Содержание

Работа, мощность, энергия – Физика – Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Механическая работа

К оглавлению…

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы. Работой, совершаемой постоянной силой F, называется физическая величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла между векторами силы F и перемещения S:

Работа является скалярной величиной. Она может быть как положительна (0° ≤ α < 90°), так и отрицательна (90° < α ≤ 180°). При α = 90° работа, совершаемая силой, равна нулю. В системе СИ работа измеряется в джоулях (Дж). Джоуль равен работе, совершаемой силой в 1 ньютон на перемещении 1 метр в направлении действия силы.

Если же сила изменяется с течением времени, то для нахождения работы строят график зависимости силы от перемещения и находят площадь фигуры под графиком – это и есть работа:

Примером силы, модуль которой зависит от координаты (перемещения), может служить сила упругости пружины, подчиняющаяся закону Гука (

Fупр = kx).

 

Мощность

К оглавлению…

Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Мощность P (иногда обозначают буквой N) – физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа:

По этой формуле рассчитывается средняя мощность, т.е. мощность обобщенно характеризующая процесс. Итак, работу можно выражать и через мощность: A = Pt (если конечно известна мощность и время совершения работы). Единица мощности называется ватт (Вт) или 1 джоуль за 1 секунду. Если движение равномерное, то:

По этой формуле мы можем рассчитать мгновенную мощность

(мощность в данный момент времени), если вместо скорости подставим в формулу значение мгновенной скорости. Как узнать, какую мощность считать? Если в задаче спрашивают мощность в момент времени или в какой-то точке пространства, то считается мгновенная. Если спрашивают про мощность за какой-то промежуток времени или участок пути, то ищите среднюю мощность.

КПД – коэффициент полезного действия, равен отношению полезной работы к затраченной, либо же полезной мощности к затраченной:

Какая работа полезная, а какая затраченная определяется из условия конкретной задачи путем логического рассуждения. К примеру, если подъемный кран совершает работу по подъему груза на некоторую высоту, то полезной будет работа по поднятию груза (так как именно ради нее создан кран), а затраченной – работа, совершенная электродвигателем крана.

Итак, полезная и затраченная мощность не имеют строгого определения, и находятся логическим рассуждением. В каждой задаче мы сами должны определить, что в этой задаче было целью совершения работы (полезная работа или мощность), а что было механизмом или способом совершения всей работы (затраченная мощность или работа).

В общем случае КПД показывает, как эффективно механизм преобразует один вид энергии в другой. Если мощность со временем изменяется, то работу находят как площадь фигуры под графиком зависимости мощности от времени:

 

Кинетическая энергия

К оглавлению…

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела (энергией движения):

То есть если автомобиль массой 2000 кг движется со скоростью 10 м/с, то он обладает кинетической энергией равной Ек = 100 кДж и способен совершить работу в 100 кДж. Эта энергия может превратиться в тепловую (при торможении автомобиля нагревается резина колес, дорога и тормозные диски) или может быть потрачена на деформацию автомобиля и тела, с которым автомобиль столкнулся (при аварии). При вычислении кинетической энергии не имеет значения куда движется автомобиль, так как энергия, как и работа, величина скалярная.

Тело обладает энергией, если способно совершить работу. Например, движущееся тело обладает кинетической энергией, т. е. энергией движения, и способно совершать работу по деформации тел или придания ускорения телам, с которыми произойдёт столкновение.

Физический смысл кинетической энергии: для того чтобы покоящееся тело массой m стало двигаться со скоростью v необходимо совершить работу равную полученному значению кинетической энергии. Если тело массой m движется со скоростью v, то для его остановки необходимо совершить работу равную его первоначальной кинетической энергии. При торможении кинетическая энергия в основном (кроме случаев соударения, когда энергия идет на деформации) «забирается» силой трения.

Теорема о кинетической энергии: работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии тела:

Теорема о кинетической энергии справедлива и в общем случае, когда тело движется под действием изменяющейся силы, направление которой не совпадает с направлением перемещения. Применять данную теорему удобно в задачах на разгон и торможение тела.

 

Потенциальная энергия

К оглавлению…

Наряду с кинетической энергией или энергией движения в физике важную роль играет понятие потенциальной энергии или энергии взаимодействия тел.

Потенциальная энергия определяется взаимным положением тел (например, положением тела относительно поверхности Земли). Понятие потенциальной энергии можно ввести только для сил, работа которых не зависит от траектории движения тела и определяется только начальным и конечным положениями (так называемые

консервативные силы). Работа таких сил на замкнутой траектории равна нулю. Таким свойством обладают сила тяжести и сила упругости. Для этих сил можно ввести понятие потенциальной энергии.

Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести Земли рассчитывается по формуле:

Физический смысл потенциальной энергии тела: потенциальная энергия равна работе, которую совершает сила тяжести при опускании тела на нулевой уровень (h – расстояние от центра тяжести тела до нулевого уровня). Если тело обладает потенциальной энергией, значит оно способно совершить работу при падении этого тела с высоты h до нулевого уровня. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком:

Часто в задачах на энергию приходится находить работу по поднятию (переворачиванию, доставанию из ямы) тела. Во всех этих случаях нужно рассматривать перемещение не самого тела, а только его центра тяжести.

Потенциальная энергия Ep зависит от выбора нулевого уровня, то есть от выбора начала координат оси OY. В каждой задаче нулевой уровень выбирается из соображения удобства. Физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а ее изменение при перемещении тела из одного положения в другое. Это изменение не зависит от выбора нулевого уровня.

Потенциальная энергия растянутой пружины рассчитывается по формуле:

где: k – жесткость пружины. Растянутая (или сжатая) пружина способна привести в движение прикрепленное к ней тело, то есть сообщить этому телу кинетическую энергию.

Следовательно, такая пружина обладает запасом энергии. Растяжение или сжатие х надо рассчитывать от недеформированного состояния тела.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела равна работе силы упругости при переходе из данного состояния в состояние с нулевой деформацией. Если в начальном состоянии пружина уже была деформирована, а ее удлинение было равно x1, тогда при переходе в новое состояние с удлинением x2 сила упругости совершит работу, равную изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком (так как сила упругости всегда направлена против деформации тела):

Потенциальная энергия при упругой деформации – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.

Работа силы трения зависит от пройденного пути (такой вид сил, чья работа зависит от траектории и пройденного пути называется: диссипативные силы

). Понятие потенциальной энергии для силы трения вводить нельзя.

 

Коэффициент полезного действия

К оглавлению…

Коэффициент полезного действия (КПД) – характеристика эффективности системы (устройства, машины) в отношении преобразования или передачи энергии. Он определяется отношением полезно использованной энергии к суммарному количеству энергии, полученному системой (формула уже приведена выше).

КПД можно рассчитывать как через работу, так и через мощность. Полезная и затраченная работа (мощность) всегда определяются путем простых логических рассуждений.

В электрических двигателях КПД – отношение совершаемой (полезной) механической работы к электрической энергии, получаемой от источника. В тепловых двигателях – отношение полезной механической работы к затрачиваемому количеству теплоты. В электрических трансформаторах – отношение электромагнитной энергии, получаемой во вторичной обмотке, к энергии, потребляемой первичной обмоткой.

В силу своей общности понятие КПД позволяет сравнивать и оценивать с единой точки зрения такие различные системы, как атомные реакторы, электрические генераторы и двигатели, теплоэнергетические установки, полупроводниковые приборы, биологические объекты и т. д.

Из–за неизбежных потерь энергии на трение, на нагревание окружающих тел и т.п. КПД всегда меньше единицы. Соответственно этому КПД выражается в долях затрачиваемой энергии, то есть в виде правильной дроби или в процентах, и является безразмерной величиной. КПД характеризует как эффективно работает машина или механизм. КПД тепловых электростанций достигает 35–40%, двигателей внутреннего сгорания с наддувом и предварительным охлаждением – 40–50%, динамомашин и генераторов большой мощности – 95%, трансформаторов – 98%.

Задачу, в которой нужно найти КПД или он известен, надо начать с логического рассуждения – какая работа является полезной, а какая затраченной.

 

Закон сохранения механической энергии

К оглавлению…

Полной механической энергией называется сумма кинетической энергии (т.е. энергии движения) и потенциальной (т.е. энергии взаимодействия тел силами тяготения и упругости):

Если механическая энергия не переходит в другие формы, например, во внутреннюю (тепловую) энергию, то сумма кинетической и потенциальной энергии остаётся неизменной. Если же механическая энергия переходит в тепловую, то изменение механической энергии равно работе силы трения или потерям энергии, или количеству выделившегося тепла и так далее, другими словами изменение полной механической энергии равно работе внешних сил:

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему (т.е. такую в которой не действует внешних сил, и их работа соответственно равна нолю) и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается неизменной:

Это утверждение выражает закон сохранения энергии (ЗСЭ) в механических процессах. Он является следствием законов Ньютона. Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой силами упругости и тяготения. Во всех задачах на закон сохранения энергии всегда будет как минимум два состояния системы тел. Закон гласит, что суммарная энергия первого состояния будет равна суммарной энергии второго состояния.

Алгоритм решения задач на закон сохранения энергии:

  1. Найти точки начального и конечного положения тела.
  2. Записать какой или какими энергиями обладает тело в данных точках.
  3. Приравнять начальную и конечную энергию тела.
  4. Добавить другие необходимые уравнения из предыдущих тем по физике.
  5. Решить полученное уравнение или систему уравнений математическими методами.

Важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими силами действуют силы трения или силы сопротивления среды. Работа силы трения зависит от длины пути.

Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется. Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание). Таким образом энергия в целом (т.е. не только механическая) в любом случае сохраняется.

При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую. Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии.

Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum mobile) – машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу, не расходуя при этом энергии.

 

Разные задачи на работу

К оглавлению…

Если в задаче требуется найти механическую работу, то сначала выберите способ её нахождения:

  1. Работу можно найти по формуле: A = FS∙cosα. Найдите силу, совершающую работу, и величину перемещения тела под действием этой силы в выбранной системе отсчёта. Обратите внимание, что угол должен быть выбран между векторами силы и перемещения.
  2. Работу внешней силы можно найти, как разность механической энергии в конечной и начальной ситуациях. Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела.
  3. Работу по подъёму тела с постоянной скоростью можно найти по формуле: A = mgh, где h – высота, на которую поднимается центр тяжести тела.
  4. Работу можно найти как произведение мощности на время, т.е. по формуле: A = Pt.
  5. Работу можно найти, как площадь фигуры под графиком зависимости силы от перемещения или мощности от времени.

 

Закон сохранения энергии и динамика вращательного движения

К оглавлению…

Задачи этой темы являются достаточно сложными математически, но при знании подхода решаются по совершенно стандартному алгоритму. Во всех задачах Вам придется рассматривать вращение тела в вертикальной плоскости. Решение будет сводиться к следующей последовательности действий:

  1. Надо определить интересующую Вас точку (ту точку, в которой необходимо определить скорость тела, силу натяжения нити, вес и так далее).
  2. Записать в этой точке второй закон Ньютона, учитывая, что тело вращается, то есть у него есть центростремительное ускорение.
  3. Записать закон сохранения механической энергии так, чтобы в нем присутствовала скорость тела в той самой интересной точке, а также характеристики состояния тела в каком-нибудь состоянии про которое что-то известно.
  4. В зависимости от условия выразить скорость в квадрате из одного уравнения и подставить в другое.
  5. Провести остальные необходимые математические операции для получения окончательного результата.

При решении задач надо помнить, что:

  • Условие прохождения верхней точки при вращении на нити с минимальной скоростью – сила реакции опоры N в верхней точке равна 0. Такое же условие выполняется при прохождении верхней точки мертвой петли.
  • При вращении на стержне условие прохождения всей окружности: минимальная скорость в верхней точке равна 0.
  • Условие отрыва тела от поверхности сферы – сила реакции опоры в точке отрыва равна нулю.

 

Неупругие соударения

К оглавлению…

Закон сохранения механической энергии и закон сохранения импульса позволяют находить решения механических задач в тех случаях, когда неизвестны действующие силы. Примером такого рода задач является ударное взаимодействие тел.

Ударом (или столкновением) принято называть кратковременное взаимодействие тел, в результате которого их скорости испытывают значительные изменения. Во время столкновения тел между ними действуют кратковременные ударные силы, величина которых, как правило, неизвестна. Поэтому нельзя рассматривать ударное взаимодействие непосредственно с помощью законов Ньютона. Применение законов сохранения энергии и импульса во многих случаях позволяет исключить из рассмотрения сам процесс столкновения и получить связь между скоростями тел до и после столкновения, минуя все промежуточные значения этих величин.

С ударным взаимодействием тел нередко приходится иметь дело в обыденной жизни, в технике и в физике (особенно в физике атома и элементарных частиц). В механике часто используются две модели ударного взаимодействия – абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание). Для описания любых ударов Вам нужно записать и закон сохранения импульса, и закон сохранения механической энергии с учетом выделяющейся теплоты (предварительно крайне желательно сделать рисунок).

 

Абсолютно упругий удар

К оглавлению…

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел. Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара. При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии. Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя.

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров. Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения. Центральный удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой.

Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударения двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров. В этом случае векторы скоростей шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу.

 

Законы сохранения. Сложные задачи

К оглавлению…

Несколько тел

В некоторых задачах на закон сохранения энергии тросы с помощью которых перемещаются некие объекты могут иметь массу (т.е. не быть невесомыми, как Вы могли уже привыкнуть). В этом случае работу по перемещению таких тросов (а именно их центров тяжести) также нужно учитывать.

Если два тела, соединённые невесомым стержнем, вращаются в вертикальной плоскости, то:

  1. выбирают нулевой уровень для расчёта потенциальной энергии, например на уровне оси вращения или на уровне самой нижней точки нахождения одного из грузов и обязательно делают чертёж;
  2. записывают закон сохранения механической энергии, в котором в левой части записывают сумму кинетической и потенциальной энергии обоих тел в начальной ситуации, а в правой части записывают сумму кинетической и потенциальной энергии обоих тел в конечной ситуации;
  3. учитывают, что угловые скорости тел одинаковы, тогда линейные скорости тел пропорциональны радиусам вращения;
  4. при необходимости записывают второй закон Ньютона для каждого из тел в отдельности.
Разрыв снаряда

В случае разрыва снаряда выделяется энергия взрывчатых веществ. Чтобы найти эту энергию надо от суммы механических энергий осколков после взрыва отнять механическую энергию снаряда до взрыва. Также будем использовать закон сохранения импульса, записанный, в виде теоремы косинусов (векторный метод) или в виде проекций на выбранные оси.

Столкновения с тяжёлой плитой

Пусть навстречу тяжёлой плите, которая движется со скоростью v, движется лёгкий шарик массой m со скоростью uн. Так как импульс шарика много меньше импульса плиты, то после удара скорость плиты не изменится, и она будет продолжать движение с той же скоростью и в том же направлении. В результате упругого удара, шарик отлетит от плиты. Здесь важно понять, что не поменяется скорость шарика относительно плиты. В таком случае, для конечной скорости шарика получим:

Таким образом, скорость шарика после удара увеличивается на удвоенную скорость стены. Аналогичное рассуждение для случая, когда до удара шарик и плита двигались в одном направлении, приводит к результату согласно которому скорость шарика уменьшается на удвоенную скорость стены:

Задачи о максимальных и минимальных значениях энергии сталкивающихся шаров

В задачах такого типа главное понять, что потенциальная энергия упругой деформации шаров максимальна, если кинетическая энергия их движения минимальна – это следует из закона сохранения механической энергии. Сумма кинетических энергий шаров минимальна в тот момент, когда скорости шаров будут одинаковы по величине и направлены в одном направлении. В этот момент относительная скорость шаров равна нулю, а деформация и связанная с ней потенциальная энергия максимальна.

Физика. Механика

Представим снова элементарную работу в виде

Удельная величина, равная отношению работы совершенной за время dt к этому времени, называется мощностью:

Другими словами, мощность, развиваемая некоторой силой, равна скорости, с которой эта сила производит работу. Можно сказать и так: средняя за единицу времени мощность численно равна работе совершенной за единицу времени. Если мощность за выбранную единицу времени практически не меняется, то слово «средняя» можно опустить: мощность численно равна работе за единицу времени.

Как видно из определения, мощность равна скалярному произведению силы на скорость перемещения её точки приложения, поэтому работа силы за время от t1 до t2 может быть вычислена следующим образом:

Средняя мощность за этот же промежуток времени равна

За единицу мощности принимается такая мощность, при которой в единицу времени совершается единица работы.

В системе СИ единицей измерения мощности является ватт (Вт):

Внесистемная единица мощности — лошадиная сила (л.с.) — равна 736 Вт. В быту часто используют единицу энергии — 1 кВт•ч = 103 Вт•3600 с=3.6 МДж.

Пример. Вертолет массой m = 3 m висит в воздухе. Определить мощность, развиваемую мотором вертолета, если диаметр ротора равен d = 8 м. При расчете принять, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха диаметром, равным диаметру ротора. Плотность воздуха 1.29 кг/м3.

При решении этой задачи надо применить все известные нам законы динамики. Поскольку это — не одно- и не двухходовая задача, попробуем сначала найти вид окончательного выражения, пользуясь анализом размерности (см. тему 1.3). Искомая мощность зависит от: 1) веса вертолета mg; 2) диаметра винта d, 3) плотности воздуха , то есть искомая формула должна иметь вид

Размерность мощности будет [N] = [ML2T–3]. Составляем равенство размерностей в обеих частях искомой формулы:

Решая систему уравнений

находим

то есть искомая мощность двигателя вертолета будет

где C — некий числовой коэффициент.

Решим теперь эту же задачу точно. Пусть — скорость струи воздуха, отбрасываемой винтом. За время частицы воздуха проходят расстояние . Иными словами, за время винт вертолета придает скорость всем частицам воздуха, находящимся в цилиндре с площадью основания и высотой . Масса воздуха в этом объеме равна

а его кинетическая энергия дается выражением

Поскольку мотор передает воздуху кинетическую энергию , то такова и совершаемая им работа. Поэтому развиваемая мотором мощность (без учета потерь мощности во всех трансмиссиях на пути от двигателя до винта) равна

В этом выражении нам надо еще найти скорость струи воздуха, отбрасываемой винтом. Импульс , передаваемый частицам воздуха за время , равен

Из второго закона Ньютона следует, что средняя сила, действующая на отбрасываемый вниз воздух равна . По третьему закону Ньютона такая же сила действует на вертолет со стороны воздуха. Эта сила компенсирует вес вертолета:

Отсюда получаем уравнение

позволяющее найти скорость струи воздуха:

Подставляя найденную скорость в выражение для мощности двигателя вертолета, получаем окончательный результат:

Мы видим, что выражение для мощности действительно оказалось таким, каким ожидалось на основе анализа размерностей. Подставляя числовые данные, находим

Рис.4.5. Мощность в природе и технике

формула, единицы измерения. В чем измеряется мощность электрического тока

В 1882 году Британская научная ассоциация приняла решения начать использовать новую единицу измерения под названием «ватт». Для чего она используется сегодня, чему равна и по какой формуле ее можно вычислить? Давайте найдем ответы на все эти вопросы.

Ватт – единица измерения чего?

Начиная с того судьбоносного года, когда британцы ввели традицию использования ватта, постепенно во всем мире стали переходить на него, взамен устаревших и непрактичных лошадиных сил. С появлением системы СИ он был внесен в нее и стал использоваться повсеместно.

Итак, какая физическая величина имеет единицу измерения «ватт»? Вспомним уроки физики: правильный ответ на этот вопрос – мощность.

Свое название ватт получил в честь своего «отца» – шотландца Джеймса Ватта. В сокращении данная единица пишется всегда с большой буквы – Вт (W – согласно международном нормам системы СИ), а полностью – с маленькой «ватт» (watt).

Являясь не основной, а производной единицей (согласно стандарту СИ), рассматриваемая единица находится в зависимости от метра, килограмма и секунды. На практике это означает, что один ватт – это мощность, при которой совершается один джоуль работы за одну секунду времени. То есть, получается следующая зависимость: 1Вт = 1Дж/1с = 1Н х м/с = кг х м 2 /с 3 = кг х м 2 х с -3.

Кроме перечисленных выше, ватт связан с несистемными единицами. Например, с калорией. Так 1 Вт = 859,845227858985 кал/час. Данное соотношение важно, когда речь идет о вычислении количество теплоты, вырабатываемой электрическим обогревателем.

Формула

Итак, ватт – единица измерения мощности. Давайте же рассмотрим, по какой формуле ее можно вычислять.

Как уже было сказано выше, мощность зависит от работы и времени. Получается следующая формула: Р = A/t (мощность равна частному от деления работы на время).

Зная, что формула работы равна: А = F х S (где F – сила, S – расстояние), можно использовать эти данные.

В результате получаем формулу: Р = F х S /t. А поскольку S /t – это скорость (V), то мощность допустимо вычислять и так: Р = F х V

Взаимозависимость ампера, ватта, вольта

Единица измерения, которую мы рассматриваем, находится в прямой связи с такими величинами как напряжение (измеряется в вольтах) и сила тока (измеряется в амперах).

1 ватт – это мощность постоянного электрического тока при напряжении в 1 В и силе в 1А.

В виде формулы это выглядит таким образом: Р = І х U.

Ватты, киловатты, мегаватты и микроватты

Узнав, что ватт – единица измерения мощности, от каких величин она зависит и по каким формулам ее проще вычислять, стоит обратить внимание на такие понятия как киловатт, мегаватт и микроватт.

Поскольку Вт – величина весьма скромная (такова мощность передатчика любого мобильного телефона), в сфере электроэнергетики чаще принято применять киловатт (кВт).

Судя по стандартной для системы СИ приставке «кило», можно сделать вывод, что 1 кВт = 1000 Вт = 10 3 Вт. Поэтому для перевода ватт в киловатты нужно просто их количество делить на тысячу или наоборот, в случае, если киловатты переводятся в ватты.

К примеру, обычный легковой автомобиль имеет мощность в 60 000 ватт. Чтобы перевести это в киловатты, нужно разделить 60 000 на 1000 и в результате получится 60 кВт.

Киловатты являются общепринятой единицей для измерения мощности электроэнергии. При этом иногда применяется большая кратная единица ватта. Речь идет о мегаватте – МВт. Он равен 1 000 000 ватт (10 6) или 1000 киловатт (10 3).

К примеру, британский электропоезд Eurostar обладает мощностью в 12 мегаватт. То есть, это 12 000 000 ватт. Не удивительно, что он является самым быстрым в Великобритании.

Несмотря на скромные размеры иногда эта единица оказывается слишком большой для измерения мощности определенных предметов, поэтому наравне с кратными в системе Си выделяются и дольные единицы ватта. Наиболее часто используемой из них является микроватт (мкВт – пишется со строчной буквы, чтобы не путать с мегаваттом). Он равен одной миллионной части ватта (10 -6). Обычно данная единица применяется при расчете мощности работы электрокардиографов.

Помимо трех вышеперечисленных, существует еще около двух десятков других кратных и дольных единиц ватта. Однако чаще всего они используются в теоретических расчетах, а не на практике.

Ватт-час

Рассматривая особенности ватта (единицы измерения мощности), давайте обратим внимание на ватт-час (Вт·ч). Этот термин используется для измерения такой величины, как энергия (иногда в ватт-часах измеряется работа).

1 ватт-час равен количеству работы, выполненной на протяжении одного часа при мощности в 1 ватт.

Поскольку рассматриваемая единица довольно небольшая, для измерения электричества чаще применяется киловатт-час (кВт·ч). Он равен 1000 ватт-часов или 3600 Вт·с.

Обратите внимание, что мощность вырабатываемой на электростанциях энергии измеряется в киловаттах (иногда мегаваттах), но для потребителей ее количество исчисляется в киловатт-часах (реже в мегаватт-часах, если речь идет о мегаполисах или огромных предприятиях).

Обратите внимание, что помимо киловатт-часа и мегаватт-часа, ватт-час имеет точно такие же кратные и дольные единицы, как и обычный ватт.

Какой прибор называется ваттметром

Сравнив определение ватта (единица измерения мощности) и ватт-часа (единица энергии или работы), обратите внимание на такой прибор как ваттметр (ваттметр, wattmeter). Он применяется для измерения активной мощности электрического тока.

Классический прибор такого рода состоит из четырех контактов, два из которых используются для включения ваттметра в электрическую цепь последовательно с той его частью, потребляемая мощность которой измеряется на данный момент. Остальные два контакта подключаются параллельно к ней.

Ваттметры обычно создаются на основе электродинамических механизмов.

Ватт, согласно системе СИ – единица измерения мощности. В наши дни используется для измерения мощности всех электрических и не только приборов.

Джеймс Уатт и его универсальная паровая машина.

Что такое Ватт

Впервые эта величина была предложена для измерения мощности в 1882 году. Название единицы было дано в честь известного английского (а если по месту рождения, то шотландского) изобретателя Джеймса Уатта (James Watt). Одного из самых известных ученых в мире, создавшего универсальную паровую машину, доработав машину Ньюкомена. Однако, наибольшую известность ему принесла единица измерения, названная в его честь. До этого мощность рассчитывалась в лошадиных силах (л.с.), которые, кстати, были предложены для использования самим Уаттом. В наше же время, л.с. используются в основном для измерения мощности только в автомобилях, хотя бывают редкие исключения.

Согласно теории физики, мощность – это скорость расходования энергии, выраженная в отношении энергии ко времени: 1 Вт = 1 Дж/1 с. Один ватт равен отношению одного джоуля (единице измерения работы) к одной секунде. На сегодняшний день для обозначения мощности электроприборов чаще применяется единица измерения киловатт (сокращенное обозначение – кВт). Несложно догадаться, сколько ватт в киловатте – приставка «кило» в системе СИ обозначает величину, полученную в результате умножения на тысячу.

Ниже рекомендуем посмотреть простое и понятное видео о предмете нашего разговора, думаю станет все понятно, если на слух вы воспринимаете информацию легче, да и в любом случае для закрепления материала, видео может быть полезным.

Ватты в киловатты
То есть, 1 кВт=1000 Вт (один киловатт равен тысячи ваттам). Обратный перевод так же прост: можно разделить число на тысячу либо переместить запятую на три цифры левее. Например:

  • мощность стиральной машины 2100 Вт = 2,1 кВт;
  • мощность кухонного блендера 1,1 кВт = 1100 Вт;
  • мощность электродвигателя 0,55 кВт = 550 Вт и т. д.

Килоджоули в киловатты и киловатт-час
Иногда наших читателей интересует, как перевести килоджоули в киловатты. Для ответа на этот вопрос, вернемся к базовому отношению ватт и джоулей: 1 Вт = 1 Дж/1 с. Нетрудно догадаться, что:
1 килоджоуль = 0.0002777777777778 киловатт-час (в одном часе 60 минут, а в одной минуте 60 секунд, следовательно в часе 3600 секунд, а 1/3600= 0.000277778).

1 Вт= 3600 джоуль в час

Ватты в лошадиные силы
1 лошадиная сила =736 Ватт, следовательно 5 лошадиных сил = 3,68 кВт.

1 киловатт = 1,3587 лошадиных сил.

Ватты в калории
1 джоуль = 0,239 калории, следовательно 239 ккал = 0.0002777777777778 киловатт-час.

Не путать с киловатт-час

Наверное, каждый хотя бы раз в жизни слышал о такой единице, как киловатт-час (кВт*ч). С помощью этой единицы измеряется работа, совершаемая устройством за единицу времени. Для того чтобы понять её отличие от киловатта, приведем в пример домашний телевизор с потребляемой мощностью в 250 Вт. Если присоединить его к электрическому счетчику и включить, то ровно через час на счетчике будет показано, что телевизор израсходовал 0,25 кВт электроэнергии. То есть, потребление телевизора равно 0,25 кВт*ч. Прибор с такой величиной потребления, оставленный во включенном состоянии на 4 часа, «сожжёт», соответственно, 1 кВт энергии. Суточное потребление того или иного прибора зависит от особенностей его конструкции и иногда может оказаться, что приборы, которые нам кажутся наименее «прожорливыми», на самом деле составляют большую долю от общих расходов на электричество. Так, к примеру, обычный телевизор имеет в 4 раза более низкое потребление по сравнению с 100 Вт лампой накаливания. В свою очередь, электрический чайник «сжигает» в три раза больше света, чем такая лампочка. Среднее суточное энергопотребление персонального компьютера – около 14 кВт, а холодильника – до 1,5 кВт.

Если вам нужно единицы измерения мощности привести в одну систему, вам пригодится наш перевод мощности – конвертер онлайн. А ниже вы сможете почитать, в чем измеряется мощность.

Мощность – физическая величина, равная отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени.

В чем измеряется мощность?

Единицы измерения мощности, которые известны каждому школьнику и являются принятыми в международном сообществе – ватты. Названы так в честь ученого Дж. Уатта. Обозначаются латинской W или вт.

1 Ватт – единица измерения мощности, при которой за секунду происходит работа, равная 1 джоулю. Ватт равен мощности тока, сила которого 1 ампер, а напряжение – 1 вольт. В технике, как правило, применяются мегаватты и киловатты. 1 киловатт равен 1000 ватт.
Измеряется мощность и в эрг в секунду. 1 эрг в сек. Равен 10 в минус седьмой степени ватт. Соответственно, 1 ватт равен 10 в седьмой степени эрг/сек.

А еще единицей измерения мощности считается внесистемная «лошадиная сила». Она была введена в оборот еще в восемнадцатом веке и продолжает до сих пор применяться в автомобилестроении. Обозначается она так:

  • Л.С. (в русском),
  • HP (в английском).
  • PS (в немецком),
  • CV (во французском).

При переводе мощности помните, что в рунете существует невообразимая путаница при конверте лошадиных сил в ватты. В России, странах СНГ и некоторых других государствах 1 л.с. равняется 735, 5 ватт. В Англии и Америке 1 hp равняется 745, 7 ватт.

Из письма клиента:
Подскажите, ради Бога, почему мощность ИБП указывается в Вольт-Амперах, а не в привычных для всех киловаттах. Это сильно напрягает. Ведь все уже давно привыкли к киловаттам. Да и мощность всех приборов в основном указана в кВт.
Алексей. 21 июнь 2007

В технических характеристиках любого ИБП указаны полная мощность [кВА] и активная мощность [кВт] – они характеризуют нагрузочную способность ИБП. Пример, см. фотографии ниже:

Мощность не всех приборов указана в Вт, например:

  • Мощность трансформаторов указывается в ВА:
    http://www. mstator.ru/products/sonstige/powertransf (трансформаторы ТП: см приложение)
    http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (трансформаторы ТСГЛ: см приложение)
  • Мощность конденсаторов указывается в Варах:
    http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (конденсаторы K78-39: см приложение)
    http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (конденсаторы УК: см приложение)
  • Примеры других нагрузок – см. приложения ниже.

Мощностные характеристики нагрузки можно точно задать одним единственным параметром (активная мощность в Вт) только для случая постоянного тока, так как в цепи постоянного тока существует единственный тип сопротивления – активное сопротивление.

Мощностные характеристики нагрузки для случая переменного тока невозможно точно задать одним единственным параметром, так как в цепи переменного тока существует два разных типа сопротивления – активное и реактивное. Поэтому только два параметра: активная мощность и реактивная мощность точно характеризуют нагрузку.

Принцип действия активного и реактивного сопротивлений совершенно различный. Активное сопротивление – необратимо преобразует электрическую энергию в другие виды энергии (тепловую, световую и т.д.) – примеры: лампа накаливания, электронагреватель (параграф 39, Физика 11 класс В.А. Касьянов М.: Дрофа, 2007).

Реактивное сопротивление – попеременно накапливает энергию затем выдаёт её обратно в сеть – примеры: конденсатор, катушка индуктивности (параграф 40,41, Физика 11 класс В.А. Касьянов М.: Дрофа, 2007).

Дальше в любом учебнике по электротехнике Вы можете прочитать, что активная мощность (рассеиваемая на активном сопротивлении) измеряется в ваттах, а реактивная мощность (циркулирующая через реактивное сопротивление) измеряется в варах; так же для характеристики мощности нагрузки используют ещё два параметра: полную мощность и коэффициент мощности. Все эти 4 параметра:

  1. Активная мощность: обозначение P , единица измерения: Ватт
  2. Реактивная мощность: обозначение Q , единица измерения: ВАр (Вольт Ампер реактивный)
  3. Полная мощность: обозначение S , единица измерения: ВА (Вольт Ампер)
  4. Коэффициент мощности: обозначение k или cosФ , единица измерения: безразмерная величина

Эти параметры связаны соотношениями: S*S=P*P+Q*Q, cosФ=k=P/S

Также cosФ называется коэффициентом мощности (Power Factor PF )

Поэтому в электротехнике для характеристики мощности задаются любые два из этих параметров так как остальные могут быть найдены из этих двух.

Например, электромоторы, лампы (разрядные) – в тех. данных указаны P[кВт] и cosФ:
http://www.mez.by/dvigatel/air_table2.shtml (двигатели АИР: см. приложение)
http://www.mscom.ru/katalog.php?num=38 (лампы ДРЛ: см. приложение)
(примеры технических данных разных нагрузок см. приложение ниже)

То же самое и с источниками питания. Их мощность (нагрузочная способность) характеризуется одним параметром для источников питания постоянного тока – активная мощность (Вт), и двумя параметрами для ист. питания переменного тока. Обычно этими двумя параметрами являются полная мощность (ВА) и активная (Вт). См. например параметры ДГУ и ИБП.

Большинство офисной и бытовой техники, активные (реактивное сопротивление отсутствует или мало), поэтому их мощность указывается в Ваттах. В этом случае при расчёте нагрузки используется значение мощности ИБП в Ваттах. Если нагрузкой являются компьютеры с блоками питания (БП) без коррекции входного коэффициента мощности (APFC), лазерный принтер, холодильник, кондиционер, электромотор (например погружной насос или мотор в составе станка), люминисцентные балластные лампы и др. – при расчёте используются все вых. данные ибп: кВА, кВт, перегрузочные характеристики и др.

См. учебники по электротехнике, например:

1. Евдокимов Ф. Е. Теоретические основы электротехники. – М.: Издательский центр “Академия”, 2004.

2. Немцов М. В. Электротехника и электроника. – М.: Издательский центр “Академия”, 2007.

3. Частоедов Л. А. Электротехника. – М.: Высшая школа, 1989.

Так же см. AC power, Power factor, Electrical resistance, Reactance http://en.wikipedia.org
(перевод: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Приложение

Пример 1: мощность трансформаторов и автотрансформаторов указывается в ВА (Вольт·Амперах)

http://metz.by/download_files/catalog/transform/tsgl__tszgl__tszglf.pdf (трансформаторы ТСГЛ)


АОСН-2-220-82
Латр 1.25АОСН-4-220-82
Латр 2. 5АОСН-8-220-82





АОСН-20-220



АОМН-40-220




http://www.gstransformers.com/products/voltage-regulators.html (ЛАТР / лабораторные автотрансформаторы TDGC2)

Пример 2: мощность конденсаторов указывается в Варах (Вольт·Амперах реактивных)

http://www.elcod.spb.ru/catalog/k78-39.pdf (конденсаторы K78-39)


http://www.kvar.su/produkciya/25-nizkogo-napraygeniya-vbi (конденсаторы УК)

Пример 3: технические данные электромоторов содержат активную мощность (кВт) и cosФ

Для таких нагрузок как электромоторы, лампы (разрядные), компьютерные блоки питания, комбинированные нагрузки и др. – в технических данных указаны P [кВт] и cosФ (активная мощность и коэффициент мощности) или S [кВА] и cosФ (полная мощность и коэффициент мощности) .

http://www.weiku.com/products/10359463/Stainless_Steel_cutting_machine.html
(комбинированная нагрузка – станок плазменной резки стали / Inverter Plasma cutter LGK160 (IGBT)

http://www.silverstonetek.com.tw/product.php?pid=365&area=en (блок питания ПК)

Дополнение 1

Если нагрузка имеет высокий коэффициент мощности (0.8 … 1.0), то её свойства приближаются к активной нагрузке. Такая нагрузка является идеальной как для сетевой линии, так и для источников электроэнергии, т.к. не порождает реактивных токов и мощностей в системе.

Поэтому во многих странах приняты стандарты нормирующие коэффициент мощности оборудования.

Дополнение 2

Оборудование однонагрузочное (например, БП ПК) и многосоставное комбинированное (например, фрезерный промышленный станок, имеющий в составе несколько моторов, ПК, освещение и др. ) имеют низкие коэффициенты мощности (менее 0.8) внутренних агрегатов (например, выпрямитель БП ПК или электромотор имеют коэффициент мощности 0.6 .. 0.8). Поэтому в настоящее время большинство оборудования имеет входной блок корректора коэффициента мощности. В этом случае входной коэффициент мощности равен 0.9 … 1.0, что соответствует нормативным стандартам.

Дополнение 3. Важное замечание относительно коэффициента мощности ИБП и стабилизаторов напряжения

Нагрузочная способность ИБП и ДГУ нормирована на стандартную промышленную нагрузку (коэффициент мощности 0.8 с индуктивным характером). Например, ИБП 100 кВА / 80 кВт. Это означает, что устройство может питать активную нагрузку максимальной мощности 80 кВт, или смешанную (активно-реактивную) нагрузку максимальной мощности 100 кВА с индуктивным коэффициентом мощности 0.8.

В стабилизаторах напряжения дело обстоит иначе. Для стабилизатора коэффициент мощности нагрузки безразличен. Например, стабилизатор напряжения 100 кВА. Это означает, что устройство может питать активную нагрузку максимальной мощности 100 кВт, или любую другую (чисто активную, чисто реактивную, смешанную) мощностью 100 кВА или 100 кВАр с любым коэффициентом мощности емкостного или индуктивного характера. Обратите внимание, что это справедливо для линейной нагрузки (без высших гармоник тока). При больших гармонических искажениях тока нагрузки (высокий КНИ) выходная мощность стабилизатора снижается.

Дополнение 4

Наглядные примеры чистой активной и чистой реактивных нагрузок:

  • К сети переменного тока 220 VAC подключена лампа накаливания 100 Вт – везде в цепи есть ток проводимости (через проводники проводов и вольфрамовый волосок лампы). Характеристики нагрузки (лампы): мощность S=P~=100 ВА=100 Вт, PF=1 => вся электрическая мощность активная, а значит она целиком поглащается в лампе и превращается в мощность тепла и света.
  • К сети переменного тока 220 VAC подключен неполярный конденсатор 7 мкФ – в цепи проводов есть ток проводимости, внутри конденсатора идёт ток смещения (через диэлектрик). Характеристики нагрузки (конденсатора): мощность S=Q~=100 ВА=100 ВАр, PF=0 => вся электрическая мощность реактивная, а значит она постоянно циркулирует от источника к нагрузке и обратно, опять к нагрузке и т.д.
Дополнение 5

Для обозначения преобладающего реактивного сопротивления (индуктивного либо ёмкостного) коэффициенту мощности приписывается знак:

+ (плюс) – если суммарное реактивное сопротивление является индуктивным (пример: PF=+0.5). Фаза тока отстаёт от фазы напряжения на угол Ф.

– (минус) – если суммарное реактивное сопротивление является ёмкостным (пример: PF=-0,5). Фаза тока опережает фазу напряжения на угол Ф.

Дополнение 6

Дополнительные вопросы

Вопрос 1:
Почему во всех учебниках электротехники при расчете цепей переменного тока используют мнимые числа / величины (например, реактивная мощность, реактивное сопротивление и др.), которые не существуют в реальности?

Ответ:
Да, все отдельные величины в окружающем мире – действительные. В том числе температура, реактивное сопротивление, и т.д. Использование мнимых (комплексных) чисел – это только математический приём, облегчающий вычисления. В результате вычисления получается обязательно действительное число. Пример: реактивная мощность нагрузки (конденсатора) 20кВАр – это реальный поток энергии, то есть реальные Ватты, циркулирующие в цепи источник–нагрузка. Но что бы отличить эти Ватты от Ваттов, безвозвратно поглащаемых нагрузкой, эти «циркулирующие Ватты» решили называть Вольт·Амперами реактивными .

Замечание:
Раньше в физике использовались только одиночные величины и при расчете все математические величины соответствовали реальным величинам окружающего мира. Например, расстояние равно скорость умножить на время (S=v*t). Затем с развитием физики, то есть по мере изучения более сложных объектов (свет, волны, переменный электрический ток, атом, космос и др.) появилось такое большое количество физических величин, что рассчитывать каждую в отдельности стало невозможно. Это проблема не только ручного вычисления, но и проблема составления программ для ЭВМ. Для решения данное задачи близкие одиночные величины стали объединять в более сложные (включающие 2 и более одиночных величин), подчиняющиеся известным в математике законам преобразования. Так появились скалярные (одиночные) величины (температура и др.), векторные и комплексные сдвоенные (импеданс и др.), векторные строенные (вектор магнитного поля и др.), и более сложные величины – матрицы и тензоры (тензор диэлектрической проницаемости, тензор Риччи и др.). Для упрощения рассчетов в электротехнике используются следующие мнимые (комплексные) сдвоенные величины:

  1. Полное сопротивление (импеданс) Z=R+iX
  2. Полная мощность S=P+iQ
  3. Диэлектрическая проницаемость e=e”+ie”
  4. Магнитная проницаемость m=m”+im”
  5. и др.

Вопрос 2:

На странице http://en.wikipedia.org/wiki/Ac_power показаны S P Q Ф на комплексной, то есть мнимой / несуществующей плоскости. Какое отношение это все имеет к реальности?

Ответ:
Проводить расчеты с реальными синусоидами сложно, поэтому для упрощения вычислений используют векторное (комплексное) представление как на рис. выше. Но это не значит, что показанные на рисунке S P Q не имеют отношения к реальности. Реальные величины S P Q могут быть представлены в обычном виде, на основе измерений синусоидальных сигналов осциллографом. Величины S P Q Ф I U в цепи переменного тока «источник-нагрузка» зависят от нагрузки. Ниже показан пример реальных синусоидальных сигналов S P Q и Ф для случая нагрузки состоящей из последовательно соединённых активного и реактивного (индуктивного) сопротивлений.

Вопрос 3:
Обычными токовыми клещами и мультиметром измерен ток нагрузки 10 A, и напряжение на нагрузке 225 В. Перемножаем и получаем мощность нагрузки в Вт: 10 A · 225В = 2250 Вт.

Ответ:
Вы получили (рассчитали) полную мощность нагрузки 2250 ВА. Поэтому ваш ответ будет справедлив только, если ваша нагрузка чисто активная, тогда действительно Вольт·Ампер равен Ватту. Для всех других типов нагрузок (например электромотор) – нет. Для измерения всех характеристик любой произвольной нагрузки необходимо использовать анализатор сети, например APPA137:

См. дополнительную литературу, например:

Евдокимов Ф. Е. Теоретические основы электротехники. – М.: Издательский центр “Академия”, 2004.

Немцов М. В. Электротехника и электроника. – М.: Издательский центр “Академия”, 2007.

Частоедов Л. А. Электротехника. – М.: Высшая школа, 1989.

AC power, Power factor, Electrical resistance, Reactance
http://en.wikipedia.org (перевод: http://electron287.narod.ru/pages/page1.html)

Теория и расчёт трансформаторов малой мощности Ю.Н.Стародубцев / РадиоСофт Москва 2005 г. / rev d25d5r4feb2013

Здравствуйте! Для вычисления физической величины, называемой мощностью, пользуются формулой, где физическую величину – работу делят на время, за которое эта работа производилась.

Выглядит она так:

P, W, N=A/t, (Вт=Дж/с).

В зависимости от учебников и разделов физики, мощность в формуле может обозначаться буквами P, W или N.

Чаще всего мощность применяется, в таких разделах физики и науки, как механика, электродинамика и электротехника. В каждом случае, мощность имеет свою формулу для вычисления. Для переменного и постоянного тока она тоже различна. Для измерения мощности используют ваттметры.

Теперь вы знаете, что мощность измеряется в ваттах. По-английски ватт – watt, международное обозначение – W, русское сокращение – Вт. Это важно запомнить, потому что во всех бытовых приборах есть такой параметр.

Мощность – скалярная величина, она не вектор, в отличие от силы, которая может иметь направление. В механике, общий вид формулы мощности можно записать так:

P=F*s/t, где F=А*s,

Из формул видно, как мы вместо А подставляем силу F умноженную на путь s. В итоге мощность в механике, можно записать, как силу умноженную на скорость. К примеру, автомобиль имея определенную мощность, вынужден снижать скорость при движении в гору, так как это требует большей силы.

Средняя мощность человека принята за 70-80 Вт. Мощность автомобилей, самолетов, кораблей, ракет и промышленных установок, часто, измеряют в лошадиных сил ах. Лошадиные силы применяли еще задолго до внедрения ватт. Одна лошадиная сила равна 745,7Вт. Причем в России принято что л. с. равна 735,5 Вт.

Если вас вдруг случайно спросят через 20 лет в интервью среди прохожих о мощности, а вы запомнили, что мощность – это отношение работы А, совершенной в единицу времени t. Если сможете так сказать, приятно удивите толпу. Ведь в этом определении, главное запомнить, что делитель здесь работа А, а делимое время t. В итоге, имея работу и время, и разделив первое на второе, мы получим долгожданную мощность.

При выборе в магазинах, важно обращать внимание на мощность прибора. Чем мощнее чайник, тем быстрее он погреет воду. Мощность кондиционера определяет, какой величины пространство он сможет охлаждать без экстремальной нагрузки на двигатель. Чем больше мощность электроприбора, тем больше тока он потребляет, тем больше электроэнергии потратит, тем больше будет плата за электричество.

В общем случае электрическая мощность определяется формулой:

где I – сила тока, U-напряжение

Иногда даже ее так и измеряют в вольт-амперах, записывая, как В*А. В вольт-амперах меряют полную мощность, а чтобы вычислить активную мощность нужно полную мощность умножить на коэффициент полезного действия(КПД) прибора, тогда получим активную мощность в ваттах.

Часто такие приборы, как кондиционер, холодильник, утюг работают циклически, включаясь и отключаясь от термостата, и их средняя мощность за общее время работы может быть небольшой.

В цепях переменного тока , помимо понятия мгновенной мощности, совпадающей с общефизической, существуют активная, реактивная и полная мощности. Полная мощность равна сумме активной и реактивной мощностей.

Для измерения мощности используют электронные приборы – Ваттметры. Единица измерения Ватт, получила свое название в честь изобретателя усовершенствованной паровой машины, которая произвела революцию среди энергетических установок того времени. Благодаря этому изобретению развитие индустриального общества ускорилось, появились поезда, пароходы, заводы, использующие силу паровой машины для передвижения и производства изделий.

Все мы много раз сталкивались с понятием мощности. Например, разные автомобили характеризуются разной мощностью двигателя. Также, электроприборы могут иметь различную мощность , даже если они имеют одинаковое предназначение.

Мощность – это физическая величина , характеризующая скорость работы.

Соответственно, механическая мощность – это физическая величина, характеризующая скорость механической работы:

Т. е. мощность – это работа в единицу времени.

Мощность в системе СИ измеряется в ваттах: [N ] = [Вт].

1 Вт – это работа в 1 Дж, совершенная за 1 с.

Существуют и другие единицы измерения мощности, например, такие, как лошадиная сила:

Именно в лошадиных силах чаще всего измеряется мощность двигателя автомобилей.

Давайте вернемся к формуле для мощности: Формула, по которой вычисляется работа, нам известна: Поэтому мы можем преобразовать выражение для мощности:

Тогда в формуле у нас образуется отношение модуля перемещения к промежутку времени. Это, как вы знаете, скорость:

Только обратите внимание, что в получившейся формуле мы используем модуль скорости, поскольку на время мы поделили не само перемещение, а его модуль. Итак, мощность равна произведению модуля силы, модуля скорости и косинуса угла между их направлениями.

Это вполне логично: скажем, мощность поршня можно повысить за счет увеличения силы его действия. Прикладывая бо́льшую силу, он будет совершать больше работы за то же время, то есть увеличит мощность. Но даже если оставить силу постоянной, и заставить поршень двигаться быстрее, он, несомненно, увеличит работу, совершаемую в единицу времени. Следовательно, увеличится мощность.

Примеры решения задач.

Задача 1. Мощность мотоцикла равна 80 л.с. Двигаясь по горизонтальному участку, мотоциклист развивает скорость равную 150 км\ч. При этом, двигатель работает на 75% от своей максимальной мощности. Определите силу трения, действующую на мотоцикл.


Задача 2. Истребитель, под действием постоянной силы тяги, направленной под углом 45° к горизонту, разгоняется от 150 м/с до 570 м/с. При этом, вертикальная и горизонтальная скорость истребителя увеличиваются на одинаковое значение в каждый момент времени. Масса истребителя равна 20 т. Если истребитель разгонялся в течение одной минуты, то какова мощность его двигателя?




Если вам нужно единицы измерения мощности привести в одну систему, вам пригодится наш перевод мощности – конвертер онлайн. А ниже вы сможете почитать, в чем измеряется мощность.

единица измерения, как определить, формула

Полная мощность электроцепи состоит из двух составляющих — активная и реактивная. Как правило, данная величина равна произведению действующих значений, вычисляется по следующей формуле: P=UхI. Подробнее о полной мощности в статье.

Что это такое

Полная мощность (ВА, кВА) характеризуется потребляемой нагрузкой (например, ИБП) двух составляющих, а также отклонением формы электрического тока и напряжения от гармонической. С мощностью электротока человеку приходится сталкиваться и в быту и на производстве, где применяются электрические приборы. Каждый из них потребляет электроток, поэтому при их использовании всегда необходимо учитывать возможности этих приборов, в том числе заложенные в них технические характеристики.

Значение полной мощности — вычисление формулы

Чтобы определить работу мощности за одну секунду, на практике применяется формула для производительности постоянного тока. Следует отметить, что данная физическая величина меняется во времени и для выполнения практического расчета совершенно бесполезна. Для вычисления среднего значения производительности требуется интегрирование по времени.

Обратите внимание! С целью определения данного показателя в электрической цепи, где периодически происходит смена напряжения и тока, средняя ёмкость вычисляется по передаче мгновенной мощности в течение определённого времени.

Как вычисляется ёмкость по другой формуле

Есть определенная категория людей, которая интересуется вопросом, какая бывает мощность. Активная производительность делится на следующие категории: фактическую, настоящую, полезную, реальную.

Ёмкость, преобладающая в электрических цепях постоянного тока, которая при этом получает нагрузку постоянного тока, определяется простым произведением напряжения по показателям нагрузки и потребляемого тока. Данная величина вычисляется по формуле: P = U х I. Данный результат показывает, что фазовый угол между током и напряжением отсутствует в электрических цепях постоянного тока. То есть отсутствует коэффициент производительности.

Синусоидальный сигнал намного усложняет процесс. Так как фазовый угол между током и напряжением может значительно отличаться друг от друга. Поэтому среднее значение определяется по следующей формуле:

P = U I Cosθ

Важно! Если в соединениях переменного тока фиксируется активная (резистивная) производительность, тогда для вычисления данного показателя применяется формула следующего характера: P = U х I.

Мощность трёхфазной цепи

Чему равна полная мощность

Теория комплексных чисел позволит тщательно разобраться в понятии полных, активных, реактивных мощностей. Соответственно, можно легко определить коэффициент. Данная теория представляет собой целый треугольник мощностей активная, реактивная и полная.

Вычисление активной производительности трёхфазной цепи

Активная производительность

Единица измерения активной мощности электрической трёхфазной цепи — ватт (русское обозначение: Вт, киловатт — кВт; международное: ватт -W, киловатт — kW).

Важно! Средняя мгновенная производительность, которая обозначается буквой Т — это активная мощность.

Там, где преобладает несинусоидальный ток, равенство электрической ёмкости соответствует средним мощностям отдельных элементов. Активная величина — это прежде всего скорость необратимого преобразования электрической энергии в другие виды энергии. К ним относится тепловая и электромагнитная. Как правило, активная производительность выражается через силу тока, напряжение и активную составляющую сопротивления цепи r или её проводимость g.

Определяя любую электрическую цепь (синусоидальный или несинусоидальный ток) активная отдача всей цепи будет равна сумме активных мощностей отдельных элементов. Важно отметить, что для трёхфазных цепей электрическая производительность определяется как сумма производительности отдельных фаз. С полной ёмкостью S, активная связана соотношением полной и активной отдачи.

К сожалению, потребителю электроэнергии приходится платить не за активную (полезную) мощность, а за полную мощность. Разница в мощности на входе и на выходе системы бесперебойного питания составила 58 кВА! Необходимо учесть, что тариф за потребление электроэнергии с низким cosj (Pf) существенно выше. Таким образом, применение системы бесперебойного питания позволило не только защитить оборудование от исчезновения и провалов напряжения, но и получить существенную экономию электроэнергии.

Рассматривая длинные линии (анализ электромагнитных процессов в линии передачи, длина которой сравнима с длиной электромагнитной волны) полным аналогом активной мощности является проходящая производительность, которая определяется как разность между падающей и отраженной пропускной способностью.

Определение реактивной величины на примере

Реактивная емкость

Часто возникает вопрос о том, что такое реактивная мощность — величина, характеризующая нагрузку, которая создаётся в электросистемах колебаниями энергии электромагнитного поля в цепи, где преобладает синусоидальный переменный ток.

Реактивная ёмкость представляет собой энергию, которая переносится от источника на реактивные элементы прибора. К ним можно отнести: индуктивность, конденсатор, обмотки двигателей. После чего данная емкость вместе с элементами перемещается в источник в течение одного периода колебаний.

Важно подчеркнуть, что показатель sin φ для значения φ от 0 до плюс 90° представляет собой положительную величину. Данное значение, которое обозначается как sin φ для φ от 0 до минус 90° является — это отрицательная величина. Учитывая формулу, по которой происходит определение реактивной производительности, можно получить как положительную величину (при нагрузке с активно-индуктивным характером), так и отрицательную (при нагрузке с активно-ёмкостным характером). Всё это характеризуется тем, что реактивная отдача не происходит когда поступает электрический ток.

Некоторые электросистемы обладают положительной реактивной емкостью. Здесь уже говорится о том, что происходит нагрузка активно-индуктивного характера. Когда определяется отрицательная производительность то здесь производится нагрузка с активно-ёмкостным характером. Этот фактор характеризуется тем, что многие электропотребляющие устройства, подключение которых происходит при помощи трансформатора, являются активно-индуктивными.

Электрические станции оснащены синхронными генераторами. Они могут потреблять и производить реактивную ёмкость. Кроме того происходит определение величины электрического тока возбуждения, который поступает в обмотки ротора генератора. Благодаря отличительным особенностям синхронной электрической машины можно свободно регулировать заданный уровень напряжения сети. Чтобы снизить нагрузки, а также повысить коэффициент производительности электросистем, специалисты производят компенсацию реактивной ёмкости.

Обратите внимание! Если использовать современные электрические измерительные преобразователи на микропроцессорной технике, тогда производится точная оценка показателя энергии от индуктивной и нагрузки ёмкости в источник переменного напряжения.

Определение полной производительности

Полная емкость

Для того чтобы определить какие системы обладают полной производительностью, необходимо изучить особенности данной величины. Полная мощность — это физическая величина, равная произведению действующих элементов периодического электрического тока I в цепи и напряжения U на её зажимах. Для определения соотношения полной отдачи с активной и реактивной емкостями нужно расшифровать значения, которые вычисляются по формуле. Например, соотношение производительности, где P — активная, Q — представляет собой реактивную пропускную способность (если нагрузка индуктивного характера Q»0, а при ёмкостной обозначается — Q»0).

Важно! Полная производительность описывает нагрузку, налагается на элементы подводящей электросети (проводам, распределительным щитам, трансформаторам, линиям электропередач). Ведь вся эта нагрузка зависит от потребляемой энергии, а не от расходующей пользователем энергии. Исходя из этих результатов полная мощность трансформатора или распределительного щита измеряют в вольт-амперах, а не в ваттах.

По какой единице измеряется ёмкость

Единица измерения мощностей

Единица измерения производительности — это Джоули, деленные на секунду (Вольты, умноженные на Амперы), или Ватты. Последнее название дали в честь инженера Джеймса Уатта, создавшего паровую машину. Именно Ватт является единицей ёмкости в системе СИ.

Для электроприборов, а также на промышленных предприятиях зачастую используют более крупные единицы — киловатты, мегаватты и др. Они получаются добавлением стандартных десятичных приставок. Соответственно, 1 кВт = 1000 Вт, 1 МВт = 1 000 000 Вт.

Расчёт полной мощности

Как правильно рассчитать

Активная мощность, как сделать правильный расчет?

Мощность электрического тока влияет на то, как быстро прибор сможет выполнить работу. К примеру, дорогой обогреватель, имеющий в 2 раза большую мощность, обогреет помещение быстрее, чем два дешевых, с меньшей в 2 раза мощностью. Получается, что выгоднее купить агрегат, имеющий большую мощность, чтобы быстрее обогреть холодное помещение. Но, в то же время, такой агрегат будет тратить существенно больше энергии, чем его более дешевый аналог.

Потребляемая мощность всех приборов в доме учитывается и при подборе проводки для прокладки в доме. Если не учитывать этого и в последующем включить в сеть слишком много приборов, то это вызовет перегрузку сети. Проводка не сможет выдержать мощность электрического тока всех приборов, что приведет к плавлению изоляции, замыканию и самовоспламенению проводки. В результате может начаться пожар, который может привести к непоправимым последствиям.

Однофазный синусоидальный ток в электрических цепях вычисляется по формуле Р = U x I x cos φ, где υ и Ι. Их обозначение шифруется следующим образом: среднеквадратичное значение напряжение и тока, а φ — фазный угол фаз между ними.

Для цепей несинусоидального тока электрическая ёмкость равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной производительности. Активная производительность характеризуется скоростью, которая имеет необратимый процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии. Данная ёмкость может вычисляться через силу тока, напряжение и активную составляющую сопротивления цепи r или её проводимость g по формуле P = I(2) x r = U(2) x g.

Реактивная мощность (Reactive Power)

Следует заметить, что:

  • резистор потребляет активную мощность и отдаёт её в форме тепла и света.
  • индуктивность потребляет реактивную мощность и отдаёт её в форме магнитного поля.
  • конденсатор потребляет реактивную мощность и отдаёт её в форме электрического поля.

В любой электрической цепи как синусоидального, так и несинусоидального тока активная способность всей цепи равна сумме активных мощностей отдельных частей цепи, для трёхфазных цепей электрическая емкость определяется как сумма пропускной способности отдельных фаз. С полной производительностью S, активная связана соотношением P = S x cos φ.

В теории длинных линий (анализ электромагнитных процессов в линии передачи, длина которой сравнима с длиной электромагнитной волны) полным аналогом активной мощности является проходящая мощность, которая определяется как разность между падающей мощностью и отраженной производительностью.

Как найти реактивную полную мощность через активную? Данная производительность, характеризующая нагрузки, создаваемые в электротехнических устройствах колебаниями энергии электромагнитного поля в цепи синусоидального переменного тока, равна произведению среднеквадратичных значений напряжения U и тока I, умноженному на синус угла сдвига фаз φ между ними: Q = U x I x sin φ (если ток отстаёт от напряжения, сдвиг фаз считается положительным, если опережает — отрицательным).

Обозначение реактивной величины

Как обозначается мощность

Р — мощность электрического тока обозначается (Вт).

В завершение следует отметить, что полная мощность имеет практическое значение, как величина, описывающая нагрузки, фактически налагаемые потребителем на элементы подводящей электросети (провода, кабели, распределительные щиты, трансформаторы, линии электропередачи), так как эти нагрузки зависят от потребляемого тока, а не от фактически использованной потребителем энергии. Именно поэтому данная величина трансформаторов и распределительных щитов измеряется в вольт-амперах, а не в ваттах.

Электрическая мощность – это… Что такое Электрическая мощность?

Электри́ческая мо́щность — физическая величина, характеризующая скорость передачи или преобразования электрической энергии.

Мгновенная электрическая мощность

Мгновенной мощностью называется произведение мгновенных значений напряжения и силы тока на каком-либо участке электрической цепи.

По определению, электрическое напряжение — это отношение работы электрического поля, совершенной при переносе пробного электрического заряда из точки A в точку B, к величине пробного заряда. То есть можно сказать, что электрическое напряжение равно работе по переносу единичного заряда из точки А в точку B. Другими словами, при движении единичного заряда по участку электрической цепи он совершит работу, численно равную электрическому напряжению, действующему на участке цепи. Умножив работу на количество единичных зарядов, мы, таким образом, получаем работу, которую совершают эти заряды при движении от начала участка цепи до его конца. Мощность, по определению, — это работа в единицу времени. Введём обозначения: U — напряжение на участке A-B (принимаем его постоянным на интервале Δt), Q — количество зарядов, прошедших от А к B за время Δt. А — работа, совершённая зарядом Q при движении по участку A-B, P — мощность. Записывая вышеприведённые рассуждения, получаем:

Для единичного заряда на участке A-B:

Для всех зарядов:

Поскольку ток есть не что иное, как количество зарядов в единицу времени, то есть по определению, в результате получаем:

Полагая время бесконечно малым, можно принять, что величины напряжения и тока за это время тоже изменятся бесконечно мало. В итоге получаем следующее определение мгновенной электрической мощности:

мгновенная электрическая мощность p(t), выделяющаяся на участке электрической цепи, есть произведение мгновенных значений напряжения u(t) и силы тока i(t) на этом участке:

Если участок цепи содержит резистор c электрическим сопротивлением R, то

Дифференциальные выражения для электрической мощности

Мощность, выделяемая в единице объёма, равна:

В линейном изотропном приближении:

В линейном анизотропном приближении (например, в монокристалле или жидком кристалле, а также при наличии эффекта Холла):

Мощность постоянного тока

Так как значения силы тока и напряжения постоянны и равны мгновенным значениям в любой момент времени, то мощность можно вычислить по формуле:

Для пассивной линейной цепи, в которой соблюдается закон Ома, можно записать:

Если цепь содержит источник ЭДС, то отдаваемая им или поглощаемая на нём электрическая мощность равна:

где — ЭДС.

Если ток внутри ЭДС противонаправлен градиенту потенциала (течёт внутри ЭДС от плюса к минусу), то мощность поглощается источником ЭДС из сети (например, при работе электродвигателя или заряде аккумулятора), если сонаправлен (течёт внутри ЭДС от минуса к плюсу), то отдаётся источником в сеть (скажем, при работе гальванической батареи или генератора). При учёте внутреннего сопротивления источника ЭДС выделяемая на нём мощность прибавляется к поглощаемой или вычитается из отдаваемой.

Мощность переменного тока

В переменном электрическом поле формула для мощности постоянного тока оказывается неприменимой. На практике наибольшее значение имеет расчёт мощности в цепях переменного синусоидального напряжения и тока.

Для того, чтобы связать понятия полной, активной, реактивной мощностей и коэффициента мощности, удобно обратиться к теории комплексных чисел. Можно считать, что мощность в цепи переменного тока выражается комплексным числом таким, что активная мощность является его действительной частью, реактивная мощность — мнимой частью, полная мощность — модулем, а угол φ (сдвиг фаз) — аргументом. Для такой модели оказываются справедливыми все выписанные ниже соотношения.

Активная мощность

Единица измерения — ватт (W, Вт).

Среднее за период T значение мгновенной мощности называется активной мощностью: В цепях однофазного синусоидального тока где U и I — среднеквадратичные значения напряжения и тока, φ — угол сдвига фаз между ними. Для цепей несинусоидального тока электрическая мощность равна сумме соответствующих средних мощностей отдельных гармоник. Активная мощность характеризует скорость необратимого превращения электрической энергии в другие виды энергии (тепловую и электромагнитную). Активная мощность может быть также выражена через силу тока, напряжение и активную составляющую сопротивления цепи r или её проводимость g по формуле В любой электрической цепи как синусоидального, так и несинусоидального тока активная мощность всей цепи равна сумме активных мощностей отдельных частей цепи, для трёхфазных цепей электрическая мощность определяется как сумма мощностей отдельных фаз. С полной мощностью S активная связана соотношением

В теории длинных линий (анализ электромагнитных процессов в линии передачи, длина которой сравнима с длиной электромагнитной волны) полным аналогом активной мощности является проходящая мощность, которая определяется как разность между падающей мощностью и отраженной мощностью.

Реактивная мощность

Единица измерения — вольт-ампер реактивный (var, вар)

Реактивная мощность — величина, характеризующая нагрузки, создаваемые в электротехнических устройствах колебаниями энергии электромагнитного поля в цепи синусоидального переменного тока, равна произведению среднеквадратичных значений напряжения U и тока I, умноженному на синус угла сдвига фаз φ между ними: (если ток отстаёт от напряжения, сдвиг фаз считается положительным, если опережает — отрицательным). Реактивная мощность связана с полной мощностью S и активной мощностью Р соотношением: .

Физический смысл реактивной мощности — это энергия, перекачиваемая от источника на реактивные элементы приёмника (индуктивности, конденсаторы, обмотки двигателей), а затем возвращаемая этими элементами обратно в источник в течение одного периода колебаний, отнесённая к этому периоду.

Необходимо отметить, что величина sin φ для значений φ от 0 до плюс 90° является положительной величиной. Величина sin φ для значений φ от 0 до −90° является отрицательной величиной. В соответствии с формулой Q = UI sin φ, реактивная мощность может быть как положительной величиной (если нагрузка имеет активно-индуктивный характер), так и отрицательной (если нагрузка имеет активно-ёмкостный характер). Данное обстоятельство подчёркивает тот факт, что реактивная мощность не участвует в работе электрического тока. Когда устройство имеет положительную реактивную мощность, то принято говорить, что оно её потребляет, а когда отрицательную — то производит, но это чистая условность, связанная с тем, что большинство электропотребляющих устройств (например, асинхронные двигатели), а также чисто активная нагрузка, подключаемая через трансформатор, являются активно-индуктивными.

Синхронные генераторы, установленные на электрических станциях, могут как производить, так и потреблять реактивную мощность в зависимости от величины тока возбуждения, протекающего в обмотке ротора генератора. За счёт этой особенности синхронных электрических машин осуществляется регулирование заданного уровня напряжения сети. Для устранения перегрузок и повышения коэффициента мощности электрических установок осуществляется компенсация реактивной мощности.

Применение современных электрических измерительных преобразователей на микропроцессорной технике позволяет производить более точную оценку величины энергии возвращаемой от индуктивной и емкостной нагрузки в источник переменного напряжения.

Измерительные преобразователи реактивной мощности, использующие формулу Q = UI sin φ, более просты и значительно дешевле измерительных преобразователей на микропроцессорной технике.[источник не указан 124 дня]

Полная мощность

Единица полной электрической мощности — вольт-ампер (V·A, В·А)

Полная мощность — величина, равная произведению действующих значений периодического электрического тока I в цепи и напряжения U на её зажимах: S = U·I; связана с активной и реактивной мощностями соотношением: где Р — активная мощность, Q — реактивная мощность (при индуктивной нагрузке Q > 0, а при ёмкостной Q < 0).

Векторная зависимость между полной, активной и реактивной мощностью выражается формулой:

Полная мощность имеет практическое значение, как величина, описывающая нагрузки, фактически налагаемые потребителем на элементы подводящей электросети (провода, кабели, распределительные щиты, трансформаторы, линии электропередачи), так как эти нагрузки зависят от потребляемого тока, а не от фактически использованной потребителем энергии. Именно поэтому номинальная мощность трансформаторов и распределительных щитов измеряется в вольт-амперах, а не в ваттах.

Комплексная мощность

Мощность, аналогично импедансу, можно записать в комплексном виде:

где  — комплексное напряжение,  — комплексный ток, — импеданс, * — оператор комплексного сопряжения.

Модуль комплексной мощности равен полной мощности S. Действительная часть равна активной мощности Р, а мнимая  — реактивной мощности Q с корректным знаком в зависимости от характера нагрузки.

Неактивная мощность

Неактивная мощность (пассивная мощность)[источник не указан 172 дня] — это мощность нелинейных искажений тока, равная корню квадратному из разности квадратов полной и активной мощностей в цепи переменного тока. В цепи с синусоидальным напряжением неактивная мощность равна корню квадратному из суммы квадратов реактивной мощности и мощностей высших гармоник тока[источник не указан 172 дня]. При отсутствии высших гармоник неактивная мощность равна модулю реактивной мощности.

Под мощностью гармоники тока понимается произведение действующего значения силы тока данной гармоники на действующее значение напряжения[источник не указан 172 дня].

Наличие нелинейных искажений тока в цепи означает нарушение пропорциональности между мгновенными значениями напряжения и силы тока, вызванное нелинейностью нагрузки, например когда нагрузка имеет реактивный или импульсный характер. При линейной нагрузке сила тока в цепи пропорциональна мгновенному напряжению, вся потребляемая мощность является активной. При нелинейной нагрузке увеличивается кажущаяся (полная) мощность в цепи за счёт мощности нелинейных искажений тока, которая не принимает участия в совершении работы[источник не указан 172 дня]. Мощность нелинейных искажений не является активной и включает в себя как реактивную мощность, так и мощность прочих искажений тока. Данная физическая величина имеет размерность мощности, поэтому в качестве единицы измерения неактивной мощности можно использовать В∙А (вольт-ампер) или вар (вольт-ампер реактивный). Вт (ватт) использовать нежелательно, чтобы неактивную мощность не спутали с активной.

Связь неактивной, активной и полной мощностей

Величину неактивной мощности обозначим N. Через i обозначим вектор тока, через u — вектор напряжения. Буквами I и U будем обозначать соответствующие действующие значения:

Представим вектор тока i в виде суммы двух ортогональных составляющих ia и ip, которые назовём соответственно активной и пассивной. Поскольку в совершении работы участвует только составляющая тока, коллинеарная напряжению, потребуем, чтобы активная составляющая была коллинеарна напряжению, то есть ia = λu, где λ — некоторая константа, а пассивная — ортогональна, то есть Имеем

Запишем выражение для активной мощности P, скалярно умножив последнее равенство на u:

Отсюда находим

Выражение для величины неактивной мощности имеет вид где S = U I — полная мощность.

Для полной мощности цепи справедливо представление, аналогичное выражению для цепи с гармоническими током и напряжением, только вместо реактивной мощности используется неактивная мощность:

Таким образом, понятие неактивной мощности представляет собой один из способов обобщения понятия реактивной мощности для случая несинусоидальных тока и напряжения. Неактивная мощность иногда называется реактивной мощностью по Фризе.

Измерения

  • Для измерения электрической мощности применяются ваттметры и варметры, можно также использовать косвенный метод, с помощью вольтметра и амперметра.
  • Для измерения коэффициента реактивной мощности применяют фазометры
  • Государственный эталон — ГЭТ 153-86 Государственный специальный эталон единицы электрической мощности в диапазоне частот 40-2500 Гц. Институт-хранитель: ВНИИМ

Мощность некоторых электрических приборов

В таблице указаны значения мощности некоторых потребителей электрического тока:

Электрический приборМощность,Вт
Лампочка фонарика1
Лампа люминесцентная бытовая5…30
Лампа накаливания бытовая25…150
Холодильник бытовой15…200
Электропылесос100…2 000
Электрический утюг300…2 000
Стиральная машина350…2 000
Электрическая плитка1 000…2 000
Сварочный аппарат бытовой1 000…5 500
Двигатель трамвая45 000…50 000
Двигатель электровоза650 000
Электродвигатели прокатного стана6 000 000…9 000 000

Большинство бытовых приборов рассчитаны на напряжение 220 В, но на разную силу тока. Поэтому мощность потребителей электроэнергии разная.

Литература

  • ГОСТ 8.417-2002 Единицы величин
  • ПР 50.2.102-2009 Положение о единицах величин, допускаемых к применению в Российской Федерации
  • Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. — М: Высшая школа, 1984.
  • Гольдштейн Е. И., Сулайманов А. О., Гурин Т. С. Мощностные характеристики электрических цепей при несинусоидальных токах и напряжениях. ТПУ, — Томск, 2009, Деп. в ВИНИТИ, 06.04.09, № 193—2009. — 146 с.

Дополнительная литература

  • Агунов М. В., Агунов А. В. Об энергетических соотношениях в электрических цепях с несинусоидальными режимами // Электричество, 2005, № 4, С. 53-56.
  • Агунов М. В., Агунов А. В., Вербова Н. М. Новый подход к измерению электрической мощности // Промышленная энергетика, 2004, № 2, С. 30-33.
  • Агунов М. В., Агунов А. В., Вербова Н. М. Определение составляющих полной мощности в электрических цепях с несинусоидальными напряжениями и токами методами цифровой обработки сигналов // Электротехника, 2005, № 7, С. 45-48.
  • Агунов А. В. Неактивные составляющие полной мощности в автономных электротехнических системах судостроения. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. СПб., СПбГМТУ, 1997, 20 с.
  • Агунов М. В. Энергетические процессы в электрических цепях с несинусоидальными режимами и их эффективность. Кишинев-Тольятти: МолдНИИТЭИ, 1997, 84 с.
  • Агунов М. В., Агунов А. В. Об энергетических соотношениях в электрических цепях с несинусоидальными режимами // Электричество, 2005, № 4, С. 53-56.
  • Агунов А. В. Управление качеством электроэнергии при несинусоидальных режимах. СПб., СПбГМТУ, 2009, 134 с.
  • Агунов М. В., Агунов А. В., Вербова Н. М. Новый подход к измерению электрической мощности // Промышленная энергетика, 2004, № 2, С. 30-33.
  • Агунов А. В. Статический компенсатор неактивных составляющих мощности с полной компенсацией гармонических составляющих тока нагрузки // Электротехника, 2003, № 2, С. 47-50.

Ссылки

См. также

Electric Power – Summary – The Physics Hypertextbook

  • … electric-сопротивления
  • electric-power
  • circuit-r…
The Physics Hypertextbook
© 1998–2021 Glenn Elert
Author, Illustrator, Webmaster

Нет постоянных условий .

  1. Механика
    1. Кинематика
      1. Движение
      2. Расстояние и перемещение
      3. Скорость и скорость
      4. Разгон
      5. Уравнения движения
      6. Свободное падение
      7. Графики движения
      8. Кинематика и расчет
      9. Кинематика в двух измерениях
      10. Снарядов
      11. Параметрические уравнения
    2. Динамика I: Сила
      1. Силы
      2. Сила и масса
      3. Действие-реакция
      4. Масса
      5. Динамика
      6. Статика
      7. Трение
      8. Силы в двух измерениях
      9. Центростремительная сила
      10. Кадры справки
    3. Энергия
      1. Работа
      2. Энергия
      3. Кинетическая энергия
      4. Потенциальная энергия
      5. Сохранение энергии
      6. Мощность
      7. Простые машины
    4. Dynamics II: Импульс
      1. Импульс и импульс
      2. Сохранение импульса
      3. Импульс и энергия
      4. Импульс в двух измерениях
    5. Вращательное движение
      1. Кинематика вращения
      2. Инерция вращения
      3. Вращательная динамика
      4. Статика вращения
      5. Угловой момент
      6. Энергия вращения
      7. Прокатный
      8. Вращение в двух измерениях
      9. Сила Кориолиса
    6. Планетарное движение
      1. Геоцентризм
      2. Гелиоцентризм
      3. Вселенская гравитация
      4. Орбитальная механика I
      5. Гравитационная потенциальная энергия
      6. Орбитальная механика II
      7. Плотность вытянутых тел
    7. Периодическое движение
      1. Пружины
      2. Простой генератор гармоник
      3. Маятники
      4. Резонанс
      5. Эластичность
    8. Жидкости
      1. Плотность
      2. Давление
      3. Плавучесть
      4. Расход жидкости
      5. Вязкость
      6. Аэродинамическое сопротивление
      7. Режимы потока
  2. Теплофизика
    1. Тепло и температура
      1. Температура
      2. Тепловое расширение
      3. Атомная природа вещества
      4. Газовые законы
      5. Кинетико-молекулярная теория
      6. Фазы
    2. Калориметрия
      1. Явное тепло
      2. Скрытая теплота
      3. Химическая потенциальная энергия
    3. Теплопередача
      1. Проводимость
      2. Конвекция
      3. Радиация
    4. Термодинамика
      1. Тепло и работа
      2. Диаграммы давление-объем
      3. Двигатели
      4. Холодильники
      5. Энергия и энтропия
      6. Абсолютный ноль
  3. Волны и оптика
    1. Волновые явления
      1. Природа волн
      2. Периодические волны
      3. Интерференция и суперпозиция
      4. Интерфейсы и барьеры
    2. Звук
      1. Природа звука
      2. Интенсивность
      3. Эффект Доплера (звук)
      4. Ударные волны
      5. Дифракция и интерференция (звук)
      6. Стоячие волны
      7. ударов
      8. Музыка и шум
    3. Физическая оптика
      1. Природа света
      2. Поляризация
      3. Эффект Доплера (световой)
      4. Черенковское излучение
      5. Дифракция и интерференция (свет)
      6. Тонкопленочная интерференция
      7. Цвет
    4. Геометрическая оптика
      1. Отражение
      2. Преломление
      3. Зеркала сферические
      4. Сферические линзы
      5. Аберрация
  4. Электричество и магнетизм
    1. Электростатика
      1. Электрический заряд
      2. Закон Кулона
      3. Электрическое поле
      4. Электрический потенциал
      5. Закон Гаусса
      6. Проводников
    2. Электростатические приложения
      1. Конденсаторы
      2. Диэлектрики
      3. Батареи
    3. Электрический ток
      1. Электрический ток
      2. Электрическое сопротивление
      3. Электроэнергия
    4. цепей постоянного тока
      1. Резисторы в цепях
      2. Батареи в цепях
      3. Конденсаторы в цепях
      4. Правила Кирхгофа
    5. Магнитостатика
      1. Магнетизм
      2. Электромагнетизм
      3. Закон Ампера
      4. Электромагнитная сила
    6. Магнитодинамика
      1. Электромагнитная индукция
      2. Закон Фарадея
      3. Закон Ленца
      4. Индуктивность
    7. Цепи переменного тока
      1. Переменный ток
      2. RC цепи
      3. Цепи РЛ
      4. Цепи LC
    8. Электромагнитные волны
      1. Уравнения Максвелла
      2. Электромагнитные волны
      3. Электромагнитный спектр
  5. Современная физика
    1. Относительность
      1. Пространство-время
      2. Масса-энергия
      3. Общая теория относительности
    2. Quanta
      1. Излучение черного тела
      2. Фотоэффект
      3. Рентгеновские снимки
      4. Антиматерия
    3. Волновая механика
      1. Волны материи
      2. Атомарные модели
      3. Полупроводники
      4. Конденсированные вещества
    4. Ядерная физика
      1. Изотопы
      2. Радиоактивный распад
      3. Период полураспада
      4. Энергия связи
      5. Деление
      6. Fusion
      7. Нуклеосинтез
      8. Ядерное оружие
      9. Радиобиология
    5. Физика элементарных частиц
      1. Квантовая электродинамика
      2. Квантовая хромодинамика
      3. Квантовая динамика вкусов
      4. Стандартная модель
      5. Помимо стандартной модели
  6. Фонды
    1. Квартир
      1. Международная система единиц
      2. Гауссова система единиц
      3. Британо-американская система единиц
      4. Разные единицы
      5. Время
      6. Преобразование единиц
    2. Измерение
      1. Значащие цифры
      2. По порядку величины
    3. Графики
      1. Графическое представление данных
      2. Линейная регрессия
      3. Подгонка кривой
      4. Исчисление
    4. Векторы
      1. Тригонометрия
      2. Сложение и вычитание векторов
      3. Векторное разрешение и компоненты
      4. Умножение векторов
    5. ссылку
      1. Специальные символы
      2. Часто используемые уравнения
      3. Физические константы
      4. Астрономические данные
      5. Периодическая таблица элементов
      6. Люди в физике
  7. Назад дело
    1. Предисловие
      1. Об этой книге
    2. Связаться с автором
      1. glennelert.нас
      2. Behance
      3. Instagram
      4. Твиттер
      5. YouTube
    3. Аффилированные сайты
      1. hypertextbook.com
      2. midwoodscience.org

Уравнение электроэнергии

Количество электроэнергии, потребляемой электрической энергией, можно легко рассчитать, а также можно рассчитать стоимость электроэнергии, используемой для конкретного прибора.

Расчет электроэнергии

Количество электроэнергии, передаваемой прибору, зависит от его мощности и продолжительности включения.Количество переданной электрической энергии от сети измеряется в киловатт-часах, кВтч. Одна единица – 1 кВтч.

Формула электрической энергии

E = P × t

  • E – переданная энергия в киловатт-часах, кВтч
  • P – мощность в киловаттах, кВт
  • T – время в часах, ч.

Обратите внимание, что мощность здесь измеряется в киловаттах, а не в обычных ваттах. Чтобы преобразовать Вт в кВт, необходимо разделить на 1000.

Например, 1000 Вт = 1000 ÷ 1000 = 1 кВт.

Также обратите внимание, что здесь время измеряется в часах, а не в секундах. Чтобы перевести секунды в часы, нужно разделить на 3600.

Например, 7200 с = 7200 ÷ 3600 = 2 часа.

Закон Ома

Самым важным описанием электрической энергии является закон Ома. В нем говорится, что

«При постоянной температуре ток через проводник прямо пропорционален разности потенциалов в точках»

т.е.V α I

А также можно записать как V = IR

Где R – сопротивление проводника

Формула для расчета мощности от электрической энергии

Формула, связывающая энергию и мощность:

Энергия = Мощность x Время.

Единица измерения энергии – джоуль, единица мощности – ватт, единица времени – секунда.

Если мы знаем мощность прибора в ваттах и ​​сколько секунд оно используется, мы можем вычислить количество джоулей электрической энергии, которые были преобразованы в другую форму вылета.

Например. Если лампу на 40 ватт включить на один час, сколько джоулей электрической энергии было преобразовано лампой?

Энергия (Вт) = Мощность x Время

Энергия = 40 x 3600

= 14 400 джоулей

Примеры электроэнергии

Рассчитайте количество тепла, выделяемого электрическим утюгом с сопротивлением 30 Ом и потребляющим ток 3 ампера при включении в течение 15 секунд.

Энергия = Мощность x Время

Мощность = I2R

= 32 * 30

= 270 Вт

Энергия = Мощность x Время

= 270 х 15

= 4050 джоулей

Важные факты, касающиеся уравнений электрической энергии

  • Мы платим за энергию (не за заряд, ток или напряжение).
  • Электроэнергетические компании используют внесистемную единицу, кВтч, для расчета наших счетов.

Что нужно запомнить

Электрическая энергия определяется как общая выполненная работа или энергия, поставленная источником ЭДС. в поддержании тока в электрической цепи в течение заданного времени:
Электрическая энергия = электрическая мощность × время = P × t.

Таким образом, формула для электрической энергии имеет вид:

Электрическая энергия = P × t = V × I × t = I2 × R × t = V2t / R.

  • S.I единицей электрической энергии является джоуль (обозначается Дж), где 1 джоуль = 1 ватт × 1 секунда = 1 вольт × 1 ампер × 1 секунда.
  • Коммерческой единицей электроэнергии является киловатт-час (кВтч), где 1 кВтч = 1000 Втч = 3,6 × 106Дж = одна единица потребляемой электроэнергии.
  • Количество единиц потребляемой электроэнергии равно n = (общая мощность × время в часе) / 1000.
  • Стоимость потребления электроэнергии в доме = нет. единиц потребляемой электрической энергии × количество на одну единицу электрической энергии.

Электроэнергия прочие виды

Power – Мощность и эффективность – Edexcel – GCSE Physics (Single Science) Revision – Edexcel

Когда работа выполняется с объектом, происходит передача энергии. Скорость, с которой эта энергия передается, называется мощностью. Таким образом, чем мощнее устройство, тем больше энергии оно передает каждую секунду.

Расчетная мощность

Уравнение, используемое для расчета мощности, выглядит следующим образом:

\ [power = \ frac {work \ done} {time \ take} \]

\ [P = \ frac {E} {t } \]

Это когда:

  • мощность ( P ) измеряется в ваттах (Вт)
  • выполненная работа ( E ) измеряется в джоулях (Дж)
  • время ( t ) равно измеряется в секундах (с)

Один ватт равен одному джоулю в секунду (Дж / с).Это означает, что на каждый дополнительный джоуль, передаваемый в секунду, мощность увеличивается на один ватт.

Пример

Два электродвигателя используются для подъема груза 2 Н на высоту 10 м по вертикали.

Первый мотор делает это за 5 секунд.

Второй двигатель делает это за 10 секунд.

Для обоих двигателей переданная энергия – проделанная работа – составляет 20 Дж.

\ [E = F \ times d = 2 \ times 10 = 20 \\ Дж \]

Для одного двигателя:

\ [ P = \ frac {E} {t} = \ frac {20} {5} = 4 \\ W \]

Для второго двигателя:

\ [P = \ frac {E} {t} = \ frac { 20} {10} = 2 \\ W \]

Поскольку один двигатель в секунду передает в два раза больше энергии, можно сказать, что двигатель один в два раза мощнее, чем двигатель два.

Вопрос

Фен передает 48 000 Дж энергии за одну минуту. Какая мощность у фена?

Показать ответ

\ [P = \ frac {E} {t} \]

\ [P = \ frac {48,000} {60} \]

\ [P = 800 \\ W \]

Мощность – это количество энергии, передаваемое за секунду.

Power Series / Великая формула Эйлера | Деривативы (12 видео) | Основные моменты Calculus

Связанные ресурсы

Краткое содержание лекции и практические задачи (PDF)

ГИЛБЕРТ СТРЕНГ: Хорошо, я думал, что сегодня расскажу о степенных рядах.Это степени x. Я буду продолжать. Все силы, от x до четвертого, от x до пятого, тоже войдут. И моя идея состоит в том, чтобы объединить их, сложить, чтобы получить функцию от x. Итак, мы занимаемся расчетом, но это новая его часть, с этими бесконечными рядами.

Так что я подразумеваю под их объединением? Я имею в виду, что я умножу эти силы на некоторые числа. Позвольте мне позвонить по этим номерам a0. Итак, этот первый парень будет a0, а затем я добавлю a1 x. Я кончил. Я добавлю a2 x в квадрате, a3 x в кубе и далее.Итак, теперь у меня есть функция. И эту функцию позвольте мне назвать f of x. Итак, вот мой начальный план.

Ну, мы видели это от е до х. Позвольте мне вспомнить, как может появиться e к x, ряду для этой конкретной функции. Итак, вот план. Я собираюсь выбрать эти а так, чтобы они совпадали – позвольте мне записать эти слова. Я сопоставлю, когда x равно 0. Функция, ее производная, ее следующая производная, ее третья производная и далее.

Каждый a, как и a3, будет выбран так, чтобы в правой части была правильная производная, третья производная, при x, равном 0.Итак, этот ряд Тейлора – имя Тейлора связано с такими рядами – все происходит в точке x, равной 0.

Итак, в случае от e до x, все его производные были одинаковыми. Еще е до х. И все они равны 1 при x равном 0. Поэтому я хочу, чтобы эта функция давала мне 1 для каждой производной. Это не значит, что все а должны быть 1.

Почему бы и нет? Потому что, когда я возьму производную, например, этого парня, эта первая производная в кубе x будет равна 3x в квадрате. Следующая производная 6х.Следующая производная 6. Это то, что я хочу. Эта третья производная, но это будет 6, поэтому a3 должно быть 1/6, чтобы дать мне правильный ответ 1. Позвольте мне записать эти вещи.

Итак, мы только что сделали производную от x до n-го. N-я производная. Какая n-я производная от x до n? Мы можем использовать нашу красивую формулу для производных. Итак, первая производная равна nx до n минус 1. Производная от этой производной будет n раз n минус 1 x в одну меньшую степень. Продолжайте, сделайте это n раз, и что у вас есть?

Наконец-то вы перешли к 0-й степени x – константе.Но что это за константа? Это n умноженное на n минус 1, так что n-я производная будет равна n от первой, n минус 1 от второй. Продолжайте умножать, пока, наконец, не дойдете до 1. И, конечно же, он называется потому, что встречается достаточно часто, чтобы иметь собственное особое имя. Это имя n факториал. И написано с восклицательным знаком. Итак, это n факториал и n-я производная x от n.

Итак, для конкретной функции e от x, если я вычислил ее ряд, все производные, которые я пытаюсь получить, будут равны единице.Но что силы x дают мне эти n факториалов. Лучше делить a на факториал n. Итак, позвольте мне вспомнить серию от e до x, а затем перейти к новым функциям. В этом суть моей лекции. Итак, мы переводим e в x немного иначе, чем в исходном, но это хороший способ. От е до x в точке x, равной 0, будет 1. При первой производной от e до x, равной 1, я делю на 1 факториал. Это 1. Но здесь мне нужно разделить на 2, потому что вторая производная равна 2, и я хочу, чтобы их отменили.И здесь я делю на … на что делить? 6, потому что третья производная равна 6. И типичный член – мне нужно разделить на n факториал, потому что, когда я беру n производных, я получаю n факториал. N-я производная от того, что мы только что разработали, является n-факториальной. Итак, я делю факториал на n, и у меня получается производная 1. И это правильно, если e до x. Итак, план состоит в том, чтобы сопоставление производных в x равнялось 0 каждой степенью x. И теперь я готов к новой функции. И хороший выбор – sine x.

Итак, теперь на этой доске, если я могу прийти сюда, я возьму на себя другую функцию. Больше не е на х. Моя функция будет синусом x. Что ж, я лучше разберусь со всеми его производными. И они, конечно, милые. Синус x, его производная. Могу я просто перечислить их все? Это то, чему я должен соответствовать. Я подставлю x равным 0. Но позвольте мне сначала найти производные. Производная синуса – косинус. Производная косинуса минус синус. Производная минус синуса минус косинус.А потом я снова возвращаюсь к синусу и повторяюсь вечно. Это список производных синуса x. Это мой f of x здесь. Этот парень, первый.

Хорошо, теперь я подставляю x, равный 0, потому что я хочу, чтобы все производные были равны 0. Вся серия строится с фокусом на этой точке, x равно 0. Таким образом, при x, равном 0, это легко подключить. Синус равен 0 , косинус равен 1, минус синус равен 0. Минус косинус равен минус 1. Синус равен 0. И повторите. 0, 1, 0, минус 1 навсегда.

Хорошо, я знаю производные, которые мне нужно сопоставить.Теперь могу я построить соответствующий этому степенной ряд?

Хорошо, так что степенной ряд даст мне синус x, а что он будет иметь? Он начинается с 0. Постоянный член равен 0, потому что синус 0, когда x равен 0 – конечно, мы хотим получить ответ 0.

Затем следующий член, x, его коэффициент равен 1. 1x . Нет x в квадрате синуса x. Нет x в квадрате. Но теперь минус. У меня есть минус 1x в кубе? Не совсем. Минус x в кубе, но мне нужно разделить на 6, потому что когда я возьму эти три производные, получится 6.Поэтому мне нужно разделить на 6, что является 3 факториалом. Это действительно номер, который там есть. 3 раза 2 раза 1. 6.

Теперь член четвертой степени, х до четвертой нет. x к пятому придет с плюсом. Так что от этого парня есть плюс. Это x для 0, 1, 2, 3, 4, 5. x для пятого. И что мне теперь делить? 5 факториал. 120. А потом минус и так далее. Минус x до седьмого факториала больше 7. Мы создали степенной ряд около 0, сосредоточив внимание на 0. И позвольте мне удалить это 1, потому что это просто пустая трата места.

x минус x в кубе. Все нечетные степени, и это потому, что синус x – нечетная функция. Если я перейду с x на минус x, все поменяет знак.

Что произойдет, если я подключу x, равное pi? Предположим, я взял x равным пи в этой формуле для синуса x. Эта бесконечная формула действует вечно.

Ну, я бы взял число пи минус пи в кубе больше 6 плюс пи до пятого больше 120. Это выглядело бы нелепо. Но мы с вами знаем, что ответ должен появиться. Правильный синус числа пи? 0.Я не планирую этого делать, но это должно сработать. Ладно, это синус. Это синус. И это странная серия.

Хорошо, хороший пример. Его близнец должен появиться здесь. Косинус. Какой ряд для косинуса? Это две серии, о которых стоит знать. Вы заметили здесь наклон 1, главное, что наклон синуса x в точке x равен 0, наклон равен 1. И у него наклон 1.

Хорошо, а как насчет косинуса? Что ж, теперь я должен подключиться. Хорошо, косинус начинается здесь.Косинус минус синус минус косинус. Теперь моя f x будет косинусом x. И мне нужны его производные. У меня снова будут три строки, которые будут выглядеть точно так же, как эти три строки. Но они будут для косинуса. Итак, они начинаются с косинуса. Его производная минус синус. Его производная – минус косинус. Его производная какая? Плюс синус, затем косинус и навсегда минус синус. И позвольте мне подключиться сейчас, когда x равно 0. Это наша система. Найдите производные, подставьте 0. Итак, найдите производную в 0.

Ну, сама функция, нулевая производная равна 1. Первая производная равна 0. Вторая производная равна минус 1. Третья равна 0. Четвертая производная равна плюс 1, 0 и так далее. Это та же линия, что и у нас, но только начинается на 1. Начиная с косинуса.

Я знаю, какие производные мне нужны, теперь мне просто нужно создать свой ряд для косинуса x, который соответствует этим числам.

Еще раз. Просто сопоставьте эти числа с коэффициентами, которые я первоначально назвал a0, a1, a2, a3, но теперь у нас есть числа.

Хорошо, при x равно 0. Итак, как начинается эта серия? Когда x равен 0, косинус 0 равен 1. Он начинается с 1. Это постоянный член, стоящий там. Коэффициент при x, линейный член равен 0. Поскольку косинус имеет наклон 0 в начале. Затем мы подходим к чему-то, что обнаруживается. Минус. Это будет … Что мы будем делать? Это константа, первая сила ушла. Вторая степень минус x в квадрате.

Но вы знаете, хочу ли я сопоставить вторую производную, чтобы она стала b минус 1.Сейчас это минус 2. Дифференциация дала бы мне 2x и 2. Так что мне нужно разделить на 2 или 2 факториала. Теперь все хорошо. Теперь она соответствует правильной второй производной минус 1. Тогда нет третьей производной. Четвертая производная равна плюс 1 x четвертому факториалу из четырех. А затем минус и так далее, x до шестого факториала над 6. Все четные полномочия, так что это четные полномочия. 0-я, вторая, четвертая, шестая степень. Так что это четная функция. Это означает, что косинус минус x в точности совпадает с косинусом x.Мы получили хорошее представление об этих двух особых группах, для которых синус является прекрасным примером нечетной функции, а косинус – прекрасным примером четной функции.

Ну, тут столько всего. Что будет, если я прерву серию? Я просто хочу взглянуть на эти первые термины, чтобы понять, что они представляют.

Предположим, я остановился на этом после линейного члена. Что у меня есть? Что это за х сам по себе? На самом деле это 0 плюс x, потому что из постоянного члена был 0.Это линейное приближение. Это дает мне уравнение касательной, y равно x, наклон 1.

Более интересно, отрезайте это. Отрежьте вот это. Это очень важная оценка. Это не точный косинус, потому что точный косинус есть у всех этих более поздних ребят. Но не забывайте, и я должен был сказать это с самого начала, эти n факториалов быстро растут. И все серии, о которых мы говорим, поскольку эти n факториалов растут так быстро, и я делю на них, я могу взять любой x и получить разумное число.

Если я возьму x равным пи, то эта серия синусов дала мне 0.

Что я получу, если вставлю x равным пи в ряд косинусов? Итак, ряд косинусов, если бы я подключил x к числу пи и набрался терпения, чтобы пойти довольно далеко, мои числа приблизились бы к косинусу числа пи. Что было бы минус 1. Я не вижу выхода минус 1. Вот 1 минус 1/2 числа пи в квадрате. Я не знаю, это примерно – 1/2 пи в квадрате может быть около 5 или около того. Но они сбивают друг друга. Они становятся очень маленькими, и мы получаем ответ минус 1.

Хорошо, это две важные серии, и теперь я должен рассказать вам о великой формуле Эйлера. Он связывает эти три серии, которые вы видели. Но чтобы установить эту связь, я должен ввести мнимое число i. Это нормально? Только представьте себе номер i. И все знают, что вы должны вообразить. Вы должны представить, что i в квадрате – это минус 1. И все мы знаем, что настоящего числа нет. Квадрат действительного числа всегда будет больше или равен 0. Итак, давайте просто создадим символ i с правилом, понимая, что каждый раз, когда мы видим квадрат i, я имею право написать минус 1.

ОК. Итак, какова великая формула Эйлера? Великая формула Эйлера, его блестящая идея заключалась в том, чтобы преобразовать x в этом e в ряд x, сделать x мнимым. Измените x на ix. Так что сделайте это мнимым числом. Так что могу я просто взять Эйлера, взять серию Тейлора или, может быть, Эйлера тоже, потому что эта буква е является его инициалом. Вероятно, так и было. Думаю, именно поэтому он нашел эту прекрасную связь.

Итак, если я возьму e в ix, а вместо x в этой серии я поставлю ix, просто сделайте это.Пусть x мнимый. Хорошо, могу я выписать серию 1 плюс – вместо x у меня ix. И тогда у меня есть 1 более 2 факториала ix в квадрате. И затем у меня есть 1 более 3 кубов факториала ix. И 1 по 4 факториала ix до четвертого. Это е к ix.

Хорошо, вы говорите, вы только что изменили x на ix. Это все, что я сделал. Теперь вот в чем дело.

Теперь я собираюсь взглянуть на этот беспорядок и отделить реальную часть от воображаемой. Я собираюсь разделить его на реальную и мнимую части.Так что же в этой штуке настоящего? Я вижу, что один, безусловно, реальное число. Вы видите другую, следующую, настоящую? Это происходит из этого я в квадрате. То, что я поставил в квадрат, я могу заменить на минус 1, совершенно реально. Итак, это минус от факториала i, возведенного в квадрат 1 над 2. x в квадрате все еще существует. В квадрате i было минус 1. Вот и все. А потом что-то пошло бы от i до четвертого. Потому что какое я до четвертого? Это я в квадрате минус 1 в квадрате. Мы вернемся к плюсу 1. Итак, плюс. Хороший.

Теперь идет часть, в которой есть «i», и единственная «i», с которой мне приходится жить.Так что i умножается на x. Теперь у меня есть кубик. Как мне работать с кубиком? i в кубе – это квадрат минус 1, умноженный на i. Я возведенный в квадрат, умноженный на i, равен минус i. Так что у меня минус i. 1 над 3 факториалом и x в кубе и так далее.

Вы видите, что у нас есть? Вы понимаете, что это за настоящая часть от е до ix? Это косинус. Прямо там то же самое. Итак, я получаю косинус x для действительной части, а затем я умножаю эту серию. И вы можете увидеть, что это за серия. Это ряд синусов, x минус 1/6 x в кубе плюс 1/20 от x до пятого синуса x.Есть великая формула Эйлера, которая гласит, что е – ix … о, лучше я напишу ее на новой доске. Может, я просто напишу это здесь.

Я собираюсь скопировать с этой доски мою великую формулу Эйлера о том, что e – ix имеет действительную часть cos x. Мнимая часть дает мне синус x. И я это запишу. Теперь позволь мне поработать здесь. от e до ix равно cos x плюс i синус x. И я хочу нарисовать картинку. Хорошо, вот картинка.

На самом деле Эйлер часто писал свою формулу, или мы часто пишем его формулу, потому что берем косинусы и синусы.Как-то х не такой – это углы. Так что более естественно писать … Теперь, когда мы появились с синусами и косинусами, более естественно написать символ, который мы думаем как угол, такой как тета. Таким образом, вы чаще видели бы это таким образом. Я просто меняю буквы с х на тета, чтобы запомнить, что это угол. А сейчас нарисую.

Итак, я должен это нарисовать. Хорошо, это реальное направление, а это воображаемое направление. Я просто иду, это настоящая часть. Я иду сюда, потому что тета.Итак, пусть это будет cos theta. А потом я иду вверх в воображаемом вверх или вниз. Итак, поперек – это реальная часть, а вверх / вниз – воображаемая часть. Скажите sine theta, я поднимаюсь. Эта высота – синус-тета, а этот угол – тета. Фантастика. Это картина формулы Эйлера. Что ж, это лучший способ увидеть это красивое заявление. И это изображение, чтобы напомнить нам. Мы бы сказали, что это комплексная плоскость, потому что точки состоят из двух частей: действительной и мнимой. В этом нет ничего сложного.

Прежде чем я остановлюсь, мы сделали три важных серии.Могу я упомянуть еще две, еще две из длинного списка возможностей? Одна из самых важных серий, где все коэффициенты равны единицам. Таким образом, все коэффициенты равны единицам. Это называется геометрической серией. Позвольте мне написать здесь его название. Это сериал Тейлора. Это силовой ряд. И функция, из которой оно происходит, оказывается 1 больше 1 минус x. Это функция.

И вы увидите, почему, если вы умножите обе части на 1 минус x, я получу 1 здесь. Если вы посмотрите, все будет отменено, кроме 1.Итак, это все.

Теперь есть существенная разница между этой серией и e до x. Самая большая разница в том, что мы больше не делим на факториал n. И в результате эти термины не обязательно становятся все меньше, меньше и меньше. Если x не ниже 1. Итак, мы в порядке, если x ниже 1. И x может быть отрицательным. Я даже могу сказать, что абсолютное значение x меньше 1, тогда эти члены станут меньше. Но при x, равном 1, мы мертвы. При x равно 1 у меня 1 плюс 1 плюс 1 плюс 1. Все единицы. Я получаю бесконечность.И с левой стороны я тоже получаю бесконечность. При x равняется 1 взрыву.

Хорошо, еще одна серия, и все готово. Еще один. Это аккуратный, потому что он вводит логарифм. Как я его получу? Я собираюсь начать с этой большой серии, геометрической. И я собираюсь взять интеграл каждого члена.

Итак, если я интегрирую 1, я получаю x. Если я проинтегрирую x, я получу x в квадрате больше 2. Если я интегрирую x в квадрате, я получу x куб больше 3. x четвертый больше 4 и так далее. Не 3-х факторный, а только 3-х.

И если я интегрирую это, что ж, позвольте мне записать ответ, а затем мы можем взять его производную и сказать: да, она дает это. Так что ответ отрицательный. Этот знак минус отображается здесь как минус логарифм 1 минус x. Потому что, если я возьму производную от этой функции, логарифм всегда помещает эту внутреннюю функцию вниз, а затем производную внутренней функции, цепное правило выводит минус 1, а минус 1 исчезает, и это красиво.

Так что просто взгляните на эту серию, а затем на логарифм.Логарифм 1 минус x. Опять же, мы сопоставляем при x, равном 0. При x, равном 0, с этой функцией все в порядке. Фактически, если x равно 0, что это за функция? Логарифм 1, который равен 0, и нет постоянного члена. Хороший.

Хорошо, что можно сказать об этом последнем примере? Этот подходил для x меньше 1. Но затем он умер при x, равном 1.

Этому, ну, ему немного помогает деление на 3, 4 и 5. Но это ничтожная помощь. Это никак не сравнить с делением на 3 факториала, 4 факториала и т. Д., Которое действительно поможет.Так что, на самом деле, эта серия также хороша только тогда, когда x равно 1. Если x равно 1, она снова терпит неудачу. Что у меня есть при x, равном 1? Когда x равен 1, у меня логарифм 0 минус бесконечность. У меня бесконечность при x равно 1. При x, равном 1, это 1 плюс 1/2 плюс 1/3 плюс 1/4 плюс 1/5. Становится меньше, но не очень быстро и складывается до бесконечности. Так что есть целая дискуссия. Мы могли потратить часы на эту знаменитую серию, 1 плюс 1/2 плюс 1/3 плюс четверть и другие серии чисел. Я хотел заниматься исчислением, производными, интегралами, поэтому я взял функции и ряды степеней, а не ряды чисел, чтобы проиллюстрировать это.Хорошо. Спасибо.

ДИКТОР: Это продукт MIT OpenCourseWare и Gilbert Strang.

Финансирование этого видео было предоставлено Фондом лордов.

Чтобы помочь OCW продолжать предоставлять бесплатный и открытый доступ к курсам MIT, сделайте пожертвование на странице ocw.mit.edu/donate.

% PDF-1.5 % 186 0 obj> эндобдж xref 186 92 0000000016 00000 н. 0000003171 00000 п. 0000002136 00000 п. 0000003345 00000 н. 0000003964 00000 н. 0000004004 00000 п. 0000004051 00000 н. 0000004116 00000 п. 0000004343 00000 п. 0000004449 00000 н. 0000004616 00000 н. 0000004915 00000 н. 0000005231 00000 п. 0000049796 00000 п. 0000049832 00000 п. 0000052489 00000 п. 0000052648 00000 п. 0000052804 00000 п. 0000052963 00000 п. 0000053123 00000 п. 0000053286 00000 п. 0000053454 00000 п. 0000053619 00000 п. 0000053820 00000 п. 0000054120 00000 п. 0000054211 00000 п. 0000055403 00000 п. 0000055564 00000 п. 0000055728 00000 п. 0000056005 00000 п. 0000056756 00000 п. 0000057340 00000 п. 0000057850 00000 п. 0000058452 00000 п. 0000058905 00000 п. 0000059467 00000 п. 0000059532 00000 п. 0000059596 00000 п. 0000059974 00000 н. 0000060583 00000 п. 0000061083 00000 п. 0000061458 00000 п. 0000061981 00000 п. 0000062507 00000 п. 0000063266 00000 п. 0000063785 00000 п. 0000064411 00000 п. 0000064930 00000 н. 0000065452 00000 п. 0000069069 00000 п. 0000072170 00000 п. 0000075480 00000 п. 0000078573 00000 п. 0000081705 00000 п. 0000084995 00000 п. 0000085426 00000 п. 0000085942 00000 п. 0000086700 00000 п. 0000087209 00000 п. 0000087822 00000 п. 0000088305 00000 п. 0000091432 00000 п. 0000095392 00000 п. 0000095564 00000 п. 0000095777 00000 п. 0000095949 00000 п. 0000096018 00000 п. 0000096072 00000 п. 0000096128 00000 п. 0000096184 00000 п. 0000096357 00000 п. 0000096438 00000 п. 0000101142 00000 н. 0000107059 00000 н. 0000112099 00000 н. 0000116937 00000 п. 0000125004 00000 н. 0000130029 00000 н. 0000134219 00000 п. 0000138889 00000 н. 0000142465 00000 н. 0000147625 00000 н. 0000154660 00000 н. 0000154806 00000 н. 0000155182 00000 н. 0000159726 00000 н. 0000160190 00000 п. 0000160694 00000 н. 0000198095 00000 н. 0000198996 00000 н. 0000249569 00000 н. 0000250067 00000 н. трейлер ] >> startxref 0 %% EOF 188 0 obj> поток xb“c`dc`g` Ā

Что такое экспонента?

МАТЕМАТИКА ОБЗОР: ПОЛЕЗНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ

РАЗДЕЛ 3.2. ЧТО ТАКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬ?


назад к экспонентам, стр. 1

Сначала давайте посмотрим, как работать с переменными в заданной степени, например, 3 .

Есть пять правил работы с экспонентами:

1. a m * a n = a (m + n)

2. (a * b) n = a n * b n

3.(a m ) n = a (m * n)

4. a m / a n = a (m-n)

5. (a / b) n = a n / b n

Давайте подробно рассмотрим каждый из них.

1. a m * a n = a (m + n) говорит, что когда вы берете число a, умноженное на себя m раз, и умножьте это на то же число a, умноженное само на себя n раз, это то же самое, что взять это число a и возвести его в степень, равную сумме m + n.

Вот пример, где

a = 3
м = 4
n = 5

a м * a n = a (m + n)

3 4 * 3 5 = 3 (4 + 5) = 3 9 = 19,683

2. (а * б) n = a n * b n говорит, что при умножении два числа, а затем умножьте это произведение на себя n раз, это то же самое, что умножить первое число на себя n раз и умножить что на второе число, умноженное на себя n раз.

Давайте разберемся, где

a = 3
b = 6
n = 5

(а * б) n = a n * b n

(3 * 6) 5 = 3 5 * 6 5

18 5 = 3 5 * 6 5 = 243 * 7,776 = 1,889,568

3. ( м ) n = a (m * n) говорит, что когда вы берете число, a, и умножьте его на себя m раз, затем умножьте это произведение на себя n раз, это то же самое, что умножение числа a само по себе m * n раз.

Разберемся на примере где

a = 3
m = 4
n = 5

( м ) n = (м * п)

(3 4 ) 5 = 3 (4 * 5) = 3 20 = 3 486 784 401

4. a m / a n = (m-n) говорит, что когда вы возьмите число a и умножьте его на себя m раз, затем разделите этот продукт умножен на себя n раз, это то же самое как умноженное на себя m-n раз.

Вот пример, где

а = 3
м = 4
п = 5

a m / a n = a (m-n)

3 4 /3 5 = 3 (4-5) = 3 -1 (Помните, как поднять число до отрицательной степени.)

3 4 /3 5 = 1/3 1 = 1/3

5. (а / б) n = a n / b n говорит что когда вы делите число, a на другое число, b, а затем умножьте это частное само по себе n раз, это то же самое, что умножение числа на само себя n раз, а затем разделив этот продукт на число b, умноженное сам по себе n раз.

Давайте разберемся, где

а = 3
б = 6
п = 5

(a / b) n = a n / b n

(3/6) 5 = 3 5 /6 5

Помните, что 3/6 можно уменьшить до 1/2. Итак, имеем:

(1/2) 5 = 243 / 7,776 = 0.03125

Понимание экспонентов подготовит вас к использованию логарифмов.

в логарифмах


Для подробнее об этом сайте свяжитесь с Distance Координатор по образованию.

Авторские права © 2004 г. регентами Миннесотского университета, равные возможности работодатель и педагог.

Функция POWER в Excel (формула, примеры)

В математике у нас были показатели степени, которые были степенью данного любого основного числа, в Excel у нас есть аналогичная встроенная функция, известная как функция POWER, которая используется для вычисления мощности заданное число или основание, чтобы использовать эту функцию, мы можем использовать ключевое слово = POWER (в ячейке и предоставить два аргумента: один как число, а другой как мощность.

Мощность в Excel

Степень в Excel – это математическая / тригонометрическая функция, вычисляющая и возвращающая результат числа, возведенного в степень. Функция Power Excel принимает два аргумента: основание (любое действительное число), и показатель степени (степень , которая означает, сколько раз данное число будет умножено само на себя). Это означает, что, например, умножение 5 на степень 2 равно 5 x5.

Формула функции МОЩНОСТИ


Объяснение функции POWER в Excel

Power в Excel принимает оба аргумента как числовое значение; следовательно, переданные аргументы имеют целочисленный тип, где Number – это базовое число, а Power – это показатель степени.Оба аргумента обязательны и не являются необязательными.

Мы можем использовать степенную функцию в Excel разными способами, например, для математических операций, уравнения степенной функции, и можем использовать для вычисления реляционных алгебраических функций. n (x в степени n), где y зависит от значения x, а n – показатель степени.2 (= МОЩНОСТЬ (10,2)

Теперь, выбрав значения x и y из диапазона B4: K5, выберите график (в данном случае мы выбрали диаграмму рассеяния с плавными линиями) на вкладке вставки.

Итак, мы получили линейный экспоненциальный график для данного уравнения функции POWER.

POWER в примере Excel # 2

В алгебре у нас есть квадратное уравнение функции POWER, которое представлено как ax 2 + bx + c = 0, где x неизвестно, а a, b и c – коэффициенты.Решение этого уравнения функции POWER дает корни уравнения, то есть значения x.

Корни квадратного уравнения функции МОЩНОСТИ вычисляются по следующей математической формуле

  • x = (-b + (b 2 -4ac) 1/2 ) / 2a
  • x = (-b- (b 2 -4ac) 1/2 ) / 2a

b 2 -4ac называется дискриминантом и описывает количество корней квадратного уравнения функции мощности.2.

У нас есть пять квадратных уравнений функции СТЕПЕНЬ, и мы будем решать их, используя формулу с помощью функции СТЕПЕНЬ в excel, чтобы найти корни.

В первом уравнении функции МОЩНОСТИ a = 4, b = 56 и c = -96, если мы математически решим их, используя приведенную выше формулу, мы получим корни -15,5 и 1,5

Чтобы реализовать это в формуле Excel, мы будем использовать функцию СТЕПЕНЬ в Excel, и формула будет

  • = ((- 56 + POWER (POWER (56,2) – (4 * 4 * (- 93)), 1/2))) / (2 * 4) даст первый корень, а
  • = ((-56-СТЕПЕНЬ (МОЩНОСТЬ (56,2) – (4 * 4 * (- 93)), 1/2))) / (2 * 4) даст второй корень уравнения

Итак, полная формула будет,

= “Корни уравнений:” & “” & ((- 56 + МОЩНОСТЬ (МОЩНОСТЬ (56,2) – (4 * 4 * (- 93)), 1/2))) / (2 * 4) & »,« & ((- 56-МОЩНОСТЬ (МОЩНОСТЬ (56,2) – (4 * 4 * (- 93)), 1/2))) / (2 * 4)

Обе формулы объединяются вместе со строкой «Корни уравнения есть».

Используя ту же формулу для другого уравнения функции МОЩНОСТИ, мы имеем,

Вывод:

POWER в примере Excel № 3

Итак, для различных математических вычислений мы можем использовать функцию СТЕПЕНЬ в Excel.

Предположим, мы должны определить сложный процент Сложный процент – это проценты, полученные от первоначальной основной суммы и ранее накопленной суммы процентов. Это также известно как «процент по проценту» и всегда выше, чем простой процент.подробнее для которого формула

Сумма = Основная сумма (1 + r / n) nt

  • Где r – процентная ставка, n – количество начисленных процентов в год, а t – время.
  • Если сумма в размере 4000 долларов депонируется на счет (сбережения) с процентной ставкой 5% в год, начисляемой ежемесячно, стоимость инвестиции через 5 лет может быть рассчитана с использованием приведенной выше формулы сложных процентов.
  • Где основная сумма = 4000 долларов, ставка = 5/100, то есть 0.05, n = 12 (начисляется ежемесячно), время = 5 лет

Используя формулу сложных процентов и реализовав ее в формуле Excel с помощью функции СТЕПЕНЬ в Excel, мы получили формулу.

= B2 * (МОЩНОСТЬ ((1+ (B3 / B5)), (B4 * B5)))

Итак, инвестиционный баланс через 5 лет составляет 5,133,43 доллара США

POWER в примере Excel # 4

Согласно закону тяготения Ньютона, два тела на расстоянии r от их центра тяжести притягивают друг друга во Вселенной в соответствии с гравитационной формулой POWER Excel.30 будет представлено как 1,98 * Мощность (10,30), аналогично другим значениям.

  • Итак, формула POWER Excel для расчета силы будет = (6,67 * МОЩНОСТЬ (10, -11) * 1,98 * МОЩНОСТЬ (10,30) * 5,97 * МОЩНОСТЬ (10,24)) / МОЩНОСТЬ (1,496 * СТЕПЕНЬ (10,11), 2)
  • Поскольку значение, полученное как сила, представляет собой большое число в Excel, выраженное в научном представлении В Excel, научное представление – это особый стиль записи чисел в научной и экспоненциальной формах. Научная нотация компактно помогает отображать значения, позволяя нам сравнивать и использовать их в расчетах.Подробнее. Чтобы преобразовать его в дробь, измените формат на дробь.

    Вывод:

    Итак, Солнце притягивает Землю с силой величиной 35229150283107

    0000 Ньютон.

    Рекомендуемые статьи

    Это руководство по функции POWER в Excel. Здесь мы обсуждаем формулу POWER в Excel и как использовать функцию POWER Excel вместе с примером Excel и загружаемыми шаблонами Excel. Вы также можете посмотреть эти полезные функции в excel –

    Пакет All in One Excel VBA (35 курсов с проектами)