Содержание

Нова Лiнiя — Новости

Если у вас есть опыт работы с электрикой, люстру можно повесить самостоятельно.

Для работы потребуются стремянка, отвертка-индикатор, пассатижи, отвертка с тонким жалом, кусачки и монтажный блок с зажимами для проводов. Если в комнате недостаточно естественного освещения, при работе можно воспользоваться фонариком, работающим от батареек.

1. Подготовка крюка
Заранее подготовленный крючок, на который будет подвешиваться люстра, проверяется на прочность. Затем крюк изолируют двумя слоями изоленты.

ВАЖНО!!!
 —  установка любых осветительных приборов производится в соответствии с инструкцией производителя этих приборов.Такая инструкция, как правило, прилагается к светильнику;
 — если конструкция устройства предполагает заземление, оно должно быть обязательно подключено.

2. Подготовка проводов
Выключается автоматический выключатель (в счетчике), расположенный на лестничной площадке.

Отсутствие напряжения в сети проверяется индикаторной отверткой. На потолке отыскиваются три конца провода: один из них «нуль», другие два  – фазные. Следует знать, что «нуль» направляется в монтажную коробку, а фазные выводятся на выключатель. Со всех трех проводов на потолке снимается изоляция. Проводки разводятся в разные стороны так, чтобы не замыкались.
 
ВАЖНО!!!
  — чтобы убедиться, что напряжения в сети нет, включите свет в той комнате, где собираетесь вешать люстру; 
  — снимая изоляцию с проводков, помните, что длина кончика оголенного провода должна быть около 3-4 мм.

3. Определение фаз потолочных проводов
Чтобы определить, какие из проводов «нуль», а какие фазные, нужно снова включить электричество и выключатель в комнате. До каждого из проводов надо по очереди дотронуться индикаторной отверткой. Если индикатор загорается, значит, провод — фаза, если не загорается, значит это — «нуль». Определив «нуль», желательно пометить его изоляцией, чтобы не забыть.

ВАЖНО!!!
По новым правилам устройства электроустановок провода по всей длине должны иметь цветную маркировку:
Черный/коричневый — фаза
Синий — нуль
Желтый/зеленый — защитное заземление

4. Определение фаз проводов люстры
У люстры так же должна быть маркировка проводов. Если маркировки нет, необходимо определить «нуль» и фазы у люстры, три провода которой проложены в трубках устройства и выведены на клемную коробку. Именно через нее светильник будет подключаться к электропроводке. Коробка обычно «спрятана» под декоративным патроном светильника. Поочередно  включаются в розетку два любых провода люстры, до третьего при этом дотрагиваться не надо. Когда загорится одна половина ламп, запоминаем провода, которые были включены в розетку. После чего один из них оставляем в розетке, а другой меняем местами с неподключенным: должна загореться другая половина ламп. Если эти лампы не загорелись, снова меняем провода. В результате манипуляций должно получиться так, чтобы один провод всегда был в розетке, а два других провода, поочередно включаясь в сеть, зажигали «свои» ряды ламп.

Тот провод, который при этих действиях все время остается в розетке, как раз и является «нулевым».
 
ВАЖНО!!!
  — подсоединение к сети производится только при обесточенных проводах!

5. Установка и подсоединение люстры
Люстра аккуратно вешается на крюк. «Нулевой» провод на потолке соединяется с «нулевым» на люстре. Фазные провода с потолка и из лампы тоже соединяются друг с другом.

ВАЖНО!!!
 —  скручивать друг с другом медный и алюминиевый провод нельзя! Два этих металла образуют электронную пару, способствующую разрушению контакта. В качестве соединителя медного провода с алюминиевым необходимо использоватьспециальную колодку, которая прикручивает провода винтами через втулку.

— если вам не нравится, что выключатель зажигает сначала основное освещение люстры, а потом малое, достаточно поменять местами фазные концы на выключателе или на люстре.

6. Проверка работы
Перед тем как завинтить защитно-декоративный колпачок у основания люстры, следует проверить качество своей работы.   Люстра должна нормально включаться и не искрить. Колпак завинчивается — значит, люстра установлена!

 

Как определить фазу и ноль вообще без приборов, три рабочих варианта | Энергофиксик

Итак, давайте представим следующий момент, вам необходимо срочно заменить розетку в доме и вы понятия не имеете, где фазный, а где нулевой провод (а это очень важно для работы некоторого оборудования). При этом данное положение усугублено тем, что у вас нет ни цешки ни индикатора. Что же делать, неужели нет выхода из этой патовой ситуации? Я знаю целых три рабочих выхода и про них сейчас расскажу.

Первый вариант – Визуальное определение

Этот способ является самым простым. Ведь, как известно, в энергетике существует стандартная маркировка и грамотный электромонтер обязан ей строго следовать. Вот в этой схеме приведены все возможные варианты исполнения проводов

Из вышеприведенного рисунка видно, что нулевой провод имеет синий цвет, земля обозначается желто-зененым цветом, а остальные цвета отданы на откуп фазе. Но как показала практика, не так много специалистов действительно строго следуют этому правилу, поэтому даже если по цвету вы видите фазный провод, то он вполне может оказаться и нулевым.

Второй вариант – Использование контрольной лампы

Как это ни звучит странно в век всевозможных гаджетов тестеров и мультиметров, контролька живее всех живых и сделать ее дома можно буквально за 15 минут. Для этого нам понадобится патрон, два куска провода длинной в полметра и сама лампочка.

Провода присоединяем к патрону (с другой стороны провода так же зачищаем от изоляции), вкручиваем лампочку и все наша контролька готова. Теперь нам нужно найти землю. Оголенная до металлического блеска труба отопления, вполне подойдет для этих целей. Второй конец контрольной лампы прислоняем к оголенным проводам или вставляем в гнездо розетки. Если лампочка загорелась, то эта жила является фазой. Если лампа не горит, то этот провод является нулевым.

Будьте очень аккуратны при использовании такого способа, так как вы будете иметь дело с оголенными проводами, находящимися под напряжением.

Этот способ (с использованием трубы отопления в качестве земли) категорически запрещено использовать в многоквартирных домах. Так как вы подаете напряжение 220 В на трубы, а их могут коснуться другие жильцы.

Третий вариант – Используем сырую картошку

Я понимаю вашу скептическую улыбку, но этот метод реально работает. Вам потребуется: сырая картофелина, две жилы длинной по полметра и сопротивление на 1 Мом. Схема подключения будет такова: берем жилу и сажаем на заземляющую шину, а другую жилу втыкаем в половинку картофелины. Теперь берем второй провод и втыкаем оный в ту же картошку рядом от первого проводника, второй же конец этого провода (обязательно через резистор) вставляем в гнездо розетки или прислоняем к оголенному проводу. Теперь важно подождать как минимум 10 минут.

После этого отключаем нашу систему, если картошка оказалась полностью чистой, то это нулевой провод. Если же на ней образовался зеленоватый налет, то это фаза

Вот мы и рассмотрели три самых популярных и самое главное рабочих способов определения фазы и нуля без каких либо специальным приборов.

Спасибо за внимание.

Уважаемый Читатель, моя статья оказалась полезна и интересна?! Тогда обязательно ставь палец вверх, подписывайся на мой канал ЭНЕРГОФИКСИК и делись статьей в соц. сетях. Мне очень важно чувствовать вашу поддержку. Ведь она позволит создавать еще больше качественных материалов. Если у Вас есть вопросы или предложения, то вот моя почта: [email protected]

Фаза колебаний – Класс!ная физика

Фаза колебаний

Подробности
Просмотров: 805

Фаза колебаний (φ)

характеризует гармонические колебания.
Выражается фаза в угловых единицах — радианах.

При заданной амплитуде колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом косинуса или синуса: φ = ω0t.

Фаза колебаний определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы (значение координаты, скорости и ускоренияв) любой момент времени.

Колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут различаться фазами.


Отношение указывает, сколько периодов прошло от момента начала колебаний.

График зависимости координаты колеблющейся точки от фазы.


Гармонические колебания можно представить как с помощью функции синуса, так и косинуса, т.к.
синус отличается от косинуса сдвигом аргумента на .


Поэтому вместо формулы

х = хm cos ω0t

можно для описания гармонических колебаний использовать формулу


Но при этом начальная фаза, т. е. значение фазы в момент времени t = 0, равна не нулю, а .
В разных ситуациях удобно использовать синус или косинус.

Какой формулой пользоваться при расчетах?

1. Если в начале колебаний выводят маятник из положения равновесия, то удобнее пользоваться формулой с применением косинуса.
2. Если координата тела в начальный момент была бы равна нулю, то удобнее пользоваться формулой с применением синуса х = хm sin ω0t, т.к. при этом начальная фаза равна нулю.
3. Если в начальный момент времени (при t — 0) фаза колебаний равна φ, то уравнение колебаний можно записать в виде х = хm sin (ω0t + φ)

.

Сдвиг фаз

Колебания, описываемые формулами через синус и косинус, отличаются друг от друга только фазами.
Разность фаз (или сдвиг фаз) этих колебаний составляет .
Графики зависимости координат от времени для двух гармонических колебаний, сдвинутых по фазе на :
где
график 1 – колебания, совершающиеся по синусоидальному закону,
график 2 — колебания, совершающиеся по закону косинуса.



Для определения разности фаз двух колебаний надо колеблющиеся величины выразить через одну и ту же тригонометрическую функцию — косинус или синус.

Источник: «Физика – 11 класс», учебник Мякишев, Буховцев, Чаругин



Механические колебания. Физика, учебник для 11 класса – Класс!ная физика

Свободные, затухающие и вынужденные колебания — Условия возникновения свободных колебаний. Математический маятник — Динамика колебательного движения. Уравнение движения маятника — Гармонические колебания — Фаза колебаний — Превращение энергии при гармонических колебаниях — Вынужденные колебания. Резонанс — Примеры решения задач — Краткие итоги главы

Как измерить базальную температуру, чтобы определить овуляцию? Практический гайд

Проверено экспертом

Измерять базальную температуру тела (БТТ) и отслеживать овуляцию по температурному графику не всегда просто. Расскажем, как правильно это делать, чтобы забеременеть быстрее.

Амплитуда, период, фазовый сдвиг и частота

Некоторые функции (например, синус и косинус) повторяются вечно
и называются периодическими функциями .

Период переходит от одного пика к следующему (или от любой точки до следующей точки совпадения):

Амплитуда – это высота от центральной линии до пика (или до впадины). Или мы можем измерить высоту от самой высокой до самой низкой точки и разделить ее на 2.

Phase Shift показывает, насколько функция сдвинута на горизонтально на от обычного положения.

Вертикальный сдвиг показывает, насколько функция сдвинута на вертикально на от обычного положения.

Теперь все вместе!

Мы можем получить все в одном уравнении:

y = грех (B (x + C)) + D

  • амплитуда А
  • период 2π / B
  • фазовый сдвиг C (положительный – слева )
  • вертикальное смещение D

А вот как это выглядит на графике:

Обратите внимание, что здесь мы используем радианы, а не градусы, а полный оборот равен 2π радианам.

Пример: sin (x)

Это основная неизмененная формула синуса. A = 1, B = 1, C = 0 и D = 0

Итак, амплитуда 1 , период , нет сдвига фазы или вертикального сдвига:

Пример: 2 sin (4 (x – 0,5)) + 3

  • амплитуда A = 2
  • период 2π / B = 2π / 4 = π / 2
  • фазовый сдвиг = -0. 5 (или 0,5 вправо)
  • вертикальный сдвиг D = 3

Прописью:

  • 2 говорит нам, что он будет в 2 раза выше, чем обычно, поэтому Amplitude = 2
  • , обычный период – 2 π , но в нашем случае он «ускорен» (сокращен) на 4 в 4 раза, поэтому Период = π / 2
  • и −0,5 означает, что он будет сдвинут на вправо на 0.5
  • , наконец, +3 говорит нам, что центральная линия y = +3, поэтому вертикальный сдвиг = 3

Вместо x мы можем иметь t (для времени) или, возможно, другие переменные:

Пример: 3 sin (100t + 1)

Сначала нам нужны скобки вокруг (t + 1), поэтому мы можем начать с деления 1 на 100:

3 sin (100t + 1) = 3 sin (100 (t + 0,01))

Теперь мы видим:

  • амплитуда А = 3
  • Период
  • равен 2π / 100 = 0. 02 π
  • фазовый сдвиг C = 0,01 (влево)
  • вертикальный сдвиг D = 0

И получаем:

Частота

Частота – это то, как часто что-то происходит в единицу времени (на «1»).

Пример: Здесь синусоидальная функция повторяется 4 раза от 0 до 1:

Таким образом, частота равна 4

И период 1 4

Фактически Период и Частота связаны:

Частота = 1 Период

Период = 1 Частота

Пример из предыдущего: 3 sin (100 (t + 0.01))

Период 0,02 π

Итак, частота 1 0,02π знак равно 50 π

Еще несколько примеров:

Период Частота
1 10 10
1 4 4
1 1
5 1 5
100 1 100

При частоте в секунду называется «Герц».

Пример: 50 Гц означает 50 раз в секунду


Чем быстрее он отскакивает, тем больше у него “Герц”!

Анимация

../algebra/images/wave-sine.js

7784,7785,7788,7789,9863,7793,7794,7795,7796,7792

Найдите фазовый сдвиг функции синуса или косинуса

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в качестве ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса – изображению, ссылке, тексту и т. д. – относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Дифференциальные уравнения – Фазовая плоскость

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с “узкой” шириной экрана ( i. е. , вероятно, вы пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 5-6: Фазовая плоскость

Прежде чем приступить к фактическому решению систем дифференциальных уравнений, есть одна тема, на которую нам нужно обратить внимание.Это тема, которую не всегда преподают на занятиях по дифференциальным уравнениям, но если вы изучаете курс, в котором она преподается, мы должны охватить ее, чтобы вы были к ней подготовлены.

Начнем с общей однородной системы,

\ [\ begin {уравнение} \ vec x ‘= A \ vec x \ label {eq: eq1} \ end {уравнение} \]

Обратите внимание, что

\ [\ vec x = \ vec 0 \]

– это решение системы дифференциальных уравнений. Мы хотели бы спросить, приближаются ли другие решения системы к этому решению по мере увеличения \ (t \) или они отходят от этого решения? Мы сделали нечто подобное, когда классифицировали равновесные решения в предыдущем разделе.Фактически, то, что мы здесь делаем, является просто расширением этой идеи на системы дифференциальных уравнений.

Решение \ (\ vec x = \ vec 0 \) называется равновесным решением для системы. Как и в случае с одним дифференциальным уравнением, равновесными решениями являются те решения, для которых

\ [A \ vec x = \ vec 0 \]

Мы собираемся предположить, что \ (A \) – невырожденная матрица и, следовательно, будет иметь только одно решение,

\ [\ vec x = \ vec 0 \]

и поэтому у нас будет только одно равновесное решение.

Возвращаясь к случаю одного дифференциального уравнения, вспомните, что мы начали с выбора значений \ (y \) и включения их в функцию \ (f (y) \) для определения значений \ (y ‘\). Затем мы использовали эти значения, чтобы нарисовать касательные к решению при этом конкретном значении \ (y \). Исходя из этого, мы могли бы набросать некоторые решения и использовать эту информацию для классификации равновесных решений.

Мы собираемся сделать что-то похожее здесь, но оно также будет немного другим.Во-первых, мы собираемся ограничиться случаем \ (2 \ times 2 \). Итак, мы рассмотрим системы вида

\ [\ begin {array} {* {20} {c}} \ begin {align *} {{x ‘} _ 1} & = a {x_1} + b {x_2} \\ {{x’} _ 2} & = c {x_1} + d {x_2} \ end {align *} & {\ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ vec x ‘= \ left ({\ begin { array} {* {20} {c}} a & b \\ c & d \ end {array}} \ right) \ vec x} \ end {array} \]

Решения для этой системы будут иметь вид

\ [\ vec x = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} {{x_1} \ left (t \ right)} \\ {{x_2} \ left (t \ right)} \ end {array}} \ right) \]

и наше единственное равновесное решение будет

\ [\ vec x = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 0 \\ 0 \ end {array}} \ right) \]

В случае одного дифференциального уравнения мы смогли набросать решение \ (y (t) \) в плоскости y-t и увидеть фактические решения. Однако в данном случае это было бы несколько сложно, поскольку наши решения на самом деле являются векторами. Мы собираемся представить решения системы как точки на плоскости \ ({x_1} \, {x_2} \) и построить эти точки. Наше равновесное решение будет соответствовать началу координат \ ({x_1} \, {x_2} \). плоскость, а плоскость \ ({x_1} \, {x_2} \) называется фазовой плоскостью .

Чтобы набросать решение на фазовой плоскости, мы можем выбрать значения \ (t \) и вставить их в решение.Это дает нам точку на \ ({x_1} \, {x_2} \) или фазовой плоскости, которую мы можем построить. Выполнение этого для многих значений \ (t \) даст нам набросок того, что решение будет делать на фазовой плоскости. Набросок конкретного решения на фазовой плоскости называется траекторией решения. После того, как мы набросали траекторию решения, мы можем спросить, приближается ли решение к равновесному при увеличении \ (t \).

Мы хотели бы иметь возможность рисовать траектории, не имея реальных решений.Есть несколько способов сделать это. Мы рассмотрим один из них здесь, а другой – в следующих нескольких разделах.

Один из способов получить набросок траекторий – это сделать что-то похожее на то, что мы сделали в первый раз, когда рассматривали равновесные решения. Мы можем выбрать значения \ (\ vec x \) (обратите внимание, что это будут точки на фазовой плоскости) и вычислить \ (A \ vec x \). Это даст вектор, который представляет \ (\ vec x ‘\) в этом конкретном решении. Как и в случае с одним дифференциальным уравнением, этот вектор будет касаться траектории в этой точке.Мы можем нарисовать связку касательных векторов, а затем нарисовать траектории.

Это довольно трудоемкий способ сделать это, и это не способ делать их в целом. Однако это способ получить траектории без каких-либо решений. Все, что нам нужно, это система дифференциальных уравнений. Давайте быстро рассмотрим пример.

Пример 1 Нарисуйте некоторые траектории системы, \ [\ begin {array} {* {20} {c}} \ begin {align *} {{x ‘} _ 1} & = {x_1} + 2 {x_2} \\ {{x’} _ 2} & = 3 {x_1} + 2 {x_2} \ end {align *} & {\ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ vec x ‘= \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 \\ 3 & 2 \ end {array}} \ right) \ vec x} \ конец {массив} \] Показать решение

Итак, что нам нужно сделать, это выбрать несколько точек на фазовой плоскости, подключить их к правой стороне системы. Сделаем это для пары точек.

\ [\ begin {align *} \ vec x & = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} {- 1} \\ 1 \ end {array}} \ right) & \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ vec x ‘& = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 \\ 3 & 2 \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin { массив} {* {20} {c}} {- 1} \\ 1 \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 1 \\ { – 1} \ end {array}} \ right) \\ \ vec x & = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 2 \\ 0 \ end {array}} \ right) & \ Rightarrow \ hspace {0.25 дюймов} \ vec x ‘& = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 \\ 3 & 2 \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 2 \\ 0 \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 2 \\ 6 \ end {array}} \ справа) \ hspace {0,25 дюйма} \\ \ vec x & = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} {- 3} \\ {- 2} \ end {array}} \ right) & \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма } \ vec x ‘& = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} 1 & 2 \\ 3 & 2 \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {* { 20} {c}} {- 3} \\ {- 2} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {* {20} {c}} {- 7} \\ {- 13} \ end {array}} \ right) \ hspace {0.25 дюймов} \ end {align *} \]

Итак, что это нам говорит? В точке \ (\ left ({- 1,1} \ right) \) на фазовой плоскости будет вектор, указывающий в направлении \ (\ left \ langle {1, – 1} \ right \ rangle \ ). В точке \ (\ left ({2,0} \ right) \) будет вектор, указывающий в направлении \ (\ left \ langle {2,6} \ right \ rangle \). В точке \ (\ left ({- 3, – 2} \ right) \) будет вектор, указывающий в направлении \ (\ left \ langle {- 7, – 13} \ right \ rangle \).

Выполнение этого для большого количества точек на фазовой плоскости даст следующий набросок векторов.

Теперь все, что нам нужно сделать, это набросать несколько траекторий. Для этого все, что нам нужно сделать, это помнить, что векторы на скетче выше касаются траекторий. Кроме того, направление векторов задает направление траектории при увеличении \ (t \), поэтому мы можем показать зависимость решения от времени, добавив стрелки к траекториям.

Это дает следующий набросок.

Этот эскиз называется фазовым портретом . Обычно фазовые портреты включают только траектории решений, а не векторы. Все наши фазовые портреты от этой точки будут включать только траектории.

В этом случае похоже, что большинство решений начинаются с равновесного решения, а затем, когда \ (t \) начинает увеличиваться, они продвигаются к равновесному раствору, а затем в конечном итоге снова начинают удаляться от равновесного решения.

Кажется, есть четыре решения, которые немного различаются по поведению. Похоже, что два решения начнутся с (или, по крайней мере, около) равновесного раствора, а затем будут двигаться прямо от него, в то время как два других решения начнутся от равновесного решения, а затем будут двигаться прямо к равновесному раствору.

В таких случаях мы называем точку равновесия седловой точкой , а точку равновесия в этом случае неустойчивой , поскольку все решения, кроме двух, удаляются от нее по мере увеличения \ (t \).

Как мы отметили ранее, мы обычно не будем рисовать траектории таким способом. Все, что нам действительно нужно для получения траекторий, – это собственные значения и собственные векторы матрицы \ (A \). Мы увидим, как это сделать, в следующих двух разделах по мере решения систем.

Вот еще несколько фазовых портретов, чтобы вы могли увидеть еще несколько возможных примеров. На самом деле мы создадим несколько из них в течение следующих нескольких разделов.

Здесь показаны не все возможные фазовые портреты. Они здесь, чтобы показать вам некоторые возможности. Обязательно обратите внимание на то, что несколько видов могут быть асимптотически устойчивыми или нестабильными в зависимости от направления стрелок.

Обратите внимание на разницу между стабильным и асимптотически стабильным . В асимптотически устойчивом узле или спирали все траектории будут двигаться к точке равновесия по мере увеличения t , тогда как центральная (которая всегда устойчива) траектория будет просто перемещаться вокруг точки равновесия, но на самом деле никогда не приближается к ней.

Фазовый угол

– обзор

1 Высокочувствительный емкостный метод определения накопления заряда в RT-диодах

Структуры AlGaAs / GaAs, используемые для исследований емкости, были аналогичны тем, которые обсуждались в предыдущем разделе. Барьеры из AlAs имели толщину 30 Å, а лунки 380 Å менялись от x = 0 в центре до x = 0,3 по краям. Характеристика I В выявляет четыре резонанса в диапазоне смещения 0 V ≤ V ≤ 0.5 В. Самый низкий резонанс, т.е. для туннелирования электронов в основное состояние параболической ямы, называется резонансом n = 0.

Измерение зависимости емкости от напряжения при 4,2 К RT-структуры с параболической ямой показано на рис. 5a. Кривая емкости имеет четкую характеристику при напряжениях, которые соответствуют резонансу n = 1 и n = 2. Особенно при резонансе n = 2 наблюдается сильный пик емкости.Это результат накопления заряда в скважине во время RT. Это накопление максимально на пиках характеристики I V . Подробные исследования ясно показывают, что пик на кривой C V при 0,34 В происходит перед пиком характеристик I V в области положительной дифференциальной проводимости.

Рис. 4. Схематическое изображение диаграммы зоны проводимости резонансной туннельной структуры с параболической ямой.Два процесса туннелирования, упругий (сохранение энергии) и неупругий (релаксация энергии электрона в яме) показаны стрелками.

Рис. 5. (a) Вольт-фарадная характеристика резонансной туннельной структуры с параболической ямой при T = 4,2 К. Плечо и пик наблюдаются при резонансе n = 1 и n = 2 соответственно. , (б) Фазовый угол измерения емкости, измеренной на частоте 10 МГц.

Фазовый угол между током и напряжением во время измерения показан на рис.5б. На вставке показана модель эквивалентной схемы структуры RT (Brown et al. , 1989). Последовательное сопротивление R с получается из измерения импеданса для 100 Гц ≤ f ≤ 15 МГц. R s (см. Рис. 5b) затем получается из наилучшего соответствия между измеренным и расчетным импедансом. Последовательное сопротивление R с определено равным 80 Ом. Вблизи пика характеристики I V , величина (параллельного) двойного барьерного динамического сопротивления, R p , (≡ ( dI / dV ) – 1 ), относительно невелик.Чтобы измерить параллельный конденсатор, C , общий импеданс конструкции должен определяться конденсатором, то есть R с R p и R p ≫ ( ωC p ) – 1 , т. е. когда фазовый угол близок к 90 °. В качестве примера мы оцениваем дифференциальное сопротивление на пике n = 1 и n = 2 и получаем R p = 150 кОм и 20 кОм соответственно.При C = 6 пФ и f = 10 МГц, мы получаем реактивное сопротивление 2600 Ом. При R s = 80 Ом предыдущие неравенства выполняются. * Кроме того, фазовый угол ≈ 90 °, полученный для малых напряжений, показывает, что ток утечки невелик.

Емкость системы определяется как C = d Q / dV , где Q – это заряд, а В – приложенное напряжение. Заряд резонансной туннельной структуры определяется либо положительным зарядом донора на стороне анода, либо отрицательным зарядом накопления на стороне катода плюс отрицательный заряд в яме.Общая емкость тогда определяется как C t = Σ dQ / dV , где Σ dQ – это сумма заряда накопительного слоя и заряда в скважине. Для малых плотностей заряда в скважине (по сравнению с зарядом накопления) общую емкость на единицу площади можно записать как

(1) Ct = dQacdV + dQQWdV≅CacV + ΔCV,

, где Q ac и Q qw – это заряд на единицу площади в слое накопления и квантовой яме, соответственно.Уравнение показывает, что любое небольшое отклонение емкости Δ C ( В ) от емкости C ac ( В ) можно отнести к заряду в колодце. Емкость C, ac ( В, ) – это емкость конструкции при отсутствии накопителя заряда в колодце. Эффекты накопления заряда в скважине наблюдаются на емкостных кривых, когда смещение превышает В 0 (см.рис.6). Дополнительный заряд, накопленный в скважине при увеличении смещения с В 0 до В , может быть получен из уравнения. (1):

Рис. 6. Зависимость емкости от напряжения в окрестности резонанса n = 1 (а) и n = 2 (б). Максимальные плотности заряда составляют 2,2 × 10 8 см –2 и 5,0 × 10 9 см –2 для резонанса n = 1 и n = 2 соответственно.

(2) nwV − nwV0 = ∫V0VΔCdV.

При смещении В 0 заряд в яме относительно мал по сравнению с зарядом в яме на пике резонанса. Обратите внимание, что несоответствие заряда в глубоком резонансе и в резонансе указывается большой разницей в токе при В = В 0 и при напряжении, соответствующем пику. Относительная погрешность определения заряда согласно формуле. Коэффициент (2) оценивается как фактор ≤ 2 и определяется зарядом в скважине при В 0 , т.е.е., n w ( V 0 ). По нашим оценкам, чувствительность метода находится в диапазоне 10 8 см – 2 . Далее мы предполагаем, что n w ( F 0 ) равным нулю.

Измеренная вольт-фарадная кривая резонансно-туннельной структуры в окрестности резонансов представлена ​​на рис. 6а и б для резонанса n = 1 и n = 2 соответственно.Максимальная плотность заряда, как определено по формуле. (2) составляет n w = 2,2 × 10 8 см -2 .

При дальнейшем увеличении напряжения (> 0,2 В) емкость быстро падает, указывая на уменьшение плотности заряда в параболической яме. Колебания емкости довольно симметричны относительно базовой емкости ( C ac ( В )), показанной пунктирной линией на рис. 6a, что указывает на то, что вне резонанса колодец опустошается.

Вольт-фарадная характеристика в окрестности резонанса n = 2 показана на рис. 6б. На токовом резонансе наблюдается четко выраженный пик емкости. Максимальная плотность носителей в лунке получается как n w = 5,0 × 10 9 см – 2 . Плотность заряда примерно в 20 раз больше, чем при резонансе n = 1.

Эволюция плотности носителей при приложенном напряжении показана на рис.7 для резонансов n = 1 и n = 2. Для резонанса n = 1 колодец опорожняется при напряжениях, превышающих резонансное напряжение. Плотность заряда не приближается к нулю для резонанса n = 2. Этот остаточный заряд в скважине обусловлен сохраняющейся большой плотностью тока для напряжений, превышающих пик тока n = 2.

Рис. 7. Измеренная эволюция плотности заряда в зависимости от напряжения в яме для резонанса n = 1 и n = 2.

Процесс туннелирования макроскопически проявляется как ток через структуру. Используя простой аргумент уравнения скорости, установившийся ток RT может быть записан как

(3) j = enwτ,

, где скорость туннелирования электронов из скважины определяется как

(4) 1τn = EnhTn,

, где E n – энергия нижней части n -го поддиапазона, а T n – соответствующая вероятность туннелирования через выходной барьер.

Большая разница между плотностями накопленных зарядов на двух резонансах ( n 2 / n 1 ~ 20) дает прямую информацию о природе процесса туннелирования. Напомним, что когда ширина распределения падающих электронов (т. Е. Квазифермиевская энергия в эмиттере) намного больше, чем ширина резонанса, плотность тока определяется не общим резонансным пропусканием, а пропусканием через барьер эмиттера ( я.е., барьер с меньшей вероятностью передачи), как показали Weil и Vinter (1987). Таким образом, если процесс туннелирования через двойной барьер не включает изменения энергии носителей заряда (рис. 4), туннельный ток будет экспоненциально увеличиваться с увеличением энергии, а время жизни будет экспоненциально уменьшаться. Следовательно, произведение n w = останется почти постоянным, независимо от квантового числа n . Это прямо контрастирует с нашими экспериментами, которые однозначно дают n 2 n 1 .Эти данные должны означать, что электроны неупруго туннелируют через двойной барьер.

Более подробную информацию о процессе релаксации энергии в скважине и динамике туннелирования можно получить, объединив данные плотности тока с измерениями n w . Среднее время жизни в скважине τ может быть определено из измеренной пиковой плотности тока j и плотности заряда n w в скважине, используя уравнение. (3). Поразительным результатом этой оценки является то, что среднее время жизни приблизительно постоянно, независимо от квантового числа n .Фактически, из пика j и n w из n = 1 и n = 2 резонанса ( j 1 = 5,7 × 10 – 3 А / см 2 , j 2 = 6,8 × 10 – 2 А / см 2 , n w, 1 = 2.2 × 10 8 cm – 2 и n w, 2 = 5,0 × 10 9 см – 2 ), получаем τ , = 6,2 нс и τ 2 = 11.8 нс. Два раза τ 1 и τ 2 согласуются с точностью до двух раз. Это несоответствие несущественно и ожидается, учитывая неопределенность (≃ n w ( V 0 )) в определении плотностей заряда и возможное наличие альтернативных путей утечки тока. Этот результат демонстрирует, что скорость ухода не зависит от энергии электронов и является убедительным доказательством того, что электроны туннелируют из самой нижней подзоны после рассеяния и релаксации энергии в яме (рис.4). Это можно просто понять, заметив, что скорость рассеяния τ – 1 ph (~ 10 13 s – 1 ) испусканием оптических фононов (поглощение пренебрежимо мало при температурах наших экспериментов) составляет порядки магнитудой более 1/ τ 1 , 1/ τ 2 .

Интересно отметить, что время туннельного ухода τ из подзоны основного состояния, вычисленное по формуле. (4), на порядок больше, чем экспериментальное τ ’s.Это несоответствие можно понять с точки зрения неизбежной шероховатости интерфейса, присутствующей в слоях, выращенных методом молекулярно-лучевой эпитаксии, как недавно показали Лео и Макдональд (1990).

Определение фазовой диаграммы атомно-тонкослойного антиферромагнетика CrCl3

  • 1.

    Lee, J. U. et al. Магнитное упорядочение типа Изинга в атомарно тонком FePS 3 . Nano Lett. 16 , 7433–7438 (2016).

    CAS Статья Google ученый

  • 2.

    Wang, X. et al. Рамановская спектроскопия атомарно тонких двумерных магнитных кристаллов трисульфида фосфора железа (FePS 3 ). 2D Mater. 3 , 031009 (2016).

    Артикул CAS Google ученый

  • 3.

    Kuo, C.-T. и другие. Эксфолиация и спектроскопия комбинационного рассеяния света многослойного NiP S 3 кристаллов Ван-дер-Ваальса. Sci. Отчет 6 , 20904 (2016).

    CAS Статья Google ученый

  • 4.

    Lin, M.-W. и другие. Ультратонкие нанолисты CrSiTe 3 : полупроводниковый двумерный ферромагнитный материал. J. Mater. Chem. С. 4 , 315–322 (2016).

    CAS Статья Google ученый

  • 5.

    Du, K.-z et al. Слабое ван-дер-ваальсовое наложение, широкодиапазонная запрещенная зона и исследование комбинационного рассеяния ультратонких слоев трихалькогенидов металлического фосфора. ACS Nano 10 , 1738–1743 (2016).

    CAS Статья Google ученый

  • 6.

    Huang, B. et al. Слоистый ферромагнетизм в кристалле Ван-дер-Ваальса вплоть до монослойного предела. Природа 546 , 270–273 (2017).

    CAS Статья Google ученый

  • 7.

    Gong, C. et al. Открытие собственного ферромагнетизма в двумерных кристаллах Ван-дер-Ваальса. Природа 546 , 265–269 (2017).

    CAS Статья Google ученый

  • 8.

    Казарян Д. и др. Туннелирование с помощью магнонов в ван-дерваальсовых гетероструктурах на основе CrBr 3 . Нат. Электрон. 1 , 344–349 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 9.

    Deng, Y. et al. Перестраиваемый затвором ферромагнетизм при комнатной температуре в двумерном Fe 3 GeTe 2 . Nature 563 , 94–99 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 10.

    Fei, Z. et al. Двумерный коллективизированный ферромагнетизм в атомарно тонком Fe 3 GeTe 2 . Нат. Матер. 17 , 778–782 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 11.

    Wang, Z. et al. Туннельные спиновые клапаны на основе Fe 3 GeTe 2 / hBN / Fe 3 GeTe 2 ван-дер-ваальсовых гетероструктур. Nano Lett. 18 , 4303–4308 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 12.

    Wang, Z. et al. Управление магнетизмом электрическим полем в многослойном ван-дерваальсовом ферромагнитном полупроводнике. Нат. Nanotechnol. 13 , 554–559 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 13.

    Bonilla, M. et al. Сильный ферромагнетизм при комнатной температуре в монослоях VSe 2 на ван-дер-ваальсовых подложках. Нат. Nanotechnol. 13 , 289–293 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 14.

    O’Hara, D. J. et al. Собственный ферромагнетизм при комнатной температуре в эпитаксиальных пленках селенида марганца в монослойном пределе. Nano Lett. 18 , 3125–3131 (2018).

    Артикул CAS Google ученый

  • 15.

    Burch, K. S., Мандрус, Д. и Парк, Дж .-Г. Магнетизм в двумерных ван-дер-ваальсовых материалах. Природа 563 , 47–52 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 16.

    Гонг, К. и Чжан, X. Двумерные магнитные кристаллы и возникающие гетероструктуры. Наука 363 , pii: eaav4450 (2019).

    Артикул CAS Google ученый

  • 17.

    Гибертини М., Коперски М., Морпурго А. Ф. и Новоселов К. С. Магнитные 2D-материалы и гетероструктуры. Нат. Nanotechnol. 14 , 408–419 (2019).

    CAS Статья Google ученый

  • 18.

    Klein, D. R. et al. Зондирование магнетизма в двумерных ван-дер-ваальсовых кристаллических изоляторах посредством электронного туннелирования. Наука 360 , 1218–1222 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 19.

    Song, T. et al. Гигантское туннельное магнитосопротивление в гетероструктурах Ван-дер-Ваальса со спин-фильтрами. Наука 360 , 1214–1218 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 20.

    Wang, Z. et al. Очень большое туннельное магнитосопротивление в слоистом магнитном полупроводнике CrI 3 . Нат. Commun. 9 , 2516 (2018).

    Артикул CAS Google ученый

  • 21.

    Kim, H.H. et al. Один миллион процентов туннельного магнитосопротивления в магнитной ван-дер-ваальсовой гетероструктуре. Nano Lett. 18 , 4885–4890 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 22.

    Цзян, С., Шань, Дж. И Мак, К. Ф. Коммутация электрического поля двумерных ван-дер-ваальсовых магнитов. Нат. Матер. 17 , 406–410 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 23.

    Цзян, С., Ли, Л., Ван, З., Мак, К. Ф. и Шан, Дж. Управление магнетизмом в 2D CrI 3 с помощью электростатического легирования. Нат. Nanotechnol. 13 , 549–553 (2018).

    CAS Google ученый

  • 24.

    Huang, B. et al. Электрический контроль двумерного магнетизма в бислое CrI 3 . Нат. Nanotechnol. 13 , 544–548 (2018).

    CAS Статья Google ученый

  • 25.

    Цзян, С., Ли, Л., Ван, З., Шан, Дж. И Мак, К. Ф. Спин-туннельные полевые транзисторы на основе двумерных гетероструктур Ван-дер-Ваальса. Нат. Электрон. 2 , 159–163 (2019).

    Артикул Google ученый

  • 26.

    Song, T. et al. Управление напряжением на магнитном туннельном переходе со спин-фильтром Ван-дер-Ваальса. Nano Lett. 19 , 915–920 (2019).

    Артикул CAS Google ученый

  • 27.

    Стрыевски Э. и Джордано Н. Метамагнетизм. Adv. Phys. 26 , 487–650 (1977).

    CAS Статья Google ученый

  • 28.

    Маджлис, Н. Квантовая теория магнетизма 2-е изд. (World Scientific, 2007).

  • 29.

    Неэль, Louis Propriétés magnétiques de l’état métallique et énergie d’interaction entre atomes magnétiques. Ann. Phys. 11 , 232–279 (1936).

    Артикул Google ученый

  • 30.

    Уббинк, Дж., Пулис, Дж., Герритсен, Х. и Гортер, К. Антиферромагнитный резонанс в хлориде меди. Physica 19 , 928–934 (1953).

    CAS Статья Google ученый

  • 31.

    де Йонг, Л. и Мидема, А. Эксперименты на простых магнитных модельных системах. Adv. Phys. 23 , 1–260 (1974).

    Артикул Google ученый

  • 32.

    Дени Б., Гавиган Дж. П. и Ребуйя Дж. П. Процессы намагничивания, гистерезис и эффекты конечных размеров в модельных многослойных системах с кубической или одноосной анизотропией с антиферромагнитной связью между соседними ферромагнитными слоями. J. Phys. Конденс. Matter 2 , 159–185 (1990).

    Артикул Google ученый

  • 33.

    Нортеманн, Ф. К., Стэмпс, Р. Л., Каррисо, А. С. и Камли, Р. Э. Эффекты конечных размеров на спиновых конфигурациях в антиферромагнитно связанных мультислоях. Phys. Ред. B. 46 , 10847–10853 (1992).

    Артикул Google ученый

  • 34.

    Ван, Р. У., Миллс, Д. Л., Фуллертон, Э. Э., Маттсон, Дж. Э. и Бейдер, С. Д. Поверхностный спин-флоп переход в сверхрешетках Fe / Cr (211): эксперимент и теория. Phys.Rev. Lett. 72 , 920–923 (1994).

    CAS Статья Google ученый

  • 35.

    Рёсслер, У. К. и Богданов, А. Н. Магнитные фазы и переориентационные переходы в антиферромагнитно связанных мультислоях. Phys. Ред. B. 69 , 184420 (2004).

    Артикул CAS Google ученый

  • 36.

    Кейбл, Дж., Уилкинсон, М.И Воллан Э. Нейтронографическое исследование антиферромагнетизма в CrCl 3 . J. Phys. Chem. Твердые тела 19 , 29–34 (1961).

    CAS Статья Google ученый

  • 37.

    Нарат А. Низкотемпературная намагниченность подрешеток антиферромагнетика CrCl 3 . Phys. Ред. 131 , 1929–1942 (1963).

    Артикул Google ученый

  • 38.

    Нарат, А. и Дэвис, Х. Л. Спин-волновой анализ поведения намагниченности подрешетки антиферромагнетика и ферромагнетика CrCl 3 . Phys. Ред. 137 , A163 – A178 (1965).

    Артикул Google ученый

  • 39.

    Кухлов Б. Магнитное упорядочение в CrCl 3 при фазовом переходе. Phys. Статус Solidi 72 , 161–168 (1982).

    CAS Статья Google ученый

  • 40.

    McGuire, M.A. et al. Магнитное поведение и спин-решеточное взаимодействие в расщепляемых ван-дер-ваальсовых слоистых кристаллах CrCl 3 . Phys. Rev. Mater. 1 , 014001 (2017).

    Артикул Google ученый

  • 41.

    Фаулер Р. Х. и Нордхайм Л. Эмиссия электронов в сильных электрических полях. Proc. R. Soc. Лондон. А. 119 , 173–181 (1928).

    CAS Статья Google ученый

  • 42.

    Groot, H. D., Jongh, L. D. Фазовые диаграммы слабоанизотропных антиферромагнетиков Гейзенберга, нелинейные возбуждения (солитоны) и эффекты случайного поля. Physica B + C. 141 , 1–36 (1986).

    Артикул Google ученый

  • 43.

    Мудера, Дж. С., Хао, X., Гибсон, Г. А., Месерви, Р. Поляризация электронного спина в туннельных переходах в нулевом приложенном поле с ферромагнитными барьерами из EuS. Phys.Rev. Lett. 61 , 637–640 (1988).

    CAS Статья Google ученый

  • 44.

    Уорледж, Д. К. и Гебалле, Т. Х. Магниторезистивный туннельный переход с двойным спиновым фильтром. J. Appl. Phys. 88 , 5277–5279 (2000).

    CAS Статья Google ученый

  • 45.

    Klein, D. R. et al. Повышение межслоевого обмена в ультратонком двумерном магните. Нат. Phys. , https://doi.org/10.1038/s41567-019-0651-0 (2019).

  • 46.

    Cai, X. et al. Атомно тонкий CrCl 3 : слоистый антиферромагнитный изолятор в плоскости. Nano Lett. 19 , 3993–3998 (2019).

    CAS Статья Google ученый

  • 47.

    Морозин Б. и Нарат А. Исследования трихлорида хрома с помощью дифракции рентгеновских лучей и ядерного квадрупольного резонанса. Дж.Chem. Phys. 40 , 1958–1967 (1964).

    CAS Статья Google ученый

  • 48.

    MacNeill, D. et al. Антиферромагнитный резонанс гигагерцовой частоты и сильная магнон-магнонная связь в слоистом кристалле crcl 3 . Phys. Rev. Lett. 123 , 047204 (2019).

    CAS Статья Google ученый

  • 49.

    Миллс, Д.L. Поверхностное спин-флоп состояние в простом антиферромагнетике. Phys. Rev. Lett. 20 , 18–21 (1968).

    CAS Статья Google ученый

  • 50.

    Блейзи К. В., Рорер Х. и Вебстер Р. Магнитокалорические эффекты и угловое изменение магнитной фазовой диаграммы антиферромагнетика GdAlO 3 . Phys. Ред. B. 4 , 2287–2302 (1971).

    Артикул Google ученый

  • 51.

    Kim, H.H. et al. Эволюция межслоевого и внутрислойного магнетизма в трех атомно-тонких тригалогенидах хрома. Proc. Natl Acad. Sci. США 116 , 11131–11136 (2019).

    CAS Статья Google ученый

  • 52.

    Kim, H.H. et al. Специализированный отклик туннельного магнитосопротивления в трех ультратонких тригалогенидах хрома. Nano Lett. 19 , 5739–5745 (2019).

    CAS Статья Google ученый

  • Равновесия и фазовая линия

    Равновесия и фазовая линия

    Решение дифференциального уравнения может быть выполнено в трех основных способы: аналитический, качественный и численный.Мы видели некоторые примеры дифференциальных уравнений, решаемых с помощью аналитических техники (например: линейные, отделяемый, и Уравнения Бернулли). Метод Эйлера (хотя и очень примитивный) иллюстрирует использование численные методы решения дифференциальных уравнений. Для качественный подход, мы определили наклонное поле дифференциала уравнение и показал, как это может быть полезно, когда другие методы неудача.

    Когда дифференциальное уравнение автономно, можно сказать больше о решениях с использованием качественных методик.

    Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение

    где f ( y ) – функция. Ясно, что мы распознаем отделимый уравнение. Итак, мы знаем, как решить эту проблему с помощью аналитического метода. Сначала мы ищем постоянные решения как корни уравнения

    Затем, чтобы найти непостоянные решения, разделим переменную

    и интегрировать

    Обратите внимание, что интеграция может быть сложной, если не невозможной.Таким образом, использование аналитического метода может оказаться невозможным.

    В этом случае можно попробовать численные методы. К сожалению, численные методы не работают, если f ( y ) содержит параметр и нам необходимо сделать выводы относительно этого параметра. Например, вспомним логистический уравнение с уборкой урожая (с постоянной скоростью H )

    где y ( t ) – популяция данного вида на момент времени t .В чтобы найти оптимальную скорость H (что радует и охотников) поскольку экологи беспокоились о сохранении вида), числовые методы могут быть не лучшим инструментом для использования. Здесь мы увидим, насколько новинка идеи, основанные на графическом подходе, помогут нам кое-что сказать о решения. Имейте в виду, что эти идеи действительны только для автономных уравнений.

    Равновесия автономных уравнений

    Рассмотрим автономное уравнение

    Равновесия или постоянные решения этого дифференциального уравнения: корни уравнения

    Используя теорему существования и единственности, эти постоянные решения разделит всю плоскость (где живут решения) на независимые регионы.Это означает, что если начальное условие принадлежит одному из областей, то решение, удовлетворяющее начальному условию, останется в этом регионе все время.

    Пример. Рассмотрим логистическое уравнение

    Его состояния равновесия: y = 0 и y = 1. Рассмотрим решение y ( t ) к IVP

    Поскольку 0 < y (0) <1, то должно быть

    На следующем рисунке мы рисуем несколько решений, связанных с начальным условия в разных регионах (0 < y <1, y <0 и 1 < y )

    Обратите внимание, что в этом примере любое решение y ( t ) увеличивается, если 0 < y (0) <1 выполняется.Так что можно задаться вопросом, а не аналогичный вывод верен в целом. Снова рассмотрим автономное уравнение

    Предположим, что и () являются положениями равновесия (то есть и ). Предположим, кроме того, что f ( y ) имеет постоянный знак на интервал. Предположим, что f ( y ) положительно, и рассмотрим решение для IVP

    куда . Мы знаем, что у нас будет за каждые т . С

    у нас должно быть на все т .Этот ясно подразумевает, что y ( t ) всегда увеличивается. Итак, признак f ( y ) помогает нам определить поведение решений (являются ли они увеличение или уменьшение).

    Пример. Рассмотрим автономное уравнение

    где график f ( y ) приведен ниже

    По графику мы можем определить состояния равновесия.Это y = 0, y = 1 и y = 2. Используя приведенное выше обсуждение, мы получаем следующую информацию:

    если y ( t ) – решение, удовлетворяющее y (0) <0, то y ( t ) всегда увеличивается;
    если y ( t ) – решение, удовлетворяющее 0 < y (0) <1, то y ( t ) всегда убывает;
    если y ( t ) – решение, удовлетворяющее 1 < y (0) <2, то y ( t ) всегда увеличивается;
    если y ( t ) – решение, удовлетворяющее 2 < y (0), то y ( t ) всегда уменьшается.
    На картинке ниже мы рисуем несколько решений

    Замечание. Напомним, что если функция h ( t ) увеличивается или уменьшается, то выполняется следующее:

    предел h ( t ), когда существует (или является числом) тогда и только тогда, когда функция ограничена сверху; в противном случае у нас есть

    предел h ( t ), когда существует (или является числом) тогда и только тогда, когда функция ограничена снизу; в противном случае у нас есть

    Обратите внимание, что в этом случае, если h ( t ) имеет предел (в виде числа), когда и h ( t ) является «хорошей функцией», то мы должны иметь

    Следующее изображение лучше, чем слова, иллюстрирует этот вывод.

    Пример. Рассмотрим решение задачи начального значения

    где график f ( y ) приведен ниже

    Обсудите предел y ( t ), когда.

    Ответ. Используя приведенные выше результаты, мы знаем, что для данного начального условия y ( t ) уменьшается, и для каждых t мы имеем

    Из приведенного выше замечания следует, что существуют, и мы имеем

    Поскольку y ( t ) не является постоянным решением (потому что y (0) = 0.5), то имеем

    С другой стороны, поскольку

    и y является решением автономного уравнения y ‘= f ( y ), тогда единственными возможностями для обоих пределов являются равновесия 0,1 и 2. Очевидно, если мы сложим все вместе, мы сделаем вывод что

    Сводка. Давайте запишем некоторые общие шаги, которые нужно выполнять при работе с автономным уравнением

    Шаг 1. Найдите постоянные решения или положения равновесия с помощью алгебраического уравнения

    Нарисуйте постоянные решения. Обратите внимание, что здесь мы рисуем y против t .

    Шаг 2. Найдите знак функции f ( y ) на ее графике (по сравнению с y ).
    Шаг 3. В области между любыми двумя состояниями равновесия все решения будут увеличиваться (если f ( y ) положительно) или уменьшаться (если f ( y ) отрицательно).
    Шаг 4. Если решение возрастает и ограничено сверху постоянным решением y = L , то предел решения, когда это число L . В противном случае предел равен.
    Если это решение ограничено снизу постоянным решением y = l , то предел решения, когда является числом l . В противном случае предел равен.
    Шаг 5. Если решение убывает и ограничено снизу постоянным решением y = L , то предел решения, когда является числом L . В противном случае предел равен.
    Если это решение ограничено сверху постоянным решением y = l , то предел решения, когда является числом l . В противном случае предел равен.
    Шаг 6. Нарисуйте решения.

    Замечание. Здесь нужно быть очень осторожным, так как два графика будут нарисовано: один для функции f ( y ) (по сравнению с y ) и другой для решения, где на этот раз y находится на вертикальной оси, а t – по горизонтальной оси. Имейте в виду, что второй график – это самый важный, поскольку он касается того, что мы ищем: решения дифференциального уравнения.

    Пример. Нарисуйте несколько решений уравнения

    Ответ. Обратите внимание, что это уравнение моделирует логистический рост с порог. Равновесия или постоянные решения задаются формулой

    или y = 0, y = 2 и y = 5. График функции f ( y ) = .2 y (5- y ) ( y -2) показано на следующем рисунке

    Итак, у нас есть:

    решение, удовлетворяющее начальному условию , с, увеличивается.Кроме того, у нас есть

    решение, удовлетворяющее начальному условию , при, уменьшается. Кроме того, у нас есть

    решение, удовлетворяющее начальному условию , с, увеличивается. Кроме того, у нас есть

    решение, удовлетворяющее начальному условию , при, уменьшается. Кроме того, у нас есть

    На картинке ниже мы рисуем несколько решений

    Фазовая линия

    Давайте еще раз рассмотрим приведенный выше пример.Сосредоточим внимание на решениях которые удовлетворяют начальному условию и. Мы уже знаем что

    Как-то удивительно, что этот вывод верен независимо от того, закрыто до 5 или близко к 2. В этом случае мы говорим, что точка равновесия 5 – привлекательная снизу. Фактически в этом Например, эта точка равновесия привлекательна как снизу, так и сверху. С другой стороны, решения уходят от точки равновесия 2 снизу и сверху.Будем говорить, что точка равновесия 2 – это репеллент . Обратите внимание, что нет общего согласия по поводу слов, используемых для описания этих явлений.

    Определение. Классификация равновесия Точки.
    Рассмотрим автономное уравнение

    Предположим, что это точка равновесия (то есть).

    Точка равновесия называется стоком тогда и только тогда, когда любое решение y ( t ) автономного уравнения такое что y (0) близко к, то мы имеем

    Точка равновесия называется источником тогда и только тогда, когда любое решение y ( t ) автономного уравнения такое что y (0) близок (или нет) к, тогда y ( t ) будет отодвигаться от когда .
    Точка равновесия называется узлом тогда и только тогда, когда он не является ни источником, ни приемником.

    Пример. Классифицируйте точки равновесия уравнения

    как источник, приемник или узел.
    Ответ. Точки равновесия: 0, 2 и 5. Используя вышеуказанное В результате мы видим, что 0 и 5 являются стоками, а 2 – источником.

    Пример. Найдите и классифицируйте точки равновесия уравнения

    как источник, приемник или узел.
    Ответ. Легко видеть, что единственная точка равновесия – 0. Поскольку всегда положительно, то решения всегда будут будет увеличиваться. Используя предыдущие результаты, мы делаем вывод:

    если y ( t ) – решение, удовлетворяющее y (0) <0, то у нас есть

    если y ( t ) – решение, удовлетворяющее y (0)> 0, то у нас есть

    Следовательно, точка равновесия 0 является узлом.На картинке ниже мы нарисуйте несколько решений.

    Есть очень хороший способ собрать всю эту информацию воедино. Действительно, нарисуйте вертикальную линию (где переменная, ее описывающая равно y ) и начните с отметки точек равновесия уравнения

    на оси y .

    Затем, используя знак f ( y ), мы рисуем стрелки, указывающие вверх в области где f ( y ) положительно, а вниз в области, где f ( y ) равно отрицательный.Эта вертикальная линия называется фазовой линией уравнение.

    Точка равновесия – это сток, если стрелки с обеих сторон указывают на точку равновесия, и это источник, если обе стрелки указывают от него.

    Пример. Нарисуйте фазовую линию уравнений

    а также

    Ответ. Мы будем использовать наши предыдущие знания, чтобы получить двухфазный линии

    а также

    Вы можете легко увидеть, что точка равновесия – это сток, если стрелки с обеих сторон указывают на точку равновесия, и что это источник, если обе стрелки указывают от него.

    [Дифференциальные уравнения] [Поле уклона] [Бифуркации] [Геометрия] [Алгебра] [Тригонометрия] [Исчисление] [Комплексные переменные] [Матричная алгебра] S.O.S. Домашняя страница MATHematics

    Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.

    Автор: Мохамед Амин Хамси
    Последнее обновление 6-22-98 Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.
    Свяжитесь с нами
    Math Medics, LLC. – П.О. Box 12395 – El Paso TX 79913 – США
    пользователя онлайн за последний час Критерии стабильности

    – (Прирост и фазовый запас) (2.010)

    Критерии стабильности – ( прирост маржа и фаза маржа) (2,010) Критерии стабильности

    – (

    прирост маржа и фаза маржа)

    Думайте об обоих из них как о запасах безопасности для разомкнутой системы, которую вы хотели бы сделать замкнутой.
    • То есть, если вы идете рядом с обрывом, вам нужно положительных промежутков или «запас» безопасности между вами и большой катастрофой.
      – Надеюсь, эта интуиция поможет вам понять, как определяются поля при усилении и по фазе – так что положительных полей указывают на то, что запас прочности все еще существует (до возникновения нестабильности).
    • И наоборот, отрицательных поля в разомкнутой системе указывают на проблемы нестабильности, если вы попытаетесь замкнуть этот цикл !!
    Давайте определим каждый, используя рисунок справа в качестве помощника:
    • ПРИБЫЛЬ
      – Найдите частоту, при которой ФАЗА становится -180 градусов.(G / 20)) если вы измеряете Величину (M) как отношение (, а не дБ).
    • ФАЗНАЯ НАПРАВЛЯЕМОСТЬ
      – Найдите частоту, на которой УСИЛЕНИЕ равно 0 дБ. (Это означает, что выходная и входная амплитуды (величины) идентичны на этой конкретной частоте; на графике Боде передаточная функция пересекает 0 дБ на верхнем графике [величина].)
      — Для красного графика Боде это происходит примерно при 5 (рад / сек) [отмечено красным ‘o’ на верхнем графике].
      — Для синего графика Боде кроссовер 0 дБ возникает на частоте около 181 (рад / сек) и показан синим знаком «o».
      – Найдите ФАЗУ P (в градусах) на этой же ЧАСТОТЕ (теперь глядя на нижний график).
      (Эта конкретная фаза отмечена на нижнем графике справа для красной и синей передаточных функций линиями соответствующего цвета …)
      – Затем мы определяем ФАЗОВЫЙ ЗАПАС как:
        Запас по фазе = + P + 180 градусов
    Теперь, чтобы проверить ваше понимание, давайте найдем коэффициент усиления и запаса по фазе для синей и красной передаточных функций, представленных выше.(Обратите внимание, что СИНИЙ TF был тем, который был показан на предыдущей странице, который мы обнаружили нестабильным, когда «замкнули цикл». КРАСНЫЙ TF здесь всего в (1/100) раз больше СИНЕГО TF.

    Выбирая меньшее усиление, мы получаем систему с разомкнутым контуром, которая будет СТАБИЛЬНОЙ, когда мы замкнем контур.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *