Кирхгофа можно использовать для анализа любой схемы, изменяя их для схем с электродвижущими силами, резисторами, конденсаторами и т. Д. Однако с практической точки зрения правила полезны только для характеристики тех цепей, которые нельзя упростить, комбинируя элементы последовательно и параллельно.

Последовательные и параллельные комбинации, как правило, намного проще выполнить, чем применение любого из правил Кирхгофа, но правила Кирхгофа применимы более широко и должны использоваться для решения проблем, связанных со сложными схемами, которые нельзя упростить, комбинируя элементы схемы последовательно или параллельно.

Пример правил Кирхгофа

показывает очень сложную схему, но можно применить правила Кирхгофа для петель и соединений. Для решения схемы для токов I ₁ , I ₂ и I ₃ необходимы оба правила.

Правила Кирхгофа: пример задачи : На этом изображении показана очень сложная схема, которую можно сократить и решить с помощью правил Кирхгофа.

Применяя правило Кирхгофа в точке a, находим:

\ [\ mathrm {I} _ {1} = \ mathrm {I} _ {2} + \ mathrm {I} _ {3} \]

, потому что I ₁ течет в точку a, а I ₂ и I3 вытекает. То же самое можно найти в точке e. Теперь мы должны решить это уравнение для каждой из трех неизвестных переменных, что потребует трех разных уравнений.

Рассматривая цикл abcdea, мы можем использовать правило цикла Кирхгофа:

\ [- \ mathrm {I} _ {2} \ mathrm {R} _ {2} + \ mathrm {emf} _ {1} – \ mathrm {I} _ {2} \ mathrm {r} _ {1 } – \ mathrm {I} _ {1} \ mathrm {R} _ {1} = – \ mathrm {I} _ {2} \ left (\ mathrm {R} _ {2} \ right) + \ mathrm { r} _ {1}) + \ mathrm {emf} _ {1} – \ mathrm {I} _ {1} \ mathrm {R} _ {1} = 0 \]

Подставляя значения сопротивления и ЭДС из рисунка-диаграммы и отменяя единицу измерения ампер, получаем:

\ [- 3 \ mathrm {I} _ {2} + 18 – 6 \ mathrm {I} _ {1} = 0 \]

Это вторая часть системы трех уравнений, которую мы можем использовать, чтобы найти все три текущих значения.Последнюю можно найти, применив правило цикла к циклу aefgha, которое дает:

\ [\ mathrm {I} _ {1} \ mathrm {R} _ {1} + \ mathrm {I} _ {3} \ mathrm {R} _ {3} + \ mathrm {I} _ {3} \ mathrm {r} _ {2} – \ mathrm {emf} _ {2} = \ mathrm {I} _ {1} \ mathrm {R} _ {1} + \ mathrm {I} _ {3} \ left (\ mathrm {R} _ {3} + \ mathrm {r} _ {2} \ right) – \ mathrm {emf} _ {2} = 0 \]

Используя замену и упрощение, это становится:

\ [6 \ mathrm {I} _ {1} + 2 \ mathrm {I} _ {3} – 45 = 0 \]

В этом случае знаки поменялись местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении.

Теперь у нас есть три уравнения, которые можно использовать в системе. Второй будет использоваться для определения I ₂ и может быть изменен на:

\ [\ mathrm {I} _ {2} = 6–2 \ mathrm {I} _ {1} \]

Третье уравнение может использоваться для определения I ₃ и может быть преобразовано в:

\ [\ mathrm {I} _ {3} = 22,5 – 3 \ mathrm {I} _ {1} \]

Подставляя новые определения I ₂ и I ₃ (которые являются общими терминами I ₁ ) в первое уравнение (I ₁ = I ₂ + I ₃ ), получаем:

\ [I \ mathrm {I} _ {1} = \ left (6-2 \ mathrm {I} _ {1} \ right) + \ left (22.5 – 3 \ mathrm {I} _ {1} \ right) = 28,5 – 5 \ mathrm {I} _ {1} \]

Упрощая, получаем, что I ₁ = 4,75 A. Подставляя это значение в два других уравнения, мы находим, что I ₂ = -3,50 A и I ₃ = 8,25 A.

Ключевые моменты

• Кирхгоф использовал работу Георга Ома в качестве основы для создания закона Кирхгофа (KCL) и закона напряжения Кирхгофа (KVL) в 1845 году. Их можно вывести из уравнений Максвелла, появившихся 16-17 лет спустя.
• Невозможно проанализировать некоторые схемы с обратной связью путем упрощения в виде суммы и / или ряда компонентов. В этих случаях можно использовать законы Кирхгофа.
• Законы Кирхгофа – это частные случаи сохранения энергии и заряда.
• Правило соединения Кирхгофа – это применение принципа сохранения электрического заряда: ток – это течение заряда за время, и если ток постоянный, то, что течет в точку в цепи, должно быть равно тому, что вытекает из нее.{n} I _ {k} = 0} \) где I _k – ток k, а n – общее количество проводов, входящих и выходящих из рассматриваемого соединения.
• Закон перехода Кирхгофа ограничен в его применимости в регионах, в которых плотность заряда может быть непостоянной. Поскольку заряд сохраняется, это возможно только при наличии потока заряда через границу области. Этот поток был бы текущим, что нарушало бы закон.
• Правило петли Кирхгофа – это правило, относящееся к схемам, основанное на принципе сохранения энергии.{n} V _ {k} = 0} \).
• Правило петли Кирхгофа является упрощением закона индукции Фарадея и выполняется при предположении, что нет флуктуирующего магнитного поля, связывающего замкнутый контур.
• Правила Кирхгофа могут применяться к любой цепи, независимо от ее состава и структуры.
• Поскольку часто легко комбинировать элементы параллельно и последовательно, не всегда удобно применять правила Кирхгофа.
• Для определения тока в цепи можно применить правила петли и соединения.Как только все токи связаны правилом соединения, можно использовать правило петли, чтобы получить несколько уравнений, которые будут использоваться в качестве системы для нахождения каждого значения тока в терминах других токов. Их можно решить как систему.

Ключевые термины

• резистор : электрический компонент, который передает ток прямо пропорциональный напряжению на нем.
• электродвижущая сила : (ЭДС) – напряжение, генерируемое батареей или магнитной силой в соответствии с законом Фарадея.Она измеряется в вольтах (не в ньютонах, Н; ЭДС – это не сила).
• конденсатор : Электронный компонент, состоящий из двух проводящих пластин, разделенных пустым пространством (иногда вместо этого между пластинами помещается диэлектрический материал), и способный хранить определенное количество заряда.
• электрический заряд : квантовое число, определяющее электромагнитные взаимодействия некоторых субатомных частиц; по соглашению, электрон имеет электрический заряд -1, а протон +1, а кварки имеют дробный заряд.
• ток : временная скорость протекания электрического заряда.

ЛИЦЕНЗИИ И АТРИБУЦИИ

CC ЛИЦЕНЗИОННЫЙ КОНТЕНТ, ПРЕДЫДУЩИЙ РАЗДЕЛ

CC ЛИЦЕНЗИОННОЕ СОДЕРЖАНИЕ, СПЕЦИАЛЬНЫЙ АТРИБУЦИЯ

• Окружные законы Кирхгофа. Источник : Википедия. Расположен по адресу : en.Wikipedia.org/wiki/Kirchhoff’s_circuit_laws . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
Конденсатор
• . Источник : Викисловарь. Расположен по адресу : en.wiktionary.org/wiki/capacitor . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
Резистор
• . Источник : Викисловарь. Расположен по адресу : en.wiktionary.org/wiki/resistor . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• электродвижущая сила. Источник : Википедия. Расположен по адресу : en.Wikipedia.org/wiki/electromotive%20force . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• OpenStax College, Kirchhoffu, Правила 2019. 14 января 2013 г. Предоставлено : OpenStax CNX. Расположен по адресу : http://cnx.org/content/m42359/latest/ . Лицензия : CC BY: Attribution
• Законы Кирхгофа для цепей. Источник : Википедия. Расположен по адресу : en.Wikipedia.org/wiki/Kirchhoff’s_circuit_laws . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• ток. Источник : Викисловарь. Адрес: : en.wiktionary.org/wiki/current . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• электрический заряд. Источник : Викисловарь. Адрес: : en.wiktionary.org/wiki/electric_charge . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• OpenStax College, Kirchhoffu, Правила 2019. 14 января 2013 г. Предоставлено : OpenStax CNX. Расположен по адресу : http://cnx.org/content/m42359/latest/ . Лицензия : CC BY: Attribution
• KCL – Цепные законы Кирхгофа. Источник : Википедия. Расположен по адресу : en.Wikipedia.org/wiki/File:KCL_-_Kirchhoff’s_circuit_laws.svg . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Теория правил петель и соединений Кирхгофа. Расположен по адресу : http://www.youtube.com/watch?v=IlyUtYRqMLs . Лицензия : Общественное достояние: неизвестно Авторские права . Условия лицензии : Стандартная лицензия YouTube
• Законы Кирхгофа для цепей. Источник : Википедия. Расположен по адресу : en.Wikipedia.org/wiki/Kirchhoff’s_circuit_laws . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• электродвижущая сила. Источник : Википедия. Расположен по адресу : en.Wikipedia.org/wiki/electromotive%20force . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
Резистор
• . Источник : Викисловарь. Расположен по адресу : en.wiktionary.org/wiki/resistor . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• OpenStax College, Kirchhoffu, Правила 2019. 14 января 2013 г. Предоставлено : OpenStax CNX. Расположен по адресу : http: // cnx.org / content / m42359 / latest / . Лицензия : CC BY: Attribution
• KCL – Цепные законы Кирхгофа. Источник : Википедия. Расположен по адресу : en.Wikipedia.org/wiki/File:KCL_-_Kirchhoff’s_circuit_laws.svg . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Теория правил петель и соединений Кирхгофа. Адрес: : http: // www.youtube.com/watch?v=IlyUtYRqMLs . Лицензия : Общественное достояние: неизвестно Авторские права . Условия лицензии : Стандартная лицензия YouTube
• Закон напряжения Кирхгофа. Источник : Википедия. Расположен по адресу : en.Wikipedia.org/wiki/File:Kirchhoff_voltage_law.svg . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Теория правил петель и соединений Кирхгофа. Расположен по адресу : http://www.youtube.com/watch?v=IlyUtYRqMLs . Лицензия : Общественное достояние: неизвестно Авторские права . Условия лицензии : Стандартная лицензия YouTube
• OpenStax College, Kirchhoffu, Правила 2019. 15 февраля 2013 г. Предоставлено : OpenStax CNX. Расположен по адресу : http://cnx.org/content/m42359/latest/ . Лицензия : CC BY: Attribution
• OpenStax College, Kirchhoffu, Правила 2019.17 сентября 2013 г. Предоставлено : OpenStax CNX. Расположен по адресу : http://cnx.org/content/m42359/latest/ . Лицензия : CC BY: Attribution
• электродвижущая сила. Источник : Википедия. Расположен по адресу : en.Wikipedia.org/wiki/electromotive%20force . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• OpenStax College, Kirchhoffu, Правила 2019.14 января 2013 г. Предоставлено : OpenStax CNX. Расположен по адресу : http://cnx.org/content/m42359/latest/ . Лицензия : CC BY: Attribution
• KCL – Цепные законы Кирхгофа. Источник : Википедия. Расположен по адресу : en.Wikipedia.org/wiki/File:KCL_-_Kirchhoff’s_circuit_laws.svg . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Теория правил петель и соединений Кирхгофа. Расположен по адресу : http://www.youtube.com/watch?v=IlyUtYRqMLs . Лицензия : Общественное достояние: неизвестно Авторские права . Условия лицензии : Стандартная лицензия YouTube
• Закон напряжения Кирхгофа. Источник : Википедия. Расположен по адресу : en.Wikipedia.org/wiki/File:Kirchhoff_voltage_law.svg . Лицензия : CC BY-SA: Attribution-ShareAlike
• Теория правил петель и соединений Кирхгофа. Расположен по адресу : http://www.youtube.com/watch?v=IlyUtYRqMLs . Лицензия : Общественное достояние: неизвестно Авторские права . Условия лицензии : Стандартная лицензия YouTube
• OpenStax College, Kirchhoffu, Правила 2019. 15 февраля 2013 г. Предоставлено : OpenStax CNX. Расположен по адресу : http://cnx.org/content/m42359/latest/ . Лицензия : CC BY: Attribution
• OpenStax College, Kirchhoffu, Правила 2019.14 января 2013 г. Предоставлено : OpenStax CNX. Расположен по адресу : http://cnx.org/content/m42359/latest/ . Лицензия : CC BY: Attribution

Easy 2 Теория и уравнение схем Кирхгофа

Законы Кирхгофа предназначены для расчета тока и напряжения при анализе электрических цепей.

Эти законы обобщили исследования Георга Ома и Джеймса Клерка Максвелла .Законы Кирхгофа гибки, потому что мы можем использовать их в частотной и временной областях.

Законы Кирхгофа для цепей

Законы Кирхгофа для цепей содержат два наиболее важных закона для анализа электрической цепи. Эти законы анализируют ток и напряжение в электрическом элементе электрической цепи с сосредоточенными параметрами.

Законы Кирхгофа были впервые введены немецким физиком Густавом Кирхгофом в 1845 году. Эти законы обобщили исследования Георга Ома и Джеймса Клерка Максвелла.

Законы Кирхгофа гибки, потому что мы можем использовать их в частотной и временной областях. Нам нужно узнать об этой фундаментальной теории анализа.

Законы Кирхгофа

Одного закона Ома недостаточно, чтобы охватить анализирующую электрическую цепь. Но если мы соединим это с двумя законами Кирхгофа, мы получим мощный набор для анализа большого разнообразия электрических цепей.

Законы Кирхгофа были введены еще в 1824–1887 годах Густавом Робертом Кирхгофом. Таким образом, эти законы известны как законы тока Кирхгофа (KCL) и законы напряжения Кирхгофа (KVL).

Текущий закон Кирхгофа

Текущий закон Кирхгофа часто называют первым законом Кирхгофа, правилом соединения Кирхгофа, узловым правилом Кирхгофа и правилом точек Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа основан на законе сохранения заряда , который требует, чтобы алгебраическая сумма заряда в системе не могла измениться. Следовательно,

Закон Кирхгофа (KCL) утверждает, что алгебраическая сумма токов, входящих в узел (или замкнутую границу), равна нулю.

Текущий закон Кирхгофа или KCL, для краткости, гласит, что сумма токов, входящих в узел (или переход), равна сумме токов, выходящих из этого узла.

Ток по-прежнему имеет положительную или отрицательную величину, отражающую направление их потока. Можно сказать, что если токи имеют положительный знак, они входят в узел. В противном случае токи уходят из узла.

Математическое уравнение KCL:

где:
N = количество ветвей, подключенных к узлу
i _n = n-й ток, входящий или выходящий узел

Согласно этому закону, токи , входящие в узел , можно принять как положительные, а токи , оставившие токи , как отрицательные, или наоборот.

Чтобы доказать KCL, набор токов i _k (t), k = 1,2,… .., течет в узел, алгебраическая сумма тока в этом узле равна

Интегрирование обеих сторон уравнения (2) дает

Таким образом, q _T (t) = 0, так что i _T (t) = 0, что подтверждает справедливость KCL.

Обратите внимание на рисунок (1) ниже, проиллюстрированный KCL.

Рассмотрим узел на рисунке (1). Применение KCL составляет

, поскольку токи i ₁ , i ₃ и i ₄ входят в узел пока i ₂ и i ₅ покидают узел, мы можем составить уравнение.(4) к

Уравнение. (5) является альтернативной формой KCL:

Сумма токов , входящих в узел, равна сумма токов , выходящих из узла.

Обратите внимание, что KCL также применяется к закрытой границе.

Следовательно, это может быть обобщенный случай, потому что узел можно рассматривать как замкнутую поверхность, стянутую до точки.

Рисунок.(2) иллюстрирует двухмерную границу, где полные токи, входящие в замкнутую поверхность, равны полному току, покидающему поверхность.

Для упрощения объяснения представим, что некоторые источники тока соединены параллельно. Комбинированный ток – это алгебраическая сумма тока, подаваемого отдельными источниками.

Тогда этот пример можно увидеть на рисунке.(3a), а затем объединены, чтобы создать соединение, показанное на рисунке (3b).

Комбинированный или эквивалентный источник тока можно найти, применив KCL к узлу a.

Цепь не может содержать два разных тока I ₁ и I ₂ последовательно, если I ₁ = 2 .

Закон напряжения Кирхгофа

Закон напряжения Кирхгофа часто называют вторым законом Кирхгофа, вторым правилом Кирхгофа, правилом сетки Кирхгофа и правилом петли Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа основан на принципе сохранения энергии:

Закон напряжения Кирхгофа (KVL) утверждает, что алгебраическая сумма всех напряжений вокруг замкнутого контура (или контура) равна нулю.

Принцип сохранения энергии означает: если ток движется по замкнутому контуру, он достигнет точки, в которой он изначально начался.

Следовательно, начальный потенциал не имеет падения напряжения в контуре. Таким образом, падение напряжения в контуре равно значению источников напряжения, встречающихся на пути.

Важно обращать внимание на знаки количества (положительный и отрицательный) элемента схемы.

Если написать уравнение с неправильными знаками падения напряжения на элементе схемы, расчет может быть неверным.

Прежде чем двигаться дальше, давайте сначала узнаем, какое падение напряжения.

Выше показан пример падения напряжения для отдельного элемента.Для упрощения объяснения мы будем использовать здесь резистор.

Допустим, ток I совпадает с направлением потока положительного заряда слева направо (от A к B).

Можно сказать, что ток течет от положительной клеммы к отрицательной.

Поскольку мы используем направление, такое же, как направление тока, на резисторе будет падение.

Величина падения напряжения будет (- iR ).

Для лучшего шага обращаем внимание на направление полярности.Знак полярности элемента будет соответствовать направлению протекания тока через него.

Просто определите текущий поток по часовой стрелке или против часовой стрелки, прежде чем начинать писать уравнение.

Оба они дадут правильный ответ, даже если результат будет с отрицательным знаком (это означает, что ток течет в обратном направлении).

Используя математическое уравнение, KVL определяет

, где M – количество напряжений в контуре (или количество ветвей в контуре) и в _м – м -е напряжение.

Для лучшего понимания взгляните на рисунок (4).

Знак на каждом напряжении – это полярность клеммы, которая встречается первой при движении по контуру.

Таким образом, мы можем начать с любой ветви и пройти по циклу либо на по часовой стрелке, , либо на против часовой стрелки .

Предположим, мы начинаем с направления по часовой стрелке, тогда напряжения будут – v ₁ , + v ₂ , + v ₃ , – v ₄ и + v ₅ в заказе.

Следовательно, KVL дает

Уравнение перегруппировки дает

00, которое может быть интерпретировано как

Например, для источников напряжения на рисунке (5a),

Комбинированный или эквивалентный источник напряжения на рисунке (5b) получен с использованием KVL.

Параллельное использование двух разных напряжений нарушает KVL, если значения не совпадают.

Законы Кирхгофа будут участвовать в:

1. Преобразовании Уай-Дельта
2. Узловой анализ
3. Анализ сетки

Ограничения законов Кирхгофа

Законы Кирхгофа можно рассматривать как простейший анализ схем.Но у них есть свои ограничения в зависимости от типа схемы.

Ниже приведены ограничения законов Кирхгофа:

• KCL используется с предположением, что ток протекает только по проводам и проводникам. Но все будет иначе, если мы проанализируем высокочастотные цепи, где паразитную емкость больше нельзя игнорировать.
• В некоторых случаях токи могут течь в разомкнутой цепи, потому что проводники и провода действуют как линии передачи.
• KVL используется с предположением, что нет флуктуирующего магнитного поля, связанного с замкнутым контуром.Несмотря на наличие изменяющихся магнитных полей в высокочастотной цепи, но коротковолновой цепи переменного тока, электрическое поле не является консервативным векторным полем.
• Электрическое поле и ЭДС могут индуцироваться и вызвать разрывы KVL.
• В линии передачи электрический заряд изменяется со временем и нарушает KCL.

Примеры законов Кирхгофа

Чтобы помочь вам лучше понять, давайте рассмотрим приведенные ниже примеры.
1. Для схемы на рисунке (6) найдите напряжения В ₁ и В ₂ .

Решение:
Чтобы найти v ₁ и v ₂ , мы применяем закон Ома и закон напряжения Кирхгофа.
Предположим, что ток течет по часовой стрелке.
Из закона Ома,

v ₁ = 2 i , v ₂ = -3 i ………… .. (1.1)

Применение KVL

-20 + v ₁ – v ₂ = 0 ………….. ( 1. 2 )

Подставляя уравнения (1.1) и (1.2) выше, мы получаем

-20 + 2 i + 3 i = 0

или

. 5 i = 20

, тогда

i = 4 A

Подставляя i в (1.1), получаем

v ₁ 3 v 3 v ₂ = – 12 В

2.Определите vo и i на рисунке. (7)

Решение:
Мы применяем KVL вокруг петли, дает

– 12 + 4 i 2 vo – 4 + 6 i = 0 ………… (2.1)

Применение закона Ома к 6Ω дает

v _o = -6 i ……… .. (2.2)

Подстановка (2.1) и (2.2) дает

-16 + 10 i – 12 i = 0 => i = -8 A

и

v _o = 48 В

Часто задаваемые вопросы

Каков первый закон Кирхгофа?

Первый закон Кирхгофа – KCL.Текущие законы Кирхгофа (KCL) гласят, что алгебраическая сумма токов, входящих в узел (или замкнутую границу), равна нулю.

Что такое KCL в цепи?

Текущий закон Кирхгофа или KCL, для краткости, гласит, что сумма токов, входящих в узел (или переход), равна сумме токов, выходящих из этого узла. Ток по-прежнему имеет положительную или отрицательную величину, отражающую направление их потока. Можно сказать, что если токи имеют положительный знак, они входят в узел. В противном случае токи уходят из узла.

Что такое второй закон Кирхгофа?

Второй закон Кирхгофа основан на принципе сохранения энергии: закон напряжения Кирхгофа (KVL) утверждает, что алгебраическая сумма всех напряжений вокруг замкнутого пути (или контура) равна нулю.

Почему KVL и KCL выходят из строя на высокой частоте?

Электрическое поле и ЭДС могут индуцироваться и вызвать разрывы KVL. В линии передачи электрический заряд изменяется со временем и нарушает KCL.

Что такое формула закона напряжения Кирхгофа?

Закон Кирхгофа по напряжению (KVL) утверждает, что алгебраическая сумма всех напряжений вокруг замкнутого контура (или контура) равна нулю.

Что такое правило цикла?

Знак на каждом напряжении – это полярность клеммы, с которой мы сталкиваемся первым, когда мы движемся по контуру. Таким образом, мы можем начать с любой ветви и обойти цикл либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.

Калькулятор закона напряжения Кирхгофа

Узнав о законах Кирхгофа, мы можем использовать простой калькулятор KVL ниже, чтобы упростить нашу работу.

Калькулятор текущего закона Кирхгофа

Узнав о законах Кирхгофа, мы можем использовать простой калькулятор KCL ниже, чтобы упростить нашу работу.

Закон Кирхгофа о напряжении и Закон Кирхгофа

Ultimate Electronics: практическое проектирование и анализ схем

Как написать фундаментальные уравнения, описывающие структуру любой схемы из первых принципов. Читать 14 мин

В предыдущем разделе, посвященном последовательным и параллельным резисторам, мы выработали много интуитивного представления о том, как думать о токе и напряжении в цепи. (Если вы не читали этот раздел, вернитесь и сделайте это сейчас.)

Специальные правила комбинации резисторов для последовательно включенных и параллельных резисторов не распространяются на другие элементы схемы. Однако есть два основных принципа, которые можно обобщить:

1. Два последовательно соединенных компонента будут иметь одинаковый ток через их. Мы сделаем это заявление немного шире, и оно станет Текущим законом Кирхгофа .
2. Два параллельно включенных компонента будут иметь одинаковое напряжение на . Мы сделаем это заявление немного шире, и оно станет Закон Кирхгофа о напряжении .

Эти два закона Кирхгофа станут нашей основой для написания уравнений, описывающих, как ток и напряжение ведут себя в любой электронной схеме .

В этом разделе нас интересует только то, как записать этих уравнений. В других разделах, включая раздел «Системы уравнений» из предыдущей главы, мы обсудим, как решить после написания этих уравнений.

Текущий закон Кирхгофа – это заявление о сохранении заряда: то, что входит, должно выходить на каждом соединении (узле) в коммутационной сети.

Согласно модели сосредоточенных элементов, заряд не может храниться ни в каком узле схемы, поэтому, если заряд вытекает из одного элемента в узле A, то же количество тока должно мгновенно течь на вывод подключенного элемента в узле A.

В качестве интуиции, почему это должно быть правдой, помните, что электроны не могут никуда входить в систему или выходить из нее (нет никаких «утечек»), и электроны не могут нигде «скапливаться», потому что они отталкиваются друг от друга.

Это похоже на гидравлическую аналогию с потоком воды в трубопроводной сети: на любом стыке труб имеется 2 или более соединений, и любая поступающая вода должна уходить!

Направление тока тоже важно: мы должны определить токи с помощью входящих или исходящих стрелок и тщательно их пометить.(Мы обсудим это подробнее в следующем разделе, Маркировка напряжений, токов и узлов.)

Рассмотрим схему сети с тремя узлами и четырьмя элементами:

В схеме выше у нас есть три узла. Мы можем записать Текущий закон Кирхгофа как на каждые из трех узлов.

Математически один способ записать это на каждом узле:

∑i = 0

Это говорит о том, что все токи в узле равны нулю.

Мы должны отслеживать и использовать знак положительный , если ток течет в узел , и знак отрицательный , если ток течет из .

В приведенном выше примере, проходя через каждый узел, уравнения KCL:

i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 + i4 = 0 Узел B − i1 + i3 − i4 = 0 Узел C

Другой способ сформулировать действующий закон Кирхгофа:

∑ini = ∑outi

В приведенном выше примере три уравнения будут следующими:

i1 = i2Node Ai2 + i4 = i3Node Bi3 = i1 + i4Node C

В этой формулировке мы говорим, что сумма токов в узле равна сумме токов из этого узла.

Это математически идентично первому способу определения KCL, потому что эти токи просто имеют отрицательный знак.

Будьте осторожны при выборе направления! Не имеет особого значения, какое направление вы выберете для маркировки каждого потока, но абсолютно важно, чтобы оно было последовательным; ток в один узел течет из другого.

Мы можем записать KCL на каждом узле схемы. Узел – это просто место, где элементы соединяются.

Обратите внимание, что узлы могут быть больше, чем кажется на первый взгляд: мы можем назвать узлы A, B, C и ссылаться на эти имена в нескольких местах на схеме, даже если между ними нет явно проведенных проводов.Кроме того, наземный узел является частным случаем именованного узла и также повсюду соединен вместе.

Мы можем написать уравнения KCL , ничего не зная о компонентах; он только определяет топологию (форму) того, как объекты соединяются друг с другом.

Вот немного более сложный пример с 5 узлами и 7 ребрами. Обратите внимание, что мы помечаем все узлы, а затем помечаем все токи и их направления:

Вот уравнения KCL для каждого узла, которые получаются, когда вы суммируете все токи до нуля:

i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 − i4 = 0 Узел Bi3 − i5 − i6 = 0 Узел Ci4 + i5 − i7 = 0 Узел Di6 + i7 − i1 = 0 Узел E

И, для полноты, вот уравнения KCL для каждого узла, которые получаются, когда вы суммируете все токи, равные всем выходным токам:

i1 = i2Node Ai2 = i3 + i4Node Bi3 = i5 + i6Node Ci4 + i5 = i7Node Di6 + i7 = i1Node E

Эти две системы уравнений алгебраически одинаковы.Присмотритесь к тому, что имеет для вас больше смысла, и понаблюдайте, как вы можете преобразовать одно в другое.

В следующем разделе мы поговорим о маркировке токов, чтобы они выполнялись последовательно по направлению и знаку – обычная ловушка для новичков.

Как мы уже указывали в статьях «Линейные и нелинейные» и «Системы уравнений», полезно развить некоторую интуицию в линейной алгебре. Вышеупомянутая серия уравнений KCL для примера с пятью узлами может быть записана как:

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−10000001−1−10000010−1−10000110−1−1000011⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣i1i2i3i4i5i6i7⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ = 0

Сама по себе это еще не решаемая система уравнений, однако она вносит большой вклад в общую систему уравнений, составляющих решаемую схему.

Из действующего закона Кирхгофа нет никаких исключений – по определению.

Обратите внимание, что в то время как электроны внутри проводников будут отталкиваться друг от друга, в случае изолятора электроны могут «застрять» – статический заряд. Статический заряд может накапливаться в цепи и внутри нее; однако, вместо того, чтобы рассматривать KCL как нарушенный, этот эффект лучше всего моделировать, добавляя емкости в рассматриваемых узлах.

Если у нас есть n узлов в нашей схеме, мы можем написать n Уравнения KCL – по одному на каждый узел.

Однако эти уравнения не будут линейно независимыми . (Для обзора линейной независимости и того, почему она критически важна, просмотрите «Системы уравнений».)

Рассмотрим эту простую схему с двумя узлами:

Мы можем записать KCL в узле A:

i1 − i2 + i3 = 0

А теперь мы можем записать KCL в узле B:

−i1 + i2 − i3 = 0

Должно быть очевидно, что на самом деле это одно и то же уравнение, записанное дважды; мы только что умножили одно из них на -1.

Запись дважды (по одному на узел) фактически не добавляла никакой информации. Второе уравнение не добавляло никаких новых ограничений, которые еще не были включены в первое уравнение.

Это потому, что каждое ребро на графике добавляет текущий член в уравнение KCL одного узла и вычитает этот текущий член из другого уравнения KCL. Мы дважды учитываем входящие и исходящие потоки везде, даже если весь заряд сохраняется, что приводит к этому бесполезному дополнительному уравнению.

Это также относится и к более сложным примерам.Снова рассмотрим пример с тремя узлами, который мы рассмотрели выше:

Мы можем записать KCL на каждом узле, как мы делали выше:

i1 − i2 = 0 Узел Ai2 − i3 + i4 = 0 Узел B − i1 + i3 − i4 = 0 Узел C

В этом немного более сложном случае менее «очевидно», что они не являются линейно независимыми, но это все же верно. Чтобы убедиться в этом, сложите уравнение №1 и уравнение №2, затем умножьте его на -1, и вы получите уравнение №3.

Это обычная ловушка для начинающих решать проблемы, поэтому следите за ней.

На практике решением является не писать уравнение KCL для узла, выбранного в качестве наземного узла . Мы поговорим об этом подробнее в следующем разделе.

Закон напряжения Кирхгофа можно сформулировать несколькими разными способами с тем же основным смыслом.

Мы уже обсуждали в разделе «Напряжение и ток», как напряжение всегда составляет разницы между двумя точками. Даже когда мы определяем узел заземления для удобства, мы все равно смотрим на разницу напряжений относительно этого произвольно определенного заземления.

Первый способ сформулировать закон Кирхгофа по напряжению состоит в том, что общая разница напряжений между двумя точками A и B одинакова, независимо от того, какой путь вы выберете.

Это все равно, что сказать, что разница между человеком ростом 5 футов и человеком ростом 6 футов всегда будет составлять 1 фут. Неважно, если мы:

1. Поместите двух людей спиной к спине и измерьте разницу от макушки одной головы до другой, или
2. Измерьте расстояние от головы до пят и выполните вычитание, или
3. Измерьте их оба от потолка и выполните вычитание,
4. Попросите обоих встать на коробку, измерить от нижней части коробки и выполнить вычитание.

Во всех четырех случаях мы получаем разницу в высоте в 1 фут.

Давайте поместим этих двух людей в комнату и скажем, что плоскость x-y – это пол, а ось z направлена ​​к потолку.

Теперь представьте себе, что все четыре способа измерения представляют собой разные пути в пространстве между точками A (верхняя часть головы первого человека) и B (верхняя часть головы второго человека). Мы собираемся пройти по кривой каждого пути и сложить только вертикальное расстояние по оси Z, отслеживая положительное и отрицательное, когда мы идем по этим четырем путям.У нас всегда будет разница в 1 фут, независимо от того, какой путь мы выберем между A и B.

Мы можем игнорировать движение в других направлениях, потому что имеет значение только разница в высоте. (И точно так же для напряжений имеют значение только электрические поля , параллельные пути .)

Это может показаться простым, но на самом деле это все, что касается Закона Кирхгофа о напряжении.

Существует второй распространенный способ определения KVL: сумма напряжений на любом контуре равна нулю.Цикл определяется как любой путь, который начинается и заканчивается в одной и той же точке.

Чтобы применить к нашей аналогии с высотой, теперь говорится, что если вы начнете с вершины головы человека ростом 5 футов и сделаете любую петлю в пространстве, и вы сложите изменения высоты (ось z) по мере продвижения , вы получите ноль, когда вернетесь в исходную точку.

Утверждения «каждый цикл суммируется до нуля» и «каждый путь между A и B имеет одинаковую разницу напряжений» математически идентичны, потому что вы всегда можете выбрать путь от A до некоторой точки Q, а затем добавить любой путь обратно от Q обратно к A, чтобы сделать петлю.

Если вы изучали многомерное исчисление, это версия линейного интеграла в векторном поле – в данном случае электрическом поле – и существует потенциальная функция (само напряжение), поэтому линейный интеграл не зависит от пути, и электрическое поле – это градиент потенциальной функции. (Мы обсуждали это больше в разделе «Электроны в состоянии покоя».)

Мы только что говорили об измерении роста людей, но какое это имеет отношение к электронике?

Что ж, точно так же, как высота – это способ измерения гравитационной потенциальной энергии массы в гравитационном поле , точно так же напряжение – это способ измерения электрической потенциальной энергии заряда в электрическом поле .

Допустим, у нас есть высота A (выше) и высота B (ниже) и несколько маленьких стальных шарикоподшипников. Слева мы построили ящик, который принимает шары с высоты B и поднимает их на высоту A. Справа шары, выходящие из ящика, спускаются по пандусу с высоким коэффициентом трения, где они скатываются вниз и в конце концов останавливаются внизу, на высоте B. Оттуда они возвращаются в ящик слева, чтобы продолжить свой цикл.

Если мы сопоставим массы с зарядами, а высоту – с напряжениями, мы только что описали что-то вроде этой очень простой схемы с одним источником напряжения и одним резистором:

Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что разница напряжений между двумя точками, которые мы обозначили A и B, одинакова, независимо от того, идем ли мы по пути через источник напряжения или по пути через резистор.Вот несколько взаимозаменяемых определений в математических терминах:

vAB = ндс A относительно B

vAB = ∑ любой путь от B до Av

vAB = vB → A измеряется через источник напряжения = vB → A измеряется через резистор

vAB = v1 = v2

Обратите особое внимание на знаки и определения направлений пути. Мы рассмотрим эти вопросы более подробно в следующем разделе.

Ящик слева похож на источник напряжения: он берет шарикоподшипники (заряжает) и перемещает их из состояния с более низкой потенциальной энергией в более высокое.

Пандус справа похож на резистор: он переводит шарикоподшипники (заряды) из состояния с высокой потенциальной энергией обратно в более низкое, рассеивая эту энергию в виде тепла по пути.

Закон Кирхгофа о напряжении говорит нам, что потенциальная энергия (на единицу заряда), получаемая при «повышении» источника напряжения, равна потенциальной энергии (на единицу заряда), теряемой при «понижении» резистора. Вот способ сформулировать это предложение в виде петли: вы видите, что шарикоподшипники (заряды) образуют полную петлю.

Мы могли бы сделать петлевую версию KVL, сказав:

vBB = 0

vBB = vB → A, измеренное через источник напряжения + vA → B, измеренное через резистор

vBB = vB → A, измеренное через источник напряжения + (- vB → A, измеренное через резистор)

vBB = v1 + (- v2)

0 = v1 − v2

v1 = v2

Если это помогает вам понять, еще одна причина, по которой закон Кирхгофа должен выполняться, заключается в сохранении энергии: если бы это было не так, то заряд мог бы следовать по контуру, проходить через несколько компонентов и возвращаться обратно. откуда это началось, и набрались потенциальной энергии! Это было бы идеально для вечных двигателей, но не для законов термодинамики.

Обратите внимание, что закон Кирхгофа по напряжению определяется суммированием разностей напряжений. Как обсуждалось ранее в разделе «Напряжение и ток», все напряжения являются относительными, но иногда мы (для удобства) определяем землю, которая является нашим v = 0. Справка. В нашем примере измерения роста это все равно, что сказать, что не имеет значения, скажем ли мы z = 0. на полу, или z = 0 на пупке более короткого человека. Это произвольно. Несмотря ни на что, складываемые нами различия по оси Z будут одинаковыми.

Самое интересное в законе напряжения Кирхгофа состоит в том, что мы только что так сильно аргументировали, почему он должен быть «очевидным» истинным…

Однако вы можете удивиться, узнав, что в физике, лежащей в основе уравнений Максвелла, KVL на самом деле неверно! Закон индукции Фарадея:

∮ → E⋅ → dl = −dΦBdt

Это говорит о том, что напряжение, индуцированное в петле, равно скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную петлей.Таким образом, напряжение вокруг контура равно нулю только в том случае, если через этот контур не проходит изменяющийся во времени магнитный поток.

Мы упоминали об этой проблеме при обсуждении покоящихся электронов. Подводя итог: наша модель сосредоточенных элементов требует, чтобы мы предполагали, что закон напряжения Кирхгофа выполняется, но иногда мы вносим некоторые корректировки.

Например, каждая катушка индуктивности и трансформатор обычно имеют изменяющийся во времени магнитный поток, но мы просто включаем их в модель самого элемента схемы.Напряжение катушки индуктивности на самом деле такое же, как и в правом члене в законе Фарадея, но вместо того, чтобы рассматривать его как корректировку KVL, мы рассматриваем его как сам источник напряжения.

Однако, если есть внешних изменяющихся во времени магнитных полей, нам, возможно, придется побеспокоиться о них. Это может стать источником помех в электронике. Это причина, по которой большие электронные системы с контурами внутри могут быть проблемой, и одна из причин, почему контуры заземления также являются проблемой: они образуют большую поверхность для изменяющегося во времени магнитного потока, вызывающего паразитные напряжения в нашей системе.Однако мы обычно можем смоделировать этот эффект как дополнительный источник напряжения, если захотим.

А пока вы должны предположить, что закон напряжения Кирхгофа верен в вашем исследовании электроники. Просто сохраните эту деталь на тот случай, если вы начнете работать с изменяющимися во времени магнитными полями позже!

Сейчас мы находимся в той точке, где мы начинаем собирать воедино многие элементы, которые мы построили в предыдущих разделах:

• Модель сосредоточенных элементов и «Термодинамика, энергия и равновесие» обеспечивают концептуальную основу высокого уровня для рассмотрения систем, включая схемы.
• Системы уравнений предоставляет инструменты, чтобы знать, когда и как мы можем решить множество одновременных ограничений.
• Электроны в состоянии покоя дает нам понимание электрических сил, полей и потенциалов (напряжений).
• «Электроны в движении» помогает нам задуматься о том, как эти силы заставляют заряды двигаться и создавать токи.
• Напряжение и ток – основные переменные потенциальной энергии и расхода в электрических цепях.
Последовательные и параллельные резисторы
• дают нам интуитивное представление о том, как ведут себя напряжение и ток, когда мы объединяем несколько элементов.
• И, наконец, Закон Кирхгофа о напряжении и Закон Кирхгофа о токе (этот раздел) формализует эту интуицию и позволяет нам описывать ограничения на напряжение и ток в архитектуре любой схемной сети.

Следующие части головоломки состоят в том, чтобы объединить уравнения KCL и KVL с конкретными уравнениями элементов схемы (например, закон Ома), при этом тщательно пометив все токи и напряжения, а затем решив эти полные системы уравнений, чтобы понять, как эти ограничения и компоненты взаимодействуют, чтобы произвести определенное поведение схемы.

В следующем разделе «Обозначение напряжений, токов и узлов» мы обсудим, как правильно маркировать имена и направления всех напряжений и токов в цепи, что необходимо для создания согласованного набора уравнений схемы.

Роббинс, Майкл Ф. Ultimate Electronics: Практическое проектирование и анализ схем. CircuitLab, Inc., 2021, ultimateelectronicsbook.com. Доступно. (Авторское право © CircuitLab, Inc., 2021)

6.3 Правила Кирхгофа – Введение в электричество, магнетизм и электрические цепи

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

• Государственное правило Кирхгофа
• Государственное правило петли Кирхгофа
• Анализировать сложные схемы по правилам Кирхгофа

Мы только что видели, что некоторые схемы можно проанализировать, сведя схему к одному источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению. Многие сложные схемы не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в предыдущих разделах.В этом разделе мы подробно рассмотрим использование правил Кирхгофа для анализа более сложных схем. Например, схема на рисунке 6.3.1 известна как многоконтурная схема , которая состоит из переходов. Соединение, также известное как узел, представляет собой соединение трех или более проводов. В этой схеме нельзя использовать предыдущие методы, потому что не все резисторы имеют четкую последовательную или параллельную конфигурацию, которую можно уменьшить. Попробуйте. Резисторы и включены последовательно и могут быть уменьшены до эквивалентного сопротивления.То же самое и с резисторами и. Но что же тогда делать?

Несмотря на то, что эта схема не может быть проанализирована с использованием уже изученных методов, два правила анализа схемы могут использоваться для анализа любой схемы, простой или сложной. Правила известны как правила Кирхгофа , в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

(рисунок 6.3.1)

ПРАВИЛА КИРХГОФА

• Первое правило Кирхгофа – правило перехода . Сумма всех токов, входящих в соединение, должна равняться сумме всех токов, выходящих из соединения:
  

  (6.3.1)

• Второе правило Кирхгофа – правило петли. Алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг любого пути (контура) замкнутой цепи должна быть равна нулю:
  

  (6.3.2)

Теперь мы даем объяснения этих двух правил, сопровождаемые советами по решению проблем для их применения и рабочим примером, в котором они используются.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения) применяется к заряду, входящему в соединение и выходящему из него (рисунок 6.3.2). Как указывалось ранее, соединение или узел – это соединение трех или более проводов. Ток – это поток заряда, и заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, попадающий в переход, должен вытекать.

(рисунок 6.3.2)

Хотя это и является чрезмерным упрощением, можно провести аналогию с водопроводными трубами, соединенными в водопроводной разводке. Если провода на рис. 6.3.2 были заменены водопроводными трубами, а вода считалась несжимаемой, объем воды, поступающей в разветвление, должен был равняться объему воды, вытекающей из разветвления.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило петли ) применяется к разности потенциалов. Правило петли сформулировано в терминах потенциальной, а не потенциальной энергии, но они связаны между собой.В замкнутом контуре, какая бы энергия ни поступала от источника напряжения, энергия должна быть передана в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в цепь или из нее. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов, включая напряжение, подаваемое источниками напряжения и резистивными элементами, в любой петле должна быть равна нулю. Например, рассмотрим простую петлю без стыков, как на рисунке 6.3.3.

(рисунок 6.3.3)

Схема состоит из источника напряжения и трех внешних нагрузочных резисторов. Ярлыки,, и служат ссылками и не имеют другого значения. Скоро станет очевидна полезность этих этикеток. Петля обозначена как петля, и метки помогают отслеживать разницу напряжений при перемещении по цепи.Начните с точки и двигайтесь к ней. Напряжение источника напряжения добавляется к уравнению, а падение потенциала на резисторе вычитается. От точки до потенциальный перепад вычитается. От до вычитается потенциальный перепад. От пунктов до ничего не делается, потому что нет компонентов.

На рис. 6.3.4 показан график напряжения при перемещении по контуру. Напряжение увеличивается при прохождении через батарею, тогда как напряжение уменьшается при прохождении через резистор.Падение потенциала , или изменение электрического потенциала, равно току через резистор, умноженному на сопротивление резистора. Поскольку провода имеют незначительное сопротивление, напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

(рисунок 6.3.4)

Тогда правило петли Кирхгофа утверждает

Уравнение контура можно использовать для определения тока в контуре:

Этот цикл можно было бы проанализировать с помощью предыдущих методов, но мы продемонстрируем мощь метода Кирхгофа в следующем разделе.

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем набор линейных уравнений, которые позволяют нам находить неизвестные значения в схемах. Это могут быть токи, напряжения или сопротивления.Каждый раз, когда применяется правило, оно создает уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена.

Использование метода анализа Кирхгофа требует нескольких шагов, перечисленных в следующей процедуре.

Стратегия решения проблем: правила Кирхгофа

1. Обозначьте точки на принципиальной схеме строчными буквами. Эти метки просто помогают сориентироваться.
2. Найдите соединения в цепи. Соединения – это точки, в которых соединяются три или более проводов.Обозначьте каждое соединение токами и направлениями в него и из него. Убедитесь, что по крайней мере один ток направлен на соединение, а по крайней мере один ток выходит из соединения.
3. Выбрать петли в схеме. Каждый компонент должен содержаться хотя бы в одном цикле, но компонент может содержаться более чем в одном цикле.
4. Примените правило соединения. Опять же, некоторые стыки не следует включать в анализ. Вам нужно использовать достаточно узлов только для включения каждого тока.
5. Примените правило петли.Используйте карту на рисунке 6.3.5.

(рисунок 6.3.5)

Давайте подробнее рассмотрим некоторые этапы этой процедуры. При размещении переходов в цепи не обращайте внимания на направление токов. Если направление потока тока неочевидно, выбора любого направления достаточно, если хотя бы один ток направлен в соединение и хотя бы один ток выходит из соединения. Если стрелка находится в направлении, противоположном обычному потоку тока, результат для рассматриваемого тока будет отрицательным, но ответ все равно будет правильным.

Количество узлов зависит от схемы. Каждый ток должен быть включен в узел и, таким образом, включен по крайней мере в одно уравнение соединения. Не включайте узлы, которые не являются линейно независимыми, то есть узлы, содержащие одинаковую информацию.

Рассмотрим рисунок 6.3.6. В этой цепи есть два соединения: соединение и соединение. Точки,, и не являются соединениями, потому что соединение должно иметь три или более соединений. Уравнение для соединения есть, а уравнение для соединения есть.Это эквивалентные уравнения, поэтому необходимо оставить только одно из них.

(рисунок 6.3.6)

При выборе петель в схеме вам необходимо достаточное количество петель, чтобы каждый компонент был покрыт один раз, без повторения петель. На рис. 6.3.7 показаны четыре варианта петель для решения типовой схемы; варианты (a), (b) и (c) имеют достаточное количество циклов для полного решения схемы.Вариант (d) отражает больше петель, чем необходимо для решения схемы.

(рисунок 6.3.7)

Рассмотрим схему на Рисунке 6.3.8 (a). Давайте проанализируем эту схему, чтобы найти ток через каждый резистор. Сначала промаркируйте схему, как показано в части (b).

(рисунок 6.3.8)

Далее определяем перекрестки. В этой схеме точки и каждая имеют по три соединенных провода, что делает их соединениями. Начните применять правило соединения Кирхгофа, нарисовав стрелки, представляющие токи, и пометив каждую стрелку, как показано на рисунке 6.3.9 (б). Junction показывает это, а Junction это показывает. Поскольку Junction предоставляет ту же информацию, что и Junction, ее можно не принимать во внимание. Эта схема имеет три неизвестных, поэтому для ее анализа нам понадобятся три линейно независимых уравнения.

(рисунок 6.3.9)

Далее нам нужно выбрать петли.На рисунке 6.3.10 контур включает источник напряжения, резисторы и. Цикл начинается с точки, затем проходит через точки, и, а затем возвращается к точке. Вторая петля, петля, начинается в точке и включает резисторы и источник напряжения.

(рисунок 6.3.10)

Теперь мы можем применить правило цикла Кирхгофа, используя карту на рис. 6.3.5. Начиная с точки и двигаясь к точке, резистор пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается.При перемещении от точки к точке резистор пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается. При перемещении от точки к точке источник напряжения пересекается от отрицательной клеммы к положительной, поэтому добавляется. Между точками и нет компонентов. Сумма разностей напряжений должна равняться нулю:

Наконец, проверяем цикл. Мы начинаем с точки и переходим к точке, пересекаясь в направлении, противоположном текущему потоку.Потенциальное падение добавлено. Затем мы пересекаем и в том же направлении, что и ток, и вычитаем падение потенциала и. Обратите внимание, что через резисторы и ток одинаковый, потому что они соединены последовательно. Наконец, источник напряжения пересекается с положительной клеммы на отрицательную, а источник напряжения вычитается. Сумма этих разностей напряжений равна нулю и дает уравнение контура

Теперь у нас есть три уравнения, которые мы можем решить относительно трех неизвестных.

Чтобы решить три уравнения для трех неизвестных токов, начните с исключения тока. Сначала добавьте уравнение. (1) раз к формуле. (2). Результат обозначен как уравнение. (4):

Затем вычтите уравнение. (3) из уравнения. (2). Результат обозначен как уравнение. (5):

Мы можем решить уравнения. (4) и (5) для тока. Сложив семь раз уравнение. (4) и троекратное уравнение. (5) приводит к, или. Используя уравнение.(4) приводит к. Наконец, уравнение. (1) дает. Один из способов проверить соответствие решений – проверить мощность, подаваемую источниками напряжения, и мощность, рассеиваемую резисторами:

Обратите внимание, что решение для тока отрицательное. Это правильный ответ, но он предполагает, что стрелка, первоначально нарисованная при анализе соединений, имеет направление, противоположное направлению обычного тока. Питание от второго источника напряжения есть и нет.

ПРИМЕР 6.3.1

Расчет тока по правилам Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на рисунке 6.3.11.

(рисунок 6.3.11)

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, поэтому токи не могут быть найдены с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов – необходимо использовать правила Кирхгофа.На рисунке обозначены токи, и сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме отмечены сквозными буквами. В решении мы применяем правила перехода и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам найти три неизвестных тока.

Решение

Применение правил соединения и петли дает следующие три уравнения. У нас есть три неизвестных, поэтому требуется три уравнения.

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений.

Упростите уравнения. Уравнение первого цикла можно упростить, разделив обе части на. Второе уравнение петли можно упростить, разделив обе части на.

Результатов:

Значение

Метод проверки расчетов заключается в вычислении мощности, рассеиваемой резисторами, и мощности, подаваемой источниками напряжения:

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами.

ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 6.6

При рассмотрении следующей схемы и мощности, подаваемой и потребляемой схемой, всегда ли источник напряжения обеспечивает питание схемы или может ли источник напряжения потреблять энергию?

ПРИМЕР 6.3.2

Расчет тока по правилам Кирхгофа

Найдите ток, протекающий в цепи, показанной на рисунке 6.3.12.

(рисунок 6.3.12)

Стратегия

Эту схему можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа. Есть только один цикл и нет узлов. Выберите направление тока. В этом примере мы будем использовать направление по часовой стрелке от точки к точке. Рассмотрим цикл и воспользуйтесь рисунком 6.3.5, чтобы написать уравнение цикла. Обратите внимание, что согласно рисунку 6.3.5, батарея будет добавлена, а батарея вычтена.

Решение

Применение правила соединения дает следующие три уравнения. У нас есть одно неизвестное, поэтому требуется одно уравнение:

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений. Используйте значения, указанные на рисунке.

Значение

Мощность, рассеиваемая или потребляемая схемой, равна мощности, подаваемой в схему, но обратите внимание, что ток в батарее течет через батарею от положительной клеммы к отрицательной клемме и потребляет мощность.

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами и потребляемой батареей.

ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 6.7

При использовании законов Кирхгофа вам необходимо решить, какие петли использовать, и направление тока, протекающего через каждую петлю. При анализе схемы в Примере 6.3.2 направление тока было выбрано по часовой стрелке от точки a к точке b .Как бы изменились результаты, если бы направление тока было выбрано против часовой стрелки, от точки к точке?

Несколько источников напряжения

Для многих устройств требуется более одной батареи. Несколько источников напряжения, таких как батареи, могут быть подключены в последовательной конфигурации, параллельной конфигурации или их комбинации.

Последовательно положительная клемма одной батареи соединена с отрицательной клеммой другой батареи. Любое количество источников напряжения, в том числе аккумуляторы, можно подключать последовательно.Две последовательно соединенные батареи показаны на рисунке 6.3.13. Использование правила петли Кирхгофа для схемы в части (b) дает результат

(рисунок 6.3.13)

Когда источники напряжения включены последовательно, их внутренние сопротивления можно складывать вместе, а их ЭДС можно складывать вместе, чтобы получить общие значения.Последовательное соединение источников напряжения является обычным явлением, например, в фонариках, игрушках и других приборах. Обычно ячейки включены последовательно, чтобы обеспечить большую суммарную ЭДС. На рисунке 6.3.13 напряжение на клеммах равно

Обратите внимание, что в каждой батарее присутствует одинаковый ток, поскольку они соединены последовательно. Недостаток последовательного соединения ячеек в том, что их внутренние сопротивления складываются.

Батареи соединены последовательно для увеличения напряжения, подаваемого в цепь.Например, светодиодный фонарик может иметь две батарейки типа ААА, каждая с напряжением на клеммах, чтобы обеспечить фонарик.

Любое количество батарей можно подключить последовательно. Для аккумуляторов, включенных последовательно, напряжение на зажимах равно

(6.3.3)

, где эквивалентное сопротивление.

Когда нагрузка подключается к источникам напряжения последовательно, как показано на рисунке 6.3.14, мы можем найти ток:

Как и ожидалось, внутренние сопротивления увеличивают эквивалентное сопротивление.

(рисунок 6.3.14)

Источники напряжения, такие как батареи, также можно подключать параллельно. На рисунке 6.3.15 показаны две батареи с одинаковыми ЭДС, включенные параллельно и подключенные к сопротивлению нагрузки. Когда батареи подключаются параллельно, положительные клеммы соединяются вместе, а отрицательные клеммы соединяются вместе, а сопротивление нагрузки подключается к положительной и отрицательной клеммам.Обычно источники напряжения, включенные параллельно, имеют идентичные ЭДС. В этом простом случае, поскольку источники напряжения подключены параллельно, общая ЭДС равна индивидуальной ЭДС каждой батареи.

(рисунок 6.3.15)

Рассмотрим анализ Кирхгофа схемы на рис. 6.3.15 (b). В точке и есть две петли и узел.

Расчет тока через нагрузочный резистор дает, где. Напряжение на клеммах равно падению потенциала на нагрузочном резисторе. Параллельное соединение снижает внутреннее сопротивление и, таким образом, может производить больший ток.

Параллельно можно подключить любое количество батарей. Для аккумуляторов, включенных параллельно, напряжение на зажимах равно

(6.3,4)

, где эквивалентное сопротивление.

Например, в некоторых грузовиках с дизельным двигателем параллельно используются две батареи; они производят полную ЭДС, но могут обеспечить больший ток, необходимый для запуска дизельного двигателя.

Таким образом, напряжение на клеммах последовательно соединенных батарей равно сумме индивидуальных ЭДС минус сумма внутренних сопротивлений, умноженная на ток. Когда батареи соединены параллельно, они обычно имеют равные ЭДС, а напряжение на клеммах равно ЭДС минус эквивалентное внутреннее сопротивление, умноженное на ток, где эквивалентное внутреннее сопротивление меньше, чем отдельные внутренние сопротивления.Аккумуляторы подключаются последовательно для увеличения напряжения на клеммах нагрузки. Аккумуляторы подключаются параллельно для увеличения тока нагрузки.

Массив солнечных батарей

Другой пример, имеющий дело с несколькими источниками напряжения, – это комбинация солнечных элементов , соединенных как последовательно, так и параллельно, чтобы обеспечить желаемое напряжение и ток. Фотогальваническая генерация, которая представляет собой преобразование солнечного света непосредственно в электричество, основана на фотоэлектрическом эффекте.Фотоэлектрический эффект выходит за рамки этого учебника, но, как правило, фотоны, ударяясь о поверхность солнечного элемента, создают в нем электрический ток.

Большинство солнечных элементов изготовлено из чистого кремния. Большинство отдельных ячеек имеют выходное напряжение около, в то время как выходной ток зависит от количества солнечного света, падающего на элемент (падающее солнечное излучение, известное как инсоляция). При ярком полуденном солнечном свете типичные монокристаллические элементы производят ток на единицу площади примерно равной площади поверхности ячейки.

Отдельные солнечные элементы электрически соединены в модулях для удовлетворения потребностей в электроэнергии. Их можно соединить последовательно или параллельно – как батареи, о которых говорилось ранее. Матрица или модуль солнечных элементов обычно состоит из промежуточных элементов и элементов с выходной мощностью до.

Солнечные элементы, как и батареи, вырабатывают напряжение постоянного тока. Ток от источника постоянного напряжения однонаправлен. Большинству бытовых приборов требуется переменное напряжение.

Кандела Цитаты

Лицензионный контент CC, особая атрибуция

• Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/7a0f9770-1c44-4acd-9920-1cd9a99f2a1e@8.1. Получено с : http://cnx.org/contents/7a0f9770-1c44-4acd-9920-1cd9a99f2a1e@8.1. Лицензия : CC BY: Attribution

Закон Кирхгофа по току и напряжению (KCL & KVL)

Немецкий физик Роберт Кирхгоф ввел в 1847 году два важных электрических закона, с помощью которых мы можем легко найти эквивалентное сопротивление сложная сеть и протекающие токи в разных проводниках.Цепи переменного и постоянного тока можно решить и упростить, используя эти простые законы, известные как закон Кирхгофа по току (KCL) и закон Кирхгофа по напряжению (KVL).

Также обратите внимание, что KCL выводится из уравнения непрерывности заряда в электромагнетизме, в то время как KVL выводится из уравнения Максвелла-Фарадея для статического магнитного поля (производная B по времени равна 0)

Согласно KCL, в любой момент алгебраическая сумма текущих токов через точку (или соединение) в сети равна нулю (0) или в любой электрической сети алгебраическая сумма токов, встречающихся в точке (или соединение) равно нулю (0).Этот закон также известен как точечный закон или текущий закон.

В любой электрической сети алгебраическая сумма входных токов в точку и выходных токов из этой точки равна нулю. Или токи на входе в точку равны токам на выходе из этой точки.

Другими словами, сумма токов, текущих к точке, равна сумме токов, текущих от нее. Или алгебраическая сумма токов, входящих в узел, равна алгебраической сумме выходящих из него токов.

Предположим, что некоторые проводники встречаются в точке «A», как показано на рис. 1.a. в некоторых проводниках токи поступают в точку «А», в то время как в других проводниках токи уходят или исходят из точки «А».

Считайте входящие или входящие токи «положительными (+) в направлении точки« A », в то время как уходящие или исходящие токи из точки« A »считаются« отрицательными (-) ».
, затем:

I ₁ + (-I ₂ ) + (-I ₃ ) + (-I ₄ ) + I ₅ = 0

OR

I ₁ + I ₅ -I ₂ -I ₃ -I ₄ = 0

OR

I ₁ + I ₅ = I ₂ + I ₃ + I ₄ = 0

и.е.
Входящие или входящие токи = выходящие или исходящие токи
Или
ΣI Вход = ΣI Выход

Например, 8A приближается к точке, а 5A плюс 3A выходят из этой точки на рис. 1.b, следовательно,
8A = 5A + 3А
8А = 8А.

Второй закон Кирхгофа гласил:
В любом замкнутом пути (или цепи) в сети алгебраическая сумма IR-продукта равна ЭДС в этом пути.
Другими словами, в любом замкнутом контуре (который также известен как Mesh) алгебраическая сумма приложенной ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжения в элементах. Второй закон Кирхгофа также известен как закон напряжения или закон сетки.
ΣIR = ΣE

Замкнутый контур показан на рис., Который содержит два соединения батарей E ₁ и E ₂ . Общая сумма E.M.F батарей обозначена E ₁ -E ₂ .Воображаемое направление тока также показано на рис.

E ₁ управляют током в таком направлении, которое должно быть положительным, в то время как E ₂ мешает в направлении тока (то есть в направлении, противоположном предполагаемому направлению тока), следовательно, это принято как отрицательный. Падение напряжения в этой замкнутой цепи зависит от произведения напряжения и тока.

Падение напряжения в предполагаемом направлении тока известно как положительное падение напряжения, а другое – отрицательное падение напряжения.

На приведенном выше рисунке I ₁ R ₁ и I ₂ R ₂ – положительное падение напряжения, а I ₃ R ₃ и I ₄ R ₄ – отрицательное напряжение V.D.
Если мы обойдем замкнутую цепь (или каждую сетку) и умножим сопротивление проводника на протекающий в нем ток, то сумма IR будет равна сумме приложенных источников ЭДС, подключенных к цепи.

Общее уравнение для вышеуказанной схемы:

E ₁ -E ₂ = i ₁ R ₁ + i 2R ₂ – _{i 3} R ₃ – _{i 4} R ₄

Если мы пойдем в предполагаемом направлении тока, как показано на рисунке, то произведение IR будет положительным, в противном случае отрицательным.

Полезно знать:
Направление тока:
Очень важно определять направление тока при решении схем по законам Кирхгофа.
Направление тока можно предполагать по часовой стрелке или против часовой стрелки. После того, как вы выберете собственное направление тока, вам нужно будет применить и поддерживать одно и то же направление для всей цепи до окончательного решения схемы.

Если мы получили окончательное значение как положительное, это означает, что предполагаемое направление тока было правильным.В случае отрицательных значений, тогда ток направления меняется на противоположный по сравнению с предполагаемым.

Пример:

Резисторы R ₁ = 10 Ом, R ₂ = 4 = 8 Ом подключаются до двух батарей (с незначительным сопротивлением), как показано. Найдите ток через каждый резистор.

Решение:
Предположим, что токи текут в направлениях, указанных стрелками.
Примените KCL к соединениям C и A.
Следовательно, ток в ячейке ABC = i ₁
Ток в ячейке CA = i ₂
Тогда ток в ячейке CDA = i ₁ – i ₂

Теперь примените KVL к сетке ABC, 20 В действуют по часовой стрелке. Приравнивая сумму IR произведений, получаем:
10 i ₁ + 4 i ₂ = 20 ……………. (1)

В сети ACD 12 вольт действуют по часовой стрелке, затем:
8 ( i ₁ – i ₂ ) – 4 i ₂ = 12

8 i ₁ – 8 i ₂ – 4 i ₂ = 12
8 i ₁ – 12 i ₂ = 12 …………….(2)

Умножение уравнения (1) на 3;
30 i ₁ + 12 i ₂ = 60

Решение для i ₁
30 i ₁ + 12 i ₂ = 60
8 i ₁ – 12 i ₂ = 12

______________
38 i ₁ = 72

i ₁ = 72/38 = 1,895 Ампер = Ток в резисторе 10 Ом

Подставляя это значение в (1), получаем:
10 (1,895) + 4 i ₂ = 20

4 i ₂ = 20 – 18,95

i ₂ = 0,263 Ампер = Ток в резисторах 4 Ом.

Сейчас,
i ₁ – i ₂ = 1.895 – 0,263 = 1,632 Ампер

• Законы Кирхгофа можно использовать для определения значений неизвестных значений, таких как ток, напряжение, ток, а также направление потока. значения в цепи.
• Эти законы могут быть применены к любой цепи * (см. Ограничение законов Кирхгофа в конце статьи), но полезны для поиска неизвестных значений в сложных схемах и сетях.
• Также используется в узловом и сеточном анализе для определения значений тока и напряжения.
• Ток через каждую независимую петлю передается за счет применения KVL (каждая петля) и тока в любом элементе схемы путем подсчета всего тока (применимо в методе тока петли).
• Ток через каждую ветвь передается за счет применения KCL (каждого перехода) KVL в каждом контуре цепи (применимо в методе тока контура).
• Законы Кирхгофа полезны для понимания передачи энергии через электрическую цепь.

Полезно знать:

Эти полезные правила необходимо учитывать при упрощении и анализе электрических цепей по законам Кирхгофа:

• Падение напряжения в контуре из-за тока по часовой стрелке считается положительным (+) Падение напряжения.
• Падение напряжения в контуре из-за тока, направленного против часовой стрелки, считается отрицательным (-) падением напряжения.
• Ток, потребляемый батареей по часовой стрелке, считается положительным (+).
• Ток, потребляемый батареей против часовой стрелки, считается положительным (-).

• KCL применяется при условии, что ток течет только по проводам и проводам. В то время как в высокочастотных цепях, где паразитная емкость больше не может игнорироваться. В таких случаях ток может течь в разомкнутой цепи, потому что в этих случаях проводники или провода действуют как линии передачи.
• KVL применимо при условии отсутствия флуктуирующего магнитного поля, связывающего замкнутый контур.В то время как при наличии изменяющегося магнитного поля в высокочастотных, но коротковолновых цепях переменного тока электрическое поле не является консервативным векторным полем. Таким образом, электрическое поле не может быть градиентом какого-либо потенциала, а линейный интеграл электрического поля вокруг контура не равен нулю, что прямо противоречит KVL. Поэтому КВЛ в таком состоянии неприменим.
• Во время передачи энергии от магнитного поля к электрическому, когда в KVL необходимо ввести помадку, чтобы заставить P.