Запишите это в виде уравнения.

      Теперь у вас должен быть набор одновременных уравнений, который позволит вам определять ток (или другие неизвестные величины) во всех ветвях цепи. Последний шаг - решить эту систему алгебраически.

    Примеры

    Пример 1: Рассмотрим следующую схему:

    Применяя шаг 1, для каждой ветви мы маркируем неизвестные токи.

    ••• na

    Применяя Шаг 2, мы выбираем направление для каждой петли в схеме следующим образом:

    ••• na

    Теперь мы применяем Шаг 3: Для каждой петли, начиная с одной точки и обходя в выбранном направлении складываем разности потенциалов по каждому элементу и устанавливаем сумму равной 0.

    Для цикла 1 на диаграмме мы получаем:

    -I_1 \ times 40 - I_3 \ times 100 + 3 = 0

    Для цикла 2 на диаграмме получаем:

    -I_2 \ times 75-2 + I_3 \ times 100 = 0

    Для шага 4 мы применяем правило соединения. На нашей диаграмме есть два соединения, но оба они дают эквивалентные уравнения. А именно:

    I_1 = I_2 + I_3

    Наконец, на шаге 5 мы используем алгебру для решения системы уравнений для неизвестных токов:

    Используйте уравнение соединения, чтобы подставить в уравнение первого контура:

    - (I_2 + I_3) \ times 40 - I_3 \ times 100 + 3 = -40I_2 - 140I_3 + 3 = 0

    Решите это уравнение для I 2 :

    I_2 = \ frac {3-140I_3} {40}

    Подставьте это в уравнение второго цикла:

    - [(3-140I_3) / 40] \ times 75-2 + 100I_3 = 0

    -3 \ times 75/40 + (140 \ times 75/40) I_3 - 2 + 100I_3 = 0 \\ \ подразумевает I_3 = (2 + 3 \ times 75/40) / (140 \ times 75/40 + 100) = 0.021 \ text {A}

    Используйте значение I 3 , чтобы найти I 2 :

    I_2 = (3-140 \ times (0,021)) / 40 = 0,0015 \ text {A}

    I_1 = I_2 + I_3 = 0,021 + 0,0015 = 0,0225 \ text {A}

    Итак, окончательный результат таков: I 1 = 0,0225 A, I 2 = 0,0015 A и I 3 = 0,021 A.

    Подстановка этих текущих значений в исходные уравнения проверяет правильность, поэтому мы можем быть достаточно уверены в результате!

    Попробуйте повторить эту же задачу еще раз, но сделайте другой выбор для ваших текущих меток и направлений петли.Если все сделать аккуратно, вы должны получить тот же результат, показывая, что первоначальный выбор действительно произвольный.

    (Обратите внимание, что если вы выберете разные направления для обозначенных токов, тогда ваши ответы для них будут отличаться знаком минус; однако результаты все равно будут соответствовать тому же направлению и величине тока в цепи.)

    Пример 2: Какова электродвижущая сила (ЭДС) ε батареи в следующей цепи? Какой ток в каждой ветке?

    ••• na

    Сначала мы маркируем все неизвестные токи.Пусть I 2 = ток вниз через среднюю ветвь и I 1 = ток вниз через крайнюю правую ветвь. Изображение уже показывает текущий I в крайнем левом ответвлении с маркировкой.

    Выбор направления по часовой стрелке для каждого контура и применение законов цепи Кирхгофа дает следующую систему уравнений:

    \ begin {align} & I_1 = I-I_2 \\ & \ varepsilon - 4I - 6I_2 + 8 = 0 \\ & - 12I_1 - 8 + 6I_2 = 0 \ end {align}

    Для решения замените I - I 2 на I 1 в третьем уравнении, а затем подставьте данное значение для I и решите это уравнение относительно I 2 .Когда вы знаете I 2 , вы можете подставить I и I 2 в первое уравнение, чтобы получить I 1 . Затем вы можете решить второе уравнение относительно ε . Следуя этим шагам, вы получите окончательное решение:

    \ begin {align} & I_2 ​​= 16/9 = 1,78 \ text {A} \\ & I_1 = 2/9 = 0,22 \ text {A} \\ & \ varepsilon = 32/3 = 10.67 \ text {V} \ end {align}

    Опять же, вы всегда должны проверять свои окончательные результаты, вставляя их в исходные уравнения.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *