Задачи по теме “Сила Ампера. Сила Лоренца”. 11 класс

11 кл. Сила Ампера. Сила Лоренца.

№1. Альфа-ча­сти­ца вле­та­ет в од­но­род­ное маг­нит­ное поле со ско­ро­стью . Ука­жи­те пра­виль­ную тра­ек­то­рию альфа-ча­сти­цы в маг­нит­ном поле.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ре­ше­ние.

На любую дви­жу­щу­ю­ся за­ря­жен­ную ча­сти­цу в маг­нит­ном поле дей­ству­ет сила Ло­рен­ца, ве­ли­чи­на ко­то­рой имеет вид: , где   — угол между на­прав­ле­ни­я­ми век­то­ра маг­нит­ной ин­дук­ции  и век­то­ра ско­ро­сти . Из ри­сун­ка в усло­вии видно,что ча­сти­ца вле­та­ет в маг­нит­ное поле вдоль си­ло­вой линии, а зна­чит, , и маг­нит­ное поле на ча­сти­цу дей­ство­вать не будет, ее тра­ек­то­рия будет пред­став­лять собой пря­мую линию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№2. В каком на­прав­ле­нии нужно дви­гать в од­но­род­ном маг­нит­ном поле  то­чеч­ный заряд , для того, чтобы дей­ству­ю­щая на него сила Ло­рен­ца при оди­на­ко­вой по мо­ду­лю ско­ро­сти этого дви­же­ния была мак­си­маль­ной?

 

 

Ре­ше­ние.

Ве­ли­чи­на силы Ло­рен­ца да­ет­ся вы­ра­же­ни­ем  где   —   угол между на­прав­ле­ни­ем поля и век­то­ра ско­ро­сти. Сле­до­ва­тель­но, для того, чтобы сила Ло­рен­ца была мак­си­маль­на, заряд нужно дви­гать пер­пен­ди­ку­ляр­но ли­ни­ям маг­нит­но­го поля.

Пра­виль­ный ответ: 3.

Спрятать решение 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№3. Квад­рат­ная рамка рас­по­ло­же­на в од­но­род­ном маг­нит­ном поле в плос­ко­сти линий маг­нит­ной ин­дук­ции (см. ри­су­нок). На­прав­ле­ние тока в рамке по­ка­за­но стрел­ка­ми. Как на­прав­ле­на сила, дей­ству­ю­щая на сто­ро­ну bc рамки со сто­ро­ны внеш­не­го маг­нит­но­го поля ?

 

№4.Ней­трон вле­та­ет в од­но­род­ное маг­нит­ное поле со ско­ро­стью . Ука­жи­те пра­виль­ную тра­ек­то­рию ней­тро­на в маг­нит­ном поле.

 

 

Ре­ше­ние.

Сила Ло­рен­ца со сто­ро­ны маг­нит­но­го поля дей­ству­ет толь­ко на дви­га­ю­щи­е­ся за­ря­жен­ные ча­сти­цы. Ней­трон  — ней­траль­ная ча­сти­ца, она не несет элек­три­че­ско­го за­ря­да, по­это­му сила Ло­рен­ца на него не дей­ству­ет и не ока­зы­ва­ет ни­ка­ко­го вли­я­ния на его тра­ек­то­рию. Ней­трон про­дол­жит дви­гать­ся рав­но­мер­но и пря­мо­ли­ней­но

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№5.

По­ло­жи­тель­но за­ря­жен­ная ча­сти­ца дви­жет­ся в од­но­род­ном маг­нит­ном поле со ско­ро­стью , на­прав­лен­ной пер­пен­ди­ку­ляр­но век­то­ру маг­нит­ной ин­дук­ции  (см. ри­су­нок). Как на­прав­ле­на сила Ло­рен­ца, дей­ству­ю­щая на ча­сти­цу?

 

№6.  Элек­трон  имеет ско­рость , на­прав­лен­ную го­ри­зон­таль­но вдоль пря­мо­го длин­но­го про­вод­ни­ка с током I (см. ри­су­нок). Куда на­прав­ле­на дей­ству­ю­щая на элек­трон сила Ло­рен­ца ?

 

Ре­ше­ние.

Со­глас­но пра­ви­лу пра­вой руки: «Если от­ве­ден­ный в сто­ро­ну боль­шой палец пра­вой руки рас­по­ло­жить по на­прав­ле­нию тока, то на­прав­ле­ние об­хва­та про­во­да че­тырь­мя паль­ца­ми по­ка­жет на­прав­ле­ние линий маг­нит­ной ин­дук­ции». Сле­до­ва­тель­но, век­тор маг­нит­ной ин­дук­ции поля, со­зда­ва­е­мо­го про­вод­ни­ком в точке, где на­хо­дит­ся элек­трон, на­прав­лен пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ри­сун­ка от нас.

 

На­прав­ле­ние силы Ло­рен­ца опре­де­ля­ет­ся пра­ви­лом левой руки: «Если левую руку рас­по­ло­жить так, чтобы линии ин­дук­ции маг­нит­но­го поля вхо­ди­ли в ла­донь пер­пен­ди­ку­ляр­но ей, а че­ты­ре паль­ца были на­прав­ле­ны по току (по дви­же­нию по­ло­жи­тель­но за­ря­жен­ной ча­сти­цы или про­тив дви­же­ния от­ри­ца­тель­но за­ря­жен­ной), то от­став­лен­ный боль­шой палец по­ка­жет на­прав­ле­ние дей­ству­ю­щей силы Ло­рен­ца».

Элек­трон за­ря­жен от­ри­ца­тель­но. Мыс­лен­но про­де­лав для него опи­сан­ные выше дей­ствия, по­лу­ча­ем, что сила Ло­рен­ца на­прав­ле­на вер­ти­каль­но вверх в плос­ко­сти ри­сун­ка ↑.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Высшее образование БГПУ

Сила Ампера. Сила взаимодействия параллельных токов. Контур с то-ком в магнитном поле. Магнитный момент тока. Действие электриче-ского и магнитного полей на движущиеся заряды. Сила Лоренца. Опре-деление удельного заряда электрона. Эффект Холла и его применение. Принцип работы магнитогидродинамических генераторов.

20.1. Сила Ампера. Взаимодействие параллельных токов

При исследовании действия магнитного поля на расположенный в нем прямолинейный проводник с током французский физик А.Ампер пришел к выводу, что модуль этой силы можно рассчитать по формуле

                                                      .                                             (20.1)

Позднее эта сила была названа силой Ампера, а формула – законом Ампера. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если левую руку расположить так, чтобы нормальная к проводнику составляющая B_┴ вектора индукции магнитного поля B входила в ладонь, четыре вытянутых пальца были направлены по току, то отогнутый на 90° большой палец покажет направление силы Ампера, которая действует на проводник с током (рис.20.1).

 

Рис. 20.1

На основе закона Ампера можно объяснить взаимодействие параллельных проводников с током (рис.20.2).

 

Рис. 20.2

 

Ток I₁ создает в месте расположения проводника с током

I₂ магнитное поле B₁, которое действует на ток I₂ с силой F₁₂=B₁I₂l. Ток I₂ в свою очередь также создает магнитное поле, индукция которого в месте расположения проводника с током I₁ равна B₂. Это поле действует на ток I₁ с силой F₂₁=B₂I₁l. Силы F₁₂ и F₂₁ находятся в одной плоскости с проводниками и являются силами притяжения, если токи направлены в одну сторону, и силами отталкивания, если токи направлены в противоположные стороны (рис.20.2).

Если расстояние между проводниками равно d, то индукция магнитного поля, созданного током I₁ в тех точках пространства, где находится второй проводник,

                                                          .                                               (20. 2)

Соответственно индукция магнитного поля, созданного током I₂ в тех точках пространства, где расположен первый проводник,

                                                         .                                               (20.3)

Таким образом, для проводников длиной l:

                                                    .                                         (20.4)

Если проводники находятся в вакууме (μ=1) на расстоянии

d=1 м м и токи в них одинаковые и равны единице, то сила взаимодействия между участками проводников длиной по 1 м F₀=μ₀/2π=2·10^–7 Н. Эта формула используется для определения единицы силы тока – ампера – в СИ.

20.2. Контур с током в магнитном поле

Поместим замкнутый контур с током в однородное магнитное поле. Пусть плоскость контура перпендикулярна линиям индукции поля. Если разделить контур на элементы dl, то на каждый из них действует сила dF=IBdl, которая лежит в плоскости контура и направлена к его центру (рис. 20.3).

 

Рис. 20.3

Если изменить направление тока на противоположное, то сила dF будет направлена в противоположную сторону (рис.20.4).

 

Рис. 20.4

Значит, силы, которые действуют на замкнутый контур с током в однородном перпендикулярном магнитном поле, могут только деформировать его (растянуть или сжать). Перемещение контура при этом не происходит.

Если расположить контур параллельно направлению линий магнитной индукции (рис.20.5), то на контур будет действовать вращательный момент сил M. Под действием этого момента контур поворачивается так, чтобы его плоскость стала перпендикулярной линиям магнитной индукции.

 

Рис. 20.5

Определим величину вращательного момента. Для этого разделим контур на малые элементы Δl. Выделим два элемента Δl₁ и Δl₂, заключенные между двумя параллельными линиями магнитной индукции, отстоящими друг от друга на расстоянии Δh. На эти элементы со стороны поля действуют силы

ΔF₁ и ΔF₂, направленные соответственно перпендикулярно плоскости контура «от нас» и «к нам». Модули этих сил равны: ΔF₁=IBΔl₁sinα₁ и ΔF₂=IBΔl₂sinα₂. Если учесть, что Δl₁sinα₁=Δh, а Δl₂sinα₂=Δh, то очевидно, что эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Они образуют пару сил, момент которой ΔM=ΔF_x=IBΔhx=IBΔS, где x – среднее расстояние между элементами Δl₁ и Δl₂, ΔS=Δhx – площадь, ограниченная линиями магнитной индукции и элементами контура Δl₁ и Δl₂. Очевидно, что весь контур состоит из суммы всех пар элементов. Поэтому суммарный момент действующий на контур, равен

.

Если контур расположен в магнитном поле так, что угол между его нормалью n и вектором магнитной индукции B поля равен β, то под действием проекции вектора B на нормаль к контуру равную B_┴=Bcosβ контур будет растягиваться (сжиматься), а под действием проекции B на плоскость контура Bsinβ – поворачиваться.

Поэтому в общем случае формула расчета вращательного момента имеет вид:

                                                     .                                           (20.5)

Как уже отмечалось, величину p_m=IS называют магнитным моментом контура с током. Это величина векторная, и она совпадает по направлению с еди­ничным вектором нормали n: p_m=ISn. Тогда формулу (20.5) можно записать в векторном виде:

                                                      .                                           (20.6)

Если контур с током поместить в неоднородное магнитное поле, то кроме ориентирующего действия вращательного момента на контур будет действовать сила f в направлении возрастания магнитного поля (рис.20.6).

g

Рис. 20.6

Эта сила является равнодействующей всех сил dF_┴ на каждый элемент тока со стороны составляющей поля B_║. Расчет показывает, что модуль силы, которая действует на весь контур, равен:

                                     ,                          (20.7)

где α – угол между векторами p_m и B;  – градиент индукции магнитного поля.

20.3. Сила Лоренца

Как уже отмечалось, на проводник с током, который находится в магнитном поле, действует сила Ампера F_A=IBlsinα. Поскольку ток представляет упорядоченное движение свободных электрических зарядов, то это означает, что магнитное поле действует на каждый из этих зарядов. Сила, действующая на заряд, который движется в магнитном поле, называется силой Лоренца. Х.Лоренц (1853–1928), нидерландский физик, создатель классической электронной теории.

Если учесть, что сила тока в проводнике

,

где q – заряд носителей тока; n – концентрация носителей тока; υ – скорость их упорядоченного движения; S – площадь поперечного сечения проводника, то формула (20.1) примет вид:

.

Силу Лоренца можно выразить, как

,

где N – общее количество носителей тока в проводнике (N=nV=nSl). С учетом того, что Sl=V (V – объем проводника):

                                                      ,                                           (20. 8)

где α – угол между направлением вектора индукции магнитного поля и направлением вектора скорости движения положительного заряда. Направление силы Лоренца, как и силы Ампера, также определяется по правилу левой руки.

20.4. Определение удельного заряда электрона

Под действием силы Лоренца частицы, обладающие электрическим зарядом, движутся в магнитном поле по криволинейным траекториям. Причем если скорость частицы υ _┴ B, то траектория ее движения в магнитном поле представляет окружность (рис.20.7).

 

Рис. 20.7

Определив радиус этой окружности, скорость частицы и величину индукции магнитного поля, можно рассчитать удельный заряд этой частицы. Этот метод используется для определения удельного заряда электрона.

Так, ввиду малости величины силы тяжести, действующей на электрон, движущийся в перпендикулярном магнитном поле, можно записать в соответствии со вторым законом Ньютона:

 или ,

откуда радиус окружности равен

,

а удельный заряд электрона:

                                                          .                                                (20.9)

Для определения скорости необходимо знать ускоряющую разность потенциалов электрического поля. Известно, что на заряженную частицу со стороны электрического поля действует сила

,

где q – заряд частицы, E – напряженность электрического поля. Если скорость частицы υ<<c и электрическое поле является однородным, то она будет двигаться в поле с постоянным ускорением.

Если скорость частицы в момент включения электрического поля равна нулю, то изменение ее кинетической энергии происходит за счет работы сил поля, т.е.

,

где U – напряжение между точками входа и выхода частицы из электрического поля. Поэтому скорость частицы при выходе из электрического поля

                                                         .                                            (20.10)

С учетом (20.10)выражение (20.9) примет вид:

                                                          .                                              (20.11)

Опыты, проведенные таким образом, позволили рассчитать отношение

Если заряженная частица влетает в магнитное поле так, что направление ее скорости υ образует с вектором индукции магнитного поля B угол α (причем α≠0, α≠π), то траектория движения частицы представляет винтовую линию (рис.20.8).

 

Рис. 20.8

На частицу, которая движется вдоль линий индукции магнитного поля со скоростью υ_y, сила Лоренца не действует.

Перпендикулярная составляющая скорости υ_x обеспечивает движение частицы по окружности радиуса R. Таким образом, под действием двух составляющих скорости υ_y и υ_x частица движется по винтовой линии.

Радиус винтовой траектории согласно формуле (20.9) будет равен:

                                                       ,                                          (20. 12)

а шаг винта

                                                      ,                                         (20.13)

где  – период обращения по окружности радиуса R.

Как уже отмечалось ранее, электрическое и магнитное поля являются частями единого электромагнитного поля. Поэтому в произвольной системе отсчета полная сила, с которой электромагнитное поле действует на заряженную частицу, равна векторной сумме электрической F_э и магнитной F_м составляющих, т.е.

.

 

20.5. Эффект Холла

Если пластинку, вдоль которой течет постоянный ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между гранями, параллельными направлению тока и поля, возникает разность потенциалов. Это явление впервые исследовал американский физик Е.Холл (1811–1890) в 1879 г., и оно впоследствии было названо эффектом Холла (рис.20.9).

 

Рис. 20.9

Экспериментально определено, что разность потенциалов Холла определяется по формуле:

                              ,                  (20.14)

где b – ширина пластинки, j – плотность тока, B – магнитная индукция поля, R – коэффициент пропорциональности, который называется постоянной Холла.

Эффект Холла можно объяснить согласно электронной теории. Если магнитное поле отсутствует, ток в пластинке обусловлен электрическим полем E₀ (рис.20.10).

 

Рис. 20.10

Потенциал во всех точках поверхности одинаков, в том числе и в точках 1 и 2. Электроны как носители отрицательного заряда двигаются со скоростью υ против вектора плотности тока j. При включении магнитного поля на каждый электрон действует сила Лоренца, направленная вдоль стороны b и численно равная F_л=eυB. Поэтому электроны приобретают составляющую скорости, которая направлена к верхней грани пластинки. Значит, на этой грани накапливается отрицательный заряд, на нижней – положительный. Таким образом, возникает поперечное электрическое поле E_B. Если сила F_B=eE_B уравновесит силу Лоренца F_л=eυB, то установится стационарное равновесие: eE_B=eυB. Откуда E_B=υB. Результирующее поле E равно векторной сумме полей E₀ и E_B. Так как эквипотенциальные линии перпендикулярны вектору напряженности поля E, то точки 1 и 2, которые ранее лежали на одной эквипотенциальной поверхности, уже имеют разный потенциал.

Значит, разность потенциалов между этими точками равна:

                                               .                                   (20.15)

Сравнивая выражения (20.14) и (20.15), определим постоянную Холла:

                                                           .                                              (20.16)

Из формулы (20.14) следует, что величина постоянной Холла, как и разности потенциалов Холла, зависит от концентрации носителей заряда в проводящей пластинке. Так как концентрация носителей тока в полупроводниках значительно меньше, чем в металлах, то и эффект Холла в полупроводниках наблюдать легче.

Эффект Холла используется в датчиках Холла, которые используют для измерения напряженности постоянных и переменных магнитных полей, силы и мощности электрического тока, превращения постоянного ток в переменный, модулирования и детектирования сигналов, анализа спектра частот, «чтения» магнитных записей и во многих элементах автоматики и вычислительной техники.

20.6. Принцип работымагнитогидродинамических генераторов

Магнитогидродинамический (МГД) генератор – энергетическая установка, в которой тепловая энергия рабочего тела (плазмы) превращается в электрическую. Принцип работы МГД-генератора основан на взаимодействии магнитного поля с заряженными частицами, которые движутся в нем (рис.20.11).

 

Рис. 20.11

Если создать поток плазмы в магнитном поле, линии индукции B которого перпендикулярны скорости зарядов υ, то под действием силы Лоренца произойдет их разделение. Это значит, положительные заряды магнитным полем будут отклоняться в одну сторону, а отрицательные – в другую. В результате один электрод заряжается положительно, а второй – отрицательно. Между ними возникает разность потенциалов. Если электроды соединить проводником, то в нем возникнет электрический ток.

Использование МГД-генераторов является перспективным направлением развития тепловой энергетики, так как позволяет получать КПД 60 %, в то время как КПД тепловых станций достигает 40 %. Органическое топливо, которое используется в МГД-генераторах, вместе с нагретым воздухом поступает в камеру сгорания с температурой 3000°C. Там они превращаются в плазму. С целью увеличения электропроводности плазмы в нее могут добавлять специальные присадки – соли калия или цезия, уменьшающие выброс серы в атмосферу, тем самым решая часть экологических проблем.

 

Задачи с решениями 10 – Магнитное поле и электромагнитная индукция – ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. ОТРАБОТКА ТЕМАТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА – ЕГЭ 2018. Тренажёр: Физика. – ЕГЭ 2018 – Справочное издание

ЕГЭ 2018. Тренажёр: Физика

Магнитное поле и электромагнитная индукция

Задачи с решениями

1. На рисунке изображен проволочный виток, по которому течет электрический ток в направлении, указанном стрелкой. Виток расположен в вертикальной плоскости. Как направлен (вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, к наблюдателю) вектор индукции магнитного поля тока в центре витка? Ответ запишите словом (словами).

Решение. Направление вектора магнитной индукции можно определить по правилу буравчика. Использование этого правила применительно к току, текущему по витку, дает: в центре витка вектор магнитной индукции направлен горизонтально (вдоль оси витка) вправо.

Ответ: вправо.

2. Электрическая цепь, состоящая из четырех прямолинейных горизонтальных проводников (1-2, 2-3, 3-4, 4-1) и источника постоянного тока, находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции которого  направлен вертикально вверх перпендикулярно плоскости рисунка (см. рис., вид сверху). Куда направлена (вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, к наблюдателю) вызванная этим полем сила Ампера, действующая на проводник 4-1?

Ответ запишите словом (словами).

Решение. Направление силы Ампера, действующей на проводник с током, можно определить по правилу левой руки. Ток в цепи течет от «+» источника к «-». Таким образом, ток на участке 4-1 течет от 1 к 4. Значит, в данном случае сила Ампера направлена горизонтально влево.

Ответ: влево.

3. По трем тонким параллельным проводникам текут одинаковые токиКак направлена (вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, к наблюдателю) сила Ампера, действующая на проводник № 3 со стороны двух других (см. рис.)? Расстояния между соседними проводниками одинаковы. Ответ запишите словом (словами).

Решение. Магнитное взаимодействие проводников с током приводит к тому, что если токи имеют одинаковое направление, то проводники притягиваются, а если токи имеют противоположное направление — проводники отталкиваются. В данном случае токи во всех проводниках имеют одинаковое направление, значит, проводник № 3 притягивается и к проводнику № 1, и к проводнику № 2.

Ответ: вверх.

4. Протон влетает в область пространства, в которой создано однородное магнитное поле, вектор индукции которого направлен от нас, перпендикулярно плоскости рисунка. Куда направлена (вверх, вниз, влево, вправо, от наблюдателя, к наблюдателю) сила Лоренца, действующая на протон? Ответ запишите словом (словами).

Решение. Направление силы Лоренца, действующей на заряд, движущийся в однородном магнитном поле, определяется по правилу левой руки (если заряд положительный). Заряд протона положительный, поэтому сила Лоренца направлена вверх.

Ответ: вверх.

5. Электрон влетел в однородное магнитное поле с индукцией  перпендикулярно линиям магнитной индукции. Определите радиус окружности, по которой будет двигаться электрон в магнитном поле, если модуль его скорости равен 880 км/с. Отношение заряда электрона к его массе равно 

Ответ: _______________ мм.

Решение. Сила Лоренца, действующая на заряд, движущийся в однородном магнитном поле, равна , где — угол между векторами(в данном случае), и направлена перпендикулярно векторам  (по правилу левой руки). Эта сила сообщает электрону центростремительное ускорение — радиус окружности, по которой движется заряд. Согласно второму закону Ньютона , откуда получаем 

Ответ: 5 мм.

6. Прямолинейный проводник длиной , по которому течет ток , расположен в однородном магнитном поле под углом 90° к вектору . Каков модуль индукции магнитного поля В, если сила, действующая на проводник со стороны магнитного поля, равна 0,2 Н?

Ответ:  Тл.

Решение. На проводник с током в однородном магнитном поле действует сила Ампера, равная по модулю  — длина проводника, I — сила тока в нем, В — модуль индукции магнитного поля, — угол между направлением вектора магнитной индукции и проводником. Тогда 

Ответ: 0,5 Тл.

7. На рисунке приведен график зависимости магнитного потока через плоскость проволочного витка от времени. Определите модуль ЭДС индукции в витке в промежутке времени 1-5 с.

Ответ: __________________ В.

Решение. По закону электромагнитной индукции  

Ответ: 0,25 В.

8. В колебательном контуре, приведенном на рисунке, период электромагнитных колебаний равен 2 мкс. Какой будет частота электромагнитных колебаний в контуре, если ключ К превести из положения 1 в положение 2?

Ответ: ____________________ кГц.

Решение. Период собственных электромагнитных колебаний в колебательном контуре равен  (формула Томпсона). При переводе ключа в положение 2 емкость конденсатора в контуре увеличится в 4 раза, т. е. период увеличится в 2 раза и станет равным 4 мкс. Тогда частота колебаний  

Ответ: 250 кГц.

9. Конденсатор колебательного контура длительное время подключен к источнику постоянного напряжения (см. рис.). В момент  переключатель К переводят из положения 1 в положение 2. Графики А и Б представляют изменения физических величин, характеризующих колебания в контуре после этого (Т — период колебаний). Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Решение. Когда ключ находится в положении 1, ток через катушку равен 0, а конденсатор заряжен до максимального напряжения. После переключения ключа в положение 2, в контуре начнутся электромагнитные гармонические колебания. Заряд правой обкладки конденсатора вначале был положителен и максимален, затем он будет меняться с течением времени по закону . Энергия конденсатора в начальный момент также максимальна, т.к. , а период ее изменений вдвое меньше периода колебания заряда конденсатора.

Ответ: 34 или 43.

10. В таблице показано, как изменялся заряд одной из обкладок конденсатора емкостью 50 пФ в колебательном контуре с течением времени. Выберите два верных утверждения о процессах, происходящих в контуре.

1) Частота колебаний тока в контуре равна 125 кГц.

2) Период колебаний заряда конденсатора равен 4 мкс.

3) Амплитудное значение силы тока в контуре равно 2,84 мА.

4) В момент времени 4 мкс сила тока в контуре максимальна.

5) Энергия магнитного поля катушки в момент времени 6 мкс равна 40 нДж.

Ответ: ___________________ .

Решение. Период колебаний в контуре — минимальный промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание. В данном случае период колебаний равен Т = 8 мкс. Частота колебаний обратна периоду . Когда заряд конденсатора максимален (по модулю), сила тока через катушку равна 0, а когда заряд конденсатора равен 0 — сила тока через катушку максимальна. Значит, в момент времени 4 мкс сила тока в контуре равна 0. Максимальная энергия конденсатора равна  и равна максимальной энергии магнитного поля катушки , где  — амплитуда тока через катушку, — индуктивность катушки. Максимальная энергия конденсатора в данном случае . Приравнивая друг другу максимальные энергии конденсатора и катушки, можно получить , где учтено, что (формула Томсона). Используя данные задачи, получим  

Ответ: 15 (или 51).

11. На железный сердечник надеты две катушки, как показано на рисунке. По правой катушке пропускают ток, который меняется согласно приведенному графику. На основании этого графика выберите два верных утверждения.

1) В промежутке между 1 с и 2 с показания амперметра были равны 0.

2) В промежутках 0-1 с и 2-3 с направления тока в левой катушке были одинаковы.

3) В промежутке между 1 с и 2 с индукция магнитного поля в сердечнике была равна 0.

4) Все время измерений сила тока через амперметр была отлична от 0.

5) В промежутках 0-1 с и 2-3 с сила тока в левой катушке была одинаковой.

Решение. Ток в левой катушке возникает вследствие явления электромагнитной индукции. Ток, текущий в правой катушке, создает магнитное поле, которое пронизывает и левую катушку. При изменении силы тока в правой катушке, магнитный поток Ф, пронизывающий левую, изменяется, в ней возникает ЭДС индукции и появляется индукционный ток. Модуль ЭДС индукции определяется законом Фарадея . Направление индукционного тока определяется правилом Ленца и зависит от того, возрастает магнитный поток или убывает. Таким образом, ток в левой катушке тек только в те промежутки времени, когда менялась сила тока в правой катушке. В тех промежутках, когда сила тока уменьшалась, индукционный ток имел одно и то же направление, а когда сила тока возрастала, он тек в противоположном направлении.

Ответ: 15 (или 51).



Магнетизм магнитное поле различных проводников с током вектор магнитной индукции – Документ

Магнетизм

Магнитное поле различных проводников с током.

Вектор магнитной индукции

1. (а) На рисунке изображен проводник, по которому течет электрический ток. Направление тока указано стрелкой. Как направлен вектор магнитной индукции в точке А?

1) вверх 2) перпендикулярно чертежу от нас

3) вниз 4) перпендикулярно чертежу на нас

(
б) К магнитной стрелке компаса, зафиксирован­ной в положении, представ­лен­ном на рисунке, поднесли магнит. После освобождения фиксатора стрелка ком­паса установится в положе­нии равновесия,

повернувшись на 180

1) повернувшись на 180

2) повернувшись на 90 по часовой стрелке

3) повернувшись на 90 против часовой стрелки

4) оставшись в прежнем положении

2. (а) На рисунке изображен проводник, по которому течет электрический ток. Направление тока указано стрелкой. Если в точке А расположить магнитную стрелку, которая может вращаться, то своим «южным» полюсом стрелка развернется

1) от нас 2) к нам 3) к проводнику 4) от проводника

(б) Какие магнитные полюсы изображены на рисунке?

1) А — северный, В — южный

2) А — северный, В — северный

3) А — южный, В — северный

4) А — южный, В — южный

3. (а) В каком случае вокруг движущегося электрона возникает магнитное поле?

А. Электрон движется равномерно и прямолинейно.

Б. Электрон движется равномерно по окружности.

В. Электрон движется прямолинейно и равноускоренно

1) только в случае А 2) только в случае Б 3) только в случае В

4) в случаях А, Б и В 5) ни в одном из данных случаев

(
б) На рисунке изображен проволочный виток, по которому течет электриче­ский ток в направлении, указанном стрелкой. Виток расположен в вертикальной плоскости. В центре витка вектор индукции магнитного поля тока направлен

1) вертикально вверх  2) вертикально вниз 

3) вправо  4) влево 

4. (а) Электрический ток в прямолинейном проводнике направлен перпендикулярно плоскости рисунка и выходит из плоскости к наблюдателю. Какое расположение и направление имеют линии магнитной индукции?

(б) Электрический ток в прямолинейном проводнике направлен перпендикулярно плоскости рисунка и выходит из плоскости от наблюдателя. Какое расположение и направление имеют линии магнитной индукции?

5. (а) По двум тонким прямым проводникам, параллельным друг другу, текут одинаковые токи I (см. рисунок). Как направлено создаваемое ими магнитное поле в точке С?

1) к нам 2) от нас

3) вверх ↑ 4) вниз ↓

(б) На рисунке изображен проволочный виток, по ко­торому течет электри­ческий ток в направлении, указанном стрелкой. Виток расположен в горизон­тальной плоскости. В центре витка вектор индук­ции магнитного поля тока направлен

1) вертикально вверх 

2) горизонтально влево 

3) горизонтально вправо 

4) вертикально вниз 

6. Какая физическая величина имеет единицу измерения 1 Тесла?

1) магнитная индукция

2) поток магнитной индукции

3) индуктивность

4) ЭДС индукции

5) энергия магнитного поля

Сила Ампера. Сила взаимодействия двух проводников с током

7. (а) Как направлена сила (указать номер стрелки), действующая на проводник с током, помещенный в магнитное поле?

(б) Четыре прямых проводника с током – 1, 2, 3 и 4 – находятся в однородном магнитном поле (см. рисунок; остальные части электрических цепей, в которые входят проводники, не показаны, проводник 4 расположен перпендикулярно магнитному полю, ток по нему течет «на нас»). На какой из проводников магнитное поле не действует?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

8. В однородном магнитном поле находится рамка, по которой течет ток (см. рисунок). Сила, действующая на нижнюю сторону рамки, направлена

1) вниз 2) перпендикулярно чертежу от нас

3) вверх 4) перпендикулярно чертежу на нас

9. На рисунке представлено взаимодействие магнитного поля с проводником, по которому идет ток. Определите направление силы Ампера.

1) вверх 2) вниз 3) вправо 4) влево 5) определить нельзя

10. (а) Электрическая цепь, состоящая из четырех прямолинейных горизонтальных проводников (1 – 2, 2 – 3, 3 – 4, 4 – 1) и источника постоянного тока, находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции которого направлен вертикально вниз (см. рисунок, вид сверху). Куда направлена сила Ампера, действующая на проводник 1 – 2?

1) вертикально вверх 2) горизонтально вправо

3) вертикально вниз 4) горизонтально влево

(б) Электрическая цепь, состоящая из четырех прямолинейных горизонтальных проводников (1 – 2, 2 – 3, 3 – 4, 4 – 1) и источника постоянного тока, находится в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции которого направлен горизонтально вправо (см. рисунок, вид сверху). Куда направлена сила Ампера, действующая на проводник 1 – 2?

1) горизонтально влево 2) горизонтально вправо

3) вертикально вниз 4) вертикально вверх

11. Прямой проводник с током длиной 50 см помещен в однородное магнитное поле с индукцией 0,2 Тл под углом 30º к направлению вектора магнитной индукции. Определите силу тока, протекающего по проводнику, если сила, действующая на проводник, равна 0,4 Н.

1) 0,08 А 2) 0,125 А 3) 4 А 4) 8 А 5) 12,5 А

12. Определите силу, действующую на прямой проводник длиной 0,12 м, по которому течет ток 30 А, если он находится в магнитном поле с индукцией 0,9 Тл, а направление тока в проводнике составляет угол 60º с направлением магнитного поля.

1) 2,5 Н 2) 2,6 Н 3) 2,7 Н 4) 2,8 Н 5) 2,9 Н

13. Угол между проводником с током и направлением вектора магнитной индукции внешнего однородного магнитного поля увеличивается от 30º до 90º. Сила Ампера при этом

1) возрастает в 2 раза 2) убывает в 2 раза

3) не изменяется 4) убывает до нуля

14. Участок проводника длиной 20 см находится в магнитном поле индукцией 50 мТл. Сила тока в проводнике 5 А. Какое перемещение совершит проводник в направлении действия силы Ампера, если работа этой силы равна 0,005 Дж? Проводник расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции.

1) 0,0001 м 2) 0,1 м 3) 0,01 м 4) 10 м

15. К прямолинейному проводнику приложено напряжение U. Проводник находится в однородном магнитном поле, силовые линии которого перпендикулярны оси проводника. Как изменится сила, действующая на проводник если, не изменяя величины приложенного напряжения, проводник удлинить на 10%?

1) не изменится 2) увеличится в 1,1 раза 3) увеличится в 10 раз

4) уменьшится в 1,1 раза 5) уменьшится в 10 раз

16. На двух динамометрах подвешен горизонтально проводник длиной 0,2 м, который затем помещен в однородное горизонтальное магнитное поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное к проводнику. На сколько изменятся показания каждого динамометра при протекании по проводнику тока силой 5 А?

1) 2,5 Н 2) 0,5 Н 3) 0,25 Н 4) 0,1 Н

17. На двух непроводящих нитях подвешен горизонтально прямолинейный проводник массой 100 г и длиной 0,2 м. Проводник расположен в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярном к проводнику. Какой ток нужно пропустить по проводнику, чтобы он был невесом?

1) 0,1 А 2) 1,0 А 3) 10 А 4) 100 А 5) 0,01 А

18. На столе лежит прямой медный проводник, по которому течет ток плотностью 10⁶ А/м². Над поверхностью стола создается однородное магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны направлению тока. При некоторой величине индукции магнитного поля проводник приподнимается над поверхностью стола. Определите величину индукции этого поля. Плотность меди 8,9^.10³ кг/м³.

1) 89 Тл 2) 8,9 Тл 3) 0,89 Тл 4) 0,089 Тл

19. В однородном вертикальном магнитном поле на двух тонких непроводящих нитях подвешен горизонтально проводник длиной 0,2 м и массой 20 г. Индукция магнитного поля равна 0,5 Тл. На какой угол от вертикали отклонятся нити, если сила тока в проводнике равна 2 А?

1) 30º 2) 45º 3) 60º 4) 90º 5) проводник не отклонится

20. Проводящий стержень длиной 0,25 м, по которому течет ток силой 10 А, лежит на горизонтальной поверхности перпендикулярно к однородному горизонтальному магнитному полю с индукцией 0,2 Тл (см. рисунок, вид сверху). Какую горизонтальную силу F нужно приложить перпендикулярно к проводнику для его равномерного поступательного движения? Масса проводника 0,1 кг, коэффициент трения равен 0,10.

1) 0,01 Н 2) 0,05 Н 3) 0,1 Н 4) 0,15 Н

21. Проводящий стержень длиной 0,25 м, по которому течет ток силой 10 А, лежит на горизонтальной поверхности перпендикулярно к однородному горизонтальному магнитному полю с индукцией 0,2 Тл (см. рисунок, вид сверху). Какую горизонтальную силу F нужно приложить перпендикулярно к проводнику для его равномерного поступательного движения? Масса проводника 0,1 кг, коэффициент трения равен 0,10.

1) 0,01 Н 2) 0,05 Н 3) 0,1 Н 4) 0,15 Н

22. Проводник расположен перпендикулярно к однородному горизонтальному магнитному полю с индукцией 0,1 Тл на наклонной плоскости, составляющей угол 30º с горизонтом (см. рисунок). Какую минимальную силу нужно приложить к проводнику параллельно наклонной плоскости для удержания его в состоянии покоя, если сила тока в проводнике 10 А? Коэффициент трения равен 1/(). Масса проводника 0,1 кг, его длина 0,5 м.

1) 0, 375 Н 2) 1,125 Н 3) 0,25 Н 4) 0,75 Н 5) 0,125 Н

23. Проводник расположен перпендикулярно к однородному вертикальному магнитному полю с индукцией 0,1 Тл на наклонной плоскости, составляющей угол 45º с горизонтом (см. рисунок). Какую минимальную силу нужно приложить к проводнику параллельно наклонной плоскости для удержания его в состоянии покоя, если сила тока в проводнике 10 А? Коэффициент трения равен 0,2. Масса проводника 0,1 кг, его длина 0,5 м.

1) 0, 01 Н 2) 0,1 Н 3) 0,99 Н 4) 1,9 Н 5) 2,7 Н

24. Проводник длиной l и сопротивлением R согнут в форме квадрата и помещен в однородное магнитное поле с индукцией В, перпендикулярное плоскости квадрата. Какая сила будет действовать на проводник, если на соседние вершины образованной фигуры подать напряжение U?

1) 2) 3) 4)

25. В однородном магнитном поле находится прямолинейный проводник с током перпендикулярно линиям магнитной индукции (см. чертеж). Во сколько раз изменится сила, действующая на проводник со стороны магнитного поля, если его согнуть пополам под прямым углом в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции?

1) 2) 3) 4)

26. Два параллельных проводника, по которым текут токи в одном направлении, притягиваются. Это объясняется тем, что

    1. токи непосредственно взаимодействуют друг с другом

    2. электрические поля зарядов в проводниках непосредственно взаимодействуют друг с другом

    3. магнитные поля токов непосредственно взаимодействуют друг с другом

    4. магнитное поле одного проводника с током действует на движущиеся заряды в другом проводнике

27. Как взаимодействуют два параллельных друг другу проводника, если в первом случае электрический ток идет в них в одном направлении, а во втором случае – в противоположных направлениях?

    1. в обоих случаях притягиваются друг к другу

    2. в обоих случаях отталкиваются друг от друга

    3. в первом случае притягиваются, а во втором случае отталкиваются друг от друга

    4. в первом случае отталкиваются, а во втором случае притягиваются друг к другу

28. Два параллельных проводника длиной 2,8 м каждый находятся на расстоянии 14 см один от другого и притягиваются друг к другу с силой 3,4 мН. Сила тока в одном из них равна 68 А. Определите силу тока в другом проводнике.

1) 1,25 А 2) 12,5 А 3) 40 А 4) 25 А 5) 125 А

29. Три параллельных длинных проводника расположены в одной плоскости на одинаковом расстоянии друг от друга. По проводникам текут одинаковые токи так, как указано на рисунке. Как изменится сила, действующая на единицу длины среднего проводника, если ток в правом проводнике увеличить в 2 раза?

1) увеличится в 2 раза 2) увеличится в 1,5 раза

3) уменьшится в 2 раза 3) уменьшится в 1,5 раза

30. Три параллельных длинных проводника расположены в одной плоскости на одинаковом расстоянии друг от друга. По проводникам текут одинаковые токи в одном направлении (см. рисунок). Во сколько раз изменится сила, действующая на единицу длины правого проводника, если направление тока в левом проводнике изменить на противоположное?

1) уменьшится в 3 раза 2) увеличится в 3 раза 3) уменьшится в 2 раза

4) станет равной нулю 5) не изменится

31. В однородном магнитном поле с индукцией 100 мкТл в плоскости, перпендикулярной линиям магнитной индукции, помещены два параллельных проводника большой длины, расположенных на расстоянии 10 см друг от друга (см. рисунок). По проводникам текут токи силой 10 А каждый в одном направлении. Во сколько раз изменится сила, действующая на длине 1 м левого проводника, если направление тока в правом проводнике изменить на противоположное?

1) уменьшится в 2 раза 2) увеличится в 2 раза

3) уменьшится в 1,5 раза 4) увеличится в 1,5 раза 5) не изменится

Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитных полях

32. Вектор индукции магнитного поля направлен вертикально вверх. Как будет двигаться первоначально неподвижный электрон в этом поле? Влияние силы тяжести не учитывать.

1) останется неподвижным 2) равномерно вверх

3) равномерно вниз 4) равноускоренно вниз

33. (а) Положительно заряженная частица влетает в область однородного магнитного поля, как показано на рисунке. Сила, действующая на частицу со стороны магнитного поля, направлена в плоскости рисунка

1) вверх 2) вниз 3) вправо

4) влево 5) равна нулю

(б) Протон р, влетевший в зазор между полюсами электромагнита, имеет скорость , перпендикулярную вектору индукции магнитного поля, направленному вертикально (см. рисунок). Куда направлена действующая на него сила Лоренца?

1. перпендикулярно чертежу от наблюдателя

2. перпендикулярно чертежу к наблюдателю

3. горизонтально вправо →

4. вертикально вниз ↓

(в) Электрон е, влетевший в зазор между полюсами электромагнита, имеет скорость , перпендикулярную вектору индукции магнитного поля, направленному вертикально (см. рисунок). Куда направлена действующая на электрон сила Лоренца?

1. вертикально вниз ↓

2. вертикально вверх ↑

3. перпендикулярно чертежу от наблюдателя

4. перпендикулярно чертежу к наблюдателю

34. (а) Электрон влетает в однородное магнитное поле со скоростью υ (см. рисунок). Укажите правильную траекторию движения электрона.

(б) Альфа – частица влетает в однородное магнитное поле со скоростью υ (см. рисунок). Укажите правильную траекторию движения α – частицы в магнитном поле.

35. Электрон и протон влетают в однородное магнитное поле с одинаковыми по модулю скоростями. Однако вектор скорости влетающего электрона параллелен вектору магнитной индукции , а протона – перпендикулярен. Отношение силы, действующей на электрон, к силе, действующей на протон со стороны магнитного поля в этот момент времени, равно

1) 1 2) 0 3) ≈ 1/2000 4) ≈ 2000

36. Частица с зарядом 8·10^-19 Кл движется со скоростью 1000 км/с в магнитном поле с индукцией 5 Тл. Угол между векторами скорости и индукции равен 30º. Определите значение силы Лоренца.

1) 10^-15 Н 2) 2·10^-14 Н 3) 2·10^-12 Н 4) 10^-12 Н 5) 4·10^-12 Н

37. Электрон и протон влетают в однородное магнитное поле перпендикулярно вектору магнитной индукции на расстоянии L друг от друга со скоростями υ и 2υ соответственно. Отношение модуля силы, действующей на электрон со стороны магнитного поля, к модулю силы, действующей на протон, в этот момент времени равно

1) 4:1 2) 2:1 3) 1:1 4) 1:2

38. Заряженная частица движется с постоянной скоростью 200 м/с во взаимно перпендикулярных электрическом (напряженность ) и магнитном (магнитная индукция ) полях. Как связаны величины и между собой?

1) Е и В равны друг другу 2) Е больше В в 200 раз

3) Е меньше В в 200 раз 4) Е больше В в 20 раз

39. Альфа-частица, кинетическая энергия которой 500 эВ, влетает в однородное магнитное поле, перпендикулярное ее скорости. Индукция магнитного поля 0,1 Тл. Найдите радиус окружности, по которой будет двигаться альфа-частица. 1 эВ = 1,6·10^-19 Дж. Заряд альфа-частицы 3,2·10^-19 Кл, ее масса 6,6·10^-27 кг.

1) 0,024 м 2) 0,026 м 3) 0,028 м 4) 0,032 м 5) 0,036 м

40. Как изменится частота вращения заряженной частицы в однородном магнитном поле при уменьшении ее скорости в n раз?

1) увеличится в n раз 2) увеличится в n³ раз

3) увеличится в n² раз 4) не изменится

41. Заряженная частица движется по окружности в магнитном поле. Во сколько раз изменится радиус окружности, если индукция магнитного поля уменьшится на 20%?

1) 1,25 2) 0,80 3) 1,10 4) 0,64 5) 0,90

42. Два первоначально покоящиеся электрона ускоряются в электрическом поле: первый в поле с разностью потенциалов U, второй – 2U. Ускорившиеся электроны попадают в однородное магнитное поле, линии индукции которого перпендикулярны скорости движения электронов. Отношение радиусов кривизны траектории первого и второго электронов в магнитном поле равно

1) 1/4 2) 1/2 3) 4)

43. Два иона, прошедшие одну и туже ускоряющую разность потенциалов, влетели перпендикулярно силовым линиям в однородное магнитное поле. Первый из них начал двигаться по окружности радиусом 0,1 м, а второй – по окружности радиусом 0,04 м. Найдите отношение масс первого иона к массе второго, если их заряды одинаковые.

1) 2,75 2) 3,25 3) 4,75 4) 5,25 5) 6,25

44. Два иона, прошедшие одну и туже ускоряющую разность потенциалов, влетели перпендикулярно силовым линиям в однородное магнитное поле. Масса первого иона в 4 раза больше массы второго, а их заряды одинаковы. Найдите отношение радиуса окружности, по которой движется первый ион, к радиусу окружности, по которой движется второй ион.

1) 1,5 2) 2 3) 3 4) 4 5) 5

Направление вектора магнитной индукции. Электромагнитная индукция Куда направлено магнитное поле

Раскройте ладонь левой руки и выпрямите все пальцы. Большой палец отогните под углом в 90 градусов по отношению ко всем остальным пальцам, в одной плоскости с ладонью.

Представьте, что четыре пальца ладони, которые вы держите вместе, указывают направление скорости движения заряда, если он положительный, или противоположное скорости направление, если заряд отрицательный.

Вектор магнитной индукции, который всегда направлен перпендикулярно скорости, будет, таким образом, входить в ладонь. Теперь посмотрите, куда указывает большой палец – это и есть направление силы Лоренца.

Сила Лоренца может быть равна нулю и не иметь векторной составляющей. Это происходит в том случае, когда траектория заряженной частицы расположена параллельно силовым линиям магнитного поля. В таком случае частица имеет прямолинейную траекторию движения и постоянную скорость. Сила Лоренца никак не влияет на движение частицы, потому что в этом случае она вообще отсутствует.

В самом простом случае заряженная частица имеет траекторию движения, перпендикулярную силовым линиям магнитного поля. Тогда сила Лоренца создает центростремительное ускорение, вынуждая заряженную частицу двигаться по окружности.

Обратите внимание

Сила Лоренца была открыта в 1892 году Хендриком Лоренцом, физиком из Голландии. Сегодня она достаточно часто применяется в различных электроприборах, действие которых зависит от траектории движущихся электронов. Например, это электронно-лучевые трубки в телевизорах и мониторах. Всевозможные ускорители, разгоняющие заряженные частицы до огромных скоростей, посредством силы Лоренца задают орбиты их движения.

Полезный совет

Частным случаем силы Лоренца является сила Ампера. Ее направление вычисляют по правилу левой руки.

Источники:

• Сила Лоренца
• сила лоренца правило левой руки

Действие магнитного поля на проводник с током означает, что магнитное поле влияет на движущиеся электрические заряды. Силу, действующую на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля, называют силой Лоренца в честь голландского физика Х. Лоренца

Инструкция

Сила – , значит можно определить ее числовое значение (модуль) и направление (вектор).

Модуль силы Лоренца (Fл)равен отношению модуля силы F, действующей на участок проводника с током длиной ∆l, к числу N заряженных частиц, упорядоченно движущихся на этом участке проводника: Fл = F/N ( 1). Вследствие, несложных физических преобразований, силу F можно представить в виде: F= q*n*v*S*l*B*sina (формула 2), где q – заряд движущейся , n – на участке проводника, v – скорость частицы, S –площадь поперечного сечения участка проводника, l –длина участка проводника, B – магнитная индукция, sina – синус угла между векторами скорости и индукции. А количество движущихся частиц преобразовать до вида: N=n*S*l (формула 3). Подставьте формулы 2 и 3 в формулу 1, сократите величины n, S, l, получается для силы Лоренца: Fл = q*v*B*sin a. Значит, для решения простых задач на нахождение силы Лоренца, определите в условии задания следующие физические величины: заряд движущейся частицы, ее скорость, индукцию магнитного поля, в которой частица движется, и угол между скоростью и индукцией.

Перед решением задачи убедитесь, что все величины измерены в соответствующих друг другу или интернациональной системе единицах. Для получения в ответе ньютонов (Н – единица силы), заряд должен измеряться в кулонах (К), скорость – в метрах на секунду (м/с), индукция – в теслах (Тл), синус альфа – не измеряемое число.(12).

Направление силы Лоренца определяется правилом левой руки. Для его применения представьте следующее взаиморасположение трех перпендикулярных друг другу векторов. Расположите левую руку так, чтобы вектор магнитной индукции входил в ладонь, четыре пальца были направлены в сторону движения положительной (против движения отрицательной) частицы, тогда отогнутый на 90 градусов большой палец укажет направление силы Лоренца см рисунок).
Применяется сила Лоренца в телевизионных трубках мониторов, телевизоров.

Источники:

• Г. Я Мякишев, Б.Б. Буховцев. Учебник по физике. 11 класс. Москва. “Просвещение”. 2003г
• решение задач на силу лоренца

Истинным направлением тока является то, в котором движутся заряженные частицы. Оно, в свою очередь, зависит от знака их заряда. Помимо этого, техники пользуются условным направлением перемещения заряда, не зависящим от свойств проводника.

Инструкция

Для определения истинного направления перемещения заряженных частиц руководствуйтесь следующим правилом. Внутри источника они вылетают из электрода, который от этого заряжается с противоположным знаком, и движутся к электроду, который по этой причине приобретает заряд, по знаку аналогичный частиц. Во внешней же цепи они вырываются электрическим полем из электрода, заряд которого совпадает с зарядом частиц, и притягиваются к противоположно заряженному.

В металле носителями тока являются свободные электроны, перемещающиеся между узлами кристаллической . Поскольку эти частицы заряжены отрицательно, внутри источника считайте их движущимися от положительного электрода к отрицательному, а во внешней цепи – от отрицательного к положительному.

В неметаллических проводниках заряд переносят также электроны, но механизм их перемещения иной. Электрон, покидая атом и тем самым превращая его в положительный ион, заставляет его захватить электрон с предыдущего атома. Тот же электрон, который покинул атом, ионизирует отрицательно следующий. Процесс повторяется непрерывно, пока в цепи ток. Направление движения заряженных частиц в этом случае считайте тем же, что и в предыдущем случае.

Полупроводники двух видов: с электронной и дырочной проводимостью. В первом носителями являются электроны, и потому направление движения частиц в них можно считать таким же, как в металлах и неметаллических проводниках. Во втором же заряд переносят виртуальные частицы – дырки. Упрощенно можно сказать, что это своего рода пустые места, электроны в которых отсутствуют. За счет поочередного сдвига электронов дырки движутся в противоположном направлении. Если совместить два полупроводника, один из которых обладает электронной, а другой – дырочной проводимостью, такой прибор, называемый диодом, будет обладать выпрямительными свойствами.

В вакууме заряд переносят электроны, движущиеся от нагретого электрода (катода) к холодному (аноду). Учтите, что когда диод выпрямляет, катод является отрицательным относительно анода, но относительно общего провода, к которому присоединен противоположный аноду вывод вторичной обмотки трансформатора, катод заряжен положительно. Противоречия здесь нет, если учесть наличие падения напряжения на любом диоде (как вакуумном, так и полупроводниковом).

В газах заряд переносят положительные ионы. Направление перемещения зарядов в них считайте противоположным направлению их перемещения в металлах, неметаллических твердых проводниках, вакууме, а также полупроводниках с электронной проводимостью, и аналогичным направлению их перемещения в полупроводниках с дырочной проводимостью. Ионы значительно тяжелее электронов, отчего газоразрядные приборы обладают высокой инерционностью. Ионные приборы с симметричными электродами не обладают односторонней проводимостью, а с несимметричными – обладают ей в определенном диапазоне разностей потенциалов.

В жидкостях заряд всегда переносят тяжелые ионы. В зависимости от состава электролита, они могут быть как отрицательными, так и положительными. В первом случае считайте их ведущими себя аналогично электронам, а во втором – аналогично положительным ионам в газах или дыркам в полупроводниках.

При указании направления тока в электрической схеме, независимо от того, куда перемещаются заряженные частицы на самом деле, считайте их движущимися в источнике от отрицательного полюса к положительному, а во внешней цепи – от положительного к отрицательному. Указанное направление считается условным, а принято оно до открытия строения атома.

Источники:

• направление тока

Сидите, разлагаете молекулы на атомы,
Забыв, что разлагается картофель на полях.
В. Высоцкий

Как описать гравитационное взаимодействие при помощи гравитационного поля? Как описать электрическое взаимодействие при помощи электрического поля? Почему электрическое и магнитное взаимодействия можно рассматривать как две составляющие единого электромагнитного взаимодействия?

Урок-лекция

Гравитационное поле . В курсе физики вы изучали закон всемирного тяготения, в соответствии с которым все тела притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Рассмотрим какое-либо из тел Солнечной системы и обозначим его массу через m. В соответствии с законом всемирного тяготения на это тело действуют все другие тела Солнечной системы, и суммарная гравитационная сила, которую мы обозначим через F, равна векторной сумме всех этих сил. Поскольку каждая из сил пропорциональна массе m, то суммарную силу можно представить в виде Векторная величина зависит от расстояния до других тел Солнечной системы, т. е. от координат выбранного нами тела. Из определения, которое было дано в предыдущем параграфе, следует, что величина G является полем. Данное поле имеет название гравитационное поле .

Казимир Малевич. Черный квадрат

Выскажите свое предположение, почему именно эта репродукция картины Малевича сопровождает текст параграфа.

Вблизи поверхности Земли сила, действующая на какое-либо тело, например на вас, со стороны Земли, намного превосходит все остальные гравитационные силы. Это знакомая вам сила тяжести. Так как сила тяжести связана с массой тела соотношением F g = mg, то G вблизи поверхности Земли есть просто ускорение свободного падения.

Поскольку величина G не зависит от массы или какого-либо другого параметра выбранного нами тела, то очевидно, что если в ту же самую точку пространства поместить другое тело, то сила, действующая на него, будет определяться той же самой величиной и, умноженной на массу нового тела. Таким образом, действие гравитационных сил всех тел Солнечной системы на некоторое пробное тело можно описать как действие гравитационного поля на это пробное тело. Слово «пробное» означает, что этого тела может и не быть, поле в данной точке пространства все равно существует и не зависит от наличия этого тела. Пробное тело служит просто для того, чтобы можно было измерить это поле измерением суммарной гравитационной силы, действующей на него.

Совершенно очевидно, что в наших рассуждениях можно и не ограничиваться Солнечной системой и рассматривать любую, сколь угодно большую систему тел.

Гравитационную силу, создаваемую некоторой системой тел и действующую на пробное тело, можно представить как действие гравитационного поля, создаваемого всеми телами (за исключением пробного) на пробное тело.

Электромагнитное поле . Электрические силы очень похожи на гравитационные, только действуют они между заряженными частицами, причем для одноименно заряженных частиц это силы отталкивания, а для разноименно заряженных – силы притяжения. Закон, подобный закону всемирного тяготения, – это закон Кулона. В соответствии с ним сила, действующая между двумя заряженными телами, пропорциональна произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами.

В силу аналогии между законом Кулона и законом всемирного тяготения то, что говорилось о гравитационных силах, можно повторить для электрических сил и представить силу, действующую со стороны некоторой системы заряженных тел на пробный заряд q, в виде F е = qE Величина Е характеризует знакомое вам электрическое поле и называется напряженностью электрического поля. Вывод, касающийся гравитационного поля, можно почти дословно повторить для электрического поля.

Взаимодействие между заряженными телами (или просто зарядами), как уже говорилось, очень похоже на гравитационное взаимодействие между любыми телами. Однако есть одно очень существенное отличие. Гравитационные силы не зависят от того, движутся тела или неподвижны. А вот сила взаимодействия между зарядами изменяется, если заряды движутся. Например, между двумя одинаковыми неподвижными зарядами действуют силы отталкивания (рис. 12, а). Если же эти заряды движутся, то силы взаимодействия изменяются. В дополнение к электрическим силам отталкивания появляются силы притяжения (рис. 12, б).

Рис. 12. Взаимодействие двух неподвижных зарядов (а), взаимодействие двух движущихся зарядов (б)

Вы уже знакомы с этой силой из курса физики. Именно эта сила вызывает притяжение двух параллельных проводников с током. Эту силу называют магнитной силой. Действительно, в параллельных проводниках с одинаково направленными токами заряды движутся, как показано на рисунке, а значит, притягиваются магнитной силой. Сила, действующая между двумя проводниками с током, есть просто сумма всех сил, действующих между зарядами.

Электрическую силу, создаваемую некоторой системой заряженных тел и действующую на пробный заряд, можно представить как действие электрического поля, создаваемого всеми заряженными телами (за исключением пробного) на пробный заряд.

Почему же в этом случае исчезает электрическая сила? Все очень просто. Проводники содержат как положительные, так и отрицательные заряды, причем количество положительных зарядов в точности равно количеству отрицательных зарядов. Поэтому в целом электрические силы компенсируются. Токи же возникают вследствие движения только отрицательных зарядов, положительные заряды в проводнике неподвижны. Поэтому магнитные силы не компенсируются.

Механическое движение всегда относительно, т. е. скорость всегда задается относительно некоторой системы отсчета и изменяется при переходе от одной системы отсчета к другой.

А теперь посмотрите внимательно на рисунок 12. Чем различаются рисунки а и б? На рисунке 6 заряды движутся. Но это движение только в определенной, выбранной нами системе отсчета. Мы можем выбрать другую систему отсчета, в которой оба заряда неподвижны. И тогда магнитная сила исчезает. Это наводит на мысль, что электрическая и магнитная силы – это силы одной природы.

И это действительно так. Опыт показывает, что существует единая электромагнитная сила , действующая между зарядами, которая по-разному проявляется в различных системах отсчета. Соответственно можно говорить о едином электромагнитном поле , которое представляет собой совокупность двух полей – электрического и магнитного. В различных системах отсчета электрическая и магнитная составляющие электромагнитного поля могут проявляться по-разному. В частности, может оказаться, что в какой-то системе отсчета исчезает электрическая или магнитная составляющая электромагнитного поля.

Из относительности движения следует, что электрическое взаимодействие и магнитное взаимодействие есть две составляющие единого электромагнитного взаимодействия.

Но если это так, то можно повторить вывод, касающийся электрического поля.

Электромагнитную силу, создаваемую некоторой системой зарядов и действующую на пробный заряд, можно представить как действие электромагнитного поля, создаваемого всеми зарядами (за исключением пробного) на пробный заряд.

Многие силы, действующие на тело, находящееся в вакууме или в непрерывной среде, можно представить как результат действия на тело соответствующих полей. К подобным силам относятся, в частности, гравитационная и электромагнитная силы.

• Во сколько раз гравитационная сила, действующая на вас со стороны Земли, больше гравитационной силы, действующей со стороны Солнца? (Масса Солнца в 330 ООО раз больше массы Земли, а расстояние от Земли до Солнца 150 млн км.)
• Магнитная сила, действующая между двумя зарядами, как и электрическая сила, пропорциональна произведению зарядов. Куда будут направлены магнитные силы, если на рисунке 12, б один из зарядов заменить противоположным по знаку зарядом?
• Куда будут направлены магнитные силы на рисунке 12, б, если скорости обоих зарядов изменить на противоположные?

Инструкция

Чтобы узнать направление магнитных для прямого проводника с , расположите его так, чтобы электрический ток шел в направлении от вас (например, в лист бумаги). Попробуйте вспомнить, как двигается бур или закручиваемый отверткой винт: по часовой и . Изобразите это движение рукой, чтобы понять направление линий. Таким образом, линии магнитного поля направлены по часовой стрелке. Отметьте их схематично на чертеже. Этот метод правилом буравчика.

Если проводник расположен не в том направлении, мысленно встаньте таким образом или поверните конструкцию так, чтобы ток от вас удалялся. Затем вспомните движение бура или винта и поставьте направление магнитных линий по часовой стрелке.

Если правило буравчика кажется вам сложным, попробуйте использовать правило правой руки. Чтобы с его помощью определить направление магнитных линий, расположите руку используйте правую руку с оттопыренным большим пальцем. Большой палец направьте по движению проводника, а 4 остальных пальца – в направлении индукционного тока. Теперь обратите внимание, силовые линии магнитного поля входят в вашу ладонь.

Для того, чтобы использовать правило правой руки для катушки с током, обхватите его мысленно ладонью правой руки так, чтобы пальцы были направлены вдоль тока в витках. Посмотрите, куда смотрит отставленный большой палец – это и есть направление магнитных линий внутри соленоида. Этот способ поможет определить ориентацию металлической болванки, если вам нужно зарядить магнит при помощи катушки с током.

Чтобы определить направление магнитных линий при помощи магнитной стрелки, расположите несколько таких стрелок вокруг провода или катушки. Вы увидите, что оси стрелок направлены по касательным к окружности. С помощью этого метода можно найти направление линий в каждой точке пространства и доказать их непрерывность.

Сила Ампера действует на проводник с током в магнитном поле. Ее можно измерить непосредственно при помощи динамометра. Для этого к движущемуся под действием силы Ампера проводнику прикрепите динамометр и уравновесьте им силу Ампера. Для того чтобы рассчитать эту силу, измерьте ток в проводнике, индукцию магнитного поля и длину проводника.

Вам понадобится

• – динамометр;
• – амперметр;
• – тесламетр;
• – линейка;
• – подковообразный постоянный магнит

Инструкция

Непосредственное измерение силы Ампера. Соберите цепь таким образом, чтобы она замыкалась цилиндрическим проводником, который может свободно катиться по двум параллельным проводникам, замыкая их, практически без механического сопротивления (силы трения). Между этими проводниками установите подковообразный магнит. Подключите к цепи источник тока, и цилиндрический проводник начнет катиться по параллельным проводникам. Прикрепите к этому проводнику чувствительный динамометр, и вы измерите значение силы Ампера, действующей на проводник с током в магнитном поле в Ньютонах.

Расчет силы Ампера. Соберите такую же цепь, была описана в предыдущем пункте. Узнайте индукцию магнитного поля, в котором проводник. Для этого внесите датчик тесламетра между параллельными полосами постоянного магнита и снимите с него показания в теслах. Включите в собранную цепь амперметр последовательно. С помощью измерьте длину цилиндрического проводника в .
Подключите собранную цепь к источнику тока, узнайте силу тока в ней, используя амперметр. Измерения производите в амперах. Для того чтобы рассчитать значение силы Ампера, найдите произведение значений магнитного поля на силу тока и длину проводника (F=B I l). В том случае, если между направлениями тока и магнитной индукции угол не равен 90º, измерьте его и умножьте результат на синус этого угла.

Определение направления силы Ампера. Найдите направление силы Ампера по правилу левой руки. Для этого поместите левую руку таким образом, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, а четыре пальца показывали направление движения электрического тока (от положительного к отрицательному полюсу источника). Тогда отставленный на 90º большой палец руки покажет направление действия силы Ампера.

Чтобы правильно определить вектор магнитной индукции нужно узнать не только его абсолютную величину, но и направление. Абсолютная величина определяется при измерении взаимодействия тел через магнитное поле, а направление – по характеру движения тел и специальным правилам.

Вам понадобится

• – проводник;
• – источник тока;
• – соленоид;
• – правый буравчик.(-6). Результат поделите на длину соленоида L, B=N I μ/L. Направление вектора магнитной индукции внутри соленоида определите так же, как и в случае с одним витком проводника.

  Вектор магнитной индукции является силовой характеристикой магнитного поля. В лабораторных заданиях по физике направление вектора индукции, который обозначается на схемах стрелкой и буквой В, определяется в зависимости от имеющегося в наличии проводника.

  Вам понадобится

  • – магнит;
  • – магнитная стрелка.

  Инструкция

  Если вам дан постоянный магнит, найдите его полюса: полюс красят в синий цвет и отмечают латинской буквой N, южный обычно цвета с буквой S. Графически изобразите линии магнитного поля, которые выходят из северного полюса и входят в южный. Постройте по касательной вектор. Если никаких пометок или краски на полюсах магнита нет, узнайте направление вектора индукции с помощью магнитной стрелки, полюса которой вам известны.

  Установите стрелку рядом с . Один из концов стрелки притянется . Если к магниту притянулся северный полюс стрелки, значит на магните это южный полюс, и наоборот. Используйте правило, что силовые линии магнитного поля выходят из северного полюса магнита (не стрелки!) и входят в южный.

  Найдите направление вектора индукции магнитного поля в витке с током с помощью правила буравчика. Возьмите буравчик или штопор и поставьте его перпендикулярно плоскости заряженного витка. Начните вращать буравчик по направлению движения тока в витке. Поступательное движение буравчика укажет направление линий магнитного поля в центре витка.

  При наличии прямого проводника соберите полную замкнутую цепь, включив в нее проводник. Учтите, что за направление тока в цепи принимается движение тока от положительного полюса источника тока к отрицательному. Возьмите штопор или представьте, что вы держите его в правой руке.

  Закручивайте буравчик в направлении движения тока в проводнике. Движение рукояти штопора покажет направление силовых линий поля. Зарисуйте линии на схеме. Постройте к ним по касательной вектор, который покажет направление индукции магнитного поля.

  Узнайте, в какую сторону направлен вектор индукции в катушке или соленоиде. Соберите цепь, подключив катушку или соленоид к источнику тока. Примените правило правой руки. Представьте, что вы обхватили катушку так, что четыре вытянутых пальца показывают направление тока в катушке. Тогда отставленный на 90 градусов большой палец укажет направление вектора индукции магнитного поля внутри соленоида или катушки.

  Используйте магнитную стрелку. Приблизьте магнитную стрелку к соленоиду. Синий ее конец (обозначенный буквой N или синей краской) покажет направление вектора. Не забудьте о том, что силовые линии в соленоиде – прямые.

  Видео по теме

  Источники:

  • Магнитное поле и его характеристики

  Индукция возникает в проводнике при пересечении силовых линий поля, если его перемещать в магнитном поле. Индукция характеризуется направлением, которое можно определить по установленным правилам.

  Вам понадобится

  • – проводник с током в магнитном поле;
  • – буравчик или винт;
  • – соленоид с током в магнитном поле;

  Инструкция

  Чтобы узнать направление индукции, следует воспользоваться одним из двух : правилом буравчика или правилом правой руки. Первое в основном для прямого провода, в котором ток. Правило правой руки применяют для катушки или соленоида, питаемого током.

  Чтобы узнать направление индукции по правилу буравчика, определите полярность провода. Ток всегда течет от положительного полюса к отрицательному. Расположите буравчик или винт вдоль провода с током: носик буравчика должен смотреть на отрицательный полюс, а рукоятка в сторону положительного. Начните вращать буравчик или винт как бы закручивая его, то есть по часовой стрелке. Возникающая индукция имеет вид замкнутых окружностей вокруг питаемого током провода. Направление индукции будет совпадать с направлением вращения рукоятки буравчика или шляпки винта.

  Правило правой руки говорит:
  Если взять катушку или соленоид в ладонь правой руки, чтобы четыре пальца лежали по направлению течения тока в витках, то большой палец, отставленный в бок, укажет направление индукции.

  Давно известно, что кусочки магнитного железняка способны притягивать к себе металлические предметы: гвозди, гайки, металлические опилки, иголки и др. Такой способностью их наделила природа. Это естественные магниты .

  Подвергнем воздействию естественного магнита брусок из железа. Через некоторое время он сам намагнитится и начнёт притягивать другие металлические предметы. Брусок стал искусственным магнитом . Уберём магнит. Если намагничивание при этом исчезнет, то говорят о временном намагничивании . Если же оно останется, то перед нами постоянный магнит.

  Концы магнита, притягивающие металлические предметы наиболее сильно, называют полюсами магнита. Слабее всего притяжение в его средней зоне. Её называют нейтральной зоной .

  Если к средней части магнита прикрепить нить и позволить ему свободно вращаться, подвесив его к штативу, то он развернётся таким образом, что один из его полюсов будет ориентирован строго на север, а другой строго на юг. Конец магнита, обращённый на север, называют северным полюсом (N ), а противоположный – южным (S ).

  Взаимодействие магнитов

  Магнит притягивает другие магниты, не соприкасаясь с ними. Одноимённые полюсы разных магнитов отталкиваются, а разноимённые притягиваются. Не правда ли, это напоминает взаимодействие электрических зарядов?

  Электрические заряды оказывают действие друг на друга с помощью электрического поля , образующегося вокруг них. Постоянные магниты взаимодействуют на расстоянии, потому что вокруг них существует магнитное поле .

  Физики XIX века пытались представить магнитное поле как аналог электростатического. Они рассматривали полюсы магнита как положительный и отрицательный магнитные заряды (северный и южный полюсы соответственно). Но вскоре поняли, что изолированных магнитных зарядов не существует.

  Два одинаковых по величине, но разных по знаку электрических заряда называют электрическим диполем . Магнит имеет два полюса и является магнитным диполем .

  Заряды в электрическом диполе можно легко отделить друг от друга, разрезав на две части проводник, в разных частях которого они находятся. Но с магнитом так не получится. Разделив таким же способом постоянный магнит, мы получим два новых магнита, каждый из которых тоже будет иметь два магнитных полюса.

  Тела, имеющие собственное магнитное поле, называются магнитами . Различные материалы по-разному притягиваются к ним. Это зависит от структуры материала. Свойство материалов создавать магнитное поле под воздействием внешнего магнитного поля, называется магнетизмом .

  Наиболее сильно притягиваются к магнитам ферромагнетики . Причём их собственное магнитное поле, создаваемое молекулами, атомами или ионами, в сотни раз превосходит вызвавшее его внешнее магнитное поле. Ферромагнетиками являются такие химические элементы, как железо, кобальт, никель, а также некоторые сплавы.

  Парамагнетики – вещества, намагничивающиеся во внешнем поле в его направлении. Притягиваются к магнитам слабо. Химические элементы алюминий, натрий, магний, соли железа, кобальта, никеля и др. – примеры парамагнетиков.

  Но есть материалы, которые не притягиваются, а отталкиваются от магнитов. Их называют диамагнетиками . Они намагничиваются против направления внешнего магнитного поля, но отталкиваются от магнитов довольно слабо. Это медь, серебро, цинк, золото, ртуть и др.

  Опыт Эрстеда

  Однако магнитное поле создают не только постоянные магниты.

  В 1820 г. датский физик Ханс Кристиан Э́рстед на одной из своих лекций в университете демонстрировал студентам опыт по нагреванию проволоки от «вольтова столба». Один из проводов электрической цепи оказался на стеклянной крышке морского компаса, лежащего на столе. Когда учёный замкнул электрическую цепь и по проводу пошёл ток, магнитная стрелка компаса вдруг отклонилась в сторону. Конечно, Эрстед поначалу подумал, что это просто случайность. Но, повторив опыт в тех же условиях, он получил тот же результат. Тогда он начал менять расстояние от провода до стрелки. Чем бόльшим оно было, тем слабее отклонялась стрелка. Но и это ещё не всё. Пропуская ток через провода, сделанные из разных металлов, он обнаружил, что даже те из них, которые не обладали магнитными свойствами, вдруг становились магнитами, когда через них проходил электрический ток. Стрелка отклонялась, даже когда её отделяли от провода с током экранами из материалов, не проводящих ток: дерева, стекла, камней. Даже когда её поместили в резервуар с водой, она всё равно продолжала отклоняться. При разрыве электрической цепи магнитная стрелка компаса возвращалась в исходное состояние. Это означало, что проводник, по которому идёт электрический ток, создаёт магнитное поле , заставляющее стрелку устанавливаться в определённом направлении.

  Ханс Кристиан Эрстед

  Магнитная индукция

  Силовой характеристикой магнитного поля является магнитная индукция . Это векторная величина, определяющая его действие на движущиеся заряды в данной точке поля.

  Направление вектора магнитной индукции совпадает с направлением северного полюса магнитной стрелки, находящейся в магнитном поле. Единица измерения магнитной индукции в системе СИ – тесла (Тл) . Измеряют магнитную индукции приборами, которые называются тесламетрами .

  Если векторы магнитной индукции поля одинаковы по величине и направлению во всех точках поля, то такое поле называется однородным.

  Нельзя путать понятие индукции магнитного поля и явление электромагнитной индукции .

  Графически магнитное поле изображают с помощью силовых линий.

  Силовыми линиями , или линиями магнитной индукции , называют линии, касательные к которым в данной точке совпадают с направлением вектора магнитной индукции. Густота этих линий отображает величину вектора магнитной индукции.

  Картину расположения этих линий можно получить с помощью простого опыта. Рассыпав на куске гладкого картона или стекла железные опилки и положив его на магнит, можно увидеть, как опилки располагаются по определённым линиям. Эти линии имеют форму силовых линий магнитного поля.

  Линии магнитной индукции всегда замкнуты . Они не имеют ни начала, ни конца. Выходя из северного полюса, они входят в южный и замыкаются внутри магнита.

  Поля с замкнутыми векторными линиями называются вихревыми . Следовательно, магнитное поле является вихревым. В каждой его точке вектор магнитной индукции имеет своё направление. Его определяют по направлению магнитной стрелки в этой точке или по правилу буравчика (для магнитного поля вокруг проводника с током).

  Правило буравчика (винта) и правило правой руки

  Эти правила дают возможность просто и довольно точно определить направление линий магнитной индукции, не используя никаких физических приборов.

  Чтобы понять, как работает правило буравчика , представим себе, что правой рукой мы вкручиваем бур или штопор.

  Если направление поступательного движения буравчика совпадает с направлением движения тока в проводнике, то направление вращения ручки буравчика совпадает с направлением линий магнитной индукции.

  Разновидностью данного правила является правило правой руки .

  Если мысленно обхватить правой рукой проводник с током таким образом, чтобы отогнутый на 90° большой палец показывал направление тока, то остальные пальцы покажут направление линий магнитной индукции поля, создаваемого этим током, и направление вектора магнитной индукции, направленного по касательной к этим линиям.

  Магнитный поток

  Поместим в однородное магнитное поле плоский замкнутый контур. Величина, равная количеству силовых линий, проходящих через поверхность контура, называется магнитным потоком .

  Ф = В· S· cosα ,

  где Ф – величина магнитного потока;

  В – модуль вектора индукции;

  S – площадь контура;

  α – угол между направлением вектора магнитной индукции и нормалью (перпендикуляром) к плоскости контура.

  С изменением угла наклона меняется величина магнитного потока.

  Если плоскость контура перпендикулярна магнитному полю (α = 0), то магнитный поток, проходящий через неё будет максимальным.

  Ф max = В·S

  Если же контур расположен параллельно магнитному полю (α =90 0), то поток в этом случае будет равен нулю.

  Сила Лоренца

  Мы знаем, что электрическое поле действует на любые заряды, независимо от того находятся ли они в состоянии покоя или движутся. Магнитное поле способно оказывать воздействие только на движущиеся заряды.

  Выражение для силы, действующей со стороны магнитного поля на движущийся в нём единичный электрический заряд, установил нидерландский физик-теоретик Хендрик Антон Ло́ренц .Силу эту назвали силой Лоренца .

  Хендрик Антон Лоренц

  Модуль силы Лоренца определяют по формуле:

  F = q· v· B· sinα ,

  где q – величина заряда;

  v – скорость движения заряда в магнитном поле;

  B – модуль вектора индукции магнитного поля;

  α – угол между вектором индукции и вектором скорости.

  Куда же направлена сила Лоренца? Это легко определить с помощью правила левой руки : «Если расположить ладонь левой руки таким образом, чтобы четыре вытянутых пальца показывали направление движения положительного электрического заряда, а силовые линии магнитного поля входили в ладонь, то отогнутый на 90 0 большой палец покажет направление силы Лоренца ».

  Закон Ампера

  В 1820 г. после того как Эрстед установил, что электрический ток создаёт магнитное поле, известный французский физик Андре Мари Ампер продолжил исследования по взаимодействию между электрическим током и магнитом.

  Андре Мари Ампер

  В результате проведенных опытов учёный выяснил, что на прямой проводник с током, находящийся в магнитном поле с индукцией В , со стороны поля действует сила F , пропорциональная силе тока и индукции магнитного поля . Этот закон получил название закона Ампера , а силу назвали силой Ампера .

  F = I· L· B· sinα ,

  где I – сила тока в проводнике;

  L – длина проводника в магнитном поле;

  B – модуль вектора индукции магнитного поля;

  α – угол между вектором магнитного поля и направлением тока в проводнике.

  Сила Ампера имеет максимальное значение, если угол α равен 90 0 .

  Направление силы Ампера, как и силы Лоренца, также удобно определять по правилу левой руки.

  Располагаем левую руку таким образом, чтобы четыре пальца указывали направление тока, а линии поля входили в ладонь. Тогда отогнутый на 90 0 большой палец укажет направление силы Ампера.

  Наблюдая взаимодействие двух тонких проводников с током, учёный выяснил, что параллельные проводники с током, притягиваются, если токи в них текут в одном направлении, и отталкиваются, если направления токов противоположны .

  Магнитное поле Земли

  Наша планета представляет собой гигантский постоянный магнит, вокруг которого существует магнитное поле. Этот магнит имеет северный и южный полюсы. Вблизи них магнитное поле Земли проявляется наиболее сильно. Стрелка компаса устанавливается вдоль магнитных линий. Один конец её направлен к северному полюсу, другой к южному.

  Магнитные полюсы Земли время от времени меняются местами. Правда, случается это не часто. За последний миллион лет это происходило 7 раз.

  Магнитное поле защищает Землю от космического излучения, которое разрушительно действует на всё живое.

  На магнитное поле Земли влияет солнечный ветер , представляющий собой поток ионизированных частиц, вырывающихся из солнечной короны с огромной скоростью. Особенно он усиливается во время вспышек на Солнце. Пролетающие мимо нашей планеты частицы создают дополнительные магнитные поля, в результате чего изменяются характеристики магнитного поля Земли. Возникают магнитные бури . Правда, длятся они недолго. И спустя некоторое время магнитное поле восстанавливается. Но проблем они могут создать немало, так как влияют на работу линий электропередач, радиосвязи, вызывают сбои в работе различных приборов, ухудшают работу сердечно-сосудистой, дыхательной и нервной систем человека. Особенно чувствительны к ним метеозависимые люди.

  Темы кодификатора ЕГЭ : явление электромагнитной индукции, магнитный поток, закон электромагнитной индукции Фарадея, правило Ленца.

  Опыт Эрстеда показал, что электрический ток создаёт в окружающем пространстве магнитное поле. Майкл Фарадей пришёл к мысли, что может существовать и обратный эффект: магнитное поле, в свою очередь, порождает электрический ток.

  Иными словами, пусть в магнитном поле находится замкнутый проводник; не будет ли в этом проводнике возникать электрический ток под действием магнитного поля?

  Через десять лет поисков и экспериментов Фарадею наконец удалось этот эффект обнаружить. В 1831 году он поставил следующие опыты.

  1. На одну и ту же деревянную основу были намотаны две катушки; витки второй катушки были проложены между витками первой и изолированы. Выводы первой катушки подключались к источнику тока, выводы второй катушки – к гальванометру (гальванометр – чувствительный прибор для измерения малых токов). Таким образом, получались два контура: «источник тока – первая катушка» и «вторая катушка – гальванометр».

  Электрического контакта между контурами не было, только лишь магнитное поле первой катушки пронизывало вторую катушку.

  При замыкании цепи первой катушки гальванометр регистрировал короткий и слабый импульс тока во второй катушке.

  Когда по первой катушке протекал постоянный ток, никакого тока во второй катушке не возникало.

  При размыкании цепи первой катушки снова возникал короткий и слабый импульс тока во второй катушке, но на сей раз в обратном направлении по сравнению с током при замыкании цепи.

  Вывод .

  Меняющееся во времени магнитное поле первой катушки порождает (или, как говорят, индуцирует ) электрический ток во второй катушке. Этот ток называется индукционным током .

  Если магнитное поле первой катушки увеличивается (в момент нарастания тока при замыкании цепи), то индукционный ток во второй катушке течёт в одном направлении.

  Если магнитное поле первой катушки уменьшается (в момент убывания тока при размыкании цепи), то индукционный ток во второй катушке течёт в другом направлении.

  Если магнитное поле первой катушки не меняется (постоянный ток через неё), то индукционного тока во второй катушке нет.

  Обнаруженное явление Фарадей назвал электромагнитной индукцией (т. е. «наведение электричества магнетизмом»).

  2. Для подтверждения догадки о том, что индукционный ток порождается переменным магнитным полем, Фарадей перемещал катушки друг относительно друга. Цепь первой катушки всё время оставалась замкнутой, по ней протекал постоянный ток, но за счёт перемещения (сближения или удаления) вторая катушка оказывалась в переменном магнитном поле первой катушки.

  Гальванометр снова фиксировал ток во второй катушке. Индукционный ток имел одно направление при сближении катушек, и другое – при их удалении. При этом сила индукционного тока была тем больше, чем быстрее перемещались катушки .

  3. Первая катушка была заменена постоянным магнитом. При внесении магнита внутрь второй катушки возникал индукционный ток. При выдвигании магнита снова появлялся ток, но в другом направлении. И опять-таки сила индукционного тока была тем больше, чем быстрее двигался магнит.

  Эти и последующие опыты показали, что индукционный ток в проводящем контуре возникает во всех тех случаях, когда меняется «количество линий» магнитного поля, пронизывающих контур. Сила индукционного тока оказывается тем больше, чем быстрее меняется это количество линий. Направление тока будет одним при увеличении количества линий сквозь контур, и другим – при их уменьшении.

  Замечательно, что для величины силы тока в данном контуре важна лишь скорость изменения количества линий. Что конкретно при этом происходит, роли не играет – меняется ли само поле, пронизывающее неподвижный контур, или же контур перемещается из области с одной густотой линий в область с другой густотой.

  Такова суть закона электромагнитной индукции. Но, чтобы написать формулу и производить расчёты, нужно чётко формализовать расплывчатое понятие «количество линий поля сквозь контур».

  Магнитный поток

  Понятие магнитного потока как раз и является характеристикой количества линий магнитного поля, пронизывающих контур.

  Для простоты мы ограничиваемся случаем однородного магнитного поля. Рассмотрим контур площади , находящийся в магнитном поле с индукцией .

  Пусть сначала магнитное поле перпендикулярно плоскости контура (рис. 1 ).

  Рис. 1.

  В этом случае магнитный поток определяется очень просто – как произведение индукции магнитного поля на площадь контура:

  (1)

  Теперь рассмотрим общий случай, когда вектор образует угол с нормалью к плоскости контура (рис. 2 ).

  Рис. 2.

  Мы видим, что теперь сквозь контур «протекает» лишь перпендикулярная составляющая вектора магнитной индукции (а та составляющая, которая параллельна контуру, не «течёт» сквозь него). Поэтому, согласно формуле (1), имеем . Но , поэтому

  (2)

  Это и есть общее определение магнитного потока в случае однородного магнитного поля. Обратите внимание, что если вектор параллелен плоскости контура (то есть ), то магнитный поток становится равным нулю.

  А как определить магнитный поток, если поле не является однородным? Укажем лишь идею. Поверхность контура разбивается на очень большое число очень маленьких площадок, в пределах которых поле можно считать однородным. Для каждой площадки вычисляем свой маленький магнитный поток по формуле (2) , а затем все эти магнитные потоки суммируем.

  Единицей измерения магнитного потока является вебер (Вб). Как видим,

  Вб = Тл · м = В · с. (3)

  Почему же магнитный поток характеризует «количество линий» магнитного поля, пронизывающих контур? Очень просто. «Количество линий» определяется их густотой (а значит, величиной – ведь чем больше индукция, тем гуще линии) и «эффективной» площадью, пронизываемой полем (а это есть не что иное, как ). Но множители и как раз и образуют магнитный поток!

  Теперь мы можем дать более чёткое определение явления электромагнитной индукции, открытого Фарадеем.

  Электромагнитная индукция – это явление возникновения электрического тока в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего контур .

  ЭДС индукции

  Каков механизм возникновения индукционного тока? Это мы обсудим позже. Пока ясно одно: при изменении магнитного потока, проходящего через контур, на свободные заряды в контуре действуют некоторые силы – сторонние силы , вызывающие движение зарядов.

  Как мы знаем, работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда вокруг контура называется электродвижущей силой (ЭДС): . В нашем случае, когда меняется магнитный поток сквозь контур, соответствующая ЭДС называется ЭДС индукции и обозначается .

  Итак, ЭДС индукции – это работа сторонних сил, возникающих при изменении магнитного потока через контур, по перемещению единичного положительного заряда вокруг контура .

  Природу сторонних сил, возникающих в данном случае в контуре, мы скоро выясним.

  Закон электромагнитной индукции Фарадея

  Сила индукционного тока в опытах Фарадея оказывалась тем больше, чем быстрее менялся магнитный поток через контур.

  Если за малое время изменение магнитного потока равно , то скорость изменения магнитного потока – это дробь (или, что тоже самое, производная магнитного потока по времени).

  Опыты показали, что сила индукционного тока прямо пропорциональна модулю скорости изменения магнитного потока:

  Модуль поставлен для того, чтобы не связываться пока с отрицательными величинами (ведь при убывании магнитного потока будет ). Впоследствии мы это модуль снимем.

  Из закона Ома для полной цепи мы в то же время имеем: . Поэтому ЭДС индукции прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока:

  (4)

  ЭДС измеряется в вольтах. Но и скорость изменения магнитного потока также измеряется в вольтах! Действительно, из (3) мы видим, что Вб/с = В. Стало быть, единицы измерения обеих частей пропорциональности (4) совпадают, поэтому коэффициент пропорциональности – величина безразмерная. В системе СИ она полагается равной единице, и мы получаем:

  (5)

  Это и есть закон электромагнитной индукции или закон Фарадея . Дадим его словесную формулировку.

  Закон электромагнитной индукции Фарадея . При изменении магнитного потока, пронизывающего контур, в этом контуре возникает ЭДС индукции, равная модулю скорости изменения магнитного потока .

  Правило Ленца

  Магнитный поток, изменение которого приводит к появлению индукционного тока в контуре, мы будем называть внешним магнитным потоком . А само магнитное поле, которое создаёт этот магнитный поток, мы будем называть внешним магнитным полем .

  Зачем нам эти термины? Дело в том, что индукционный ток, возникающий в контуре, создаёт своё собственное магнитное поле, которое по принципу суперпозиции складывается с внешним магнитным полем.

  Соответственно, наряду с внешним магнитным потоком через контур будет проходить собственный магнитный поток, создаваемый магнитным полем индукционного тока.

  Оказывается, эти два магнитных потока – собственный и внешний – связаны между собой строго определённым образом.

  Правило Ленца . Индукционный ток всегда имеет такое направление, что собственный магнитный поток препятствует изменению внешнего магнитного потока .

  Правило Ленца позволяет находить направление индукционного тока в любой ситуации.

  Рассмотрим некоторые примеры применения правила Ленца.

  Предположим, что контур пронизывается магнитным полем, которое возрастает со временем (рис. (3) ). Например, мы приближаем снизу к контуру магнит, северный полюс которого направлен в данном случае вверх, к контуру.

  Магнитный поток через контур увеличивается. Индукционный ток будет иметь такое направление, чтобы создаваемый им магнитный поток препятствовал увеличению внешнего магнитного потока. Для этого магнитное поле, создаваемое индукционным током, должно быть направлено против внешнего магнитного поля.

  Индукционный ток течёт против часовой стрелки, если смотреть со стороны создаваемого им магнитного поля. В данном случае ток будет направлен по часовой стрелке, если смотреть сверху, со стороны внешнего магнитного поля, как и показано на (рис. (3) ).

  Рис. 3. Магнитный поток возрастает

  Теперь предположим, что магнитное поле, пронизывающее контур, уменьшается со временем (рис. 4 ). Например, мы удаляем магнит вниз от контура, а северный полюс магнита направлен на контур.

  Рис. 4. Магнитный поток убывает

  Магнитный поток через контур уменьшается. Индукционный ток будет иметь такое направление, чтобы его собственный магнитный поток поддерживал внешний магнитный поток, препятствуя его убыванию. Для этого магнитное поле индукционного тока должно быть направлено в ту же сторону , что и внешнее магнитное поле.

  В этом случае индукционный ток потечёт против часовой стрелки, если смотреть сверху, со стороны обоих магнитных полей.

  Взаимодействие магнита с контуром

  Итак, приближение или удаление магнита приводит к появлению в контуре индукционного тока, направление которого определяется правилом Ленца. Но ведь магнитное поле действует на ток! Появится сила Ампера, действующая на контур со стороны поля магнита. Куда будет направлена эта сила?

  Если вы хотите хорошо разобраться в правиле Ленца и в определении направления силы Ампера, попробуйте ответить на данный вопрос самостоятельно. Это не очень простое упражнение и отличная задача для С1 на ЕГЭ. Рассмотрите четыре возможных случая.

  1. Магнит приближаем к контуру, северный полюс направлен на контур.
  2. Магнит удаляем от контура, северный полюс направлен на контур.
  3. Магнит приближаем к контуру, южный полюс направлен на контур.
  4. Магнит удаляем от контура, южный полюс направлен на контур.

  Не забывайте, что поле магнита не однородно: линии поля расходятся от северного полюса и сходятся к южному. Это очень существенно для определения результирующей силы Ампера. Результат получается следующий.

  Если приближать магнит, то контур отталкивается от магнита. Если удалять магнит, то контур притягивается к магниту. Таким образом, если контур подвешен на нити, то он всегда будет отклоняться в сторону движения магнита, словно следуя за ним. Расположение полюсов магнита при этом роли не играет .

  Уж во всяком случае вы должны запомнить этот факт – вдруг такой вопрос попадётся в части А1

  Результат этот можно объяснить и из совершенно общих соображений – при помощи закона сохранения энергии.

  Допустим, мы приближаем магнит к контуру. В контуре появляется индукционный ток. Но для создания тока надо совершить работу! Кто её совершает? В конечном счёте – мы, перемещая магнит. Мы совершаем положительную механическую работу, которая преобразуется в положительную работу возникающих в контуре сторонних сил, создающих индукционный ток.

  Итак, наша работа по перемещению магнита должна быть положительна . Это значит, что мы, приближая магнит, должны преодолевать силу взаимодействия магнита с контуром, которая, стало быть, является силой отталкивания .

  Теперь удаляем магнит. Повторите, пожалуйста, эти рассуждения и убедитесь, что между магнитом и контуром должна возникнуть сила притяжения.

  Закон Фарадея + Правило Ленца = Снятие модуля

  Выше мы обещали снять модуль в законе Фарадея (5) . Правило Ленца позволяет это сделать. Но сначала нам нужно будет договориться о знаке ЭДС индукции – ведь без модуля, стоящего в правой части (5) , величина ЭДС может получаться как положительной, так и отрицательной.

  Прежде всего, фиксируется одно из двух возможных направлений обхода контура. Это направление объявляется положительным . Противоположное направление обхода контура называется, соответственно, отрицательным . Какое именно направление обхода мы берём в качестве положительного, роли не играет – важно лишь сделать этот выбор.

  Магнитный поток через контур считается положительным alt=”(\Phi > 0)”> , если магнитное поле, пронизывающее контур, направлено туда, глядя откуда обход контура в положительном направлении совершается против часовой стрелки. Если же с конца вектора магнитной индукции положительное направление обхода видится по часовой стрелке, то магнитный поток считается отрицательным .

  ЭДС индукции считается положительной alt=”(\mathcal E_i > 0)”> , если индукционный ток течёт в положительном направлении. В этом случае направление сторонних сил, возникающих в контуре при изменении магнитного потока через него, совпадает с положительным направлением обхода контура.

  Наоборот, ЭДС индукции считается отрицательной , если индукционный ток течёт в отрицательном направлении. Сторонние силы в данном случае также будут действовать вдоль отрицательного направления обхода контура.

  Итак, пусть контур находится в магнитном поле . Фиксируем направление положительного обхода контура. Предположим, что магнитное поле направлено туда, глядя откуда положительный обход совершается против часовой стрелки. Тогда магнитный поток положителен: alt=”\Phi > 0″> .

  Рис. 5. Магнитный поток возрастает

  Стало быть, в данном случае имеем . Знак ЭДС индукции оказался противоположен знаку скорости изменения магнитного потока. Проверим это в другой ситуации.

  А именно, предположим теперь, что магнитный поток убывает . По правилу Ленца индукционный ток потечёт в положительном направлении. Стало быть, alt=”\mathcal E_i > 0″> (рис. 6 ).

  Рис. 6. Магнитный поток возрастает alt=”\Rightarrow \mathcal E_i > 0″>

  Таков в действительности общий факт: при нашей договорённости о знаках правило Ленца всегда приводит к тому, что знак ЭДС индукции противоположен знаку скорости изменения магнитного потока :

  (6)

  Тем самым ликвидирован знак модуля в законе электромагнитной индукции Фарадея.

  Вихревое электрическое поле

  Рассмотрим неподвижный контур, находящийся в переменном магнитном поле. Каков же механизм возникновения индукционного тока в контуре? А именно, какие силы вызывают движение свободных зарядов, какова природа этих сторонних сил?

  Пытаясь ответить на эти вопросы, великий английский физик Максвелл открыл фундаментальное свойство природы: меняющееся во времени магнитное поле порождает поле электрическое . Именно это электрическое поле и действует на свободные заряды, вызывая индукционный ток.

  Линии возникающего электрического поля оказываются замкнутыми, в связи с чем оно было названо вихревым электрическим полем . Линии вихревого электрического поля идут вокруг линий магнитного поля и направлены следующим образом.

  Пусть магнитное поле увеличивается. Если в нём находится проводящий контур, то индукционный ток потечёт в соответствии с правилом Ленца – по часовой стрелке, если смотреть с конца вектора . Значит, туда же направлена и сила, действующая со стороны вихревого электрического поля на положительные свободные заряды контура; значит, именно туда направлен вектор напряжённости вихревого электрического поля.

  Итак, линии напряжённости вихревого электрического поля направлены в данном случае по часовой стрелке (смотрим с конца вектора , (рис. 7 ).

  Рис. 7. Вихревое электрическое поле при увеличении магнитного поля

  Наоборот, если магнитное поле убывает, то линии напряжённости вихревого электрического поля направлены против часовой стрелки (рис. 8 ).

  Рис. 8. Вихревое электрическое поле при уменьшении магнитного поля

  Теперь мы можем глубже понять явление электромагнитной индукции. Суть его состоит именно в том, что переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Данный эффект не зависит от того, присутствует ли в магнитном поле замкнутый проводящий контур или нет; с помощью контура мы лишь обнаруживаем это явление, наблюдая индукционный ток.

  Вихревое электрическое поле по некоторым свойствам отличается от уже известных нам электрических полей: электростатического поля и стационарного поля зарядов, образующих постоянный ток.

  1. Линии вихревого поля замкнуты, тогда как линии электростатического и стационарного полей начинаются на положительных зарядах и оканчиваются на отрицательных.
  2. Вихревое поле непотенциально: его работа перемещению заряда по замкнутому контуру не равна нулю. Иначе вихревое поле не могло бы создавать электрический ток! В то же время, как мы знаем, электростатическое и стационарное поля являются потенциальными.

  Итак, ЭДС индукции в неподвижном контуре – это работа вихревого электрического поля по перемещению единичного положительного заряда вокруг контура .

  Пусть, например, контур является кольцом радиуса и пронизывается однородным переменным магнитным полем. Тогда напряжённость вихревого электрического поля одинакова во всех точках кольца. Работа силы , с которой вихревое поле действует на заряд , равна:

  Следовательно, для ЭДС индукции получаем:

  ЭДС индукции в движущемся проводнике

  Если проводник перемещается в постоянном магнитном поле, то в нём также появляется ЭДС индукции. Однако причиной теперь служит не вихревое электрическое поле (оно не возникает – ведь магнитное поле постоянно), а действие силы Лоренца на свободные заряды проводника.

  Рассмотрим ситуацию, которая часто встречается в задачах. В горизонтальной плоскости расположены параллельные рельсы, расстояние между которыми равно . Рельсы находятся в вертикальном однородном магнитном поле . По рельсам движется тонкий проводящий стержень со скоростью ; он всё время остаётся перпендикулярным рельсам (рис. 9 ).

  Рис. 9. Движение проводника в магнитном поле

  Возьмём внутри стержня положительный свободный заряд . Вследствие движения этого заряда вместе со стержнем со скоростью на заряд будет действовать сила Лоренца:

  Направлена эта сила вдоль оси стержня, как показано на рисунке (убедитесь в этом сами – не забывайте правило часовой стрелки или левой руки!).

  Сила Лоренца играет в данном случае роль сторонней силы: она приводит в движение свободные заряды стержня. При перемещении заряда от точки к точке наша сторонняя сила совершит работу:

  (Длину стержня мы также считаем равной .) Стало быть, ЭДС индукции в стержне окажется равной:

  (7)

  Таким образом, стержень аналогичен источнику тока с положительной клеммой и отрицательной клеммой . Внутри стержня за счёт действия сторонней силы Лоренца происходит разделение зарядов: положительные заряды двигаются к точке , отрицательные – к точке .

  Допустим сначала,что рельсы непроводят ток.Тогда движение зарядов в стержне постепенно прекратится. Ведь по мере накопления положительных зарядов на торце и отрицательных зарядов на торце будет возрастать кулоновская сила, с которой положительный свободный заряд отталкивается от и притягивается к – и в какой-то момент эта кулоновская сила уравновесит силу Лоренца. Между концами стержня установится разность потенциалов, равная ЭДС индукции (7) .

  Теперь предположим, что рельсы и перемычка являются проводящими. Тогда в цепи возникнет индукционный ток; он пойдёт в направлении (от «плюса источника» к «минусу» N ). Предположим, что сопротивление стержня равно (это аналог внутреннего сопротивления источника тока), а сопротивление участка равно (сопротивление внешней цепи). Тогда сила индукционного тока найдётся по закону Ома для полной цепи:

  Замечательно, что выражение (7) для ЭДС индукции можно получить также с помощью закона Фарадея. Сделаем это.
  За время наш стержень проходит путь и занимает положение (рис. 9 ). Площадь контура возрастает на величину площади прямоугольника :

  Магнитный поток через контур увеличивается. Приращение магнитного потока равно:

  Скорость изменения магнитного потока положительна и равна ЭДС индукции:

  Мы получили тот же самый результат, что и в (7) . Направление индукционного тока, заметим, подчиняется правилу Ленца. Действительно, раз ток течёт в направлении , то его магнитное поле направлено противоположно внешнему полю и, стало быть, препятствует возрастанию магнитного потока через контур.

  На этом примере мы видим, что в ситуациях, когда проводник движется в магнитном поле, можно действовать двояко: либо с привлечением силы Лоренца как сторонней силы, либо с помощью закона Фарадея. Результаты будут получаться одинаковые.

  Сила Лоренца

  Сила Лоренца
  Далее: Заряженная частица в Up: Магнетизм Предыдущая: Закон Ампера
  
  Сила Лоренца Поток электрического тока вниз проводящий провод в конечном итоге из-за движения электрически заряженные частицы (в большинстве случаев электроны) по проводу. Поэтому кажется разумным, что сила, действующая на провод, когда он помещен в магнитное поле, просто равнодействующая сил, действующих на эти движущиеся заряды.Позволь нам Предположим, что это так.

  Пусть будет (равномерная) площадь поперечного сечения провода, и пусть будет числовая плотность мобильных зарядов в проводе. Предположим, что мобильные заряды имеют заряд и скорость дрейфа. Мы должны предположить, что провод также содержит стационарные заряды с зарядовой и числовой плотностью. , скажем, так, чтобы чистая плотность заряда в проводе была равна нулю. У большинства дирижеров подвижные заряды – это электроны, а неподвижные – атомы. Величина электрического тока, протекающего по проводу, – это просто количество кулонов в секунду, которые проходят через заданную точку.За одну секунду мобильный заряд перемещается на расстояние, поэтому все заряды, содержащиеся в цилиндр площади поперечного сечения и длины обтекает заданную точку. Таким образом, величина тока составляет. Направление ток совпадает с направлением движения зарядов ( т. е. , ), так что векторный ток . Согласно формуле. (152) сила на единицу длины, действующая на провод, равна
  

  (157)

  
  Однако на единице длины провода есть движущиеся заряды.Итак, если предположить что на каждый заряд действует одинаковая сила магнитного поля (мы имеем нет причин предполагать обратное), магнитный сила, действующая на отдельный заряд, равна
  

  (158)

  
  Эта формула подразумевает, что величина магнитной силы, действующей на движущийся заряженная частица является произведением заряда частицы, ее скорость, напряженность магнитного поля и синус угла между направление движения частицы и направление магнитного поля.Сила направлена ​​под прямым углом как к магнитному полю, так и к магнитному полю. мгновенное направление движения.

  Мы можем объединить приведенное выше уравнение с уравнением. (65) дать силу, действующую на движущийся заряд со скоростью в электрическом поле и магнитном поле :
  

  (159)

  
  Это называется законом силы Лоренца , в честь голландского физика. Хендрик Антун Лоренц, который первым ее сформулировал.Электрический сила, действующая на заряженную частицу, параллельна локальному электрическому полю. Однако магнитная сила перпендикулярна как местному магнитному полю. поле и направление движения частицы. Магнитная сила не действует на неподвижная заряженная частица.

  г. уравнение движения свободной частицы заряда и перемещение массы в электрическом и магнитные поля
  

  (160)

  
  согласно закону силы Лоренца.Здесь ускорение частицы. Это уравнение движения было проверено в известном эксперименте, проведенном Кембриджским физиком Дж. Дж. Томпсон в 1897 году. Томпсон проводил расследование катодных лучей , тогда таинственная форма излучения, испускаемого нагретым металлический элемент, находящийся под большим отрицательным напряжением ( т. е. , катод) относительно к другому металлическому элементу (, т. е. , анод) в откачанной трубке. Немецкие физики утверждали, что катодные лучи форма электромагнитного излучения, в то время как британские и французские физики подозревали что они на самом деле были потоком заряженных частиц.Томпсон смог демонстрируют, что последнее мнение было правильным. В эксперименте Томпсона катодные лучи проходят через область пересекаемых электрических и магнитных поля (все еще в вакууме). Поля перпендикулярны исходному траектории лучей, а также взаимно перпендикулярны.

  Рисунок 23: Эксперимент Томпсона.

  Разберем эксперимент Томпсона. Предположим, что лучи изначально движутся в -направлении и подвержены влиянию однородное электрическое поле в -направлении и однородное магнитное поле. поле в -направлении – см. рис.23. Предположим, как это сделал Томпсон, что катод лучи – это поток частиц массы и заряда. В уравнение движения частиц в -направлении имеет вид
  

  (161)

  
  где – скорость частиц в -направлении, а ускорение частиц в -направлении. Томпсон начал свой эксперимент с только включив электрическое поле в своем аппарате, и измерение отклонение лучей в -направлении после того, как они прошли расстояние по полю.Теперь частица, подверженная постоянное ускорение в направлении отклоняется расстояние вовремя. Таким образом,
  

  (162)

  
  где время полета заменено на. Эта замена только действительно, если ( т. е. , если отклонение лучи малы по сравнению с расстоянием, на которое они проходят через электрическое поле), что и предполагается. Затем Томпсон включил магнитное поле в его аппарате и отрегулировал его так, чтобы катодные лучи были больше не отклоняется.Отсутствие отклонения означает, что результирующая сила, действующая на частиц в -направлении равна нулю. Другими словами, электрические и магнитные силы точно уравновешены. Из уравнения (161) что при правильно настроенной напряженности магнитного поля
  

  (163)

  
  Таким образом, уравнения. (162) и (163) можно комбинировать и переставлять, чтобы получить отношение заряда к массе частицы в единицах измерения:
  

  (164)

  
  Используя этот метод, Томпсон сделал вывод, что катодные лучи состоят из отрицательно заряженные частицы (знак заряда виден из направление отклонения в электрическом поле) с зарядом к массе соотношение .Десять лет спустя, в 1908 году, американец Роберт Милликен провел свой знаменитый эксперимент с каплей масла , в котором он обнаружил, что мобильные электрические заряды квантуются в единицах С. Предполагая, что мобильные электрические заряды и частицы, которые составлять катодные лучи одно и то же, Эксперименты Томпсона и Милликена предполагают, что масса этих частиц кг. Конечно, это масса электрон (современное значение кг), и C – заряд электрона.Таким образом, катодные лучи, по сути, являются потоки электронов, которые вылетают из нагретого катода, а затем ускоряется из-за большой разницы напряжений между катодом и анодом.

  Если на частицу действует сила, которая вызывает ее вытеснить затем работа, проделанная над частицей сила
  

  (165)

  
  где – угол между силой и перемещением.Однако этот угол всегда соответствует силе, действующей магнитным полем на заряженная частица, поскольку магнитная сила равна всегда перпендикулярно мгновенному направлению движения частицы. Следует, что магнитное поле не может работать с заряженной частицей. Другими словами, заряженная частица никогда не может набирать или терять энергию из-за взаимодействия с магнитное поле. С другой стороны, заряженная частица, безусловно, может получить или теряют энергию из-за взаимодействия с электрическим полем. Таким образом, магнитный поля часто используются в ускорителях частиц для управления движением заряженных частиц ( e.грамм. , по кругу), но реальное ускорение всегда осуществляется электрическими полями.

  ---

  
  Далее: Заряженная частица в Up: Магнетизм Предыдущая: Закон Ампера
  Ричард Фицпатрик 2007-07-14

  Сила Лоренца – wikidoc

  
  Шаблон: электромагнетизм

  Файл: Lorentz force.svg

  Траектория частицы с зарядом q под действием магнитного поля B (направленного перпендикулярно из экрана) для разных значений q .

  Шаблон: Otheruses4

  В физике сила Лоренца – это сила, действующая на точечный заряд, вызванная электромагнитными полями. Он задается следующим уравнением для электрического и магнитного полей: ^[1]

  F = q (E + v × B), {\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}),}

  где

  F – сила (в ньютонах)

  E – электрическое поле (в вольтах на метр)

  B – магнитное поле (в теслах)

  q – электрический заряд частицы (в кулонах)

  v – мгновенная скорость частицы (в метрах в секунду)

  × – векторное произведение

  ∇ и ∇ × – градиент и завиток, соответственно

  или эквивалентно следующее уравнение в терминах векторного потенциала и скалярного потенциала:

  F знак равно q (−∇ϕ − ∂A∂t + v × (∇ × A)), {\ displaystyle \ mathbf {F} = q (- \ nabla \ phi – {\ frac {\ partial \ mathbf { A}} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A})),}

  где:

  A и ɸ – магнитный векторный потенциал и электростатический потенциал, соответственно, которые связаны с E и B с помощью ^[2]

  E = −∇ϕ − ∂A∂t { \ Displaystyle \ mathbf {E} = – \ nabla \ phi – {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

  B = ∇ × A.{\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}.}

  Обратите внимание, что это векторные уравнения: все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами (в частности, F , E , v , B , A ).

  Интересной особенностью второй формы закона силы Лоренца является четкое разделение части силы, обусловленной безвихревой или grad φ части силы, которая возникает из-за электрических зарядов, и соленоидальной части силы. сила или A часть поля , которая соответствует части, которая проявляется как магнитная или как электрическая сила в зависимости от относительной скорости системы отсчета.

  Закон силы Лоренца тесно связан с законом индукции Фарадея.

  Положительно заряженная частица будет ускоряться в той же линейной ориентации , что и поле E , но будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v , так и полю B согласно правилу правой руки ( подробно, если большой палец правой руки указывает на v , а указательный палец на B , то средний палец указывает на F ).

  Член q E называется электрической силой , а член q v × B называется магнитной силой . ^[3] Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле для магнитной силы: ^[4]

  Fmag = qv × B {\ displaystyle \ mathbf {F} _ {mag} = q \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}}

  с общей электромагнитной силой (включая электрическую силу) дали другое (нестандартное) название.В этой статье , а не , будет следовать этой номенклатуре: В дальнейшем термин «сила Лоренца» будет относиться только к выражению для полной силы.

  Магнитная составляющая силы Лоренца проявляется как сила, действующая на провод с током в магнитном поле. В этом контексте она также называется силой Лапласа .

  История

  Лоренц ввел эту силу в 1892 году. ^[5] Однако сила Лоренца была открыта до времени Лоренца.В частности, это можно увидеть в уравнении (77) в статье Максвелла 1861 года «О физических силовых линиях». Позже Максвелл перечислил его как уравнение «D» в своей статье 1864 года « Динамическая теория электромагнитного поля », как одно из восьми исходных уравнений Максвелла. В этой статье уравнение было записано следующим образом:

  E знак равно v × (мкГн) −∂A∂t − ∇ϕ {\ displaystyle \ mathbf {E} = \ mathbf {v} \ times (\ mu \ mathbf {H}) – {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} – \ nabla \ phi}

  где

  A – вектор магнитного потенциала,

  ϕ {\ displaystyle \ phi} – электростатический потенциал,

  H – магнитное поле H ,

  μ {\ displaystyle \ mu} – магнитная проницаемость.

  Хотя это уравнение, очевидно, является прямым предшественником современного уравнения силы Лоренца, на самом деле оно отличается в двух отношениях:

  • Не содержит множителя q , заряд. Максвелл не использовал понятие заряда. Определение E , используемое здесь Максвеллом, неясно. Он использует термин электродвижущая сила. Он действовал из электротонического состояния Фарадея A , ^[6] , которое он считал импульсом в его вихревом море.Ближайший термин, который мы можем проследить к электрическому заряду в работах Максвелла, – это плотность свободного электричества, которая, по-видимому, относится к плотности эфирной среды его молекулярных вихрей и дает импульс A . Максвелл считал, что A было фундаментальной величиной, из которой может быть получена электродвижущая сила. ^[7]
  • Уравнение здесь содержит информацию, которую мы сегодня называем E , которая сегодня может быть выражена в терминах скалярных и векторных потенциалов в соответствии с

  E = −∇ϕ − ∂A∂t {\ displaystyle \ mathbf {E} = – \ nabla \ phi – {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

  Тот факт, что E можно выразить таким образом, эквивалентен одному из четырех современных уравнений Максвелла, уравнению Максвелла-Фарадея. ^[8]

  Несмотря на свое историческое происхождение в исходном наборе из восьми уравнений Максвелла, сила Лоренца больше не считается одним из «уравнений Максвелла» в том виде, в каком этот термин используется в настоящее время (то есть в новой формулировке Хевисайда). ). Теперь он находится рядом с уравнениями Максвелла как отдельный и важный закон. ^[1]

  Значение силы Лоренца

  В то время как современные уравнения Максвелла описывают, как электрически заряженные частицы и объекты вызывают электрические и магнитные поля, закон силы Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей. ^{[1] [9]} Закон силы Лоренца описывает влияние E и B на точечный заряд, но такие электромагнитные силы не являются всей картиной. Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, особенно с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не стоят отдельно от других физических законов, но связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца – это один из аспектов; генерация E и B токами и зарядами – другое.

  В реальных материалах сила Лоренца неадекватна для описания поведения заряженных частиц как в принципе, так и с точки зрения вычислений. Заряженные частицы в материальной среде реагируют на поля E и B и генерируют эти поля. Для определения временной и пространственной реакции зарядов необходимо решать сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана, уравнение Фоккера-Планка или уравнения Навье-Стокса. Например, см. Магнитогидродинамику, гидродинамику, электрогидродинамику, сверхпроводимость, звездную эволюцию.Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., Например, отношения Грина – Кубо и функцию Грина (теория многих тел).

  Хотя можно было бы предположить, что эти теории являются только приближениями, предназначенными для работы с большими ансамблями «точечных частиц», возможно, более глубокая перспектива заключается в том, что несущие заряд частицы могут реагировать на силы, такие как гравитация, ядерные силы или граничные условия ( см., например: пограничный слой, граничное условие, эффект Казимира, поперечное сечение (физика)), которые не являются электромагнитными взаимодействиями или аппроксимируются deus ex machina способом для управляемости. ^[10]

  Закон силы Лоренца как определение

  E и B

  Во многих описаниях классического электромагнетизма в учебниках закон силы Лоренца используется как определение электрического и магнитного полей E и B . ^[11] Чтобы быть конкретным, сила Лоренца понимается как следующее эмпирическое утверждение:

  Электромагнитная сила на испытательном заряде в данный момент и время является определенной функцией его заряда и скорости, которая может быть параметризована точно двумя векторами E и B в функциональной форме:

  F = q (E + v × B).{\ displaystyle \ mathbf {F} = q (\ mathbf {E} + \ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}).}

  Если это эмпирическое утверждение верно (и, Конечно, бесчисленные эксперименты показали, что это так), тогда два векторных поля E и B определяются во всем пространстве и времени, и они называются «электрическим полем» и «магнитным полем».

  Обратите внимание, что поля определены повсюду в пространстве и времени, независимо от того, присутствует ли заряд, испытывающий силу.В частности, поля определены относительно того, какую силу испытательный заряд мог бы почувствовать , если бы он был гипотетически помещен туда .

  Отметим также, что в качестве определения E и B сила Лоренца представляет собой только определение в принципе , потому что реальная частица (в отличие от гипотетического «пробного заряда» бесконечно малой массы и заряда) будет генерировать свои собственные конечные поля E и B , которые изменят электромагнитную силу, которую он испытывает.Кроме того, если заряд испытывает ускорение, например, если его заставляют двигаться по кривой траектории каким-то внешним воздействием, он испускает излучение, которое вызывает торможение его движения. См., Например, тормозное излучение и синхротронный свет. Эти эффекты возникают как за счет прямого воздействия (так называемая сила реакции излучения), так и косвенного (путем воздействия на движение близлежащих зарядов и токов).

  Более того, электромагнитная сила в целом отличается от чистой силы из-за силы тяжести, электрослабых и других сил, и любые дополнительные силы должны быть приняты во внимание при реальном измерении.

  Сила Лоренца и закон индукции Фарадея

  Учитывая петлю из провода в магнитном поле, Закон индукции Фарадея гласит:

  E = −dΦBdt {\ displaystyle {\ mathcal {E}} = – {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}}}

  где:

  ΦB {\ displaystyle \ Phi _ {B} \} – магнитный поток через контур,

  E {\ displaystyle {\ mathcal {E}}} – испытанная электродвижущая сила (ЭДС),

  т время

  Знак ЭДС определяется законом Ленца.

  Используя закон силы Лоренца, ЭДС вокруг замкнутого пути ∂Σ определяется по формуле: ^{[12] [13]}

  E знак равно ∮∂Σ (t) dℓ⋅F / q = ∮∂Σ (t) dℓ⋅ (E + v × B), {\ displaystyle {\ mathcal {E}} = \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} d {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ mathbf {F} / q = \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} d {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ left ( \ mathbf {E} + \ mathbf {v \ times B} \ right) \,}

  , где d ℓ – элемент кривой ∂Σ ( t ), предположительно движущийся во времени.Поток Φ _B в законе индукции Фарадея может быть явно выражен как:

  dΦBdt = ddt∬Σ (t) dA⋅B (r, t), {\ displaystyle {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} \ iint _ {\ Sigma (t)} d {\ boldsymbol {A}} \ cdot \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, \ t) \,}

  где

  Σ (t) – поверхность, ограниченная замкнутым контуром ∂Σ (t)

  E – электрическое поле,

  d ℓ – бесконечно малый элемент вектора контура ∂Σ ,

  v – скорость бесконечно малого элемента контура d ℓ ,

  B – магнитное поле.

  d A – это бесконечно малый векторный элемент поверхности Σ , величина которого равна площади бесконечно малого участка поверхности и направление которого ортогонально этому участку поверхности.

  И d ℓ , и d A имеют неоднозначность знака; чтобы получить правильный знак, используется правило правой руки, как описано в статье Теорема Кельвина-Стокса.

  Поверхностный интеграл в правой части этого уравнения является явным выражением для магнитного потока от Φ _B до Σ .Таким образом, включив закон Лоренца в уравнение Фарадея, находим: ^{[14] [15]}

  ∮∂Σ (t) dℓ⋅ (E (r, t) + v × B (r, t)) = – ddt∬Σ (t) dA⋅B (r, t). {\ Displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} d {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ left (\ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ t) + \ mathbf {v \ times B} (\ mathbf {r}, \ t) \ right) = – {\ frac {d} {dt}} \ iint _ {\ Sigma (t)} d {\ boldsymbol {A}} \ cdot \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, \ t) \.}

  Обратите внимание, что обычная производная по времени, стоящая перед знаком интеграла, подразумевает, что дифференциация по времени должна включать дифференциацию пределов интегрирования, которые меняются со временем всякий раз, когда Σ ( t ) – подвижная поверхность.

  Приведенный выше результат можно сравнить с версией закона индукции Фарадея, которая появляется в современных уравнениях Максвелла, называемой здесь уравнением Максвелла-Фарадея :

  ∇ × E = −∂B∂t. {\ Displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = – {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} \.}

  Уравнение Максвелла-Фарадея также может быть записано в интегральной форме с использованием теоремы Кельвина-Стокса: ^[16]

  ∮∂Σ (t) dℓ⋅E (r, t) = – ∬Σ (t) dA⋅∂B (r, t) ∂t {\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma (t)} d {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ t) = – \ \ iint _ {\ Sigma (t)} d {\ boldsymbol {A}} \ cdot {{ \ partial \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, \ t)} \ over \ partial t}}

  Сравнение закона потока Фарадея с интегральной формой соотношения Максвелла-Фарадея предполагает:

  ddt∬Σ (t) dA⋅B (r, t) = ∬Σ (t) dA⋅∂B (r, t) ∂t − ∮∂Σ (t) dℓ⋅ (v × B (r, t )).{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ iint _ {\ Sigma (t)} d {\ boldsymbol {A}} \ cdot \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, \ t) = \ iint _ {\ Sigma (t)} d {\ boldsymbol {A}} \ cdot {{\ partial \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, \ t)} \ over \ partial t} – \ oint _ { \ partial \ Sigma (t)} d {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ left (\ mathbf {v \ times B} (\ mathbf {r}, \ t) \ right) \.}

  который является формой интегрального правила Лейбница, действительного, потому что div B = 0. ^[17] Член в v × B учитывает движущуюся ЭДС, то есть движение поверхности Σ, по крайней мере в случае жестко перемещающегося тела.Наоборот, интегральная форма уравнения Максвелла-Фарадея включает только эффект поля E , порожденного ∂B / ∂t.

  Часто интегральная форма уравнения Максвелла-Фарадея используется одна и записывается с частной производной вне знака интеграла как:

  ∮∂Σdℓ⋅E (r, t) = – ∂∂t ∬ΣdA⋅B (r, t). {\ Displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} d {\ boldsymbol {\ ell}} \ cdot \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, \ t) = – {\ partial \ over \ partial t} \ \ iint _ {\ Sigma} d {\ boldsymbol {A}} \ cdot {\ mathbf {B} (\ mathbf {r}, \ t)} \.}

  Обратите внимание, что пределы ∂Σ и Σ не имеют временной зависимости . В контексте уравнения Максвелла-Фарадея обычная интерпретация частной производной по времени расширяется, чтобы подразумевать стационарную границу. С другой стороны, закон индукции Фарадея имеет силу независимо от того, является ли проволочная петля жесткой и неподвижной, в движении или в процессе деформации, а также независимо от того, является ли магнитное поле постоянным во времени или изменяющимся.Однако бывают случаи, когда закон Фарадея либо неадекватен, либо его трудно использовать, и необходимо применение основного закона силы Лоренца. Смотрите неприменимость закона Фарадея.

  Если магнитное поле фиксировано во времени и проводящая петля движется через поле, магнитный поток Φ _B , связывающий петлю, может изменяться несколькими способами. Например, если поле B меняется в зависимости от положения, а петля перемещается в место с другим полем B , Φ _B изменится.В качестве альтернативы, если контур меняет ориентацию относительно поля B , дифференциальный элемент B • d A изменится из-за разного угла между B и d A , также изменяя Φ _В . В качестве третьего примера, если часть схемы проходит через однородное, не зависящее от времени поле B , а другая часть схемы остается неподвижной, магнитный поток, связывающий всю замкнутую цепь, может измениться из-за сдвига в взаимное расположение составных частей схемы во времени (поверхность Σ ( t ), зависящая от времени).Во всех трех случаях закон индукции Фарадея затем предсказывает ЭДС, создаваемую изменением Φ _B .

  В противоположных обстоятельствах, когда контур является стационарным и поле B изменяется со временем, уравнение Максвелла-Фарадея показывает, что в контуре создается неконсервативное поле ^[18] E , которое приводит в движение носители вокруг провода через член q E в силе Лоренца. Эта ситуация также изменяет Φ _B , создавая ЭДС, предсказываемую законом индукции Фарадея.

  Естественно, в обоих случаях точное значение тока, протекающего в ответ на силу Лоренца, зависит от проводимости контура.

  Сила Лоренца в потенциалах

  Если скалярный потенциал и векторный потенциал заменить E и B (см. Разложение Гельмгольца), сила станет:

  F знак равно q (−∇ϕ − ∂A∂t + v × (∇ × A)) {\ displaystyle \ mathbf {F} = q (- \ nabla \ phi – {\ frac {\ partial \ mathbf {A) }} {\ partial \ mathbf {t}}} + \ mathbf {v} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A}))}

  или, что эквивалентно (используя тот факт, что v является константа; см. тройное произведение),

  F знак равно q (−∇ϕ − ∂A∂t + ∇ (v⋅A) – (v⋅∇) A) {\ displaystyle \ mathbf {F} = q (- \ nabla \ phi – {\ frac {\ частичный \ mathbf {A}} {\ partial \ mathbf {t}}} + \ nabla (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {A}) – (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla) \ mathbf {A })}

  где

  A – вектор магнитного потенциала

  ϕ {\ displaystyle \ phi} – электростатический потенциал.

  .

  Символы ∇, (∇ ×), (∇⋅) {\ displaystyle \ nabla, (\ nabla \ times), (\ nabla \ cdot)} обозначают градиент, завиток и расхождение соответственно.

  Потенциалы связаны с E и B посредством

  E = −∇ϕ − ∂A∂t {\ displaystyle \ mathbf {E} = – \ nabla \ phi – {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}

  B = ∇ × A {\ displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A}}

  Сила Лоренца в единицах cgs

  В приведенных выше формулах используются единицы СИ, которые являются наиболее распространенными среди экспериментаторов, техников и инженеров. В единицах cgs, которые несколько более распространены среди физиков-теоретиков, вместо этого

  F = qcgs⋅ (Ecgs + vc × Bcgs).{\ displaystyle \ mathbf {F} = q_ {cgs} \ cdot (\ mathbf {E} _ {cgs} + {\ frac {\ mathbf {v}} {c}} \ times \ mathbf {B} _ {cgs }).}

  где c – скорость света. Хотя это уравнение выглядит немного иначе, оно полностью эквивалентно, поскольку есть следующие отношения:

  qcgs = qSI4πϵ0 {\ displaystyle q_ {cgs} = {\ frac {q_ {SI}} {\ sqrt {4 \ pi \ epsilon _ {0}}}}}, Ecgs = 4πϵ0ESI {\ displaystyle \ mathbf {E } _ {cgs} = {\ sqrt {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \, \ mathbf {E} _ {SI}} и Bcgs = 4π / μ0BSI {\ displaystyle \ mathbf {B} _ { cgs} = {\ sqrt {4 \ pi / \ mu _ {0}}} \, {\ mathbf {B} _ {SI}}}

  , где ε ₀ и μ ₀ – диэлектрическая проницаемость вакуума и проницаемость вакуума, соответственно. {\ alpha \ beta} = {\ begin {bmatrix} 0 & -E_ {x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} & 0 \ конец {bmatrix}}}.{1}} {dt}} = q \ gamma \ left (E_ {x} + \ left (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B} \ right) _ {x} \ right). \,}

  Расчет μ = 2 {\ displaystyle \ mu = 2} или μ = 3 {\ displaystyle \ mu = 3} аналогичен

  γdpdt = dpdτ = qγ (E + (v × B)), {\ displaystyle \ gamma {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {d \ tau}} = q \ gamma \ left (\ mathbf {E} + (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ right) \,}

  или, в терминах векторные и скалярные потенциалы A и φ,

  dpdτ = qγ (−∇ϕ − ∂A∂t + v × (∇ × A)), {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {p}} {d \ tau}} = q \ gamma (- \ nabla \ phi – {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ times (\ nabla \ times \ mathbf {A})) \,}

  , которые являются релятивистскими формами закона движения Ньютона, когда сила Лоренца является единственной присутствующей силой.

  Сила на токоведущем проводе

  Когда провод, по которому проходит электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, составляющих ток, испытывает силу Лоренца, и вместе они могут создавать макроскопическую силу на проводе (иногда называемую силой Лапласа ). Комбинируя приведенный выше закон силы Лоренца с определением электрического тока, в случае прямого неподвижного провода получается следующее уравнение:

  F = IL × B {\ displaystyle \ mathbf {F} = I \ mathbf {L} \ times \ mathbf {B} \,}

  где

  F = Сила, измеренная в ньютонах

  I = ток в проводе, измеренный в амперах

  B = вектор магнитного поля, измеренный в теслах

  × {\ displaystyle \ times} = векторное произведение – крестное произведение

  L = вектор, величина которого равна длине провода (измеряется в метрах) и направление вдоль провода совпадает с направлением обычного тока.

  В качестве альтернативы некоторые авторы пишут

  F = LI × B {\ displaystyle \ mathbf {F} = L \ mathbf {I} \ times \ mathbf {B}}

  , где направление вектора теперь связано с текущей переменной, а не с переменной длины . Эти две формы эквивалентны.

  Если провод не прямой, а изогнутый, силу, действующую на него, можно вычислить, применив эту формулу к каждому бесконечно малому сегменту провода d ℓ , а затем сложив все эти силы путем интегрирования.Формально результирующая сила на неподвижном жестком проводе, по которому проходит ток I , равна

  F = I∮dℓ × B (ℓ) {\ displaystyle \ mathbf {F} = I \ oint d {\ boldsymbol {\ ell}} \ times \ mathbf {B} ({\ boldsymbol {\ ell}} \ )}

  (Это чистая сила. Кроме того, обычно будет крутящий момент и другие эффекты, если проволока не является идеально жесткой.)

  Одним из применений этого закона является силовой закон Ампера, который описывает, как два токоведущих провода могут притягиваться или отталкиваться друг от друга, поскольку каждый из них испытывает силу Лоренца от магнитного поля другого.Подробнее читайте в статье: Закон силы Ампера.

  EMF

  Магнитная сила ( q v × B ), составляющая силы Лоренца, отвечает за движущую силу электродвижущую силу (или ЭДС движения ), явление, лежащее в основе многих электрических генераторов. Когда проводник перемещается через магнитное поле, магнитная сила пытается протолкнуть электроны через провод, и это создает ЭДС. Термин «подвижная ЭДС» применяется к этому явлению, поскольку ЭДС возникает из-за движения провода на .

  В других электрических генераторах магниты движутся, а проводники – нет. В этом случае ЭДС возникает из-за члена электрической силы ( q E ) в уравнении силы Лоренца. Рассматриваемое электрическое поле создается изменяющимся магнитным полем, в результате чего возникает индуцированная ЭДС, как описано уравнением Максвелла-Фарадея (одно из четырех современных уравнений Максвелла). ^[20]

  Однако эти два эффекта не являются симметричными.Как одна из демонстраций этого, заряд, вращающийся вокруг магнитной оси неподвижного цилиндрически-симметричного стержневого магнита, будет испытывать магнитную силу, тогда как если заряд неподвижен, а магнит вращается вокруг своей оси, силы не будет. Этот асимметричный эффект называется парадоксом Фарадея.

  Обе эти ЭДС, несмотря на их различное происхождение, можно описать одним и тем же уравнением, а именно, ЭДС – это скорость изменения магнитного потока через провод. (Это закон индукции Фарадея, см. Выше.Специальная теория относительности Эйнштейна была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами. ^[20] Фактически, электрическое и магнитное поля представляют собой разные стороны одного и того же электромагнитного поля, и при переходе от одной инерциальной системы координат к другой часть соленоидального векторного поля поля E может изменяться полностью или частично. в поле B или наоборот . ^[21]

  Общие ссылки

  Пронумерованные ссылки частично относятся к приведенному ниже списку.

  • Гриффитс, Дэвид Дж. (1999), Введение в электродинамику (3-е изд.), Верхняя Сэдл-Ривер, [Нью-Джерси]: Прентис-Холл, ISBN 0-13-805326-X
  • Джексон, Джон Дэвид (1999), Классическая электродинамика (3-е изд.), Нью-Йорк, [Нью-Йорк]: Wiley, ISBN 0-471-30932-X
  • Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон У., младший (2004), Физика для ученых и инженеров, с современной физикой , Бельмонт, [Калифорния.]: Thomson Brooks / Cole, ISBN 0-534-40846-X

  Нумерованные сноски и ссылки

  1. ↑ ^{1,0 1,1 1,2} См. Страницу Джексона 2. В книге перечислены четыре современных уравнения Максвелла, а затем говорится: «Также важным для рассмотрения движения заряженных частиц является уравнение силы Лоренца, F = . q ( E + v × B ), что дает силу, действующую на точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей.”
  2. ↑ В этих определениях используется теорема Гельмгольца. Поскольку div B = 0 (закон Гаусса для магнетизма), теорема Гельмгольца доказывает, что мы можем определить векторное поле A (называемое магнитным потенциалом) так, чтобы B = ∇ × A . Из уравнения Максвелла-Фарадея × E = −∂ _t B , поэтому ∇ × [ E + ∂ _t A ] = 0. Снова применяем теорему Гельмгольца к E + ∂ _t A , который имеет нулевое значение rot , мы находим, что можем определить скалярное поле ɸ (называемое электрическим потенциалом) с помощью E + ∂ _t A = −∇ ɸ .Уравнение для B автоматически удовлетворяет ∇ • B = 0, то есть демонстрирует, что B является соленоидальным векторным полем. Кроме того, уравнение для E показывает, что оно может иметь два разных компонента: консервативный или безвихревый компонент векторного поля (который происходит из электрических зарядов) и неконсервативный компонент или curl (который происходит от Максвелла- Уравнение Фарадея). Для получения дополнительных сведений см. Магнитный потенциал и электрический потенциал.
  3. ↑ См. Гриффитс, стр. 204.
  4. ↑ Например, см. Сайт «Института Лоренца»: [1] или Griffiths.
  5. ↑ Darrigol, Olivier (2000), Электродинамика от [[André Ampère | Ampère]] до [[Albert Einstein | Einstein]] , Оксфорд, [Англия]: Oxford University Press, с. 327, ISBN 0-198-50593-0
  6. ↑ «В то время как провод подвергается либо вольтаэлектрической, либо магнитоэлектрической индукции, он, по-видимому, находится в своеобразном состоянии, поскольку сопротивляется образованию в нем электрического тока.… Я… рискнул обозначить его как электротоническое состояние ». Цитируется Максвеллом из Faraday, Trans. Cam. Phil. Soc., P. 51, v. 10 (1864)
  7. ↑ На экспериментальном уровне в классическом электромагнетизме E и B являются фундаментальными измеримыми физическими полями. См., Например, стр. 417 Гриффитса или стр. 239 Джексона. Однако в квантовой теории поля потенциалы A и ϕ {\ displaystyle \ phi} играют фундаментальную роль. См., Например, Srednicki, Chapter 58, p.351 сл. и Р. Литтлджон о квантовании электромагнитного поля; Примечания по физике 221B – квантование Примечания по физике 221B – взаимодействие Однако сами поля могут быть связаны с электродвижущей силой (в современном определении) только путем добавления силы Лоренца. Максвелл не сформулировал уравнения с отдельным уравнением силы Лоренца.
  8. ↑ См. Гриффитс, стр. 417, или Джексон, стр. 239.
  9. ↑ См. Стр. 326 Гриффитса, где говорится, что уравнения Максвелла «вместе с законом силы [Лоренца]»…. обобщить все теоретическое содержание классической электродинамики ».
  10. ↑ То есть, подход из первых принципов может быть приближен, чтобы сделать вычисления возможными без осложнений, которые не очень важны для результатов. Например, металлическая граница может быть аппроксимирована как имеющая бесконечную проводимость. Статистическая механическая модель плазмы может приблизить рассмотрение столкновений с границами и между частицами.
  11. ↑ См., Например, Jackson p777-8.
  12. ↑ Ландау, Л. Д., Лифшицо, Э. М., и Питаевский, Л. П. (1984). Электродинамика сплошных сред; Том 8 Курс теоретической физики (Издание второе изд.). Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн. п. §63 (§49 с. 205-207 в редакции 1960 г.). ISBN 0750626348.
  13. ↑ М Н О Садику (2007). Элементы электромагнетизма (изд. Четвертое). Нью-Йорк / Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. п. 391. ISBN 0-19-530048-3.
  14. ↑ Если граница деформируется, поэтому скорость меняется в зависимости от местоположения, скорость v – это скорость в точке d ℓ .См. Rothwell Edward J Rothwell, Michael J Cloud (2001). Электромагнетизм . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. п. п. 56. ISBN 0847X.
  15. ↑ Джексон JD. Ур. 5.141 и 5.142, стр. 211 . ISBN 0-471-30932-X.
  16. ↑ Роджер Ф. Харрингтон (2003). Введение в электромагнитную технику . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. п. 56. ISBN 0486432416.
  17. ↑ Если поверхность деформируется, интегральное правило Лейбница усложняется.Математическая демонстрация этого результата для деформируемых поверхностей не найдена.
  18. ↑ То есть поле, которое не является консервативным, не выражается как градиент скалярного поля и не подчиняется теореме о градиенте.
  19. ↑ DJ Griffiths (1999). Введение в электродинамику . Сэдл-Ривер, штат Нью-Джерси: Пирсон / Эддисон-Уэсли. п. п. 541. ISBN 0-13-805326-X.
  20. ↑ ^{20,0 20,1} См. Страницы 301–3 Гриффитса.
  21. ↑ Тай Л.Чоу (2006). Электромагнитная теория . Садбери Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. п. 395. ISBN 0-7637-3827-1.

  Приложения

  Сила Лоренца присутствует во многих устройствах, в том числе:

  В своем проявлении как сила Лапласа, действующая на электрический ток в проводнике, эта сила возникает во многих устройствах, включая:

  Заметки к лекциям Глава 1

  Заметки к лекциям Глава 1
  5.1. Магнитное поле

  Рассмотрим два параллельных прямых провода, по которым течет ток.В провода нейтральны, поэтому между ними отсутствует электрическая сила. провода. Тем не менее, если ток в обоих проводах течет по одному и тому же направление, провода притягиваются друг к другу. Если ток в одном из провода перевернуты, провода отталкиваются друг от друга. Сила отвечает за притяжение и отталкивание, называется магнитным магнитным полем . сила . Магнитная сила, действующая на движущийся заряд q , определяется в условия магнитного поля :
  

  
  

  Векторное произведение требуется, поскольку наблюдения показывают, что сила действует на движущийся заряд перпендикулярно направлению движущегося плата.В области, где есть электрическое поле и магнитное поле, Суммарная сила на движущейся силе равна
  

  
  

  Это уравнение называется законом силы Лоренца и дает нам полная электромагнитная сила, действующая на q . Важное отличие между электрическим полем и магнитным полем заключается в том, что электрическое поле действует на заряженную частицу (вызывает ускорение или замедление), в то время как магнитное поле не действует на движущийся заряд.Это прямой Следствие закона силы Лоренца:
  

  
  Мы заключаем, что магнитная сила может изменить направление, в котором частица движется, но не может изменить свою скорость.

  Пример: проблема 5.1
  Частица заряда q попадает в область однородного магнитного поля. поле (указывая на страницу). Поле отклоняет частицу на расстояние d над исходной линией полета, как показано на рисунке 5.1. Является ли заряд положительным или отрицательным? В терминах a , d , B и q , найти импульс частицы.

  Для производства наблюдаемых отклонения, сила на q на входе в область поля должна быть направлен вверх (см. рисунок 5.1). Поскольку направление движения частицы и направление магнитного поля известны, закон силы Лоренца может быть используется для определения направления магнитной силы, действующей на положительный заряд и на отрицательный заряд.Векторное произведение между а также указывает вверх на рис. 5.1 (используйте правило правой руки). Это показывает, что заряд частицы положительный.
  

  
  Рисунок 1. Проблема 5.1.
  

  Величина силы, действующей на движущийся заряд, равна на номер
  

  
  

  В результате действия магнитной силы заряженная частица будет следовать за сферическая траектория. Радиус траектории определяется требование, чтобы магнитная сила обеспечивала центростремительную силу:
  

  
  

  В этом уравнении r – радиус окружности, описывающей Круговая часть траектории заряда q .Уравнение можно использовать для рассчитать r :
  

  
  

  , где p – импульс частицы. Рисунок 5.2 показывает следующее соотношение между r , d и a :
  

  
  

  Это уравнение можно использовать для выражения r через d и а :
  

  
  

  Таким образом, импульс заряда q равен
  

  
  

  
  Рисунок 2.Проблема 5.2.
  

  Электрический ток в проводе возникает из-за движения электронов в провод. Направление тока определяется как направление, в котором положительные заряды движутся. Следовательно, в проводнике ток направлен противоположно направлению электронов. Величина тока равна определяется как общий заряд за единицу времени, проходящий через заданную точку провода ( I = dq / dt ). Если ток течет в области с ненулевым магнитное поле, то каждый электрон будет испытывать магнитную силу.Рассмотрим крошечный отрезок провода длиной дл . Предположим, что электронная плотность составляет – λ Кл / м и что каждый электрон движется со скоростью v . Магнитная сила, действующая со стороны магнитного поля на одиночный электрон равно
  

  
  

  Отрезок провода длиной дл содержит λ dl / e электроны. Следовательно, магнитная сила, действующая на этом участке, равна на номер
  

  
  

  Здесь мы использовали определение тока I в терминах dq и dt :
  

  
  В этом выводе мы определили направление быть равным направлению тока (и, следовательно, противоположно направлению направление скорости электронов).Общая сила на проволоке составляет следовательно, равно
  
  Здесь я предположил, что ток постоянен по всему проводу. Если ток течет по поверхности, обычно это поверхность плотность тока , г. который представляет собой ток на единицу длины, перпендикулярный потоку. Сила на поверхностный ток равен
  
  Если ток течет через объем, обычно это описывается в терминах объемной плотности тока .Магнитная сила на объемном токе равна
  
  Поверхностный интеграл плотности тока на поверхности объема В равно общему заряду, выходящему из объем в единицу времени (сохранение заряда):
  
  

  Используя теорему о расходимости, мы можем переписать это выражение как
  

  
  

  Поскольку это должно выполняться для любого объема V , мы должны потребовать, чтобы
  

  
  Это уравнение известно как уравнение неразрывности .
  5.2. Закон Био-Савара

  В этом разделе мы обсудим магнитное поле, создаваемое установкой . Curren т. Постоянный ток – это продолжающийся поток заряда. навсегда, и будет продолжаться вечно. Эти токи создают магнитные поля постоянные во времени. Магнитное поле, создаваемое постоянным линейным током дается законом Био-Савара :
  

  
  куда элемент провода, – вектор, соединяющий элемент провода и P , а – постоянная проницаемости, равная
  
  

  Единица измерения магнитного поля – тесла ( Тл ).Для поверхности и объемных токов закон Био-Савара можно переписать как
  

  
  

  и
  

  
  
  

  и
  

  
  куда указывает из бумаги. Таким образом, полное магнитное поле при P составляет равно
  
  

  
  Рисунок 5.3. Проблема 5.9.
  

  b) Магнитное поле P , создаваемое круглым сегментом токовая петля равна
  

  
  куда указывает из бумаги.Магнитное поле, создаваемое при P каждым двух линейных сегментов также будут направлены по минусу z ось. Величина магнитного поля, создаваемого каждым линейным сегментом, равна только половина поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводом (см. Пример 5 в Гриффитсе):
  
  

  Таким образом, общее поле P равно
  

  
  

  
  Пример: Проблема 5.12
  Предположим, у вас есть два бесконечных прямолинейные заряды λ , расстояние d друг от друга, движущиеся на постоянная v (см. рисунок 5.4). Насколько быстро должно быть v ? чтобы магнитное притяжение уравновешивало электрическое отталкивание?
  

  
  Рисунок 5.4. Проблема 5.12.
  

  Когда линейный заряд движется, он выглядит как ток величиной I = λv . Два параллельных тока притягиваются друг к другу, и сила притяжения на единицу длины
  

  
  

  и привлекательно.Электричество, генерируемое одним из проводов, можно найти по закону Гаусса и равно
  

  
  

  Электрическая сила на единицу длины, действующая на другой провод, равна на номер
  

  
  

  и является отталкивающим (как заряды). Электрические и магнитные силы равны сбалансирован при
  

  
  

  или
  

  
  

  Это требует, чтобы
  

  
  Для этого требуется, чтобы скорость v была равна скорости света, и поэтому этого никогда нельзя достичь.Следовательно, при всех скоростях электрический сила будет преобладать.
  5.3. Дивергенция и завиток B . Использование закона Био-Савара для объемного тока мы можем вычислить дивергенцию и ротор :
  
  

  и
  

  
  

  Это последнее уравнение называется законом Ампера в дифференциальной форме . Это уравнение можно переписать, используя закон Стокса, как
  

  
  Это уравнение называется законом Ампера в интегральной форме. направление вычисления линейного интеграла и направление поверхности вектор элемента должно соответствовать правилу правой руки.
  Закон Ампера всегда верен, но это только полезный инструмент для оценки магнитного поля, если симметрия система позволяет тянуть вне линейного интеграла. Конфигурации, с которыми может работать Ampere’s закон:
  1. Бесконечные прямые
  2. Бесконечные плоскости
  3. Бесконечные соленоиды
  4.Тороиды

  Пример: Задача 5.14
  Толстая плита простираясь от z = – a до z = a несет униформу объемный ток . Найдите магнитное поле как внутри, так и снаружи плиты.
  

  
  Рисунок 5.5. Проблема 5.14
  Из-за симметрии задачи магнитное поле будет направлено параллельно оси y . Магнитное поле в области выше xy плоскость ( z > 0) будет зеркальным отображением поля в область ниже плоскости xy ( z xy плоскость ( z = 0) будет равна нулю.Рассмотрим амперианца цикл, показанный на рисунке 5.5. Ток течет из бумаги, и мы выбрать направление быть параллельным направлению . Следовательно,
  
  Направление вычисления линейного интеграла должны соответствовать нашему выбору направления (правило правой руки). Для этого требуется, чтобы линейный интеграл от должны оцениваться против часовой стрелки. Линейный интеграл от равно
  
  Применяя закон Ампера, получаем для :
  
  

  Таким образом
  

  
  
  5.4. Векторный потенциал

  Магнитное поле, создаваемое статическим распределением тока, уникально определяется так называемыми уравнениями Максвелла для магнитостатики :
  

  
  

  Точно так же электрическое поле, создаваемое распределением статического заряда, равно однозначно определяется так называемыми уравнениями Максвелла для электростатика :
  

  
  
  Дело в том, что расхождение равен нулю, говорит об отсутствии точечных сборов за .Поэтому силовые линии магнитного поля нигде не начинаются и не заканчиваются (в отличие от силовые линии электрического поля, которые начинаются с положительных точечных зарядов и заканчиваются отрицательными точечные сборы). Поскольку магнитное поле создается движущимися зарядами, магнитное поле поле никогда не может существовать без электрического поля. В напротив, будет существовать только электрическое поле, если заряды не двигаться.
  Уравнения Максвелла для магнитостатики показывают, что если ток плотность известна, дивергенция и ротор магнитного поля равны известный.Теорема Гельмгольца указывает, что в этом случае существует вектор потенциал так что
  
  

  Однако векторный потенциал не определен однозначно. Мы можем добавить к этому градиент любой скалярной функции f без изменения ее локон:
  

  
  Расхождение равно
  
  Оказывается, всегда можно найти скалярную функцию f такую, что векторный потенциал без расхождения.Основная причина введения требования о том, чтобы в том, что он упрощает многие уравнения, включающие векторный потенциал. Для Например, закон Ампера, переписанный в терминах это
  
  

  или
  

  
  

  Это уравнение аналогично уравнению Пуассона для распределения заряда. ρ :
  

  
  Следовательно, векторный потенциал можно рассчитать из текущего аналогично тому, как мы получили V из ρ .Таким образом,
  
  Примечание: эти решения требуют, чтобы токи стремились к нулю при бесконечности (аналогично требованию, чтобы ρ стремилось к нулю при бесконечность).

  Пример: Задача 5.22
  Найти магнитный вектор потенциал конечного отрезка прямого провода, по которому течет ток I . Убедитесь, что ваш ответ соответствует ур. (5.35) Гриффитса.

  ток на бесконечности равен нулю в этой задаче, и поэтому мы можем использовать выражение для через линейный интеграл тока I .Считайте провод расположен вдоль оси z между z ₁ и z ₂ (см. Рисунок 5.6) и используйте цилиндрические координаты. В векторный потенциал в точке P не зависит от φ (цилиндрическая симметрия) и равняется
  

  
  

  Здесь мы предположили, что начало системы координат выбрано так что P имеет z = 0. Магнитное поле при P может быть получена из векторного потенциала и равна
  

  
  

  , где определены θ ₁ и θ ₂ на рисунке 5.6. Этот результат идентичен результату примера 5 в Гриффитс.
  

  
  Рисунок 5.6. Проблема 5.25.
  
  С однородна, она не зависит от r , θ и φ и поэтому второй и третий слагаемые в правой части этого уравнения равны нуль. Первый член, выраженный в декартовых координатах, равен
  .
  

  Четвертый член, выраженный в декартовых координатах, равен
  

  
  Следовательно, завиток равно
  
  Расхождение равно
  
  
  Пример: Проблема 5.26
  Найдите векторный потенциал выше и ниже плоского поверхностного тока из примера 5.8 в Гриффитсе.

  В примере 5.8 Гриффитса однородный поверхностный ток течет в плоскости xy , направлен параллельно оси x :
  

  
  
  

  В области над плоскостью xy ( z > 0) магнитная поле равно
  

  
  

  Следовательно,
  

  
  

  В области ниже плоскости xy ( z <0) магнитная поле равно
  

  
  

  Следовательно,
  

  
  Мы можем убедиться, что наше решение для правильно, вычислив ротор (которое должно быть равно магнитному полю).Для z > 0:
  
  Векторный потенциал однако не определен однозначно. Например, а также также возможны решения, которые генерируют такое же магнитное поле. Эти решения также удовлетворяют требованию, чтобы .
  5.5. Три основных количества Магнитостатика
  
  5.6. Граничные условия B

  В главе 2 мы изучили граничные условия электрического поля и пришли к выводу, что электрическое поле испытывает разрыв при поверхностном заряде.Точно так же магнитное поле испытывает разрыв на поверхности Текущий.
  

  
  Рисунок 5.7. Граничные условия для .
  Рассмотрим поверхностный ток (см. рисунок 5.7). Поверхностный интеграл над вафельной тонкой ДОТ равен
  
  
  
  , где A – это верхняя и нижняя части коробки для таблеток. В поверхностный интеграл можно переписать, используя теорему о расходимости:
  
  поскольку для любого магнитного поля .Следовательно, перпендикулярная составляющая магнитного поля непрерывна при поверхностный ток:
  
  Линейный интеграл от вокруг петли, показанной на рисунке 5.8 (в пределе ε → 0) равно
  
  Согласно закону Ампера линейный интеграл от вокруг этого цикла равно
  
  

  
  Рисунок 5.8. Граничные условия для .
  

  Следовательно, граничное условие для составляющей , г. параллельно поверхности и перпендикулярно току, равно
  
  Граничные условия для можно объединить в одно уравнение:
  
  куда – единичный вектор, перпендикулярный поверхности и поверхностному току, а указывая «вверх».Векторный потенциал непрерывна при поверхностном токе, но ее нормальная производная нет:
  
  
  5.7. Мультипольное расширение магнитного Поле

  Для вычисления векторного потенциала локализованного распределения тока при на больших расстояниях мы можем использовать мультипольное разложение. Рассмотрим токовую петлю с током I . Векторный потенциал этой токовой петли можно записать как
  

  
  

  На большом расстоянии только первая пара членов мультипольного разложения. необходимо учитывать:
  

  
  Первый член называется монопольным членом и равен нулю. (поскольку линейный интеграл от равно нулю для любого замкнутого контура).Второй член, называемый диполем термин , обычно является доминирующим термином. Векторный потенциал, порожденный дипольные члены равны
  
  

  Это уравнение можно переписать как
  

  
  куда называется магнитным дипольным моментом токовой петли. Это определено как
  
  Если токовая петля является плоской (ток находится на поверхности самолет) тогда – площадь треугольника, показанного на рисунке 5.9. Следовательно,
  
  

  , где a – площадь, ограниченная токовой петлей. В этом случае дипольный момент токовой петли равен
  

  
  где направление должно соответствовать направлению тока в контуре (правый правило).
  
  Рисунок 5.9. Расчет .
  Предполагая, что магнитный диполь находится в начале нашего система координат и что указывает вдоль положительной оси z , получаем для :
  
  

  Соответствующее магнитное поле равно
  

  
  Форма поля, создаваемого магнитным диполем, идентична форме поля, создаваемого магнитным диполем. форма поля, создаваемого электрическим диполем.

  Пример: проблема 5.33
  Покажите, что магнитное поле диполя можно записать в виде в произвольной форме координат:
  

  
  

  
  Рисунок 5.10. Проблема 5.33.
  

  Рассмотрим конфигурацию, показанную на рисунке 5.10. Скалярное произведение между а также равно
  
  Скалярное произведение между а также равно
  
  

  Следовательно,
  

  
  
  Пример: Проблема 5.34
  Круглая проволочная петля с радиусом R , лежит в плоскости xy с центром в начале координат и несет ток I вращается против часовой стрелки, если смотреть со стороны плюса z ось.
  а) Каков его магнитный дипольный момент?
  б) Что это (приблизительно) магнитное поле в точках, удаленных от начала координат?
  c) Покажите, что для точек на z ось, ваш ответ согласуется с точным полем, вычисленным в Пример 6 Гриффитса.

  a) Поскольку токовая петля является плоской, ее дипольный момент легко вычислить. Равно
  

  
  

  б) Магнитное поле на больших расстояниях примерно равно на номер
  

  
  

  c) Для точек на положительной оси z θ = 0 °. Следовательно, для z > 0
  

  
  

  Передние точки на отрицательной оси z θ = 180 °.Следовательно, для z <0
  

  
  Точное решение для на положительной оси z –
  
  

  Для z » R поле примерно равно
  

  
  что согласуется с дипольным полем тока петля.

  Пример: Задача 5.35
  Запись фонографа радиуса R , несущий равномерный поверхностный заряд σ , вращается на постоянная угловая скорость ω .Найдите его магнитный диполь момент.

  Период вращения диска равен
  

  
  

  Считайте, что диск состоит из большого количества тонких колец. Рассмотрим кольцо одинарное с внутренним радиусом r и dr . Заряд на такой кольцо равно
  

  
  

  Поскольку заряд вращается, движущийся заряд соответствует току dI :
  

  
  

  Следовательно, дипольный момент этого кольца равен
  

  
  

  Полный дипольный момент диска равен
  

  
  

  Роль магнитных сил в биологии и медицине

  Exp Biol Med (Maywood).Авторская рукопись; доступно в PMC 2012 1 февраля.

  Опубликован в окончательной отредактированной форме как:

  PMCID: PMC3079438

  NIHMSID: NIHMS262122

  Брэдли Дж. Рот

  Физический факультет Оклендского университета, Рочестер, Мичиган 48309 США

  Брэдли Дж. Рот, факультет физики Оклендского университета, Рочестер, штат Мичиган, 48309, США;

  Брэд Рот, факультет физики Оклендского университета, Рочестер, Мичиган, 48309, (248) 370-4871, факс (248) 370-3408, ude.dnalkao@htor См. Другие статьи в PMC, в которых цитируется опубликованная статья.

  Abstract

  Сила Лоренца (сила, действующая на токи в магнитном поле) играет все более важную роль в методах визуализации тока и проводимости. В этом обзоре будут суммированы несколько приложений, связанных с силой Лоренца, включая 1) магнитоакустическую визуализацию тока, 2) визуализацию «эффекта Холла», 3) визуализацию проводимости с помощью силы Лоренца с помощью ультразвука, 4) магнитоакустическую томографию с магнитной индукцией, и 5) визуализация токов действия с помощью силы Лоренца с использованием магнитно-резонансной томографии.

  Ключевые слова: Сила Лоренца, магнитное поле, ультразвук, магнитно-резонансная томография, проводимость, магнитоакустическая визуализация

  Введение

  За последние двадцать лет несколько исследовательских групп разработали методы визуализации, которые используют силу, действующую на биотоки при наличии магнитного поля. Механизм, лежащий в основе, знаком любому, кто прошел вводный курс физики ¹ : провод, по которому проходит ток I , длиной L и лежащий перпендикулярно магнитному полю B , испытывает магнитную силу F. = ILB , часто называемая «силой Лоренца».Направление силы перпендикулярно как проводу, так и магнитному полю, и его можно определить по «правилу правой руки». Это та же сила, которая заставляет работать электродвигатели.

  Поскольку сила Лоренца возникает из-за магнитного поля и вызывает механическое движение, явления, возникающие из-за этого, часто называют «магнитоакустикой». В биологической ткани, где нет проводов, удобнее говорить о силе Лоренца на единицу объема, F , возникающей из плотности тока Дж и магнитного поля B: F = J × B , где «×» обозначает перекрестное произведение ().В общем, магнитоакустические эффекты небольшие, но небольшие эффекты лежат в основе многих важных методов построения изображений.

  Сила Лоренца. Плотность тока J течет вправо, а магнитное поле B направлено из бумаги (обозначено символом), в результате чего сила F направлена ​​вниз.

  В этом мини-обзоре я расскажу о биологических и медицинских применениях магнитоакустики. Эти методы могут быть полезны для картирования электрической активности в головном мозге и сердце, а также для обнаружения аномальных тканей, таких как опухоли, по изменению электрических свойств.Я сосредотачиваюсь на магнитных силах, которые действуют на электрический ток, с акцентом на то, как эти силы могут быть использованы для отображения тока или проводимости. Темы, которые я не буду рассматривать, включают: проблемы безопасности, возникающие из-за сильных магнитных полей ^{2 – 4} , эффекты, возникающие из-за присутствия железа, которые приводят к особенно большим магнитным силам (например, частицы магнетита в магнитотатических бактериях ⁵ ), а также явления, связанные со спином электрона или ядра (например, ядерный магнитный резонанс).

  Магнитоакустическая визуализация тока

  В 1988 году Брюс Тоу и его коллеги ^{6 , 7} разработали «новый метод неинвазивного измерения низкоуровневых ионно-проводимых электрических токов, протекающих в электролитах и ​​тканях. ” Они пропускают переменный ток (3 кГц) силой в несколько микроампер через хомяка, помещенного в магнитное поле 0,2 Тл (). Акустический сигнал, возникающий от силы Лоренца, обнаруживается с помощью микрофона и синхронизирующего усилителя.Они заключают ⁶ : «Эти эксперименты показывают, что можно неинвазивно обнаружить существование ионных токов, текущих внутрь проводящей среды, путем приложения магнитных полей и мониторинга результирующих акустических откликов. Этот принцип представляет интерес как возможная основа для нового метода неинвазивного измерения биоэлектрических токов в живых организмах ». Позже Towe ⁸ доработал прибор, который «по сути является очень чувствительным балансом сил, который может измерять силы Лоренца, испытываемые ионными токами, протекающими в небольших объектах при воздействии сильных осциллирующих магнитных полей.«Хотя этот метод еще не получил широкого распространения для получения изображения тока, он демонстрирует возможность измерения магнитоакустических эффектов и иллюстрирует действующие физические принципы.

  Эксперимент по магнитно-акустическому детектированию тока в хомяке. От Towe and Islam ⁶ . (© 1988 IEEE)

  Метод Тауэ может обнаруживать приложенные токи переменного тока известной частоты, но можно ли его использовать для обнаружения эндогенных токов действия в нерве и мышцах? Чтобы ответить на этот вопрос, Рот, Бассер и Виксво ⁹ теоретически проанализировали магнитоакустические явления.Они вычисляют давление p и смещение u , создаваемое плотностью тока J в эластичной проводящей ткани, имеющей модуль сдвига G и подверженной воздействию магнитного поля B , начиная с Уравнение Навье,

  G ∇ ² u – ∇ p + J × B = 0.

  (1)

  Это уравнение мотивировано модель сердечной ткани жидкость-волокно-коллаген ¹⁰ , в которой давление создается жидкостью (предполагается, что она несжимаема, ∇ · u = 0), а модуль сдвига возникает из упругих свойств коллагеновые волокна.Уравнение 1 связывает силы, возникающие при упругом сдвиге, градиентах давления и силе Лоренца. Расхождение уравнения. 1 видно, что источником давления является ротор плотности тока

  ² p = (∇ × J ) · B .

  (2)

  Этот результат показывает аналогию между магнитоакустической токовой визуализацией и биомагнитной токовой визуализацией ⁹ . Ротор закона Ампера, ∇ × b = μ _o Дж, , управляющий биомагнитным полем b , создаваемым токами действия Дж , дает

  ∇ ² b = −μ _o ∇ × J ,

  (3)

  где μ _o – проницаемость свободного пространства.Магнитоакустические записи давления (уравнение 2) и биомагнитные измерения (уравнение 3) отображают токи действия эквивалентным образом: оба они имеют ∇ × Дж в качестве источника.

  Roth et al. ⁹ , получить аналитические решения для смещения, создаваемого диполем тока силой q в центре проводящей сферы радиусом a . Величина смещения на поверхности сферы порядка qB / ( 4π Ga) .Для диполя с напряженностью q = 1 мкА · м, модуль сдвига G = 10 ⁴ Н / м ² , магнитное поле B = 1 Тл и радиус · = 1 см, смещение поверхности очень мало, порядка 1 нм. Их анализ показывает, что «магнитоакустической визуализации эндогенных биоэлектрических токов может быть значительно труднее достичь, чем можно было бы заключить из экспериментов, о которых сообщалось на сегодняшний день».

  Ammari et al. ¹¹ математически исследовали методы локализации для магнитоакустической токовой визуализации. Их подход заключается в усреднении измерений давления, взвешенных по конкретным решениям волнового уравнения, что позволяет им определять местонахождение дипольных источников. Этот метод можно распространить на случай, когда давление измеряется только на части границы ткани.

  Визуализация «эффекта Холла»

  Хан Вэнь ^{12 – 14} и его сотрудники разработали метод визуализации электрических свойств образца с использованием того, что они называют «классическим эффектом Холла» ().Их сигнал вырабатывается ¹² “явлением разделения зарядов в проводящем объекте, движущемся в магнитном поле. Это разделение зарядов является результатом противоположных сил Лоренца на положительный и отрицательный заряды и приводит к внешнему обнаружению напряжения…. [Амплитуда] напряжения определяется силой силы Лоренца, а также плотностью заряда и подвижностью ». Они проверяют свой метод, подавая ультразвуковой сигнал (1 МГц) в камеру солевого раствора, содержащую образец (поликарбонатный блок), помещенный в статическое магнитное поле 4 Тл.Движение образца вызывается ультразвуковой волной. Они измеряют индуцированное напряжение с помощью электродов и могут получать четкие сигналы, соответствующие верхней и нижней поверхности образца. Рот и Виксво ¹⁵ сомневаются, является ли «эффект Холла» правильным названием физического механизма, лежащего в основе этого явления, но в любом случае этот метод представляет собой новое и важное применение сил Лоренца в биомедицинской визуализации.

  Напряжение, вызванное движением.Ткань движется вправо со скоростью v в присутствии магнитного поля B , направленного из бумаги. Отрицательные ионы испытывают восходящую силу Лоренца, а положительные ионы испытывают нисходящую силу Лоренца. Получающееся в результате разделение зарядов создает отрицательное напряжение в верхней части ткани и положительное напряжение в нижней части.

  Возможен обратный метод визуализации «эффекта Холла» с током, управляемым источником напряжения, и движением, создаваемым силой Лоренца (как в магнитоакустической визуализации).Wen et al. ¹² пишут, что «в реверсивном режиме или режиме обнаружения ультразвука генератор импульсов, который использовался для управления ультразвуковым преобразователем, теперь подключен к паре электродов, которые использовались для обнаружения… напряжения в прямом режиме, и сигнал -чувствительная электроника подключена к преобразователю. Когда импульсный генератор генерирует импульс напряжения на электродах, он создает плотность тока, пропорциональную локальной кажущейся проводимости. На границах раздела изменяющейся проводимости плотность тока становится прерывистой, как и силы Лоренца, действующие на токи… [приводящие] к ультразвуковым импульсам, исходящим от этих границ раздела.«Они используют этот метод для получения изображений жировых и мышечных слоев бекона (). Рот и Виксво ¹⁵ анализируют этот обратный метод и выводят волновое уравнение для ультразвукового сигнала давления, аналогичное уравнению. 2 выше

  Фотография поперечного сечения бекона, изображение бекона, полученное с помощью метода визуализации с эффектом Холла в обратном режиме, и эхо-ультразвуковое изображение того же поперечного сечения. Из Wen et al. ¹² . (© 1998 IEEE)

  ∇2p − 1c2∂2p∂t2 = (∇ + J) · B,

  (4)

  , где c – скорость звука в ткани.Они приходят к выводу, что ¹⁵ «многое из того, что мы узнали из квазистатического анализа магнитоакустических изображений, может быть применено ко второму [обратному] методу построения изображений, предложенному Веном и др.»

  Ультразвуковая сила Лоренца для измерения проводимости изображения

  Вдохновленные методом Вена и др., Амальрик Монталибет и его коллеги ^{16 , 17} далее разработали методы «ультразвуковой силы Лоренца» для измерения электрическая проводимость ().Суть их методики такая же, как описано Веном и др.: «Ионы растворов, подвергшихся воздействию ультразвука в присутствии магнитного поля, испытывают силу Лоренца. Их движение вызывает локальную плотность электрического тока, которая пропорциональна электропроводности среды… Величина измеренного тока составляет 50 нА в солевом растворе с проводимостью 0,5 См / м. Методика позволила определить проводимость образца крови свиньи по гематокриту » ¹⁷ .

  Принципиальная схема экспериментальной установки для обнаружения токов, вызванных силой Лоренца, индуцированной ультразвуком. Ось Oz является осью распространения ультразвука, Ox имеет ту же ориентацию, что и магнитное поле, а ток взаимодействия положительный вдоль Oy . Начало координат, O , расположено в фокусной точке преобразователя. Из Montalibet et al. ¹⁶ .

  Принимая во внимание, что Montalibet et al. ^{16 , 17} применяют импульсный ультразвук в своих экспериментах, Рот и Шальте ¹⁸ разработали томографический метод для определения проводимости ткани с использованием непрерывного ультразвука.Сила и синхронизация электрического диполя, вызванная ультразвуковой силой Лоренца, определяет амплитуду и фазу преобразования Фурье изображения проводимости. Таким образом, электрические измерения на различных длинах волн и направлениях эквивалентны отображению преобразования Фурье распределения проводимости в пространственно-частотном пространстве. Затем с помощью обратного преобразования Фурье находят изображение самой проводимости. В альтернативном подходе Haider et al. ¹⁹ рассмотрели эту проблему с точки зрения свинцовых полей. Интересно, что Olaffson et al. ²⁰ показали, что ультразвуковая волна сама может изменять проводимость, и этот эффект, возможно, необходимо учитывать при визуализации проводимости.

  Tseng и Roth ²¹ описали новую особенность вызванной ультразвуком силы Лоренца в анизотропной ткани: осциллирующий электрический потенциал распространяется вместе с ультразвуковой волной. Этот потенциал аналогичен потенциалам ультразвуковых колебаний, возникающим из-за разницы в инерции между положительными и отрицательными носителями заряда в коллоидных суспензиях или ионных растворах ²² , но он вызван другим механизмом.показывает три полуволны ультразвуковой волны, которая распространяется вправо в магнитном поле, выходящем из бумаги. Плотность тока из-за силы Лоренца отклоняется от направления z из-за анизотропии (диагональные линии указывают направление волокна). Это вызывает накопление положительного заряда там, где сходятся векторы тока, и отрицательного заряда, где они расходятся. Заряд производит собственный электрический ток и потенциал, который колеблется вместе с ультразвуковой волной.

  Три половины длины волны ультразвуковой волны, распространяющейся вправо. Магнитное поле B выходит из бумаги, а смещение u происходит по оси x . Плотность тока, вызванная силой Лоренца, Дж _Лоренц , вращается за счет анизотропии ткани (ось волокна обозначена диагональными линиями), создавая плотность тока и электрический потенциал, вызванные зарядом, Дж _заряд .От Ценга и Рота 31.

  Магнитоакустическая томография с магнитной индукцией

  Недавно Бин Хе и его коллеги разработали магнитоакустические методы измерения импеданса ^{23 – 31} . Новаторская особенность их метода заключается в том, что они индуцируют в образце вихревые токи с помощью магнитной индукции (закон Фарадея: изменяющееся магнитное поле индуцирует электрическое поле). «Образец находится в статическом магнитном поле и изменяющемся во времени магнитном поле.Изменяющееся во времени магнитное поле индуцирует в образце вихревой ток. Следовательно, образец будет излучать ультразвуковые волны силой Лоренца. Ультразвуковые сигналы собираются вокруг объекта для восстановления изображений, связанных с распределением электрического импеданса в образце » ²³ . Ли и др. ²⁵ получили изображения границ проводимости с высоким пространственным разрешением от фантомов солевого раствора и геля (), что указывает на осуществимость их метода, который они называют магнитно-акустической томографией с магнитной индукцией (MAT-MI).Бринкер и Рот ³² проанализировали MAT-MI и обнаружили, что при визуализации нерва или мышцы электрическая анизотропия может иметь значительное влияние на акустический сигнал и должна быть учтена для получения точных изображений. Ammari et al. ¹¹ математически исследовали методы реконструкции MAT-MI.

  (a) Двумерное изображение MAT-MI гелевого фантома с двумя колонками геля с 0% -ным солевым раствором, погруженными в гель с 10% -ным содержанием соли. (b) Фотография фантома, вид сверху. Из Li et al. ²⁵ . (© 2007 IEEE)

  Визуализация токов действия с помощью силы Лоренца с помощью МРТ

  Аллен Сонг и его сотрудники ^{33 – 35} предложили метод МРТ-обнаружения биотоков, названный «визуализацией эффекта Лоренца». При воздействии магнитного поля на ток в теле действует сила Лоренца (). Эта сила деформирует ткань, заставляя двигаться токопроводящие нервные волокна. Когда присутствует градиент магнитного поля, это движение перемещает нерв в область с другой силой магнитного поля.Если изменение магнитного поля достаточно велико, это вызывает артефакт в сигнале магнитного резонанса, который можно использовать для определения местоположения активных нейронов. Сонг и Такахаши ³³ демонстрируют этот метод, визуализируя движение медной проволоки в гелевом фантоме с помощью МРТ. Совсем недавно Труонг и Сонг ³⁵ применили «серию осциллирующих градиентов (с положительными и отрицательными долями одинаковой амплитуды и продолжительности) синхронно с нервной стимуляцией, так что нейроэлектрическая активность проявляется только в отрицательных долях.Они пришли к выводу, что «успешное обнаружение нейроэлектрической активности in vivo с помощью нашей техники демонстрирует, что активация нейронов может быть визуализирована неинвазивно с помощью МРТ с высоким пространственным и временным разрешением». Basford et al. ³⁶ также исследовали движение, вызванное силой Лоренца, во время магнитно-резонансной томографии.

  Roth and Basser ³⁷ анализируют МРТ с силой Лоренца и предсказывают, что пиковое смещение u нерва радиусом a в плече радиуса b составляет

  , где B – магнитное поле, J – плотность тока, а G – модуль сдвига.Используя реалистичные параметры медиального нерва человека в поле 4 Тл, они вычисляют максимальное смещение 13 нм или меньше и находят распределение смещения, которое не локализуется вокруг нерва (). Они предполагают, что это смещение слишком мало и размыто, чтобы его можно было обнаружить методами МРТ. Фактически, биомагнитные поля, создаваемые токами действия, должны приводить к большему артефакту на МРТ, чем артефакт, вызванный эффектом Лоренца ³⁸ , и можно ли использовать такие биомагнитные поля с МРТ для изображения токов действия, остается открытым вопросом ³⁹ .Анализ эффекта Лоренца на ионы в растворе также противоречив ^{40 , 41} , и в этом случае могут иметь значение магнитогидродинамические эффекты ⁴² .

  Вверху: нерв радиуса a , лежащий в руке радиуса b . Магнитное поле имеет направление x . Ток внутри нерва течет в положительном направлении z (за пределы страницы), а ток в окружающей ткани течет в отрицательном направлении z .Внизу: смещение, вызванное силой Лоренца. (а) всю руку и (б) детальный вид смещения вокруг нерва. Для удобства просмотра длина стрелок смещения увеличена. От Рота и Бассера ³⁷ .

  Заключение

  Сила Лоренца – это новый инструмент для получения изображений тока и проводимости в тканях. В общем, эти силы и результирующие смещения невелики. На сегодняшний день наиболее многообещающие результаты получены при работе на высоких частотах, когда осциллирующая сила порождает ультразвуковые волны, которые можно обнаружить, даже если лежащее в основе смещение очень мало.Визуализация проводимости может выполняться двумя способами: с использованием осциллирующей силы Лоренца для создания ультразвуковых изображений () или с применением ультразвука и детектирования результирующего электрического сигнала (). Пока неясно, какой из этих методов будет наиболее полезен в биомедицинской визуализации. Силовые методы Лоренца для измерения тока имеют интересные аналогии с биомагнитными методами и имеют многие из тех же сильных и слабых сторон. Эти методы обычно требуют сильных магнитных полей, создание которых может быть трудным и дорогостоящим.Однако они используют преимущества и сочетают в себе многие сильные стороны как биоэлектрических, так и биомагнитных методов с хорошо зарекомендовавшими себя методами ультразвуковой визуализации. Магнитоакустические методы измерения тока будут конкурировать с такими общепринятыми методами, как электрокардиограмма, магнитокардиограмма, электроэнцефалограмма и магнитоэнцефалограмма. Методы измерения проводимости дадут такую ​​же информацию, как и изображения электрического импеданса.

  Таким образом, все большее количество методов визуализации основано на силе Лоренца, и эти методы открывают большие перспективы для получения изображений тока и проводимости.

  Благодарности

  Я благодарю Штеффана Пувала и Кэтрин Рот за их комментарии к этой рукописи. Я также благодарю Брюса Тоу, Хан Вена, Амальрика Монталибета и Сюй Ли за разрешение воспроизвести их рисунки в этом обзоре. Работа поддержана грантом R01EB008421 Национального института здравоохранения.

  Список литературы

  1. Хобби Р.К., Рот Б.Дж. Физика среднего уровня для медицины и биологии. 4. Нью-Йорк: Спрингер; 2007. [Google Scholar] 2. Schenck JF. Безопасность сильных статических магнитных полей.J Mag Reson Imag. 2000; 12: 2–19. [PubMed] [Google Scholar] 3. Wikswo JP, Jr, Barach JP. Оценка постоянной напряженности магнитного поля, необходимой для воздействия на нервную проводимость. IEEE Trans Biomed Eng. 1980; 27: 722–723. [PubMed] [Google Scholar] 4. Секино М., Тацуока Х., Ямагути С., Эгути Ю., Уэно С. Влияние сильных статических магнитных полей на нервное возбуждение. IEEE Trans Mag. 2006. 42: 3584–3586. [Google Scholar] 5. Франкель РБ, Блейкмор РП, Вулф РС. Магнетит в пресноводных магнитотактических бактериях. Наука.1979; 203: 1355–1356. [PubMed] [Google Scholar] 6. Тоу BC, Ислам MR. Магнитоакустический метод неинвазивного измерения биоэлектрических токов. IEEE Trans Biomed Eng. 1988; 35: 892–894. [PubMed] [Google Scholar] 7. Ислам MR, Тауэ BC. Реконструкция изображения биоэлектрического тока по магнитно-акустическим измерениям. IEEE Trans Med Imag. 1988; 7: 386–391. [PubMed] [Google Scholar] 8. Towe BC. Исследование биомагнетометра силы Лоренца. IEEE Trans Biomed Eng. 1997; 44: 455–461. [PubMed] [Google Scholar] 9.Рот BJ, Basser PJ, Wikswo JP., Jr. Теоретическая модель магнитоакустической визуализации биоэлектрических токов. IEEE Trans Biomed Eng. 1994; 41: 723–728. [PubMed] [Google Scholar] 11. Аммари Х., Капдебоск Й., Кан Х., Кожемяк А. Математические модели и методы реконструкции в магнитоакустической визуализации. Euro J Appl Math. 2009. 20: 303–317. [Google Scholar] 14. Вен Х. Возможности биомедицинских приложений визуализации эффекта Холла. Ультразвуковая визуализация. 2000. 22: 123–136. [PubMed] [Google Scholar] 15. Рот BJ, Wikswo JP., Jr Комментарии к «Визуализации эффекта Холла» IEEE Trans Biomed Eng. 1998. 45: 1294–1295. [PubMed] [Google Scholar] 16. Монталибет А., Жосине Дж., Матиас А. Сканирование градиентов электропроводности с помощью силы Лоренца, индуцированной ультразвуком. Ультразвуковая визуализация. 2001; 23: 117–132. [PubMed] [Google Scholar] 17. Montalibet A, Jossinet J, Matias A, Cathignol D. Электрический ток, генерируемый ультразвуковой силой Лоренца в биологических средах. Med Biol Eng Comput. 2001; 39: 15–20. [PubMed] [Google Scholar] 19. Хайдер С., Хрбек А., Сюй Ю.Магнитоакусто-электрическая томография: потенциальный метод для визуализации плотности тока и электрического сопротивления. Physiol Meas. 2008; 29: S41 – S50. [PubMed] [Google Scholar] 20. Олафссон Р., Витте Р.С., Хуанг С.В., О’Доннелл М. Ультразвуковая визуализация плотности источника тока. IEEE Trans Biomed Eng. 2008; 55: 1840–1848. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 21. Ценг Н, Рот Б.Дж. Потенциал, индуцированный в анизотропной ткани силой Лоренца, индуцированной ультразвуком. Med Biol Eng Comput. 2008. 46: 195–197. [PubMed] [Google Scholar] 22.Беверидж А.С., Ван С., Диболд Г.Дж. Визуализация на основе потенциала ультразвуковой вибрации. Appl Phys Lett. 2004. 85: 5466–5468. [Google Scholar] 24. Ли X, Xu Y, He B. Магнитоакустическая томография с магнитной индукцией для визуализации электрического импеданса биологической ткани. J Appl Phys. 2006; 99: 066112. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 25. Li X, Xu Y, He B. Визуализация электрического импеданса на основе акустических измерений с помощью магнитоакустической томографии с магнитной индукцией (MAT-MI) IEEE Trans Biomed Eng.2007. 54: 323–330. [PubMed] [Google Scholar] 26. Xia R, Li X, He B. Магнитоакустическая томографическая визуализация электрического импеданса с магнитной индукцией. Appl Phys Lett. 2007; 91: 083903. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 27. Ma Q, He B. Исследование генерации магнитоакустического сигнала с помощью магнитной индукции и его применение для восстановления электропроводности. Phys Med Biol. 2007. 52: 5085–5099. [PubMed] [Google Scholar] 29. Ли Х, Ли Х, Чжу С.Н., Хэ Б. Решение прямой задачи магнитоакустической томографии с магнитной индукцией с помощью метода конечных элементов.Phys Med Biol. 2009. 54: 2667–2682. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 30. Xia RM, Li X, He B. Реконструкция векторных акустических источников во временной томографии. IEEE Trans Med Imag. 2009. 28: 669–675. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 31. Ся Р.М., Ли Х, Хе Б. Сравнительное исследование трех различных алгоритмов восстановления изображений для MAT-MI. IEEE Trans Biomed Eng. 2010; 57: 708–713. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 32. Бринкер К., Рот Б.Дж. Влияние электрической анизотропии при магнитоакустической томографии с магнитной индукцией.IEEE Trans Biomed Eng. 2008; 55: 1637–1639. [PubMed] [Google Scholar] 33. Песня А. В., Такахаши А. М.. Визуализация эффекта Лоренца. Magn Res Imag. 2001; 19: 763–767. [PubMed] [Google Scholar] 34. Чыонг Т-К, Уилбур Дж. Л., Сонг А. В.. Синхронизированное обнаружение малых электрических токов с помощью МРТ с использованием визуализации с эффектом Лоренца. J Magn Res. 2006. 179: 85–91. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 35. Чыонг Т-К, Сонг А.В. Обнаружение нейроэлектрической активности при колебаниях магнитного поля (NAMO) с помощью магнитно-резонансной томографии in vivo.PNAS. 2006; 103: 12598–12601. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 36. Basford AT, Basford JR, Kugel J, Ehman RL. Движение под действием силы Лоренца в проводящей среде. Магнитно-резонансная томография. 2005; 23: 647–651. [PubMed] [Google Scholar] 38. Мэй И, Рот Би Джей. Смещения, вызванные вихревыми токами, индуцированными во время магнитно-резонансной томографии. Журнал “Встреча умов” по исследованиям в бакалавриате. 2010 (в печати) [Google Scholar] 39. Бандеттини П.А., Петриду Н., Бодурка Дж. Направление обнаружения нейрональной активности с помощью МРТ: фантазия, возможность или реальность.Appl Magn Reson. 2005; 29: 65–88. [Google Scholar] 40. Чыонг Т.К., Аврам А., Сонг А.В. Визуализация ионных токов в растворе с эффектом Лоренца. Дж. Магн Резон. 2008; 191: 93–99. [PubMed] [Google Scholar] 41. Wijesinghe R, Roth BJ. Визуализация ионных токов в растворе на основе эффекта Лоренца с использованием правильных значений подвижности ионов. Дж. Магн Резон. 2010. 204: 225–227. [Бесплатная статья PMC] [PubMed] [Google Scholar] 42. Скотт Г.К., Джой MLG, Армстронг Р.Л., Хенкельман Р.М. Измерение неоднородной плотности тока методом магнитного резонанса.IEEE Trans Med Imag. 1991; 10: 362–374. [PubMed] [Google Scholar]

  Стохастический сброс активных броуновских частиц с силой Лоренца

  Равновесные свойства системы пассивных диффундирующих частиц во внешнем магнитном поле не подвержены влиянию силы Лоренца. Напротив, активные броуновские частицы демонстрируют стационарные явления, которые зависят как от силы, так и от полярности приложенного магнитного поля. Однако интригующие эффекты силы Лоренца можно наблюдать только тогда, когда в системе поддерживаются неравновесные градиенты плотности.С этой целью мы используем метод стохастического сброса активных броуновских частиц в двух измерениях, сбрасывая их на линию x = 0 с постоянной скоростью и периодичностью в направлении y . При стохастическом сбросе активная система переходит в нетривиальное стационарное состояние, которое характеризуется неоднородным распределением плотности, поляризацией и объемными потоками, перпендикулярными градиентам плотности. Мы показываем, что в то время как для однородного магнитного поля свойства стационарного состояния активной системы могут быть получены из ее пассивного аналога, в случае неоднородного магнитного поля появляются новые особенности, которые не имеют аналогов в пассивных системах.В частности, существует зависящая от активности пороговая скорость, так что для меньших скоростей сброса распределение плотности активных частиц становится немонотонным. Мы также изучаем среднее время первого прохода к оси x и находим удивительный результат: активной частице требуется больше времени, чтобы достичь цели из любой заданной точки в случае, когда магнитное поле увеличивается в направлении от оси. Теоретические прогнозы подтверждаются с помощью моделирования броуновской динамики.

  У вас есть доступ к этой статье

  Подождите, пока мы загрузим ваш контент… Что-то пошло не так. Попробуйте снова?

  Законы Ньютона и электрическая сила

  Притягивающее или отталкивающее взаимодействие между любыми двумя заряженными объектами – это электрическая сила .Как и любая сила, ее действие на объекты описывается законами движения Ньютона. Электрическая сила – F _elect – присоединяется к длинному списку других сил, которые могут действовать на объекты. Законы Ньютона применяются для анализа движения (или отсутствия движения) объектов под действием такой силы или комбинации сил. Анализ обычно начинается с построения диаграммы свободного тела, на которой тип и направление отдельных сил представлены векторными стрелками и помечены в соответствии с типом.Затем величины сил складываются в виде векторов, чтобы определить результирующую сумму, также известную как чистая сила. Затем чистую силу можно использовать для определения ускорения объекта.

  В некоторых случаях целью анализа не является определение ускорения объекта. Вместо этого диаграмма свободного тела используется для определения пространственного разделения или заряда двух объектов, находящихся в статическом равновесии. В этом случае диаграмма свободного тела сочетается с пониманием векторных принципов, чтобы определить некоторую неизвестную величину посреди головоломки, включающей геометрию, тригонометрию и закон Кулона.В этом последнем разделе Урока 3 мы исследуем оба типа приложений законов Ньютона к явлению статического электричества.

  Электрическая сила и ускорение

  Предположим, что резиновый шар и пластиковая трубка для гольфа заряжаются отрицательно, натирая их шерстью животных. Предположим, что воздушный шар подбрасывается в воздух, а трубка для гольфа удерживается под ним, чтобы поднять воздушный шар в воздухе.Эта цель будет достигнута, если пространственное разделение между заряженными объектами отрегулировано таким образом, чтобы уравновешивалась направленная вниз сила тяжести (F _grav ) и направленная вверх электрическая сила (F _elect ). Это представляет собой сложную задачу манипулирования, поскольку воздушный шар будет постоянно перемещаться из стороны в сторону, вверх и вниз под воздействием как силы тяжести, так и силы электрического тока. Когда трубка для гольфа находится слишком глубоко под воздушным шаром, воздушный шар упадет и ускорится вниз.Это, в свою очередь, уменьшило бы расстояние разделения и привело бы к увеличению электрической силы. По мере увеличения F _elect он, вероятно, превысит F _grav , и воздушный шар внезапно ускорится вверх. И, наконец, если точка заряда на трубке для гольфа не находится непосредственно под точкой заряда воздушного шара (вероятный сценарий), электрическая сила будет приложена под углом к ​​вертикали, и воздушный шар будет иметь боковое ускорение.Вероятным результатом такой попытки поднять воздушный шар будет множество мгновенных ускорений в разных направлениях.

  Предположим, что в какой-то момент в процессе попытки левитации воздушного шара существовали следующие условия:

  Воздушный шар массой 0,90 грамма с зарядом -75 нКл расположен на расстоянии 12 см над пластиковой трубкой для гольфа с зарядом -83 нКл.

  Как можно применить законы Ньютона, чтобы определить ускорение воздушного шара в этот момент?

  Как и любая проблема, связанная с силой и ускорением, проблема начинается с построения диаграммы свободного тела.На воздушный шар действуют две силы. Сила тяжести на воздушном шаре направлена ​​вниз. Электрическая сила, действующая на воздушный шар, направлена ​​вверх, так как воздушный шар и трубка для гольфа имеют одинаковый заряд, а трубка для гольфа удерживается под воздушным шаром. Эти две силы показаны на диаграмме свободного тела справа. Второй шаг включает определение величины этих двух сил. Сила тяжести определяется умножением массы (в килограммах) на ускорение свободного падения.

  F _grav = m • g = (0.00090 кг) • (9,8 м / с / с)

  F _грав = 8,82 x 10 ^-3 N, вниз

  Электрическая сила определяется по закону Кулона. Как показано ниже, соответствующей единицей измерения заряда является кулон (C), а соответствующей единицей измерения расстояния – метры (м). Использование этих единиц приведет к единице силы Ньютон. Спрос на эти единицы возникает из единиц постоянной Кулона.

  F _elect = k • Q ₁ • Q ₂ / d ²

  F _elect = (9 x 10 ⁹ N • m ² / C ² ) • (-75 x 10 ^-9 C) • (-83 x 10 ^-9 C) / (0.12) ²

  F _эл. = 3,89 x 10 ^-3 N, вверх

  Чистая сила – это векторная сумма этих двух сил. Восходящие и нисходящие силы складываются как векторы.

  F _net = · F = F _grav (вниз) + F _elect (вверх)

  F _net = 8,82 x 10 ^-3 N, вниз + 3,89 x 10 ^-3 N, вверх

  F _сетка = 4,93 x 10 ^-3 N, вниз

  Последний шаг этой проблемы включает использование второго закона Ньютона для определения ускорения объекта.Ускорение – это чистая сила, деленная на массу (в килограммах).

  a = F _{, нетто} / м = (4,93 x 10 ^-3 Н, вниз) / (0,00090 кг)

  a = 5,5 м / с / с, вниз

  Приведенный выше анализ показывает, как можно применить закон Ньютона и закон Кулона для определения мгновенного ускорения. Следующий анализ включает случай, когда два объекта находятся в состоянии статического равновесия.

  Электрическая сила и статическое равновесие

  Предположим, что два резиновых шара подвешены к потолку на двух длинных веревках так, что они свисают вертикально.Затем предположим, что каждому воздушному шарику дано 10 растираний средней силы шерстью животных. Воздушные шары, притягивающие электроны сильнее, чем мех животных, приобретут отрицательный заряд. Воздушные шары будут иметь одинаковый заряд, и впоследствии они будут отталкиваться друг от друга. В результате их отталкивания струны и подвешенные шары теперь образуют угол с вертикалью. Угол веревки с вертикалью будет математически связан с количеством заряда на воздушных шарах.По мере того, как шары приобретают большее количество заряда, сила отталкивания между ними будет увеличиваться, и угол, который образует струна с вертикалью, также увеличится. Как и любую ситуацию, связанную с электростатической силой, эту ситуацию можно проанализировать, используя векторные принципы и законы Ньютона.

  Предположим, что существуют следующие условия.

  Два шара весом 1,1 грамма подвешены на веревках длиной 2,0 метра и подвешены к потолку. Затем их десять раз натирают шерстью животных, чтобы передать одинаковый заряд Q каждому шарику.Воздушные шары отталкиваются друг от друга, и видно, что каждая струна составляет угол 15 градусов с вертикалью. Определите электрическую силу отталкивания, заряд на каждом воздушном шаре (предполагается, что он одинаковый) и количество электронов, перенесенных на каждый воздушный шар в результате 10 касаний шерстью животных.

  Из-за сложности физической ситуации было бы разумно представить ее в виде диаграммы. Диаграмма будет служить средством определения известной информации для этой ситуации.На схеме ниже изображены два воздушных шара с веревкой длиной L и углом «тета». Масса ( м ) аэростатов известна; здесь он выражается в килограммах (стандартная единица массы). Расстояние между воздушными шарами (переменная в законе Кулона) отмечено на диаграмме и представлено переменной d . Проведена вертикальная линия, идущая от точки поворота на потолке; эта вертикальная линия – одна сторона прямоугольного треугольника, образованного горизонтальной линией, соединяющей воздушные шары, и веревкой, идущей от воздушного шара до потолка.Этот прямоугольный треугольник будет полезен при анализе ситуации с использованием векторных принципов. Обратите внимание, что вертикальная линия делит пополам отрезок линии, соединяющий воздушные шары; таким образом, расстояние до одной стороны прямоугольного треугольника составляет d / 2 .

  
  

  Применение законов Ньютона к этой ситуации начинается с построения диаграммы свободного тела для одного из воздушных шаров. На воздушные шары действуют три силы: сила натяжения, сила тяжести и электростатическая сила отталкивания.Эти три силы представлены для воздушного шара справа. (См. Диаграмму ниже.) Обратите внимание, что сила натяжения направлена ​​под углом к ​​вертикали. В физике такие ситуации обрабатываются путем разделения вектора силы на горизонтальную и вертикальную составляющие. Это показано ниже; компоненты обозначены как F _x и F _y . Эти компоненты связаны с углом, который струна образует с вертикалью, с помощью тригонометрических функций. Поскольку воздушный шар находится в равновесии, силы, действующие на воздушный шар, должны уравновешивать друг друга.Это означало бы, что вертикальная составляющая силы натяжения ( F _y ) должна уравновешивать направленную вниз силу тяжести ( F _grav ). Горизонтальная составляющая силы натяжения ( F _x ) должна уравновешивать направленную вправо электростатическую силу ( F _elect ).

  
  

  Поскольку масса воздушного шара известна, сила тяжести, действующая на него, может быть определена.

  F _grav = m • g = (0.0011 кг) • (9,8 м / с / с)

  F _грав = 0,01078 N

  Сила тяжести равна вертикальной составляющей силы натяжения ( F _y = 0,0108 Н ). Компонент F _y связан с компонентом F _x и углом theta функцией касательной. Это соотношение можно использовать для определения горизонтальной составляющей силы натяжения.Работа представлена ​​ниже.

  Касательная (тета) = противоположная сторона / смежная сторона

  Касательная (тета) = F _x / F _y

  Касательная (15 градусов) = F _x / (0,01078 Н)

  F _x = (0,01078 Н) • Касательная (15 градусов)

  F _x = 0,00289 Н

  Горизонтальная составляющая силы натяжения равна электростатической силе.Таким образом,

  F _{избранный} = 0,00289 N

  Теперь, когда электростатическая сила была определена с использованием законов Ньютона и векторных принципов, закон Кулона теперь может быть применен для определения заряда на воздушном шаре.

  Предполагается, что воздушные шары имеют одинаковое количество заряда, поскольку они заряжаются одинаковым образом с помощью 10 трений средней силы. Поскольку Q ₁ равно Q ₂ , уравнение можно переписать как

  Это уравнение можно алгебраически преобразовать, чтобы найти Q.Шаги показаны ниже.

  F • d ² = k • Q ²

  Q ² = F • d ² / k

  Q = SQRT (F • d ² / k)

  Для завершения решения необходимо знать значение d . Это требует анализа прямоугольного треугольника, чтобы определить длину стороны, противоположной 15-градусному углу. Эта длина составляет половину расстояния d. Поскольку длина гипотенузы известна, используется синусоидальная функция.

  Синус (Тета) = противоположная сторона / сторона гипотенузы

  Синус (15 градусов) = противоположная сторона / (2,0 м)

  Противоположная сторона = (2,0 м) • Синус (15 градусов)

  противоположная сторона = d /2 = 0,518 м

  Удвоение этого расстояния дает значение d 1,035 м. Теперь можно произвести замены для определения стоимости Q.

  Q = КОРЕНЬ (F • d ² / k)

  Q = КОРЕНЬ [(0.00289 Н) • (1,035 м) ² / (9 x 10 ⁹ Н • м ² / C ² )]

  Q = 5,87 x 10 ^-7 C (отрицательный)

  Заряд объекта связан с количеством избыточных (или дефицитных) электронов в объекте. Используя заряд одного электрона (-1,6 x 10 ^-19 Кл), можно определить количество электронов на этом объекте:

  # избыток электронов = (-5,87 x 10-7 C) / (-1.6 x 10 ^-19 C / электрон)

  # избыточные электроны = 3,67 x 10 ¹² электронов

  В процессе зарядки более трех триллионов электронов переместилось из шерсти животного в каждый из воздушных шаров. Ух ты!

  Конфигурации из трех или более зарядов

  В каждом из приведенных выше примеров мы исследовали взаимодействие двух заряженных объектов.Для анализа ситуаций были объединены законы Ньютона и закон Кулона. Но что, если есть три или более зарядов? Закон Кулона может рассматривать только взаимодействие между Q ₁ и Q ₂ . Нужно ли переписывать закон для электрической силы, чтобы учесть Q ₃ ? Нет!

  Электрические силы возникают в результате взаимодействия двух зарядов. В ситуациях, включающих три или более зарядов, электрическая сила, действующая на один заряд, является просто результатом комбинированных эффектов взаимодействия каждого отдельного заряда этого заряда со всеми другими зарядами.Если конкретный заряд сталкивается с двумя или более взаимодействиями, то чистая электрическая сила представляет собой векторную сумму этих отдельных сил. В качестве примера этого подхода предположим, что присутствуют четыре заряда (A, B, C и D), которые пространственно расположены в форме квадрата. Заряды A и D заряжены отрицательно и занимают противоположные углы квадрата, а заряды B и C заряжены положительно и занимают оставшиеся два угла, как показано. Если вас интересует чистая электрическая сила, действующая на заряд A, то необходимо вычислить электрические силы между A и каждым из трех других зарядов.То есть F _BA , F _CA и F _DA должны сначала определяться применением закона Кулона к каждой из этих пар зарядов. Обозначение F _BA используется для обозначения силы B на A .

  F _BA = k • Q _A • Q _B / d _BA ²

  F _CA = k • Q _A • Q _C / d _CA ²

  F _DA = k • Q _A • Q _D / d _DA ²

  Направление каждой из этих трех сил можно определить, применяя основные правила взаимодействия зарядов: противоположно заряженные объекты притягиваются, а одноименные объекты отталкиваются.Применительно к этому сценарию можно предположить, что силы F _BA , F _CA и F _DA направлены, как показано на диаграмме ниже. Заряд B притягивает A, а заряд C притягивает A, поскольку это пары противоположно заряженных объектов. Но Заряд D отталкивает А, поскольку они представляют собой пару одинаково заряженных объектов.

  
  

  Итак, величины отдельных сил определяются расчетами по закону Кулона. Направление отдельных сил определяется применением правил взаимодействия зарядов.И как только известны величина и направление трех векторов силы, эти три вектора можно сложить, используя правила сложения векторов, чтобы определить чистую электрическую силу. Это показано на диаграмме выше.

  Проверьте свое понимание

  Используйте свое понимание заряда, чтобы ответить на следующие вопросы.По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы.

  1. Положительно заряженный объект с зарядом +85 нКл используется для уравновешивания направленной вниз силы тяжести на 1,8-граммовом воздушном шаре с зарядом -63 нКл. Насколько высоко над воздушным шаром должен удерживаться объект, чтобы уравновесить воздушный шар? (ПРИМЕЧАНИЕ: 1 нКл = 1 x 10 ^-9 ° С)

  
  

  2. Воздушный шар A и воздушный шар B заряжаются аналогичным образом, протираясь шерстью животных.Каждый получает более 25 триллионов электронов. Если масса воздушных шаров составляет 1 грамм, то как далеко ниже воздушного шара B должен удерживаться воздушный шар A, чтобы воздушный шар B левитировал? Предположим, что воздушные шары действуют как точечные заряды.

  3. Два шара весом 1,2 грамма подвешены на легких веревках, прикрепленных к потолку в одной и той же точке. Чистый заряд воздушных шаров -540 нКл. В состоянии равновесия воздушные шары разнесены на 68,2 см друг от друга. Определите длину строки.

  
  

  4. ZINGER : три заряда размещены по оси X. Заряд A – это заряд +18 нКл, помещенный в начало отсчета. Заряд B представляет собой заряд -27 нКл, размещенный на расстоянии 60 см. Где по оси (в какой координате x?) Должен быть помещен положительно заряженный C, чтобы он находился в состоянии равновесия?

  
  

  Сила Лоренца | Древо познания вики

  Сила Лоренца, действующая на быстро движущиеся заряженные частицы в пузырьковой камере.Траектории положительного и отрицательного заряда изгибаются в противоположных направлениях.

  В физике (в частности, в электромагнетизме) сила Лоренца (или электромагнитная сила ) представляет собой комбинацию электрической и магнитной сил на точечный заряд из-за электромагнитных полей. Частица заряда q , движущаяся со скоростью v в электрическом поле E и магнитном поле B , испытывает силу

  (в единицах СИ).В нем говорится, что электромагнитная сила, действующая на заряд q , представляет собой комбинацию силы в направлении электрического поля E , пропорциональной величине поля и количеству заряда, и силы, действующей под прямым углом к ​​магнитному полю. поле B и скорость заряда v , пропорциональная величине поля, заряда и скорости. Вариации этой базовой формулы описывают магнитную силу на проводе с током (иногда называемую силой Лапласа), электродвижущую силу в проволочной петле, движущейся через магнитное поле (аспект закона индукции Фарадея), и силу, действующую на движущийся заряженная частица.

  Историки предполагают, что закон подразумевается в статье Джеймса Клерка Максвелла, опубликованной в 1865 году. Хендрик Лоренц пришел к полному выводу в 1895 году, определив вклад электрической силы через несколько лет после того, как Оливер Хевисайд правильно определил вклад электрического поля. магнитная сила.

  Закон силы Лоренца как определение E и B

  Траектория частицы с положительным или отрицательным зарядом q под действием магнитного поля B , которое направлен перпендикулярно за пределы экрана.

  Пучок электронов, движущихся по кругу из-за наличия магнитного поля. Фиолетовый свет излучается вдоль пути электронов в трубке тельтрона из-за столкновения электронов с молекулами газа.

  Во многих описаниях классического электромагнетизма в учебниках закон силы Лоренца используется как определение электрического и магнитного полей E и B . Чтобы быть конкретным, сила Лоренца понимается как следующее эмпирическое утверждение:

  Электромагнитная сила F на испытательном заряде в данный момент и время является определенной функцией его заряда q и скорости v , которые могут быть параметризованы точно двумя векторами E и B , в функциональной форме :

  Это верно даже для частиц, приближающихся к скорости света (то есть, величина v = | v | ≈ c ).Таким образом, два векторных поля E и B определяются во всем пространстве и времени, и они называются «электрическим полем» и «магнитным полем». Поля определены повсюду в пространстве и времени относительно того, какую силу испытательный заряд получит, независимо от того, присутствует ли заряд, испытывающий силу.

  Как определение E и B , сила Лоренца является только принципиальным определением, потому что реальная частица (в отличие от гипотетического «пробного заряда» бесконечно малой массы и заряда) будет генерировать свой собственный конечный E и B поля, которые могут изменить электромагнитную силу, которую он испытывает.Кроме того, если заряд испытывает ускорение, как если бы он двигался по кривой траектории, он испускает излучение, которое приводит к потере кинетической энергии. См., Например, тормозное излучение и синхротронный свет. Эти эффекты возникают как за счет прямого воздействия (так называемая сила реакции излучения), так и косвенного (путем воздействия на движение близлежащих зарядов и токов).

  Уравнение

  Заряженная частица

  Сила Лоренца F на заряженной частице (с зарядом q ) в движении (мгновенная скорость v ).Поле E и поле B различаются в пространстве и времени.

  Сила F , действующая на частицу электрического заряда q с мгновенной скоростью v , за счет внешнего электрического поля E и магнитного поля B , определяется как (в единицах СИ):

  где × – векторное векторное произведение (все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами).Что касается декартовых компонентов, мы имеем:

  Как правило, электрическое и магнитное поля зависят от положения и времени. Следовательно, явно сила Лоренца может быть записана как:

  , в котором r – вектор положения заряженной частицы, t – время, а точка над точкой – производная по времени.

  Положительно заряженная частица будет ускоряться в той же линейной ориентации , что и поле E , но будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v , так и полю B согласно правилу правой руки ( более подробно, если пальцы правой руки вытянуты в направлении v , а затем согнуты в направлении B , то вытянутый большой палец будет указывать в направлении F ).

  Член q E называется электрической силой , а член q ( v × B ) называется магнитной силой . Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле для магнитной силы, с общей электромагнитной силой (включая электрическую силу), которой дано другое (нестандартное) название. В этой статье , а не , будет следовать этой номенклатуре: В дальнейшем термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению для полной силы.

  Магнитная составляющая силы Лоренца проявляется как сила, действующая на провод с током в магнитном поле. В этом контексте это также называется силой Лапласа.

  Сила Лоренца – это сила, действующая со стороны электромагнитного поля на заряженную частицу, то есть скорость, с которой передается линейный импульс от электромагнитного поля к частице. С ним связана мощность, которая представляет собой скорость, с которой энергия передается от электромагнитного поля к частице.Эта сила

  .

  Обратите внимание, что магнитное поле не влияет на мощность, потому что магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы.

  Непрерывное распределение заряда

  Сила Лоренца (на единицу 3-го объема) f при непрерывном распределении заряда (плотность заряда ρ) в движении. Плотность 3-тока Дж соответствует движению элемента заряда dq в элементе объема dV и изменяется по всему континууму.

  Для непрерывного распределения заряда в движении уравнение силы Лоренца принимает следующий вид:

  где сила, действующая на небольшой участок распределения заряда с зарядом. Если обе части этого уравнения разделить на объем этого небольшого фрагмента распределения заряда, результат будет следующим:

  где – плотность силы , (сила на единицу объема) и – плотность заряда (заряд на единицу объема).Далее, плотность тока, соответствующая движению зарядового континуума, равна

  , поэтому непрерывным аналогом уравнения является

  Полная сила – это объемный интеграл по распределению заряда:

  Путем исключения, использования уравнений Максвелла и манипулирования с использованием теорем векторного исчисления, эта форма уравнения может использоваться для получения тензора напряжений Максвелла, который, в свою очередь, может быть объединен с вектором Пойнтинга для получения электромагнитный тензор энергии-импульса T , используемый в общей теории относительности.

  В терминах и другой способ записать силу Лоренца (на единицу объема):

  где – скорость света, а · обозначает дивергенцию тензорного поля. Это уравнение связывает не количество заряда и его скорость в электрическом и магнитном полях, а поток энергии (поток энергии в единицу времени на единицу расстояния) в полях с силой, действующей на распределение заряда. Подробнее см. Ковариантную формулировку классического электромагнетизма.

  Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна

  .

  Если мы разделим полный заряд и полный ток на их свободную и связанную части, мы получим, что плотность силы Лоренца равна

  .

  где: – плотность бесплатного заряда; – плотность поляризации; – плотность свободного тока; и – плотность намагниченности. Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту магнитным полем.Плотность связанной мощности равна

  .

  Уравнение в единицах cgs

  В приведенных выше формулах используются единицы СИ, которые являются наиболее распространенными среди экспериментаторов, техников и инженеров. В cgs-гауссовых единицах, которые несколько более распространены среди физиков-теоретиков, а также среди экспериментаторов конденсированного состояния, вместо этого

  где c – скорость света. Хотя это уравнение выглядит немного иначе, оно полностью эквивалентно, поскольку есть следующие отношения:

  , где ε ₀ – диэлектрическая проницаемость вакуума, а μ ₀ – проницаемость вакуума.На практике индексы «cgs» и «SI» всегда опускаются, и система единиц измерения должна оцениваться из контекста.

  История

  [[большой палец | Теория электронов Лоренца. Формулы для силы Лоренца (I, пондеромоторная сила) и уравнения Максвелла для расходимости электрического поля E (II) и магнитного поля B (III), La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants , 1892 , п. 451. V – скорость света.]] Первые попытки количественного описания электромагнитной силы были предприняты в середине 18 века. Было высказано предположение, что сила на магнитных полюсах Иоганном Тобиасом Майером и другими в 1760 году и электрически заряженные объекты Генри Кавендишем в 1762 году подчинялась закону обратных квадратов. Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было ни полным, ни окончательным. Только в 1784 году Шарль-Огюстен де Кулон, используя торсионные весы, смог окончательно экспериментально показать, что это правда.Вскоре после открытия в 1820 году Х. К. Орстеда, что на магнитную стрелку действует электрический ток, Андре-Мари Ампер в том же году смог экспериментально разработать формулу угловой зависимости силы между двумя элементами тока. Во всех этих описаниях сила всегда описывалась в терминах свойств вещества и расстояний между двумя массами или зарядами, а не в терминах электрических и магнитных полей.

  Современная концепция электрических и магнитных полей впервые возникла в теориях Майкла Фарадея, особенно его идея силовых линий, которая позже получила полное математическое описание лордом Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом.С современной точки зрения, в формулировке Максвелла 1865 г. его уравнений поля можно определить форму уравнения силы Лоренца по отношению к электрическим токам, хотя во времена Максвелла не было очевидно, как его уравнения связаны с силами, движущимися при движении заряженного заряда. объекты. Дж. Дж. Томсон был первым, кто попытался вывести из уравнений Максвелла поля электромагнитные силы, действующие на движущийся заряженный объект, в терминах свойств объекта и внешних полей. Заинтересованный в определении электромагнитного поведения заряженных частиц в катодных лучах, Томсон опубликовал статью в 1881 году, в которой он дал силу, действующую на частицы, обусловленную внешним магнитным полем, как

  Томсон вывел правильную основную форму формулы, но из-за некоторых просчетов и неполного описания тока смещения перед формулой включил неверный масштабный коэффициент, равный половине.Оливер Хевисайд изобрел современные векторные обозначения и применил их к полевым уравнениям Максвелла; он также (в 1885 и 1889 годах) исправил ошибки вывода Томсона и пришел к правильной форме магнитной силы, действующей на движущийся заряженный объект. Наконец, в 1895 году Хендрик Лоренц вывел современную форму формулы для электромагнитной силы, которая включает вклады в общую силу как электрического, так и магнитного полей. Лоренц начал с отказа от максвелловских описаний эфира и проводимости.Вместо этого Лоренц проводил различие между материей и светоносным эфиром и стремился применить уравнения Максвелла в микроскопическом масштабе. Используя версию Хевисайда уравнений Максвелла для неподвижного эфира и применяя лагранжевую механику (см. Ниже), Лоренц пришел к правильной и полной форме закона силы, который теперь носит его имя.

  Траектории движения частиц под действием силы Лоренца

  Основные статьи: Направляющий центр

  Заряженные частицы дрейфуют в однородном магнитном поле.(A) Нет возмущающей силы (B) В электрическом поле, E (C) С независимой силой, F (например, гравитация) (D) В неоднородном магнитном поле, grad H

  Во многих случаях, представляющих практический интерес, движение в магнитном поле электрически заряженной частицы (такой как электрон или ион в плазме) можно рассматривать как суперпозицию относительно быстрого кругового движения вокруг точки, называемой направляющим центром , и относительно медленного дрейфа этого точка. Скорости дрейфа могут различаться для разных видов в зависимости от их зарядового состояния, массы или температуры, что может привести к электрическим токам или химическому разделению.

  Значение силы Лоренца

  В то время как современные уравнения Максвелла описывают, как электрически заряженные частицы и токи или движущиеся заряженные частицы вызывают электрические и магнитные поля, закон силы Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд q в присутствии электромагнитного поля. поля. Закон силы Лоренца описывает влияние E и B на точечный заряд, но такие электромагнитные силы не являются всей картиной.Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, особенно с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не стоят отдельно от других физических законов, но связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца – это один из аспектов; генерация E и B токами и зарядами – другое.

  В реальных материалах сила Лоренца неадекватна для описания коллективного поведения заряженных частиц как в принципе, так и с точки зрения вычислений.Заряженные частицы в материальной среде не только реагируют на поля E и B , но и генерируют эти поля. Для определения временной и пространственной реакции зарядов необходимо решить сложные уравнения переноса, например, уравнение Больцмана, уравнение Фоккера – Планка или уравнения Навье – Стокса. Например, см. Магнитогидродинамику, гидродинамику, электрогидродинамику, сверхпроводимость, звездную эволюцию. Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов.См., Например, отношения Грина – Кубо и функцию Грина (теория многих тел).

  Сила на токоведущем проводе

  Правило правой руки для токоведущего провода в магнитном поле B

  Когда провод, по которому проходит электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, составляющих ток, испытывает силу Лоренца, и вместе они могут создать на проволоке макроскопическую силу (иногда называемую силой Лапласа ).Комбинируя приведенный выше закон силы Лоренца с определением электрического тока, в случае прямого неподвижного провода получается следующее уравнение:

  где ℓ – вектор, величина которого равна длине провода, а направление вдоль провода совпадает с направлением обычного тока заряда I .

  Если провод не прямой, а изогнутый, силу, действующую на него, можно вычислить, применив эту формулу к каждому бесконечно малому сегменту провода d ℓ , а затем сложив все эти силы путем интегрирования.Формально результирующая сила на неподвижном жестком проводе, по которому течет установившийся ток I , равна

  Это чистая сила. Кроме того, обычно возникает крутящий момент и другие эффекты, если проволока не совсем жесткая.

  Одним из применений этого закона является силовой закон Ампера, который описывает, как два токоведущих провода могут притягиваться или отталкиваться друг от друга, поскольку каждый из них испытывает силу Лоренца от магнитного поля другого. Подробнее читайте в статье: Закон силы Ампера.

  EMF

  Магнитная сила ( q v × B ), составляющая силы Лоренца, отвечает за двигательной электродвижущей силы (или двигательной ЭДС ), явления, лежащего в основе многих электрических генераторов. Когда проводник перемещается через магнитное поле, магнитное поле оказывает противоположные силы на электроны и ядра в проводе, и это создает ЭДС. Термин «подвижная ЭДС» применяется к этому явлению, поскольку ЭДС возникает из-за движения провода на .

  В других электрических генераторах магниты движутся, а проводники – нет. В этом случае ЭДС возникает из-за члена электрической силы ( q E ) в уравнении силы Лоренца. Рассматриваемое электрическое поле создается изменяющимся магнитным полем, что приводит к индуцированной ЭДС, как описано уравнением Максвелла – Фарадея (одно из четырех современных уравнений Максвелла).

  Обе эти ЭДС, несмотря на их явно различное происхождение, описываются одним и тем же уравнением, а именно, ЭДС – это скорость изменения магнитного потока через провод.(Это закон индукции Фарадея, см. Ниже.) Специальная теория относительности Эйнштейна была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами. Фактически, электрическое и магнитное поля представляют собой разные грани одного и того же электромагнитного поля, и при переходе от одной инерциальной системы координат к другой часть соленоидального векторного поля поля E может полностью или частично измениться до B -поле или наоборот .

  Сила Лоренца и закон индукции Фарадея

  Сила Лоренца – изображение на стене в Лейдене

  Основные статьи: Закон индукции Фарадея

  Учитывая петлю из провода в магнитном поле, закон индукции Фарадея утверждает, что наведенная электродвижущая сила (ЭДС) в проводе равна:

  где

  – магнитный поток через петлю, B – магнитное поле, Σ ( t ) – поверхность, ограниченная замкнутым контуром ∂Σ ( t ), в момент времени t , d A – это бесконечно малый элемент площади вектора Σ ( t ) (величина – это площадь бесконечно малого участка поверхности, направление ортогонально этому участку поверхности).

  Знак ЭДС определяется законом Ленца. Обратите внимание, что это верно не только для неподвижного провода , но также и для подвижного провода .

  Из закона индукции Фарадея (который справедлив для движущегося провода, например, в двигателе) и уравнений Максвелла можно вывести силу Лоренца. Верно и обратное: силу Лоренца и уравнения Максвелла можно использовать для вывода закона Фарадея.

  Пусть Σ ( t ) будет движущейся проволокой, движущейся вместе без вращения и с постоянной скоростью v , а Σ ( t ) будет внутренней поверхностью проволоки.ЭДС вокруг замкнутого пути ∂Σ ( t ) определяется выражением:

  где

  – электрическое поле, а d ℓ – бесконечно малый элемент вектора контура ∂Σ ( t ).

  Примечание: как d ℓ , так и d A имеют неоднозначность знака; чтобы получить правильный знак, используется правило правой руки, как описано в статье теорема Кельвина – Стокса.

  Приведенный выше результат можно сравнить с версией закона индукции Фарадея, которая появляется в современных уравнениях Максвелла, называемой здесь уравнением Максвелла – Фарадея :

  Уравнение Максвелла – Фарадея также может быть записано в интегральной форме с использованием теоремы Кельвина – Стокса.

  Итак, мы имеем уравнение Максвелла Фарадея:

  и закон Фарадея,

  Эти два эквивалента эквивалентны, если провод не движется. Используя интегральное правило Лейбница и div B = 0, получаем,

  и используя уравнение Максвелла Фарадея,

  , поскольку это действительно для любого положения провода, это означает, что,

  Закон индукции Фарадея действует независимо от того, является ли проволочная петля жесткой и неподвижной, в движении или в процессе деформации, а также независимо от того, является ли магнитное поле постоянным во времени или изменяющимся.Однако бывают случаи, когда закон Фарадея либо неадекватен, либо его трудно использовать, и необходимо применение основного закона силы Лоренца. Смотрите неприменимость закона Фарадея.

  Если магнитное поле фиксировано во времени и проводящая петля движется через поле, магнитный поток Φ _B , соединяющий петлю, может изменяться несколькими способами. Например, если поле B меняется в зависимости от положения, а петля перемещается в место с другим полем B , Φ _B изменится.В качестве альтернативы, если контур меняет ориентацию по отношению к полю B , дифференциальный элемент B ⋅ d A изменится из-за разного угла между B и d A , а также изменится Φ _В . В качестве третьего примера, если часть схемы проходит через однородное, не зависящее от времени поле B , а другая часть схемы остается неподвижной, магнитный поток, связывающий всю замкнутую цепь, может измениться из-за сдвига в взаимное расположение составных частей схемы во времени (поверхность ∂Σ ( t ), зависящая от времени).Во всех трех случаях закон индукции Фарадея затем предсказывает ЭДС, создаваемую изменением Φ _B .

  Обратите внимание, что уравнение Максвелла Фарадея подразумевает, что электрическое поле E неконсервативно, когда магнитное поле B изменяется во времени, и не может быть выражено как градиент скалярного поля и не подчиняется градиентной теореме, поскольку его вращение не равно нулю.

  Сила Лоренца в потенциалах

  См. Также: Математические описания электромагнитного поля, уравнения Максвелла, разложение Гельмгольца

  Поля E и B могут быть заменены векторным магнитным потенциалом A и (скалярным) электростатическим потенциалом ϕ на

  где ∇ – градиент, ∇⋅ – дивергенция, ∇ × – изгиб.

  Сила становится

  Используя идентификатор для тройного продукта, его можно переписать как,

  (Обратите внимание, что координаты и компоненты скорости должны рассматриваться как независимые переменные, поэтому оператор del действует только на, а не на; таким образом, нет необходимости использовать обозначение индекса Фейнмана в приведенном выше уравнении). Используя цепное правило, общая производная от:

  , чтобы приведенное выше выражение выглядело следующим образом:

  .

  При v = ẋ уравнение можно записать в удобную форму Эйлера – Лагранжа

  где

  и

  .

  Сила Лоренца и аналитическая механика

  См. Также: Импульс # лагранжева и гамильтонова формулировка

  Лагранжиан для заряженной частицы массой м и зарядом q в электромагнитном поле эквивалентно описывает динамику частицы с точки зрения ее энергии , скорее чем сила, приложенная к нему.Классическое выражение выражается следующим образом:

  где A и ϕ – потенциальные поля, как указано выше. Величину можно представить как потенциальную функцию, зависящую от скорости. Используя уравнения Лагранжа, можно снова получить уравнение для силы Лоренца, приведенное выше.

  Потенциальная энергия зависит от скорости частицы, поэтому сила зависит от скорости, поэтому она не является консервативной.

  Релятивистский лагранжиан

  Действие – это релятивистская длина дуги пути частицы в пространстве-времени, минус вклад потенциальной энергии, плюс дополнительный вклад, который квантово-механически является дополнительной фазой, которую получает заряженная частица, когда она движется вдоль векторного потенциала. .

  Релятивистская форма силы Лоренца

  Ковариантная форма силы Лоренца

  Тензор поля

  Основные статьи: Ковариантная формулировка классического электромагнетизма, Математические описания электромагнитного поля

  Используя метрическую сигнатуру (1, −1, −1, −1), сила Лоренца для заряда q может быть записана в ковариантная форма:

  где p ^α – четырехмерный импульс, определяемый как

  τ собственное время частицы, F ^αβ контравариантный электромагнитный тензор

  и U – ковариантная 4-скорость частицы, определяемая как:

  в котором

  – коэффициент Лоренца.

  Поля преобразуются в рамку, движущуюся с постоянной относительной скоростью, посредством:

  где Λ ^μ _α – тензор преобразования Лоренца.

  Перевод в векторные обозначения

  α = 1 компонент ( x -компонент) силы равен

  Подставляя компоненты ковариантного электромагнитного тензора F , получаем

  Использование компонентов ковариантных четырехскоростных выходов

  Расчет для α = 2, 3 (компоненты силы в направлениях y и z ) дает аналогичные результаты, поэтому объединение 3 уравнений в одно:

  , и поскольку разности координатного времени dt и собственного времени dτ связаны коэффициентом Лоренца,

  таким образом мы приходим к

  Это в точности закон силы Лоренца, однако важно отметить, что p является релятивистским выражением,

  Сила Лоренца в алгебре пространства-времени (STA)

  Электрическое и магнитное поля зависят от скорости наблюдателя, поэтому релятивистская форма закона силы Лоренца лучше всего может быть продемонстрирована, исходя из не зависящего от координат выражения для электромагнитного и магнитного полей и произвольного направления времени,.Это может быть решено с помощью алгебры пространства-времени (или геометрической алгебры пространства-времени), типа алгебры Клиффорда, определенной в псевдоевклидовом пространстве, как

  и

  – это бивектор пространства-времени (сегмент ориентированной плоскости, точно так же, как вектор является сегментом ориентированной линии), который имеет шесть степеней свободы, соответствующих ускорениям (вращениям в плоскостях пространства-времени) и вращениям (вращениям в плоскостях пространства-времени). космические самолеты). Скалярное произведение с вектором вытягивает вектор (в пространственной алгебре) из трансляционной части, в то время как произведение клина создает тривектор (в пространственной алгебре), который дуален вектору, который является обычным вектором магнитного поля.Релятивистская скорость задается (временными) изменениями вектора времени-положения, где

  (который показывает наш выбор для метрики), а скорость

  Правильная (инвариант – неадекватный термин, потому что преобразование не было определено) форма закона силы Лоренца просто

  Обратите внимание, что порядок важен, потому что между бивектором и вектором скалярное произведение антисимметрично.При таком разделении пространства-времени можно получить скорость и поля, как указано выше, что дает обычное выражение.

  Сила Лоренца в общей теории относительности

  В общей теории относительности уравнение движения частицы с массой и зарядом, движущейся в пространстве с метрическим тензором и электромагнитным полем, задается как

  где (берется по траектории),, и.

  Уравнение также можно записать в виде

  где – символ Кристоффеля (метрической связности без кручения в общей теории относительности), или как

  где – ковариантный дифференциал в общей теории относительности (метрический, без кручения).

  Приложения

  Сила Лоренца присутствует во многих устройствах, в том числе:

  В своем проявлении как сила Лапласа, действующая на электрический ток в проводнике, эта сила возникает во многих устройствах, включая:

  См. Также

  Список литературы

  На этой странице используется контент, который, хотя изначально был импортирован из Википедии, , статья Lorentz force , возможно, была очень сильно изменена, возможно, даже до такой степени, что она полностью не соответствовала исходной статье в Википедии. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт