7.2. Порядок решения задач на законы Кирхгофа

1. Нарисовать схему цепи. На рисунке выбрать и показать направления токов на всех участках цепи, при этом надо учесть, что в узел токи не могут только входить или только выходить из узла. Это следует из первого закона Кирхгофа.

2. Выбрать замкнутые контуры обхода для применения второго закона Кирхгофа. Показать на рисунке направление обхода по контуру. Контуров может быть несколько. Число независимых уравнений, которые можно составить по второму закону Кирхгофа, меньше чем число контуров. Чтобы составить необходимое число независимых уравнений надо придерживаться следующего правила: Выбирать контуры так, чтобы в каждый новый контур входил хотя бы один участок цепи, которого бы не было нив одном ранее рассмотренных контуров.

3. Используя первый закон Кирхгофа можно написать ( n – 1) уравнений, где n- число узлов в рассматриваемой цепи.

4. Воспользоваться вторым законом Кирхгофа и записать такое число уравнений, чтобы число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равнялось числу неизвестных величин в задаче. При этом надо учитывать следующее правило знаков: падение напряжения на каждом участке записывается со знаком «+», если направление обхода по этому участку совпадает с направлением тока на нем. И наоборот, если обход совершался по этому сопротивлению обратно направлению тока, то ставится знак « – ».

ЭДС записывается со знаком «+» в том случае, когда направление обхода совпадает с направлением поля сторонних сил в источнике тока и наоборот.

Поле сторонних сил внутри источника всегда направлено от отрицательного полюса к положительному.

5. Решить полученную систему уравнений и найти искомые величины.

В результате решения полученной системы уравнений определяемые величины могут получаться отрицательными. Отрицательное значение тока указывает на то, что фактическое направление тока на данном участке цепи обратно тому, которое мы выбрали.

7.3. Примеры решения задач на законы Кирхгофа

П р и м е р 1.

Два элемента с одинаковыми ЭДС e

1 = e2 = 2В и внутренними сопротивлениями r1 = 1 Ом, r2 = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R. Через первый элемент течет ток I1 = 1 А. Найдите сопротивление R, ток I2, текущий через второй элемент, и ток I, текущий через сопротивление R. Схема соединения показана на рисунке.

Дано:

e1 = e2 = 2 D;

r1 = 1 Ом;

r2 = 2 Ом;

I1 = 1 A

________

Найти:

I2 =? R=? I=?

Решение:

1.Выберем направления токов на всех участках цепи так, как показано на рисунке. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны разумно.

2. Выберем контуры обхода и покажем направления обхода по ним. Контуров выбрали два и нарисовали направления обхода по ним.

3. Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа. Узлов два, поэтому можно составить только одно уравнение, например для первого узла:

I1 + I2 - I = 0.

Токи, входящие в узел, пишем со знаком "+", а выходящие с знаком"–". Уравнение для второго узла будет тождественно первому.

4. Применим второй закон Кирхгофа для первого контура обхода. Падение напряжения на всех участках этого контура пишем со знаком «+», т.к. направление обхода на всех участках совпадает с направлением тока на этих участках

Uå = IR +I1 r.

В этот контур входит только один источник тока e1, и направление обхода по контуру совпадает с направлением поля сторонних сил, т.к. силы этого поля направлены от отрицательного полюса к положительному, т.е. вниз.

Запишем уравнение

IR + I1r1 = e1.

Для второго контура, рассуждая аналогично, получим U2 = +I2r2 + IR. ЭДС будет входить в уравнение также со знаком "+".

Второе уравнение имеет вид: I2R2 + IR = e2.

5. Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решая систему, находим величину тока I2

.

Полный ток через сопротивление R равен сумме токов

I = I1 + I2 = 1,5 A.

Сопротивление R находим из одного из уравнений системы:

.

Ответ: ток через второй источник равен I2 = 0,5 А, суммарный ток

I = I1 + I2

= 1,5 А. Внешнее сопротивление R = 0,66 Ом.

П р и м е р 2.

Два одинаковых элемента имеют ЭДС e1 = e2 = 2 В и внутренние сопротивления r1 = r 2 = 0,5 Ом. Найдите токи I1 и I2, текущие через сопротивления R1 = 0,5 Ом и R2 = 1,5 Ом, а также ток I через первый элемент. Схема заданной цепи изображена на рисунке.

Дано:

e1 = e2 = 2 В;

r1=r2=0,5 Ом;

R1 = 0,5 Ом;

R2 = 1,5 Ом

I1 – ? I2 – ? I – ?

Решение:

1. Выберем направления токов на всех участках так, как показано на рисунке. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны верно.

2. Выберем два контура обхода: большой и малый. Укажем направления обходов по контурам. Контуров обхода в заданной цепи можно выбрать три, но для нахождения трех неизвестных величин достаточно трех уравнений. Узлов всего два, поэтому можно составить только одно уравнение, применяя первый закон Кирхгофа. Недостающих два уравнения составим используя второй закон Кирхгофа.

3. Для первого узла запишем:

I2 + I1I = 0.

4. Учитывая правила определения знаков всех слагаемых при применении второй закон Кирхгофа для большого контура, получаем уравнение:

I r1 + I2r2 + I2R2 = e1 + e2.

Для малого контура:

I r1 + I1R1 = e1.

5.Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными величинами I1; I2 и I.

Решать систему линейных уравнений можно разными способами. В случае, когда система состоит из большого числа уравнений удобно пользоваться методом Крамера (методом определителей). Проиллюстрируем применение этого метода решения на нашей системе уравнений. Для этого перепишем систему ещё раз:

или в численном виде; если поделить правую и левую части второго и третьего уравнении на « 0,5» получим

Искомые величины токов по методу определителей находятся следующим образом: и ,

где определители - определитель системы уравнений, и -определители, которые получаются заменой соответствующих столбцов определителя столбцами, полученными из свободных членов уравнений образующих систему (с учетом заданных числовых значений). Запишем эти определители:

По приведенным выше формулам, получаем

и .

Значение третьего тока можно найти аналогичным способом, но проще его значение получить из первого уравнения нашей системы:

I2 + I1I = 0 или I =

I2 + I1 = 1,33 + 1,33 = 2,66 А

Знаки у всех полученных значений силы тока положительные, это свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, указанных на рисунке, все направления токов были выбраны правильно.

Ответ: I1 = 1,33 А ; I2 = 1.33 А;I = I1 + I2 = 2.66 А.

П р и м е р 3.

Два элемента с одинаковыми ЭДС 1 = 2 = 2В и внутренними сопротивлениями r1 = 1 Ом, r2 = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R. Через элемент с ЭДС 1 - течет ток I1 = 1 А. Найти сопротивление R и ток I2, текущий через элемент с ЭДС 2. Какой ток течет через сопротивление R. Схема соединения показана на рисунке.

Д ано:

1 = 2 = 2 D;

r1 = 1 Ом;

r2 = 2 Ом;

I1 = 1 A

__________

+I2 - ?

R - ? I - ?

Выберем направления токов на всех участках цепи. Видим, что в узлах 1 и 2 есть входящие и есть выходящие токи, значит, направления токов выбраны разумно.

Выберем контуры обхода и покажем направления обхода по ним.

Составим уравнение, используя первый закон Кирхгофа для первого узла:

I1 + I2 - I = 0.

Токи, входящие в узел, пишем со знаком "+", а входящие с "–". Всего можно написать одно уравнение, т.к. второе будет тождественно первому.

Воспользуемся вторым законом Кирхгофа. Запишем уравнение для первого контура обхода. Падение напряжения на всех участках 1-го контура напишем со знаком «+», т.к. направление обхода на этих участках совпадает с направлением тока

U = IR +I1 r.

В этот контур входит только ЭДС 1, и направление обхода по контуру совпадает с направлением поля сторонних сил, т.к. силы этого поля направлены от отрицательного полюса к положительному.

Запишем уравнение

IR + I1r1 = 1.

Для второго контура U2 = +I2r2 + IR. И ЭДС будет входить в уравнение также со знаком "+".

Запишем уравнение I2R2 + IR = 2.

Получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решая систему, получаем

.

Полный ток через сопротивление R равен сумме токов

I = I1 + I2 = 1,5 A.

Сопротивление R находим из одного из уравнений

.

Ответ. Ток через второй источник равен I2 = 0,5 А, суммарный ток

I = I1 + I2 = 1,5 А. Внешнее сопротивление

R = 2/3 Ом.

П р и м е р 4.

Два одинаковых элемента имеют ЭДС 1 = 2 = 2 В и внутренние сопротивления r1 = l2 =0,5 Ом. Найти токи I1 и I2, текущие через сопротивления R1 = 0,5 Ом и R2 = 1,5 Ом, а также ток I через элемент с ЭДС. Схема изображена на рисунке.

Д ано:

1 = 2 = 2 В;

r1 = r2 = 0,5 Ом;

R1 = 0,5 Ом;

R2 = 1,5 Ом

_____________

I1 - ?

I2 - ?

I - ?

Решение:

Выберем направления токов на всех участках. Запишем первый закон Кирхгофа для 1-го узла

I2 + I1 = I .

Выберем большой и малый контуры обхода. Для большого контура уравнение будет иметь вид:

Ir1 + I2r2 + I2R2 = 1 + 2.

Для малого контура

Ir1 + I1R1 = 1.{н}ох{Эй}это{Дж}=0}. В левой части равенства легко научиться координировать работы матрицы i = 1 n a i j U j = 0 (я = 1 н а я и Ю и j = 0) {\свойства стиль отображения значение A вектор-столбца A} {\свойства стиль отображения значение \mathbf u. поэтому первое правило Кирхгофа в матричной форме, гласит: {u} } {\свойства стиль отображения значение а\mathbf A u = 0.

В таком виде она допускает обобщение на токопроводящие поверхности. Искривленную поверхность проводимость зависит не только от точки, но и направление. другими словами, проводимость является функцией на касательные векторы к поверхности. если мы предположим, что касательное пространство это хорошо приближается к положительно определенной квадратичной форме, мы можем говорить о нем, как в Римановой метрики {u} =0} {\свойства стиль отображения значение g отличается от расстояния на поверхности в геометрической форме с учетом анизотропии электрических свойств. каждая точка поверхности может служить узел, и, следовательно, емкость будет не вектор, а функция g} {\свойства стиль отображения значение u на поверхности. аналог матрицы проводимостей является оператором Лапласа - Бельтрами ∆ u} {\свойства стиль отображения значение \компании Delta _{г}} метрики-проводимость, которая действует на пространстве гладких функций. первое правило Кирхгофа к поверхности читает точно так же: Δ g {\свойства стиль отображения значение \компании Delta _{г}У=0}. другими словами, потенциал есть гармоническая функция.

В этой связи, матрица g u = 0 (г У = 0) {\свойства стиль отображения значение A, который сопоставляет произвольной взвешенного графа, за исключением диагонали равен матрицы смежности, иногда называют дискретного лапласиана. аналоги теорем о гармонических функций, таких как наличие гармонических функций в области с области с заданным значением по краю, в результате свертки с некоторой ядра есть место для дискретных гармонических функций. назад проводящей поверхности можно аппроксимировать сетки резисторов, и дискретной гармонической функции на сетке аппроксимации гармонических функций на соответствующей поверхности. в этом случае компания интегратор gershgorina, аналоговые вычислительная машина, используемая для решения уравнения Лапласа в A} - 30-х лет 70-х века.

В случае проводящей поверхности, а не разность потенциалов, имеет смысл говорить о XX 1-форме {\свойства стиль отображения значение d u (д). связанные с показателями проводимости векторного поля du} {\свойства стиль отображения значение \mathrm g r a d g u (г р А Д Г) - это электрический ток на поверхности. первое правило Кирхгофа, это {grad} _{g}u} ({деления} _{г}у}) также гармоничный, который лежит в ядре Йыгева лапласиана определены дифференциальные формы. он дает подсказку, как правильно сформулировать закон Кирхгофа для случая, когда поле не потенциально, то есть 1-форма в результате нынешнего, рассматривается как векторное поле, используя проводимость, рассматриваемых как римановы метрики, должен быть гармоничным. зная ЭДС вокруг каждого топологически нетривиальные петли на поверхности, можно восстановить силу и направление течения в каждой точке, кроме того, единственный способ.{n}a_{ij}U_{j}=0}. В левой части равенства легко узнать координату произведения матрицы A {\displaystyle A} на вектор-столбец u {\displaystyle \mathbf {u} }. Итак, первое правило Кирхгофа в матричном виде гласит: A u = 0 {\displaystyle A\mathbf {u} =0}.

В таком виде оно допускает обобщение на проводящие поверхности. У криволинейной поверхности проводимость зависит не только от точки, но и от направления. Иными словами, проводимость является функцией на касательных векторах к поверхности. Если считать, что на касательных пространствах она хорошо приближается положительно определённой квадратичной формой, можно говорить о ней как о римановой метрике g {\displaystyle g} отличающейся от расстояния на поверхности как геометрической форме, учитывающей неизотропность её электрических свойств. Каждая точка поверхности может служить узлом, и потому потенциал будет уже не вектором, а функцией u {\displaystyle u} на поверхности. Аналогом же матрицы проводимостей будет оператор Лапласа - Бельтрами Δ g {\displaystyle \Delta _{g}} метрики-проводимости, который действует на пространстве гладких функций. Первое правило Кирхгофа для поверхности гласит ровно то же: Δ g u = 0 {\displaystyle \Delta _{g}u=0}. Иначе говоря, потенциал есть гармоническая функция.

В связи с этим матрицу A {\displaystyle A}, сопоставляемую произвольному взвешенному графу, за исключением диагонали равную матрице смежности, иногда называют дискретным лапласианом. Аналоги теорем о гармонических функциях, такие как существование гармонической функции в области с краем при заданных значениях на крае, получающейся свёрткой с некоторым ядром, имеют место и для дискретных гармонических функций. Обратно, проводящая поверхность может быть приближена сеткой сопротивлений, и дискретные гармонические функции на этой сетке приближают гармонические функции на соответствующей поверхности. На этом обстоятельстве основан интегратор Гершгорина, аналоговая вычислительая машина, использовавшаяся для решения уравнения Лапласа в 30-х - 70-х годах XX века.

В случае проводящей поверхности вместо разности потенциалов имеет смысл говорить об 1-форме d u {\displaystyle du}. Связанное с ней при помощи метрики-проводимости векторное поле g r a d g u {\displaystyle \mathrm {grad} _{g}u} - и есть электрический ток на этой поверхности. Согласно первому правилу Кирхгофа, эта 1-форма тоже гармонична то есть лежит в ядре ходжева лапласиана, определённого на дифференциальных формах. Это даёт ключ к тому, как правильно формулировать закон Кирхгофа для случая, когда поле не потенциально: именно, 1-форма, получающаяся из тока, рассматриваемого как векторное поле, при помощи проводимости, рассматриваемой как риманова метрика, должна быть гармонична. Зная электродвижущую силу вокруг каждого топологически нетривиального контура на поверхности, можно восстановить силу и направление тока в каждой точке, притом единственным способом. В частности, размерность пространства всевозможных токов равна размерности пространства топологически нетривиальных контуров. Этот факт был одним из оснований для открытия двойственности Пуанкаре; то обстоятельство, что электродвижущие силы определяют однозначно ток гармоническую 1-форму, является частным случаем теории Ходжа для 1-форм.{n}a_{ij}U_{j}=0}. В левой части равенства легко узнать координату произведения матрицы A {\displaystyle A} на вектор-столбец u {\displaystyle \mathbf {u} }. Итак, первое правило Кирхгофа в матричном виде гласит: A u = 0 {\displaystyle A\mathbf {u} =0}.

В таком виде оно допускает обобщение на проводящие поверхности. У криволинейной поверхности проводимость зависит не только от точки, но и от направления. Иными словами, проводимость является функцией на касательных векторах к поверхности. Если считать, что на касательных пространствах она хорошо приближается положительно определённой квадратичной формой, можно говорить о ней как о римановой метрике g {\displaystyle g} отличающейся от расстояния на поверхности как геометрической форме, учитывающей неизотропность её электрических свойств. Каждая точка поверхности может служить узлом, и потому потенциал будет уже не вектором, а функцией u {\displaystyle u} на поверхности. Аналогом же матрицы проводимостей будет оператор Лапласа - Бельтрами Δ g {\displaystyle \Delta _{g}} метрики-проводимости, который действует на пространстве гладких функций. Первое правило Кирхгофа для поверхности гласит ровно то же: Δ g u = 0 {\displaystyle \Delta _{g}u=0}. Иначе говоря, потенциал есть гармоническая функция.

В связи с этим матрицу A {\displaystyle A}, сопоставляемую произвольному взвешенному графу, за исключением диагонали равную матрице смежности, иногда называют дискретным лапласианом. Аналоги теорем о гармонических функциях, такие как существование гармонической функции в области с краем при заданных значениях на крае, получающейся свёрткой с некоторым ядром, имеют место и для дискретных гармонических функций. Обратно, проводящая поверхность может быть приближена сеткой сопротивлений, и дискретные гармонические функции на этой сетке приближают гармонические функции на соответствующей поверхности. На этом обстоятельстве основан интегратор Гершгорина, аналоговая вычислительая машина, использовавшаяся для решения уравнения Лапласа в 30-х - 70-х годах XX века.

В случае проводящей поверхности вместо разности потенциалов имеет смысл говорить об 1-форме d u {\displaystyle du}. Связанное с ней при помощи метрики-проводимости векторное поле g r a d g u {\displaystyle \mathrm {grad} _{g}u} - и есть электрический ток на этой поверхности. Согласно первому правилу Кирхгофа, эта 1-форма тоже гармонична то есть лежит в ядре ходжева лапласиана, определённого на дифференциальных формах. Это даёт ключ к тому, как правильно формулировать закон Кирхгофа для случая, когда поле не потенциально: именно, 1-форма, получающаяся из тока, рассматриваемого как векторное поле, при помощи проводимости, рассматриваемой как риманова метрика, должна быть гармонична. Зная электродвижущую силу вокруг каждого топологически нетривиального контура на поверхности, можно восстановить силу и направление тока в каждой точке, притом единственным способом. В частности, размерность пространства всевозможных токов равна размерности пространства топологически нетривиальных контуров. Этот факт был одним из оснований для открытия двойственности Пуанкаре; то обстоятельство, что электродвижущие силы определяют однозначно ток гармоническую 1-форму, является частным случаем теории Ходжа для 1-форм.

Правила Кирхгофа - проблемы и решения

1. Какое напряжение на клеммах аккумулятора в приведенной ниже схеме?

Решение

ЭДС = электродвижущая сила = разность потенциалов между клеммами при отсутствии тока во внешней цепи.

Напряжение на клеммах (В) = разность потенциалов между клеммами при прохождении тока от батареи.

Если от батареи не поступает ток, напряжение на клеммах равно ЭДС.

Известный:

Резистор 1 (R 1 ) = 2 Ом

Резистор 2 (R 2 ) = 4 Ом

Резистор 3 (R 3 ) = 4 Ом

ЭДС 1 (E 1 ) = 20 Вольт

ЭДС 2 (E 2 ) = 15 Вольт

Требуется: Напряжение на клеммах (В)

Решение 1:

Напряжение на клеммах:

В = E 1 - E 2 = 20-15 = 5 Вольт

Решение 2:

Рассчитать ток, протекающий в цепи (I)

Первый , выберите направление каждого тока.Направление может быть выбрано произвольно: если ток действительно в противоположном направлении, он выйдет со знаком минус в решении.

Затем, начиная с любой точки схемы, мы представляем, как путешествуем по петле, добавляя ЭДС и члены IR по мере приближения к ним.

Секунда , Когда мы путешествуем через источник в направлении от - до +, ЭДС считается положительной; когда мы перемещаемся от + к -, ЭДС считается отрицательной.

Третий , Когда мы проходим через резистор в том же направлении, что и предполагаемый ток, член IR отрицателен, потому что ток идет в направлении уменьшения потенциала. Когда мы проезжаем через резистор в направлении, противоположном предполагаемому току, член IR будет положительным, потому что это означает рост потенциала.

Направление тока выбирается таким же, как и по часовой стрелке:

E 1 - I R 1 - I R 2 - I R 3 - E 2 = 0

20 - I (2) - I (4) - I (4) - 15 = 0

20-15 - I (2) - I (4) - I (4) = 0

5-10 I = 0

5 = 10 я

I = 5/10

I = 0.5 ампер

В цепи протекает электрический ток 0,5 Ампер. Положительный знак электрического тока означает, что направление электрического тока совпадает с направлением по часовой стрелке.

Рассчитайте эквивалентный резистор (R):

Резистор 1 (R 1 ), резистор 2 (R 2 ) и резистор 3 (R 3 ) соединены последовательно. Эквивалентный резистор:

R = R 1 + R 2 + R 3 = 2 Ом + 4 Ом + 4 Ом = 10 Ом

Напряжение на клеммах резистора R (В)

В = I R = (0.5) (10) = 5 Вольт

2. В схеме, показанной на рисунке ниже, найдите мощность, рассеиваемую на резисторе 3 Ом.

Решение:

Известный:

Резистор 1 (R 1 ) = 2 Ом

Резистор 2 (R 2 ) = 3 Ом

Резистор 3 (R 3 ) = 4 Ом

ЭДС 1 (E 1 ) = 8 Вольт

ЭДС 2 (E 2 ) = 10 Вольт

Требуется: Мощность, рассеиваемая на резисторе 3 Ом

Решение:

Мощность, рассеиваемая на резисторе 3 Ом:

P = V I

P = мощность , V = напряжение e через 3-омный резистор , I = ток проходит через 3-омный резистор

Вычислить электрический ток (I) проходит через 3-омный резистор

Направление тока выбирается таким же, как и по часовой стрелке:

E 1 - I R 1 - I R 2 - I R 3 + E 2 = 0

8 - I (2) - I (3) - I (4) + 10 = 0

18–9 I = 0

18 = 9 я

I = 18/9

I = 2 А

В цепи протекает электрический ток 2 Ампера.Положительный знак электрического тока означает, что направление электрического тока совпадает с направлением по часовой стрелке.

Цепи соединены последовательно, так что электрический ток, протекающий в цепи, = электрический ток, проходящий через резистор 3 Ом = 2 Ампера.

Рассчитать напряжение (В) на резисторе 3 Ом

В = I R 2 = (2 А) (3 Ом) = 6 В

Мощность, рассеиваемая на резисторе 3 Ом:

P = V I = (6 Вольт) (2 Ампер) = 12 Вольт Ампер = 12 Вт

3.На основании схемы, показанной на рисунке ниже, какова разница потенциалов между точками A и B.

Известный:

Резистор 1 (R 1 ) = 2 Ом

Резистор 2 (R 2 ) = 3 Ом

Резистор 3 (R 3 ) = 4 Ом

ЭДС 1 (E 1 ) = 8 Вольт

ЭДС 2 (E 2 ) = 10 Вольт

Требуется: Разность потенциалов (В) между точками A и B

Решение:

Рассчитайте электрический ток (I) , протекающий в резисторе 3- Ом

Направление тока выбирается таким же, как и по часовой стрелке:

- E 1 - I R 1 - I R 2 - E 2 - I R 3 = 0

- 8 - I (2) - I (3) - 10 - I (4) = 0

- 18 - 9 I = 0

- 18 = 9 я

I = -18 / 9

I = - 2 А

В цепи протекает электрический ток 2 Ампера.Электрический ток со знаком минус означает направление электрического тока против часовой стрелки.

Цепи соединены последовательно, так что электрический ток, протекающий в цепи, = электрический ток, проходящий через резистор 3 Ом = 2 Ампера.

Рассчитайте разность потенциалов (В) на резисторе 3- Ом :

В = I R 2 = (2 А) (3 Ом) = 6 В

4. Какова разность потенциалов на резисторе R 3 , исходя из схемы, показанной на рисунке ниже.

Известный:

Резистор 1 (R 1 ) = 2 Ом

Резистор 2 (R 2 ) = 4 Ом

Резистор 3 (R 3 ) = 3 Ом

ЭДС 1 (E 1 ) = 6 Вольт

ЭДС 2 (E 2 ) = 9 Вольт

Требуется: Разность потенциалов на резисторе R 3

Решение:

Рассчитать электрический ток (I) проходит через резистор R 3

Направление тока выбирается таким же, как и по часовой стрелке:

E 1 - I R 1 - E 2 - I R 2 - I R 3 = 0

6 - 2I - 9 - 4I - 3I = 0

6-9 - 2I - 4I - 3I = 0

-3 - 9I = 0

-3 = 9I

I = -3/9

I = -1/3

В цепи протекает электрический ток 1/3 ампер.Электрический ток со знаком минус означает направление электрического тока против часовой стрелки.

Цепи соединены последовательно, так что электрический ток, протекающий в цепи, = электрический ток, проходящий через резистор R 3 = 1/3 Ампера.

Рассчитайте разность потенциалов (В) на резисторе R 3

В = I R 3 = (1/3) (3) = 1 В

5.Электрический потенциал между точками C и D = 4 В, найдите R!

Известный:

Резистор 1 (R 1 ) = 2 Ом

Резистор 2 (R 2 ) = 2 Ом

Резистор 3 (R 3 ) = R

ЭДС 1 (E 1 ) = 8 Вольт

ЭДС 2 (E 2 ) = 4 Вольт

Разность потенциалов между C и D (V CD ) = 4 В

Требуется: R

Решение:

В CD = I R

4 = I R

R = 4 / I

…………

Рассчитать электрический ток (I) проходит через резистор R

Направление тока выбирается таким же, как и по часовой стрелке:

- E 1 - 2I + E 2 - 2I - IR = 0

- 8 - 2I + 4 - 2I - I (4 / I) = 0

- 8 - 2I + 4 - 2I - 4 = 0

- 8 + 4 - 4 - 2I - 2I = 0

- 8 - 4I = 0

- 8 = 4I

I = -8 / 4

I = -2 А

В цепи протекает электрический ток 2 Ампера.Электрический ток со знаком минус означает направление электрического тока против часовой стрелки.

Цепи соединены последовательно, так что электрический ток, протекающий в цепи, = электрический ток, проходящий через резистор R = 2 Ампера.

R:

R = 4 / I = 4/2 = 2 Ом

Практические задачи: решения правил Кирхгофа

Практические проблемы: решения правил Кирхгофа

1.(умеренно) Студент утверждает, что правило петли, примененное к простой электрической цепи, подтверждает принцип сохранения заряда. Прав ли ученик? Объясните свой ответ.
Ученик не верный. Правило цикла основано на сохранении энергии. Когда заряды движутся по петле, они испытывают различные изменения электрического потенциала. Поскольку заряд, умноженный на электрический потенциал, представляет собой электрическую потенциальную энергию, правило контура количественно определяет тот факт, что в контуре замкнутой цепи нет чистого выигрыша энергии.Возможно, студент путает правило цикла с правилом точек, поскольку правило точек связано с сохранением заряда.

2. (средний) Студент анализирует простую электрическую цепь, так что следующее правило цикла точно описывает, как электрический потенциал изменяется в контуре.
12 - 15I - 25I - 9I = 0
Определите ток в контуре, а затем создайте графическое представление этого правила контура. Предположим, что одна точка в контуре заземлена.

3.(умеренно) Используйте правила Кирхгофа для определения показаний счетчика в схеме, показанной ниже.


По правилу петли:
50 - 5I - 10 I - 5I = 0
50 = 20I
I = 2,5 A
(Это показание амперметра)
Для резисторов, В R = IR
Для каждых 5 Резистор Ом: В 5 = 2,5 (5) = 12,5 В
(Это показания на верхнем и нижнем вольтметрах)
Для резистора 10 Ом: В 10 = 2,5 (10) = 25 В
(Это показание на левом вольтметре)
Для оставшегося вольтметра: V = V 5 + V 10 = 12.5 + 25 = 37,5 v

4. (средняя) Найдите разность потенциалов V AB в схеме, показанной ниже.

5. (умеренный) Найдите токи в цепи, показанной ниже.

6. (умеренное) Найдите падение напряжения на каждом резисторе в схеме, показанной ниже.

7. (умеренная) Найдите разность потенциалов V AB в схеме, показанной ниже.

Правила Кирхгофа: примеры решенных задач

Решенные примеры проблем: первое правило Кирхгофа (правило тока или правило соединения), второе правило Кирхгофа (правило напряжения или правило петли), мост Уитстона, мост счетчика


Первое правило Кирхгофа (текущее правило или правило соединения): решенные примеры проблем

ПРИМЕР 2.20

Из данной схемы найдите значение I.


Решение

Применяя правило Кирхгофа к точке P в схеме,

Стрелки, указывающие на P, положительны, а от P - отрицательны.

Следовательно, 0,2 А - 0,4 А + 0,6 А - 0,5 А + 0,7 А - I = 0

1,5 А - 0,9 А - I = 0

0,6 А - I = 0

I = 0,6 А

Второе правило Кирхгофа (правило напряжения или правило петли): решенные примеры проблем

ПРИМЕР 2.21

На следующем рисунке показана сложная сеть проводников, которую можно разделить на два замкнутых контура, такие как ACE и ABC. Примените правило Кирхгофа по напряжению.


Решение

Таким образом, применение второго закона Кирхгофа к замкнутому циклу EACE

I 1 R 1 + I 2 R 2 + I 3 R 3 = ξ

и для замкнутого контура ABCA

I 4 R 4 + I 5 R 5- I 2 R 2 = 0

ПРИМЕР 2.22

Рассчитайте ток, протекающий через резистор 1 Ом в следующей схеме.


Решение


Мы можем обозначить ток, который течет от батареи 9 В, как I1, и он разделяется на I2 и I1 - I2 в соединении согласно правилу тока Кирхгофа (KCR). Это показано ниже.

Теперь рассмотрим петлю EFCBE и применим KVR, получаем

1I2 + 3I1 + 2I1 = 9

5I1 + I2 = 9 (1)

Применяя KVR к петле EADFE, мы получаем

3 (I1 - I2 ) - 1I2 = 6

3I1 - 4I2 = 6 (2)

Решая уравнения (1) и (2), получаем

I1 = 1.83 A и I2 = -0,13 A

Это означает, что ток в резисторе 1 Ом течет от F к E.

Мост Уитстона: решенные примеры проблем

ПРИМЕР 2.23

В мосте Уитстона P = 100 Ом, Q = 1000 Ом и R = 40 Ом. Если гальванометр показывает нулевое отклонение, определите значение S.

Решение


ПРИМЕР 2.24

Какое значение имеет значение x , когда сеть Уитстона сбалансирована?

P = 500 Ом, Q = 800 Ом, R = x + 400, S = 1000 Ом


Решение

P / Q = R / S


x + 400 = 0.625 × 1000

x + 400 = 625

x = 625-400

x = 225 Ом

Измерительный мост: решенные примеры проблем

ПРИМЕР 2.25

В измерительном мосту со стандартным сопротивлением 15 Ом в правый зазор, соотношение балансировочной длины 3: 2. Найдите значение другого сопротивления.

Раствор


ПРИМЕР 2.25

В метровом мосту значение сопротивления в ячейке сопротивления составляет 10 Ом.Балансировочная длина л 1 = 55 см. Найдите значение неизвестного сопротивления.

Решение

Q = 10 Ом

Учебные материалы, примечания к лекциям, задания, ссылки, объяснение описания Wiki, краткие сведения

Законы Кирхгофа

  • Действующий закон Кирхгофа (KCL)

  • Закон Кирхгофа о напряжении (KVL)

Действующий закон Кирхгофа (KCL) :

Алгебраическая сумма всех токов, входящих в узел, всегда должна быть равна нулю

, где i n - это n -й ток .N - количество ветвей.

Обычное задание:

  1. , если ток входит в узел, присвойте отрицательный знак «-» и
  2. , если ток покидает узел, присвойте положительный знак «+».

Для следующего рисунка

Уравнение узла можно записать как

Чтобы использовать KCL для анализа схемы,

  1. Напишите уравнения KCL для токов

  2. Используйте закон Ома, чтобы записать токи через напряжения Боде (одно уравнение для каждого резистора)

  3. Решить, чтобы найти значения узлового напряжения и тока


Пример: Найдите ток через сопротивление 20 Ом и ток через сопротивление 40 Ом


Закон Кирхгофа о напряжении (KVL):

Алгебраическая сумма всех напряжений в замкнутом контуре всегда должна быть равна нулю.

, где v n - напряжение n -го . N - количество элементов в контуре

Обычное задание:

  1. Если положительная (+) сторона напряжения встречается первой, присвойте положительный знак «+» напряжению на элементе.
  2. Если сначала встречается отрицательная (-) сторона напряжения, присвойте отрицательный знак «-» напряжению на элементе.

Для следующего рисунка

Чтобы использовать KVL для анализа схемы,

  1. Напишите уравнения КВЛ для напряжений

  2. Используйте закон Ома, чтобы записать напряжения через сопротивления и токи.

  3. Решите, чтобы найти значения токов, а затем напряжений.


Примеры:

Пример 2 : Найдите ток i и напряжение v на каждом резисторе.


Пример 3: Найдите v1 и v2 в следующей схеме
(примечание: стрелки указывают положительное положение прямоугольника, а отрицательное - в конце поля)


Пример 4 : Найдите V1, V2 и V3.
(примечание: стрелки указывают положительное положение поля, а отрицательное - в конце поля)


Пример 5: Найдите V1, V2, V3 и V4
(примечание: стрелки указывают положительное положение поля, а отрицательное - в конце поля)


Практические задачи :

(Щелкните изображение, чтобы просмотреть решение)

Задача 1: Найдите V1 в следующей схеме.

Просмотреть решение


Задача 2: Найдите V0 в следующей схеме.

Просмотреть решение


Задача 3: Найдите V1, V2 и V3 в следующей схеме.

Просмотреть решение


Задача 4 : Найдите I 1 , I 2 , I 3 в следующей схеме

Просмотреть решение


Проблема 5 : Найдите значение резистора R в следующей схеме.

Просмотреть решение


Упражнения:
  1. В 1 = 8 В, В 2 = -4 В, В 4 = 14 В. Найдите V 3 и V 5 в следующей схеме

  2. Найдите V x и V y в следующей схеме
  3. Найдите V x , V y и V z в следующей схеме
  4. Найдите уравнения узлов KCL в узлах A, B, C и D

  5. Если I 1 = 4A, I 2 = 5A и I 3 = 3A, то с помощью KCL найдите I 4 и, I 5 в следующей схеме
    Ответы:
    1. В 3 = 12 В и В 5 = -2 В
    2. В x = 12 В и В y = 9 В
    3. V x = 35 В, V y = 5 В и V z = 15 В
    4. На узле A:

      На узле B:

      На узле C:

      На узле D:

    5. I 4 = 2A и I 5 = 1A

Лекция (L2-2) Законы Кирхгофа (KCL, KVL)

Вопрос дня:
Что такое законы Кирхгофа и как их применять? (Напишите себе поваренную книгу с подробностями для решения неизвестных I и V в схемах с использованием KCL и KVL).
Самооценка: ECE1250_Assess2_2.pdf

Введение: Законы Кирхгофа - это первый из нескольких методов, которые мы будем использовать для решения схемных проблем. Мы также будем использовать этот метод, чтобы ПОЛУЧИТЬ несколько других методов. Две основные концепции законов Кирхгофа являются ключевыми в электротехнике: (1) сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю и (2) сумма токов, приходящих в узел, = сумма выходящих токов.

Справочный материал:

Учебник: Глава 2-2

Поваренная книга: законы Кирхгофа KCL KVL на одной странице.pdf

Поваренная книга KVL KCl с матрицами.pdf

Поваренная книга (подробнее): KVL KCL Eq'ns и Cookbook: KVL KCL Complete Guide

Карты ECE Toolbox для планирования процедуры решения KVL languages.pdf

Делители напряжения и тока: поваренная книга VI.pdf

Видео-лекция:

L (2-2) Законы Кирхгофа KVL, KCL

Power Point для заметок: L (2-2) - законы Кирхгофа KCL KVL [режим совместимости].pdf

Указатель для L (2-2): pdf | docx

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ:

Ниже я привел несколько дополнительных примеров. Вам НЕ нужно смотреть их перед уроком. Они здесь для вашего будущего обзора по мере необходимости.

1. Дополнительный (Furse) видео пример законов Кирхгофа:

kvl.pdf (для заметок)

квл Пример закона Кирхгофа (с настроенной матрицей)

2. И еще пример

1 Уравнения KVL / KCL для получения I2 из I и V найти мощность

3 Найдите напряжения в узлах 4 Набор инструментов ECE

4. Дополнительные практические примеры (спасибо Арну Столпу):

Дополнительные примеры законов Кирхгофа.pdf

5. Другой пример, аналогичный задаче 2.27

Пример Кирхгофа

6. Дополнительные примеры

R последовательно и параллельно (2) и KVCL с Matlab и контрольными схемами.pdf

7. KVL KCL.pdf

8. Наши домашние задания в виде матричных уравнений:

Домашнее задание КВЛ с использованием матричных уравнений.pdf

проблема 2.27 неправильный и правильный путь.pdf

Еще

примера из книги.pdf

9. Примеры из концептуальных инструментов доктора Коттера:

C Цирк: Кирхгоф: узел i sum

C Цикл: петля Кирхгофа: v

C Цирк: Кирхгоф: v i eqn's: Ex1

C Цирк: Кирхгоф: v i eqn's: Ex2

C Цирк: Кирхгоф: решить: Ex1

C Circ: Кирхгоф: решить: Ex2

Другие примеры KVL / KCL:

Q2solSu19.pdf

Q2 sol Su18.pdf

Q2solU17.pdf

Q2sol su16.pdf

В классе: (принесите свои заметки из Вопроса дня)

Урок 9 - Решение цепей по законам Кирхгофа


«Покупка DVD с репетитором по алгебре, математике и физике была лучшим вложением в образование».

«В прошлом семестре я перешел с« C »на
и получил« пятерку »!»

Лес Дж.
Матаван, Нью-Джерси


«DVD-диски Math Tutor просто фантастические!
Джейсон представляет материал в ясной,
и хорошо организованной форме.

Я был полностью
напуган физикой,
, но сразу после первой лекции я почувствовал себя непринужденно».

S. Deeds-Rubin
Лос-Анджелес, CA


"Ваши методы настолько ясны, что мой семилетний сын, которому
год, усваивал уроки тригонометрии. Я тоже подбираю
новый материал.«

Гэри Г.


«Смотреть справочные видео по математике - это замечательно, потому что, работая над задачами, вы показываете и объясняете каждый шаг».

М. Далримпл
Ланкастер, Калифорния

«Все инструкции
и примеры на DVD с репетитором математики очень четко объяснены, а стиль преподавания Джейсона определенно делает зрителя очень комфортным с представленным материалом».

Д.Forbes
Мидлтаун, штат Нью-Джерси


«Я нашел лекции
очень четкими, прямо по делу, и темп был как раз для меня, который не видел никаких расчетов или триггеров за последние 10 лет и должен быстро набрать скорость».

София


"Просто хотел сообщить вам, что благодаря
основанию, которое я получил от вашего DVD с справкой по математике (особенно DVD с предварительным расчетом), я смог сдать свой курс предварительного расчета в этом семестре на пятерку!"

Дж.Ректон

"У вас серьезный педагогический дар.
Доказательство того, что я смотрю ваши DVD, когда обычно я
гуляю. Никогда не думал, что смогу выучить математику. Я сразу перехожу к математике, а затем к физике. Я действительно наслаждайтесь этим, и я подумываю о смене карьеры. Отличная работа! "

Д. Смит

законов Кирхгофа

законов Кирхгофа

Кирхгофа законы

Большинство проблем со схемой мы сталкиваемся, может быть решена путем многократного применения правил добавления резисторы, включенные последовательно или параллельно, пока проблема не будет уменьшена до одна из батареи, подключенной к единственному резистору.

Но для решения более сложных схемных проблем, например, с большим количеством чем одна батарея, иногда необходимо вместо этого писать уравнения основанный на законах Кирхгофа, которые являются формальными математическими утверждениями двух физических фактов, которые вы уже знаете:

  • Закон Кирхгофа № 1 гласит, что напряжение изменяется вокруг замкнутого пути в цепи сложить до нуля, где изменение напряжения D V = ЭДС в проходе аккумулятор от - терминала до + терминала считается быть позитивным, и изменение напряжения D V = I R в проходе резистор в предполагаемом направлении тока I считается отрицательным.,
  • Закон Кирхгофа № 2 гласит, что сумма токов, входящих в любой узел (т. е. любое соединение провода) равняется сумме токов, выходящих из этого узла.
  • Первый закон просто повторяет то, что вы уже знаете об электрическом потенциале: каждая точка в цепь имеет уникальное значение потенциала, поэтому путешествуя по цепь по любому пути должна вернуть вас к потенциалу, который вы началось с.Используя аналогию на возвышенность, если вы идете пешком с любой начальной точки в горах и бродить по любому пути, но закончить на исходном старте точка, сумма изменения высоты вдоль вашего пути в сумме будут равны нулю.

    Второй закон просто подтверждает тот факт, что электрический заряд сохраняется: электроны или протоны не создаются и не разрушаются в узле (или, если они есть, античастицы с противоположным зарядом) создаются или уничтожаются вместе с ними), поэтому в любой момент времени Интервал, входящий заряд равен заряду листьев.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *