Содержание

§4. Закон Кулона. Электрическое поле

Закон Кулона сформулирован для силы взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, т. е. для зарядов, размеры которых малы по сравнению с расстоянием r, на котором рассматривается данное взаимодействие, и имеет вид:

(4.1)

Где

— величины зарядов, — расстояние между ними, — сила взаимодействия, — коэффициент пропорциональности: =9. В некоторых случаях записывают: =, где — электрическая постоянная, тогда.

Он был установлен Ш. О. Кулоном (1736-1806) в 1785 г. Посредством прямых измерений сил взаимодействия между заряженными телами.

Закон Кулона (4.1) входит в число основных экспериментальных фактов, на которых построено учение об электричестве. Проверка его справедливости и установление границ применимости являются важнейшими задачами, на решение которых были направлены значительные усилия экспериментаторов.

Проверка закона (4.1) посредством Прямого измерения сил взаимодействия С очень большой точностью затруднительна, поскольку в распоряжении экспериментаторов нет покоящихся точечных зарядов. Поэтому С результатами экспериментов обычно Сравнивают следствия из закона Кулона и на Этой основе делаются заключения о Границах его применимости и точности.

Первая экспериментальная проверка закона была проведена в 1772 г. Г. Кавендишем (1731-1810) за 13 лет до открытия его Кулоном. Однако он не опубликовал своей работы и тем самым потерял приоритет на открытие. Рукопись, содержащая описания его опытов, была найдена в архивах лишь примерно в конце 60-х годов XIX столетия. Метод Кавендиша широко применялся и в последнее время позволил проверить закон кулона с большой точностью.

Закон Кулона многократно проверялся и в настоящее время достоверно установлено, что он справедлив для расстояний от 10

М до10М. Нет сомнений, что и для больших расстояний закон Кулона так же хорошо выполняется, однако прямых экспериментальных проверок не проводилось.

Полевая трактовка закона Кулона.

До работ Фарадея закон Кулона трактовался с позиции Дальнодействия, т. е. Считалось, что одно тело действует на другое как бы без посредников. Поэтому и называлась это концепция как действие на расстоянии. В первой половине XIX в. выработалась другая точка зрения на механизм взаимодействия, согласно которой Взаимодействие между телами осуществляется лишь посредством непрерывной «передачи сил» через пространство между телами. Такое представление получило название концепции Близкодействия. Она была введена в науку Фарадеем (1791-1867) в ряде работ, опубликованных в период с 1831 по 1855 г. Вместе с идеей близкодействия в науку вошло представление о поле как посреднике, осуществляющем взаимодействие. В процессе научных исследований была доказана несостоятельность теории дальнодействия. Согласно теории близкодействия взаимодействие выглядит так: заряд создает электрическое поле, которое действует на другой заряд, внесенный в это поле, т. е

Или

Пусть имеется некоторое заряженное тело с зарядом

, а точка находится на некотором расстоянии от него. Если в точку вносить пробные заряды и измерять силу, которая действует на эти заряды: ,то можно установить что и является величиной постоянной, зависящей лишь от заряда и расстояния до точки . Эту величину и назвали напряженностью электрического поля. Таким образом напряженность поля – это величина, равная отношению силы, действующей на заряд, внесенный в данную точку полч к величине этого заряда.. (4.2)

Откуда следует, что

(4.3)

— величина, равная отношению силы внесенной в данную точку к величине заряда.

Если оба заряда точечные, то из (4.1) и (4.2) следует

(4.4)

Принцип суперпозиции.

Экспериментально были установлены следующие факты:

1) сила взаимодействия двух точечных зарядов не изменяется в присутствии других зарядов;

2) сила, действующая на точечный заряд со стороны других точечных зарядов равна векторной сумме сил, действующих на него со стороны каждого из зарядов при отсутствии других, т. е.

. Тогда (4.5)

Это утверждение называется принципом суперпозиции. Оно отражает экспериментальный факт, составляющий одну из основ учения об электричестве. По своей роли он столь же важен, как и закон Кулона.

Справедливость принципа суперпозиции установлена для полей с напряженностью до 1022 В/м. Внутри атомов напряженность поля 1011 – 1017 В/м и лишь у поверхности очень тяжелых ядер 1022 В/м.

Если имеются заряженные тела, то напряженность поля в некоторой точке вычисляется следующим образом: тело разбивается на элементы DV, DS, Dl, содержащие заряд Dq, т. е.

, , , (4.6)

Где

— линейная плотность зарядов.

Напряженность поля, создаваемого элементом Dq В некоторой точке равна

, (4.7)

Затем используя принцип суперпозиции, находим напряженность поля

. (4.8)

Закон кулона. Электрическое поле

Подробности
Категория: Общая электроника и электротехника

Два наэлектризованных тела действуют одно на другое с силой, пропорциональной величине заряда или количеству электричества на этих телах и обратно пропорционально квадрату расстояния между телами, если собственные размеры этих тел малы по сравнению с расстоянием между ними.

Эта зависимость силы взаимодействия от величины зарядов и расстояния межу ними была установлена опытным путем физиком Кулоном. Позднейшие исследования показали, что сила взаимодействия между зарядами зависит также от среды, в которой находятся заряды.

Опыты привели Кулона к установлению следующего закона: два физических точечных заряда q1 и q2, находясь в однородной среде с относительной электрической проницаемостью е на расстоянии r,действует один на другой с силой 

F, пропорциональной произведению этих зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. физически точечными заряды называются в том случае, если собственные размеры их малы по сравнению с расстоянием между ними. формула Кулона имеет вид: =(q1q2)/(4??·?0r 2), где ?0=8,85 · 10–12Ф/м – электрическая проницаемость пустоты. ? – относительная электрическая проницаемость. Она показывает, во сколько раз при прочих равных условиях сила взаимодействия двух зарядов в какой-либо среде меньше, чем в пустоте. Относительная электрическая проницаемость – безразмерная величина.

Оценка интенсивности электрического поля производится по механическим силам, с которыми поле действует на заряженные тела. Так как по закону Кулона сила взаимодействия между зарядами в данной среде зависит от величины зарядов и расстояния между ними, то за количественную меру поля принимают механическую силу, с которой поле в данный момент пространства действует на единичный положительный заряд, помещенный в эту точку. Эта величина называется напряженностью электрического поля и обозначается Е. Согласно определению 

Е=F/q. Приравнивая единице один из зарядов в формуле Кулона, получим выражение для напряженности поля Е в точке, удаленной на расстоянии rот физического точечного заряда: Е q/(4???0r2), а для пустоты, у которой относительная электрическая проницаемость равна единице: Е q/(4??0r 2).

Единица измерения напряженности – В/м.

Электрическое поле, напряженность которого в разных точках пространства одинакова по величине и по направлению, называется однородным полем.

При изучении различных физических явлений приходится встречаться со скалярными и векторными величинами.

Положительный электрический заряд, внесенный в поле положительно заряженного тела шарообразной формы, удаленного от других зарядов, будет отталкиваться по прямой линии, являющейся продолжением радиуса заряженного тела. Помещая электрический заряд в различные точки поля заряженного шара и отмечая траектории движения заряда под действием его электрических сил, получаем ряд радикальных прямых, расходящихся во все стороны. Эти воображаемые линии, по которым стремится двигаться положительный, лишенный инерции заряд, внесенный в электрическое поле, называются электрическими силовыми линиями. В электрическом поле можно провести любое число силовых линий. С помощью графических линий можно графически изобразить не только направление, но и напряженности электрического поля в данной точке.

Количество электричества, приходящееся на единицу поверхности заряженного тела, называется поверхностной плотностью электрического заряда. Она зависит от количества электричества на теле, а также от формы поверхности проводника.

Закон Кулона. Напряженность электрического поля

Господа, всем большое приветствие! Сегодня мы рассмотрим тему взаимодействия зарядов, познакомимся с законом Кулона

, узнаем, что такое напряженность электрического поля, а также научимся рисовать силовые линий. Начинаем прямо сейчас!

Господа, современная теория физики утверждает, что заряды действуют друг на друга не напрямую, а посредством электрического поля. То есть каждый зарядик вокруг себя в пространстве создает поле и посредством этого поля оказывает воздействие на другие заряды.

Что вообще такое электрическое поле? Да по сути толком этого никто не знает . Есть мнение, что это типа такой вид материи. Что оно создается электрическими зарядами. Если где-то есть электрический заряд – вокруг него по-любому будет электрическое поле. И это поле будет действовать на другие заряды. Заряды действуют друг на друга не иначе, как посредством электрического поля, которое каждый заряд и создает.

Итак, заряды действуют друг через друга не напрямую, а посредством того, что каждый из них создает вокруг себя электрическое поле. Но, наверное, должны существовать законы, может быть даже математические формулы, которые формально описывают этот процесс и позволяют вычислить силы, с которыми эти самые заряды взаимодействуют. Действительно, такой закон есть и называется он закон Кулона.

Пусть у нас есть два заряда q1 и q2. Формально они должны быть точечными. Тогда сила их взаимодействия в вакууме прямо пропорциональна произведению этих двух зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Вот, собственно, и весь закон Кулона. Резонный вопрос – а откуда это все взялось и почему я должен верить?! Господа, закон экспериментальный, математически он ниоткуда не выводится. Ну, т.е. уважаемый господин Кулон провел ряд экспериментов по взаимодействию зарядов на так называемых крутильных весах. И на основе обобщения опытных данных он и получил это выражение. Кто не верит – гугл в помощь. Найдете схему установки и можете повторить путь самого Кулона.

Господа, помним, что у нас там есть коэффициент k, про который пока не было сказано ни слова. Он равен

где ε0 = 8,85⋅10-12электрическая постоянная.

Вполне ожидаемый вопрос – а чо так сложно-то?!

Господа, все из-за путаницы с система исчисления. Есть такая система исчисления СГСЭ – такая, где силы измеряются в динах и прочие непотребства на взгляд любителей православной системы СИ. Так вот, первоначально закон писался под эту систему и в ней-таки k=1. А при переводе в систему СИ все это безобразие и повылазило. Разделить же k на 4π и ε0 пригодится в дальнейшем они много когда применяются по раздельности.

Еще, господа, вы, вероятно, обратили внимание, что при записи закона Кулона речь шла про вакуум? А что же будет в какой-нибудь среде? Если заряды взаимодействуют в водичке? Или в масле? Или еще где?

Господа, сила взаимодействия там будет меньше в несколько раз! А во сколько? В ε раз. Да, вводится специальный коэффициент ε, который называется диэлектрическая проницаемость среды и как раз показывает, во сколько раз сила взаимодействия зарядов в этой среде меньше, чем в вакууме. Это величина табличная. Так что, господа, если интересно – го в гугл и там найдете для вашего вещества какая у него диэлектрическая проницаемость среды.

Итак, закон Кулона для случая взаимодействия зарядов в среде будет выглядеть так:

А теперь сделаем финт ушами. Из курса механики, который, надеюсь вы помните, сила – векторная величина. А у нас пока везде фигурировали скаляры. Как перейти к векторам? Например, вот так:

Теперь все честно, у нас векторы.   – радиус вектор от одного заряда к другому. Такая запись удобна тем, что позволяет вести расчет для случая взаимодействия нескольких зарядов в произвольных местах пространства. Тогда силы складываются по закону сложения векторов. Однако для простейшего случая одно

r сокращается и все остается по-прежнему.

Хорошо, электрическое поле создается зарядами, это понятно. Но чем же характеризовать это самое поле? Ответ весьма очевиден с одной стороны и может быть немного неожиданный с другой. Господа, прошу вас посмотреть на формулу закона Кулона чуть-чуть под другим углом. Представим себе, что заряд q1 является источником электрического поля и в его поле мы помещаем пробный заряд q2. Изменяя заряд q2 у нас изменится и сила F (ее считаем по закону Кулона), с которой на него действует заряд q1. Отношение же этой силы к пробному заряду q2 все время постоянно. И может быть использовано как характеристика поля заряда q1. Это напряженность электрического поля.

Да, это так же векторная величина. Потому что сила – векторная величина. Однако во многих простых случаях все легко сводится к скалярам по принципам, описанным выше.

Господа, из написанной формулы видно, что напряженность электрического поля зависит от заряда, который его создает и от расстояния до источника заряда. Ну, то есть чем больше заряд и чем мы ближе к нему, тем напряженность поля больше.

Зная напряженность электрического поля легко определить, с какой силой поле действует на заряд, помещенный в это поле:

Если же у нас несколько полей в пространстве, то аналогично тому, как складываются силы, будут складываться и напряженности поля:

Так уж повелось, что человек гораздо лучше воспринимает материал, если ему нарисовать красивую картинку. Я так вообще на слух, без рисунков вообще очень плохо суть улавливаю. Так же и с полем. Мы говорили типа это особая форма материи и все такое. А теперь, оказывается, мы можем нарисовать поле! Ну, это, конечно, очень смелое выражение. На деле мы будем графически характеризовать поле с помощью так называемых

силовых линий. Господа, внимание. Немного выносящее мозг определение. Силовые линии – это такие линий, касательные к которым везде совпадают с пектором напряженности. Ну то есть надо нарисовать такую линию, что бы вектор напряженности был к ней касательным к каждой точке поля. Силовые линии имеют направление. Они идут от плюса к минусу. Кроме того, силовые линии никогда не пересекаются друг с другом.

Привожу примеры рисунков, на вырисовывание которых я убил пару часов! Все для вас, господа!

На рисунке 1 приведены силовые линии одиночного положительного заряда. Они исходят от него и идут далеко-далеко в окружающее пространство. С ростом расстояния число линий на квадратный метр становится все меньше и меньше, линии идут более разреженно. Это эквивалентно уменьшению напряженности поля. То же самое подтверждает и формулка.

Рисунок 1 – Силовые линии положительного заряда

На рисунке 2 приведена картина силовых линий двух зарядов одного знака.  В нашем примере для отрицательных. Например, двух электронов. Силовых линий нет между зарядами, они отталкивают друг друга.

Рисунок 2 – Силовые линии двух отрицательных зарядов друг рядом с другом

На рисунке 3 приведена картина напряженности поля для двух зарядов разных знаков. Силовые линии густо сосредоточены между ними – там высокая интенсивность поля.

Рисунок 3 – Силовые линии положительного и отрицательного зарядов.

Итак, силовые линии – отличный инструмент для лучшего понимания поля.

Господа, сегодня мы определили как взаимодействуют между собой электрические заряды, познакомились с законом Кулона, узнали про напряженность электрического поля и порисовали силовые линии. Думаю, вполне достаточно. Всем пока и огромных успехов!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.


Электростатика – Физика – Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

 

Основные теоретические сведения

Электрический заряд и его свойства

К оглавлению…

Электрический заряд – это физическая величина, характеризующая способность частиц или тел вступать в электромагнитные взаимодействия. Электрический заряд обычно обозначается буквами q или Q. В системе СИ электрический заряд измеряется в Кулонах (Кл). Свободный заряд в 1 Кл – это гигантская величина заряда, практически не встречающаяся в природе. Как правило, Вам придется иметь дело с микрокулонами (1 мкКл = 10–6 Кл), нанокулонами (1 нКл = 10–9 Кл) и пикокулонами (1 пКл = 10–12 Кл). Электрический заряд обладает следующими свойствами:

1. Электрический заряд является видом материи.

2. Электрический заряд не зависит от движения частицы и от ее скорости.

3. Заряды могут передаваться (например, при непосредственном контакте) от одного тела к другому. В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемой характеристикой данного тела. Одно и то же тело в разных условиях может иметь разный заряд.

4. Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными.

5. Все заряды взаимодействуют друг с другом. При этом одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. Силы взаимодействия зарядов являются центральными, то есть лежат на прямой, соединяющей центры зарядов.

6. Существует минимально возможный (по модулю) электрический заряд, называемый элементарным зарядом. Его значение:

e = 1,602177·10–19 Кл ≈ 1,6·10–19 Кл.

Электрический заряд любого тела всегда кратен элементарному заряду:

где: N – целое число. Обратите внимание, невозможно существование заряда, равного 0,5е; 1,7е; 22,7е и так далее. Физические величины, которые могут принимать только дискретный (не непрерывный) ряд значений, называются квантованными. Элементарный заряд e является квантом (наименьшей порцией) электрического заряда.

7. Закон сохранения электрического заряда. В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех тел остается постоянной:

Закон сохранения электрического заряда утверждает, что в замкнутой системе тел не могут наблюдаться процессы рождения или исчезновения зарядов только одного знака. Из закона сохранения заряда так же следует, если два тела одного размера и формы, обладающие зарядами q1 и q2 (совершенно не важно какого знака заряды), привести в соприкосновение, а затем обратно развести, то заряд каждого из тел станет равным:

С современной точки зрения, носителями зарядов являются элементарные частицы. Все обычные тела состоят из атомов, в состав которых входят положительно заряженные протоны, отрицательно заряженные электроны и нейтральные частицы – нейтроны. Протоны и нейтроны входят в состав атомных ядер, электроны образуют электронную оболочку атомов. Электрические заряды протона и электрона по модулю в точности одинаковы и равны элементарному (то есть минимально возможному) заряду e.

В нейтральном атоме число протонов в ядре равно числу электронов в оболочке. Это число называется атомным номером. Атом данного вещества может потерять один или несколько электронов, или приобрести лишний электрон. В этих случаях нейтральный атом превращается в положительно или отрицательно заряженный ион. Обратите внимание, что положительные протоны входят в состав ядра атома, поэтому их число может изменяться только при ядерных реакциях. Очевидно, что при электризации тел ядерных реакций не происходит. Поэтому в любых электрических явлениях число протонов не меняется, изменяется только число электронов. Так, сообщение телу отрицательного заряда означает передачу ему лишних электронов. А сообщение положительного заряда, вопреки частой ошибке, означает не добавление протонов, а отнимание электронов. Заряд может передаваться от одного тела к другому только порциями, содержащими целое число электронов.

Иногда в задачах электрический заряд распределен по некоторому телу. Для описания этого распределения вводятся следующие величины:

1. Линейная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по нити:

где: L – длина нити. Измеряется в Кл/м.

2. Поверхностная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по поверхности тела:

где: S – площадь поверхности тела. Измеряется в Кл/м2.

3. Объемная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по объему тела:

где: V – объем тела. Измеряется в Кл/м3.

Обратите внимание на то, что масса электрона равна:

me = 9,11∙10–31 кг.

 

Закон Кулона

К оглавлению…

Точечным зарядом называют заряженное тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. На основании многочисленных опытов Кулон установил следующий закон:

Силы взаимодействия неподвижных точечных зарядов прямо пропорциональны произведению модулей зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

где: ε – диэлектрическая проницаемость среды – безразмерная физическая величина, показывающая, во сколько раз сила электростатического взаимодействия в данной среде будет меньше, чем в вакууме (то есть во сколько раз среда ослабляет взаимодействие). Здесь k – коэффициент в законе Кулона, величина, определяющая численное значение силы взаимодействия зарядов. В системе СИ его значение принимается равным:

k = 9∙109 м/Ф.

Силы взаимодействия точечных неподвижных зарядов подчиняются третьему закону Ньютона, и являются силами отталкивания друг от друга при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения друг к другу при разных знаках. Взаимодействие неподвижных электрических зарядов называют электростатическим или кулоновским взаимодействием. Раздел электродинамики, изучающий кулоновское взаимодействие, называют электростатикой.

Закон Кулона справедлив для точечных заряженных тел, равномерно заряженных сфер и шаров. В этом случае за расстояния r берут расстояние между центрами сфер или шаров. На практике закон Кулона хорошо выполняется, если размеры заряженных тел много меньше расстояния между ними. Коэффициент k в системе СИ иногда записывают в виде:

где: ε0 = 8,85∙10–12 Ф/м – электрическая постоянная.

Опыт показывает, что силы кулоновского взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции: если заряженное тело взаимодействует одновременно с несколькими заряженными телами, то результирующая сила, действующая на данное тело, равна векторной сумме сил, действующих на это тело со стороны всех других заряженных тел.

Запомните также два важных определения:

Проводники – вещества, содержащие свободные носители электрического заряда. Внутри проводника возможно свободное движение электронов – носителей заряда (по проводникам может протекать электрический ток). К проводникам относятся металлы, растворы и расплавы электролитов, ионизированные газы, плазма.

Диэлектрики (изоляторы) – вещества, в которых нет свободных носителей заряда. Свободное движение электронов внутри диэлектриков невозможно (по ним не может протекать электрический ток). Именно диэлектрики обладают некоторой не равной единице диэлектрической проницаемостью ε.

Для диэлектрической проницаемости вещества верно следующее (о том, что такое электрическое поле чуть ниже):

 

Электрическое поле и его напряженность

К оглавлению…

По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле. Это поле оказывает силовое действие на другие заряженные тела. Главное свойство электрического поля – действие на электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженные тела.

Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так называемого пробного заряда – небольшого по величине точечного заряда, который не вносит заметного перераспределения исследуемых зарядов. Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика – напряженность электрического поля E.

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда:

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора напряженности совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд. Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется электростатическим.

Для наглядного представления электрического поля используют силовые линии. Эти линии проводятся так, чтобы направление вектора напряженности в каждой точке совпадало с направлением касательной к силовой линии. Силовые линии обладают следующими свойствами.

  • Силовые линии электростатического поля никогда не пересекаются.
  • Силовые линии электростатического поля всегда направлены от положительных зарядов к отрицательным.
  • При изображении электрического поля с помощью силовых линий их густота должна быть пропорциональна модулю вектора напряженности поля.
  • Силовые линии начинаются на положительном заряде или бесконечности, а заканчиваются на отрицательном или бесконечности. Густота линий тем больше, чем больше напряжённость.
  • В данной точке пространства может проходить только одна силовая линия, т.к. напряжённость электрического поля в данной точке пространства задаётся однозначно.

Электрическое поле называют однородным, если вектор напряжённости одинаков во всех точках поля. Например, однородное поле создаёт плоский конденсатор – две пластины, заряженные равным по величине и противоположным по знаку зарядом, разделённые слоем диэлектрика, причём расстояние между пластинами много меньше размеров пластин.

Во всех точках однородного поля на заряд q, внесённый в однородное поле с напряжённостью E, действует одинаковая по величине и направлению сила, равная F = Eq. Причём, если заряд q положительный, то направление силы совпадает с направлением вектора напряжённости, а если заряд отрицательный, то вектора силы и напряжённости противоположно направлены.

Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов изображены на рисунке:

 

Принцип суперпозиции

К оглавлению…

Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции. В соответствии с законом Кулона, напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю:

Это поле называется кулоновским. В кулоновском поле направление вектора напряженности зависит от знака заряда Q: если Q > 0, то вектор напряженности направлен от заряда, если Q < 0, то вектор напряженности направлен к заряду. Величина напряжённости зависит от величины заряда, среды, в которой находится заряд, и уменьшается с увеличением расстояния.

Напряженность электрического поля, которую создает заряженная плоскость вблизи своей поверхности:

Итак, если в задаче требуется определить напряженность поля системы зарядов, то надо действовать по следующему алгоритму:

  1. Нарисовать рисунок.
  2. Изобразить напряженность поля каждого заряда по отдельности в нужной точке. Помните, что напряженность направлена к отрицательному заряду и от положительного заряда.
  3. Вычислить каждую из напряжённостей по соответствующей формуле.
  4. Сложить вектора напряжённостей геометрически (т.е. векторно).

 

Потенциальная энергия взаимодействия зарядов

К оглавлению…

Электрические заряды взаимодействуют друг с другом и с электрическим полем. Любое взаимодействие описывается потенциальной энергией. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных электрических зарядов рассчитывается по формуле:

Обратите внимание на отсутствие модулей у зарядов. Для разноименных зарядов энергия взаимодействия имеет отрицательное значение. Такая же формула справедлива и для энергии взаимодействия равномерно заряженных сфер и шаров. Как обычно, в этом случае расстояние r измеряется между центрами шаров или сфер. Если же зарядов не два, а больше, то энергию их взаимодействия следует считать так: разбить систему зарядов на все возможные пары, рассчитать энергию взаимодействия каждой пары и просуммировать все энергии для всех пар.

Задачи по данной теме решаются, как и задачи на закон сохранения механической энергии: сначала находится начальная энергия взаимодействия, потом конечная. Если в задаче просят найти работу по перемещению зарядов, то она будет равна разнице между начальной и конечной суммарной энергией взаимодействия зарядов. Энергия взаимодействия так же может переходить в кинетическую энергию или в другие виды энергии. Если тела находятся на очень большом расстоянии, то энергия их взаимодействия полагается равной 0.

Обратите внимание: если в задаче требуется найти минимальное или максимальное расстояние между телами (частицами) при движении, то это условие выполнится в тот момент времени, когда частицы движутся в одну сторону с одинаковой скоростью. Поэтому решение надо начинать с записи закона сохранения импульса, из которого и находится эта одинаковая скорость. А далее следует писать закон сохранения энергии с учетом кинетической энергии частиц во втором случае.

 

Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение

К оглавлению…

Электростатическое поле обладает важным свойством: работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.

Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение: работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.

Свойство потенциальности (независимости работы от формы траектории) электростатического поля позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электрическом поле. А физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля:

Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля. В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала (а значит и разности потенциалов, т.е. напряжения) является вольт [В]. Потенциал – скалярная величина.

Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку, где значения потенциальной энергии и потенциала обращаются в ноль, удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом: потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Вспомнив формулу для потенциальной энергии взаимодействия двух точечных зарядов и разделив ее на величину одного из зарядов в соответствии с определением потенциала получим, что потенциал φ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:

Потенциал рассчитанный по этой формуле может быть положительным и отрицательным в зависимости от знака заряда создавшего его. Эта же формула выражает потенциал поля однородно заряженного шара (или сферы) при rR (снаружи от шара или сферы), где R – радиус шара, а расстояние r отсчитывается от центра шара.

Для наглядного представления электрического поля наряду с силовыми линиями используют эквипотенциальные поверхности. Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала. Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы.

Электрическое напряжение это просто разность потенциалов, т.е. определение электрического напряжения может быть задано формулой:

В однородном электрическом поле существует связь между напряженностью поля и напряжением:

Работа электрического поля может быть вычислена как разность начальной и конечной потенциальной энергии системы зарядов:

Работа электрического поля в общем случае может быть вычислена также и по одной из формул:

В однородном поле при перемещении заряда вдоль его силовых линий работа поля может быть также рассчитана по следующей формуле:

В этих формулах:

  • φ – потенциал электрического поля.
  • φ – разность потенциалов.
  • W – потенциальная энергия заряда во внешнем электрическом поле.
  • A – работа электрического поля по перемещению заряда (зарядов).
  • q – заряд, который перемещают во внешнем электрическом поле.
  • U – напряжение.
  • E – напряженность электрического поля.
  • d или ∆l – расстояние на которое перемещают заряд вдоль силовых линий.

Во всех предыдущих формулах речь шла именно о работе электростатического поля, но если в задаче говорится, что «работу надо совершить», или идет речь о «работе внешних сил», то эту работу следует считать так же, как и работу поля, но с противоположным знаком.

Принцип суперпозиции потенциала

Из принципа суперпозиции напряженностей полей, создаваемых электрическими зарядами, следует принцип суперпозиции для потенциалов (при этом знак потенциала поля зависит от знака заряда, создавшего поле):

Обратите внимание, насколько легче применять принцип суперпозиции потенциала, чем напряженности. Потенциал – скалярная величина, не имеющая направления. Складывать потенциалы – это просто суммировать численные значения.

 

Электрическая емкость. Плоский конденсатор

К оглавлению…

При сообщении проводнику заряда всегда существует некоторый предел, более которого зарядить тело не удастся. Для характеристики способности тела накапливать электрический заряд вводят понятие электрической емкости. Емкостью уединенного проводника называют отношение его заряда к потенциалу:

В системе СИ емкость измеряется в Фарадах [Ф]. 1 Фарад – чрезвычайно большая емкость. Для сравнения, емкость всего земного шара значительно меньше одного фарада. Емкость проводника не зависит ни от его заряда, ни от потенциала тела. Аналогично, плотность не зависит ни от массы, ни от объема тела. Емкость зависит лишь от формы тела, его размеров и свойств окружающей его среды.

Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда q одного из проводников к разности потенциалов Δφ между ними:

Величина электроемкости проводников зависит от формы и размеров проводников и от свойств диэлектрика, разделяющего проводники. Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства. Такие системы называются конденсаторами, а проводники, составляющие конденсатор, называются обкладками.

Простейший конденсатор – система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика. Такой конденсатор называется плоским. Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами.

Каждая из заряженных пластин плоского конденсатора создает вблизи своей поверхности электрическое поле, модуль напряженности которого выражается соотношением уже приводившимся выше. Тогда модуль напряженности итогового поля внутри конденсатора, создаваемого двумя пластинами, равен:

За пределами конденсатора, электрические поля двух пластин направлены в разные стороны, и поэтому результирующее электростатическое поле E = 0. Электроёмкость плоского конденсатора может быть рассчитана по формуле:

Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в ε раз. Обратите внимание, что S в этой формуле есть площадь только одной обкладки конденсатора. Когда в задаче говорят о «площади обкладок», то имеют в виду именно эту величину. На 2 умножать или делить её не надо никогда.

Еще раз приведем формулу для заряда конденсатора. Под зарядом конденсатора понимают только заряд его положительной обкладки:

Сила притяжения пластин конденсатора. Сила, действующая на каждую обкладку, определяется не полным полем конденсатора, а полем, созданным противоположной обкладкой (сама на себя обкладка не действует). Напряженность этого поля равна половине напряженности полного поля, и сила взаимодействия пластин:

Энергия конденсатора. Ее же называют энергией электрического поля внутри конденсатора. Опыт показывает, что заряженный конденсатор содержит запас энергии. Энергия заряженного конденсатора равна работе внешних сил, которую необходимо затратить, чтобы зарядить конденсатор. Существует три эквивалентные формы записи формулы для энергии конденсатора (они следуют одна из другой если воспользоваться соотношением q = CU):

Особое внимание обращайте на фразу: «Конденсатор подключён к источнику». Это означает, что напряжение на конденсаторе не изменяется. А фраза «Конденсатор зарядили и отключили от источника» означает, что заряд конденсатора не изменится.

Энергия электрического поля

Электрическую энергию следует рассматривать как потенциальную энергию, запасенную в заряженном конденсаторе. По современным представлениям, электрическая энергия конденсатора локализована в пространстве между обкладками конденсатора, то есть в электрическом поле. Поэтому ее называют энергией электрического поля. Энергия заряженных тел сосредоточена в пространстве, в котором есть электрическое поле, т.е. можно говорить об энергии электрического поля. Например, у конденсатора энергия сосредоточена в пространстве между его обкладками. Таким образом, имеет смысл ввести новую физическую характеристику – объёмную плотность энергии электрического поля. На примере плоского конденсатора, можно получить такую формулу для объёмной плотности энергии (или энергии единицы объёма электрического поля):

 

Соединения конденсаторов

К оглавлению…

Параллельное соединение конденсаторов – для увеличения ёмкости. Конденсаторы соединены одноименно заряженными обкладками, как бы увеличивая площадь одинаково заряженных пластин. Напряжение на всех конденсаторах одинаковое, общий заряд равен сумме зарядов каждого из конденсаторов, и общая ёмкость также равна сумме емкостей всех конденсаторов соединенных параллельно. Выпишем формулы для параллельного соединения конденсаторов:

При последовательном соединении конденсаторов общая ёмкость батареи конденсаторов всегда меньше, чем ёмкость наименьшего конденсатора, входящего в батарею. Применяется последовательное соединение для увеличения напряжения пробоя конденсаторов. Выпишем формулы для последовательного соединения конденсаторов. Общая емкость последовательно соединенных конденсаторов находится из соотношения:

Из закона сохранения заряда следует, что заряды на соседних обкладках равны:

Напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах.

Для двух последовательно соединённых конденсаторов формула выше даст нам следующее выражение для общей емкости:

Для N одинаковых последовательно соединённых конденсаторов:

 

Проводящая сфера

К оглавлению…

Напряженность поля внутри заряженного проводника равна нулю. В противном случае на свободные заряды внутри проводника действовала бы электрическая сила, которая вынуждала бы эти заряды двигаться внутри проводника. Это движение, в свою очередь, приводило бы к разогреванию заряженного проводника, чего на самом деле не происходит.

Факт того, что внутри проводника нет электрического поля можно понять и по-другому: если бы оно было то заряженные частицы опять таки двигались бы, причем они бы двигались именно так, чтобы свести это поле к нолю своим собственным полем, т.к. вообще-то двигаться им не хотелось бы, ведь всякая система стремится к равновесию. Рано или поздно все двигавшиеся заряды остановились бы именно в том месте, чтобы поле внутри проводника стало равно нолю.

На поверхности проводника напряжённость электрического поля максимальна. Величина напряжённости электрического поля заряженного шара за его пределами убывает по мере удаления от проводника и рассчитывается по формуле, аналогичной формулам для напряженности поля точечного заряда, в которой расстояния отсчитываются от центра шара.

Так как напряженность поля внутри заряженного проводника равна нулю, то потенциал во всех точках внутри и на поверхности проводника одинаков (только в этом случае разность потенциалов, а значит и напряжённость равна нулю). Потенциал внутри заряженного шара равен потенциалу на поверхности. Потенциал за пределами шара вычисляется по формуле, аналогичной формулам для потенциала точечного заряда, в которой расстояния отсчитываются от центра шара.

Электрическая емкость шара радиуса R:

Если шар окружен диэлектриком, то:

 

Свойства проводника в электрическом поле

К оглавлению…

  1. Внутри проводника напряженность поля всегда равна нулю.
  2. Потенциал внутри проводника во всех точках одинаков и равен потенциалу поверхности проводника. Когда в задаче говорят, что «проводник заряжен до потенциала … В», то имеют в виду именно потенциал поверхности.
  3. Снаружи от проводника вблизи от его поверхности напряженность поля всегда перпендикулярна поверхности.
  4. Если проводнику сообщить заряд, то он весь распределится по очень тонкому слою вблизи поверхности проводника (обычно говорят, что весь заряд проводника распределяется на его поверхности). Это легко объясняется: дело в том, что сообщая заряд телу, мы передаем ему носители заряда одного знака, т.е. одноименные заряды, которые отталкиваются. А значит они будут стремиться разбежаться друг от друга на максимальное расстояние из всех возможных, т.е. скопятся у самых краев проводника. Как следствие, если из проводника удалить сердцевину, то его электростатические свойства никак не изменятся.
  5. Снаружи проводника напряженность поля тем больше, чем кривее поверхность проводника. Максимальное значение напряженности достигается вблизи остриев и резких изломов поверхности проводника.

 

Замечания к решению сложных задач

К оглавлению…

1. Заземление чего-либо означает соединение проводником данного объекта с Землей. При этом потенциалы Земли и имеющегося объекта выравниваются, а необходимые для этого заряды перебегают по проводнику с Земли на объект либо наоборот. При этом нужно учитывать несколько факторов, которые следуют из того, что Земля несоизмеримо больше любого объекта находящегося не ней:

  • Общий заряд Земли условно равен нолю, поэтому ее потенциал также равен нолю, и он останется равным нолю после соединения объекта с Землей. Одним словом, заземлить – означает обнулить потенциал объекта.
  • Для обнуления потенциала (а значит и собственного заряда объекта, который мог быть до этого как положительным так и отрицательным), объекту придется либо принять либо отдать Земле некоторый (возможно даже очень большой) заряд, и Земля всегда сможет обеспечить такую возможность.

2. Еще раз повторимся: расстояние между отталкивающимися телами минимально в тот момент, когда их скорости становятся равны по величине и направлены в одну сторону (относительная скорость зарядов равна нулю). В этот момент потенциальная энергия взаимодействия зарядов максимальна. Расстояние между притягивающимися телами максимально, также в момент равенства скоростей, направленных в одну сторону.

3. Если в задаче имеется система, состоящая из большого количества зарядов, то необходимо рассматривать и расписывать силы, действующие на заряд, который не находится в центре симметрии.

Электрический заряд. Закон Кулона

Определение 1

Многие из окружающих нас физических явлений, происходящих в природе, не находят объяснения в законах механики, термодинамики и молекулярно-кинетической теории. Такие явления основываются на влиянии сил, действующих между телами на расстоянии и независимых от масс взаимодействующих тел, что сразу отрицает их возможную гравитационную природу. Данные силы называются электромагнитными.

Еще древние греки имели некоторое представление об электромагнитных силах. Однако только в конце XVIII века началось систематическое, количественное изучение физических явлений, связанных с электромагнитным взаимодействием тел.

Определение 2

Благодаря кропотливому труду большого количества ученых в XIX веке было завершено создание абсолютно новой стройной науки, занимающейся изучением магнитных и электрических явлений. Так один из важнейших разделов физики, получил название электродинамики.

Создаваемые электрическими зарядами и токами электрические и магнитные поля стали ее основными объектами изучения.

Электрическое поле

Понятие заряда в электродинамике играет ту же роль, что и гравитационная масса в механике Ньютона. Оно входит в фундамент раздела и является для него первичным.

Определение 3

Электрический заряд представляет собой физическую величину, которая характеризует свойство частиц или тел вступать в электромагнитные силовые взаимодействия.

Буквами q или Q в электродинамике обычно обозначают электрический заряд.

В комплексе все известные экспериментально доказанные факты дают нам возможность сделать следующие выводы:

Определение 4

Существует два рода электрических зарядов. Это, условно названные, положительные и отрицательные заряды.

Определение 5

Заряды могут переходить (к примеру, при непосредственном контакте) между телами. Электрический заряд, в отличие от массы тела, не является его неотъемлемой характеристикой. Одно конкретное тело в различных условиях может принимать разное значение заряда.

Определение 6

Одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. В данном факте проявляется очередное принципиальное различие электромагнитных и гравитационных сил. Гравитационные силы всегда представляют собой силы притяжения.

Закон сохранения электрического заряда является одним из фундаментальных законов природы.

В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех тел неизменна:

q1+q2+q3+…+qn=const.

Определение 7

Закон сохранения электрического заряда утверждает, что в замкнутой системе тел не могут наблюдаться процессы рождения или исчезновения зарядов только одного знака.

С точки зрения современной науки, носителями зарядов являются элементарные частицы. Любой обычный объект состоит из атомов. В их состав входят несущие положительный заряд протоны, отрицательно заряженные электроны и нейтральные частицы – нейтроны. Протоны и нейтроны являются составной частью атомных ядер, электроны же образуют электронную оболочку атомов. По модулю электрические заряды протона и электрона эквивалентны и равняются значению элементарного заряда e.

В нейтральном атоме количество электронов в оболочке и протонов в ядре одинаково. Число любых из списка приведенных частиц называется атомным номером.

Подобный атом имеет возможность как потерять, так и приобрести один или несколько электронов. Когда такое происходит, нейтральный атом становится положительно или отрицательно заряженным ионом.

Заряд может переходить от одного тела к другому лишь порциями, в которых содержится целое число элементарных зарядов. Выходит, что электрический заряд тела является дискретной величиной: 

q=±ne (n=0, 1, 2,…).

Определение 8

Физические величины, имеющие возможность принимать исключительно дискретный ряд значений, называются квантованными.

Определение 9

Элементарный заряд e представляет собой квант, то есть наименьшую возможную порцию электрического заряда.

Определение 10

Несколько выбивается из всего вышесказанного факт существования в современной физике элементарных частиц так называемых кварков – частиц с дробным зарядом ±13e и ±23e.

Однако наблюдать кварки в свободном состоянии ученым так и не довелось.

Определение 11

Для обнаружения и измерения электрических зарядов в лабораторных условиях обычно используют электрометр – прибор, состоящий из металлического стержня и стрелки, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси (рис. 1.1.1).

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Стержень со стрелкой изолирован от металлического корпуса. Соприкасаясь со стержнем электрометра, заряженное тело провоцирует распределение по стержню и стрелке электрических зарядов одного знака. Воздействие сил электрического отталкивания становится причиной отклонения стрелки на некоторый угол, по которому можно определить заряд, переданный стержню электрометра.

Рисунок 1.1.1. Перенос заряда с заряженного тела на электрометр.

Электрометр – достаточно грубый прибор. Его чувствительность не позволяет исследовать силы взаимодействия зарядов. В 1785 году был впервые открыт закон взаимодействия неподвижных зарядов. Первооткрывателем стал французский физик Ш. Кулон. В своих опытах он измерял силы притяжения и отталкивания заряженных шариков с помощью сконструированного им прибора для измерения электрического заряда – крутильных весов (рис. 1.1.2), обладающих крайне высокой чувствительностью. Коромысло весов поворачивалось на 1° под действием силы приблизительной 10–9 Н.

Идея измерений основывалась на догадке физика о том, что при контакте заряженного шарика с таким же незаряженным, имеющийся заряд первого разделится на равные части между телами. Так был получен способ изменять заряд шарика в два или более раз.

Определение 12

Кулон в своих опытах измерял взаимодействие между шариками, размеры которых значительно уступали разделяющему их расстоянию, из-за чего ими можно было пренебречь. Подобные заряженные тела принято называть точечными зарядами.

Рисунок 1.1.2. Прибор Кулона.

Рисунок 1.1.3. Силы взаимодействия одноименных и разноименных зарядов.

Основываясь на множестве опытов, Кулон установил следующий закон:

Определение 13

Силы взаимодействия неподвижных зарядов прямо пропорциональны произведению модулей зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними: F=kq1·q2r2.

Силы взаимодействия являются силами отталкивания при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения при разных знаках (рис. 1.1.3), а также подчиняются третьему закону Ньютона:
F1→=-F2→.

Определение 14

Кулоновским или же электростатическим взаимодействием называют воздействие друг на друга неподвижных электрических зарядов.

Определение 15

Раздел электродинамики, посвященный изучению кулоновского взаимодействия, называется электростатикой.

Закон Кулона может быть применим по отношению к точечным заряженным телам. На практике, он в полной мере выполняется в том случае, если размерами заряженных тел можно пренебречь из-за значительно превышающего их расстояния между объектами взаимодействия.

Коэффициент пропорциональности k в законе Кулона зависим от выбора системы единиц.

В Международной системе СИ единицу измерения электрического заряда представляет кулон (Кл).

Определение 16

Кулон – это заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А. Единица силы тока (ампер) в СИ является наряду с единицами длины, времени и массы основной единицей измерения.

Коэффициент k в системе СИ в большинстве случаев записывается в виде следующего выражения: 

k=14πε0.

В котором ε0=8,85·10-12Кл2Н·м2 является электрической постоянной.

В системе СИ элементарный заряд e равняется:

e=1,602177·10-19 Кл≈1,6·10-19 Кл.

Опираясь на опыт, можно сказать, что силы кулоновского взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции.

Теорема 1

Если заряженное тело взаимодействует одновременно с несколькими заряженными телами, то результирующая сила, действующая на данное тело, равна векторной сумме сил, действующих на это тело со стороны всех других заряженных тел.

Принцип суперпозиции

На рисунке 1.1.4 на примере электростатического взаимодействия трёх заряженных тел поясняется принцип суперпозиции.

Рисунок 1.1.4. Принцип суперпозиции электростатических сил F→=F21→+F31→; F2→=F12→+F32→; F3→=F13→+F23→.

Рисунок 1.1.5. Модель взаимодействия точечных зарядов.

Несмотря на то, что принцип суперпозиции является фундаментальным законом природы, его использование требует некоторой осторожности, когда он применяется по отношению к взаимодействию заряженных тел конечных размеров. Примером таковых могут послужить два проводящих заряженных шара 1 и 2. Если к подобной системе, состоящей из двух обладающих зарядом шаров поднести еще один заряженный шар, то взаимодействие между 1 и 2 претерпит изменения по причине перераспределения зарядов.

Принцип суперпозиции предполагает, что силы электростатического взаимодействия между двумя любыми телами не зависят от наличия других обладающих зарядом тел, при условии, что распределение зарядов фиксировано (задано).

Понятие об электростатическом поле. Закон Кулона

Взаимодействие между электрически заряженными частицами или телами, движущимися произвольным образом относительно инерционной системы отсчета (ИС), осуществляется посредством электромагнитного поля, которое представляет собой совокупность двух взаимосвязанных полей: электрического и магнитного.
Характерной особенностью электрического поля является то, что оно действует на электрический заряд с силой, которая не зависит от скорости движения заряда. Поэтому обнаружить электрическое поле удобно по его силовому действию на помещенный в поле неподвижный электрический заряд.
Электрическое поле неподвижных электрических зарядов, осуществляющее взаимодействие между ними, называется электростатическим полем.
Силы, действующие на заряженные частицы со стороны электростатического поля, называются электростатическими силами.
В природе существуют два рода электрических зарядов: положительные и отрицательные. Носителями электрических зарядов являются элементарные частицы, входящие в состав атома – электрон (e), заряженный отрицательно, и протон (p), заряженный положительно. Заряды этих частиц называются элементарными зарядами.

Точечным электрическим зарядом называется заряженное тело, форма и размеры которого несущественны в условиях данной задачи.
Система тел или частиц называется электрически изолированной системой, если между ней и внешними телами нет обмена электрическими зарядами. Один из важных законов электричества – закон сохранения электрического заряда:
в изолированной системе полная алгебраическая сумма электрических зарядов остается постоянной; заряды могут только передаваться от одного тела данной системы другому или смещаться внутри тела
Электрические заряды взаимодействуют таким образом, что одноименные заряды отталкиваются, а разноименные – притягиваются. Взаимодействие электрических зарядов осуществляется с помощью электростатического поля, которое передает действие от одного заряженного тела к другому.
Электрическое поле представляет собой одну из форм материи, существующую в пространстве вокруг электрического заряда и проявляющую себя силами, действующими на другие заряды, расположенные в этом пространстве.
Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами подчиняется закону Кулона, установленному им опытным путем:


В системе СИ

Закон Кулона в системе СИ в скалярной и векторной формах обычно записывается как

Урок 26. электрический заряд. закон кулона – Физика – 10 класс

Начальные сведения об электризации трением относятся к глубокой древности. Так, электризация янтаря при трении была известна ещё в VI в. до н. э. греческому философу Фалесу из Милета. Однако историю науки об электрических явлениях можно начать с исследований Вильяма Гильберта, врача английской королевы Елизаветы. Первое сочинение по электричеству и магнетизму Гильберт опубликовал в 1600 г., где описал электризацию трением; здесь же он впервые в истории наук и применил термин «электричество» (от греческого слова «электрон», что означает «янтарь»). Гильберт установил, что стекло, смолы и многие другие вещества также электризуются при трении. Натертые шёлком или сукном, они притягивают пушинки, соломинки и т. п.

Древние греки именовали янтарь электроном, от звезды Электра в созвездии Тельца и способности притягивать к себе небольшие кусочки папируса. Их потомки ныне вложили другой смысл в название камня и нарекли его «вероника», то есть носитель победы. Янтарь притягивает к себе соломинки и сухие былинки и поэтому называется по-персидски «кахруба», то есть «похищающий соломинку». Римляне называли его «сукцинум» (от латинского слова «Succus» – сок), так как справедливо полагали, что янтарь представляет собой окаменевший сок деревьев.

Первую электрическую машину в 1650 г. построил немецкий учёный Отто Герике. Сначала он изготовил из серы большой шар. Натирая рукой шар, Герике наблюдал притяжение к нему лёгких предметов. Для большего удобства учёный установил шар на оси в особом станке. Вращая с помощью рукоятки шар и прижимая к нему ладонь, его можно было наэлектризовать. С помощью этой электрической машины Герике произвёл много опытов. Наблюдая притяжение лёгких тел к наэлектризованному шару, он заметил, что пушинки и кусочки бумаги, коснувшись шара, отскакивали от него. Герике удалось даже заставить пушинку, коснувшуюся шара, плавать над наэлектризованным шаром в воздухе. Но объяснения этому явлению Герике не нашёл.Свои опыты он описал в сочинении «Новые эксперименты», вышедшем в 1672 году.

Французский исследователь Шарль Дюфе в 1730 г. изучал взаимодействие наэлектризованных тел. Дюфе заметил, что в одних случаях наэлектризованные тела взаимно притягиваются, а в других – отталкиваются. Например, натёртая стеклянная палочка отталкивается от другой такой же палочки, но притягивается к наэлектризованному стержню из смолы. Дюфе объяснил это явление тем, что существует два рода электричества – «стеклянное» и «смоляное».

Более удачное обозначение двух родов электричества, удержавшееся до нашего времени, в 1778 г. дал американский физик и политический деятель Вениамин Франклин. «Стеклянное» электричество им было названо положительным, а «смоляное» – отрицательным.

Первый прибор для обнаружения электричества – электроскоп построил в 1745 г. академик Петербургской Академии наук Георг Вильгельм Рихман.

Закон Кулона. Электрическое поле

Электрический заряд – это мера элементарных частиц, которые обеспечивают электрические и магнитные взаимодействия. Электрический заряд является основой закона Кулона и имеет некоторые фундаментальные особенности, которые можно описать как:

  • Может иметь положительный или отрицательный заряд.
  • Электрический заряд – это свойство элементарных частиц. Загрузка объемных «тел» является аддитивной.
  • Элементарный заряд 6 * 10–19Кб.
  • Элементарный заряд является предметом закона сохранения электрического заряда (который будет объяснен ниже).
  • Электрический заряд инвариантен к системе отсчета.

Закон сохранения заряда гласит, что алгебраическая сумма всех зарядов постоянна в электрически изолированных системах. Электрически изолированная система – это система, в которой нет ни входа, ни выхода зарядов.

Здесь мы будем рассматривать электростатику, в которой рассматриваемые заряды и заряженные тела статичны.

Основанный на серии экспериментов Шарля Кулона, закон Кулона 1785 гласит, что: сила электростатического взаимодействия между двумя точечными зарядами пропорциональна умножению их модулей заряда и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.Это сила отталкивания для зарядов одного знака и сила притяжения для зарядов противоположных знаков. Формулу, иллюстрирующую закон Кулона, можно увидеть на рисунке ниже.

| F12¯ | = | F21¯ | = 14πε0q1q2r2

По третьему закону Ньютона частица 1 воздействует на частицу 2 с той же силой, что и частица 2 воздействует на частицу 1, но в противоположном направлении.

Электростатические силы для двух заряженных частиц

Для всех электростатических взаимодействий принцип суперпозиции гласит следующее: на точечный заряд q 1 действуют несколько зарядов q 2 … q n , и это влияние можно рассматривать как кулоновскую силу Fi. Тогда электрическое воздействие группы этих зарядов на заряд q 1 представляет собой силу, равную векторной сумме сил Fi (r) ¯ (рисунок ниже). Его можно описать формулой F¯ (r¯) = ∑Ni = 2 Fi¯ (r¯).

Электростатические силы для системы зарядов

Введем термин электрическое поле. Электрическое поле – это отношение электростатической силы, действующей на точечный заряд в электрическом поле, к модулю величины этого заряда. E¯ (r¯) = F¯ (r) ¯q

Рассмотрим кулоновскую силу, действующую на заряд q1 со стороны системы зарядов N зарядов.По принципу суперпозиции

F¯ (r¯) = 14πε0 (q1q2r22 r2¯r2 + ⋯ + q1qnrn2rnrn¯) = q14πε0 (q2r22 r2¯r2 + ⋯ + qnrn2 rnrn¯).

Мы видим, что электрическое поле E (r) не зависит от заряда q1, что означает, что это чисто полевая характеристика. Таким образом, если каждая точка в области определена, определяется область (или пространство) и указывается, что определено векторное электрическое поле E (r). Электрическое поле создается одиночным точечным зарядом E¯ (r¯) = 1 (4πε0) qr2 r¯r.

Формула закона Кулона для системы зарядов (см. Выше): F¯ (r¯) = q1∑ni = 2 E¯i (r¯) или E¯ (r¯) = ∑ni = 2 E¯i ( р).

Это принцип суперпозиции для электрических полей. Чтобы найти электрическое поле, создаваемое «объемными» заряженными объектами, они должны разделить точечные заряды, где мы можем применить принцип суперпозиции.

Электрическое поле, создаваемое зарядом q

Задача 1: Докажите, что электрическое поле, создаваемое заряженной сферой, равно

E¯ (r¯) = 14πε0 qr2 rr¯ (рисунок ниже).

Электрические поля можно проиллюстрировать векторами от точечного заряда (или объемного заряженного объекта) до каждой точки в пространстве.В результате эти векторы необходимо суммировать. Поле проще представить в виде некоторых векторов электрического поля, которые можно продолжить в бесконечное пространство.

Эти линии, которые касаются каждой точки электрического поля, совпадают с векторами электрического поля и называются линиями электрического поля. Эти линии помогают определить направление и величину электрического поля в каждой точке пространства. На рисунке 5 показано электрическое поле для точечного заряда, для двух точечных зарядов с разными знаками и для двух плоскостей.Для плоскостей, удаленных от их краев, электрическое поле считается однородным, а его линии параллельны друг другу.

Электрическое поле для систем зарядов

Линии электрического поля имеют некоторые особенности:

  • Они не закрываются
  • Они не перекрывают друг друга
  • Величина электрического поля пропорциональна плотности силовых линий электрического поля

Задача 2 : Найдите электрическое поле E (r) на оси окружности радиуса R, где x – расстояние от центра окружности.q – заряд круга, используя принцип суперпозиции и формулу для электрического поля.

В сложных случаях одномерного распределения заряда мы можем использовать интегрирование как принцип суперпозиции. Например, если у нас есть линейный объект (рисунок 6), электрическое поле можно найти по формуле: E¯ (r¯) = 14πε0∫λr2rrdl¯, где λ = dqdl – плотность заряда для объекта L. В случае, если объект является линейным, линейна также и плотность заряда. В этом случае векторы электрического поля r ̅ также различны для каждой точки пространства.Если заряд распределен в двух- или трехмерном пространстве, то мы можем использовать термины поверхностной и объемной плотности заряда: σ = dqdS, ρ = dqdV

И электрическое поле для этого случая будет описываться следующим образом: : E¯ = 14πε0∫Σσr2r¯rdS, E¯ = 14πε0∫Ω ρr2r¯rdV, здесь Σ, Ω – символизирует поверхностный и объемный интегралы.

Случай одномерного распределения заряда

Теорема Гаусса

Закон Кулона – обзор

§9.1 Электростатический потенциал в заряженном ящике

Мы поставим простую краевую задачу в электричестве, задачу нахождения электростатического потенциала в каждой точке внутри проводящего прямоугольного ящика, открытого сверху, который поддерживается при нулевом напряжении и заполнен некоторым непроводящим материалом, предполагая, что в этом материале есть известное распределение электрического заряда и что известен потенциал на верхней поверхности.В имеющемся пространстве было бы невозможно в полной мере оценить теорию электростатики в объяснении концепций, которые необходимы для правильной постановки этой проблемы и вывода соответствующего уравнения в частных производных. Читатель, которого не интересует его вывод из физических принципов, может перейти непосредственно к уравнению (3). В остальном нижеследующий неформальный план может быть более прояснительным, чем его отсутствие вообще. Мы предполагаем, что читатель знаком с понятиями поверхностных и объемных интегралов хотя бы на элементарном уровне.

С древних времен было известно, что существует два вида электричества: положительный и отрицательный в терминологии, введенной Бенджамином Франклином (1706-1790), и что существует сила притяжения между зарядами противоположных знаков и сила отталкивания между людьми одного знака. Около 1777 года Шарль Огюстен де Кулон (1736–1806) провел несколько экспериментов для измерения этой силы, в результате чего пришел к выводу, что сила, создаваемая зарядом q , расположенным в точке P , на единичном заряде того же знака расположенная в другой точке Q , которая находится на расстоянии d от P пропорциональна частному q / d 2 и направлена ​​от P к Q .Чтобы написать уравнение, описывающее это наблюдение, обозначьте электрическую силу как E и вектор от P до Q как r и запишите константу пропорциональности в виде k = 1/4 πϵ , где ϵ – другая константа, которая зависит от среды, содержащей заряды, а 4 π введено для удобства, так что, как мы вскоре увидим, оно исчезнет в последующих вычислениях. Если мы определим внутреннее произведение двух векторов v 1 = ( x 1 , x 2 , x 3 ) и v 2 = ( y 1 , y 2 , y 3 ) быть 〈 υ 1 , υ 2 〉 = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , а затем ║ r 2 в качестве внутреннего продукта 〈 r , r 〉, мы видим что r / ║ r ║ является единичным вектором в том же направлении, что и r и d = ║r║.Это приводит к следующему уравнению

E = q4πϵ‖r‖3r.

, которое сегодня известно как закон Кулона , в то время как сама сила E обычно называется электрическим полем или напряжением электрического поля в точке Q . 1

Теперь рассмотрим сферу S радиуса R с центром в точке P , где находится заряд q . Если Q – произвольная точка S , пусть r обозначает вектор от P до Q ; n , направленный наружу единичный вектор, перпендикулярный S в точке Q ; и E , электрическое поле на Q .Если 〈 E , n 〉 обозначает внутреннее произведение E и n , то, поскольку r║ = R и 〈 r , n 〉 = 〈 r , r / ‖ r ‖〉 = ‖ r ‖ = R , простой расчет дает

(1) ϵ∫S 〈E, n〉 = q4π∫S 〈r, n〉 r‖3 = q4πR2∫S1 = q4πR24πR2 = q.

Расчет этого интеграла по поверхности был простым, потому что S – сфера, в центре которой находится только один заряд, а r имеет постоянную норму R .Этот простой факт, вытекающий непосредственно из экспериментального закона Кулона, был обобщен в один из фундаментальных постулатов электростатики, но чтобы показать это, нам понадобится немного математики. Во-первых, обратите внимание, что электрическое поле – это просто пример векторного поля , то есть правила, которое назначает вектор каждой точке ( x , y , z ) в определенной области пространства. В 1828 году Михаил Васильевич Остроградский (1801–1861) обнаружил следующий результат, который он опубликовал через три года в статье о распространении тепла в мемуарах Петербургской Академии наук.Если F – векторное поле в трех пространствах с компонентами F 1 , F 2 и F 3 , то они относятся к классу C 1 и если S – гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая область V , в которой определено это поле, тогда

∫V (F1x + F2y + F3z) = ∫S 〈F, n〉,

, где буквенные нижние индексы указывают, как обычно , частные производные. Более ранняя версия этого типа теорем, устанавливающая важное тождество между объемным интегралом и поверхностным интегралом, уже была опубликована Пуассоном в 1826 году, но Остроградский не знал об этом.Как и Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) – называвшийся князем математиков – результата Остроградского, который он позже независимо открыл заново. Мы будем называть ее теоремой Остроградского-Гаусса . 2 Кроме того, Гаусс вывел следующее следствие, доказательство которого предоставляется читателю (упражнение 1.1). Если P – любая точка внутри S и если r обозначает вектор от P до точки S , так что r является функцией этой точки, тогда

Карл Фридрих Гаусс в 1828 году.Портрет Бендиксена. Перепечатано с разрешения В. Кауфманн-Бюлер, Гаусс. Биографическое исследование , Springer-Verlag, Берлин / Гейдельберг / Нью-Йорк, 1981.

∫Srnr3 = 4π.

Это означает, что (1) также верно, если S – произвольная поверхность, окружающая заряд q при P . Поскольку P произвольно внутри S , из этого следует из аддитивности, что если V , внутренность S , содержит несколько зарядов, q 1 ,…, q K , то

ϵ∫SEn = ∑k = 1KqK.

Наконец, если есть непрерывное распределение плотности заряда p внутри S , то общий заряд в V является интегралом объема p над V , и предыдущая идентичность должна быть заменена на

ϵ∫SEn = ∫Vρ.

Это известно в электростатике как закон Гаусса . Комбинируя это с теоремой Остроградского-Гаусса, примененной к электрическому полю, мы получаем

ϵ∫VE1x + E2y + E3z = ∫Vρ,

, и разумно ожидать, что, поскольку поверхность S и ее внутренняя часть V сжаться до точки, в этой точке мы будем иметь

(2) E1x + E2y + E3z = ρϵ

.Действительно, это первое из уравнений Максвелла, – отправная точка теории электромагнетизма. Противоположность суммы E 1 x + E 2 y + E 3 z Максвелл назвал конвергенцией E – по причинам, которые уведет нас слишком далеко, чтобы объяснить – но оказалось, что это не так полезно, как сама сумма, которую М. позже назвал расхождением E М.Авраама и П. Ланжевена и записано как div E . Именно в дивергентной форме Хевисайд сформулировал это уравнение ( EPI , стр. 475), и именно так оно стало популярным. Теорема Остроградского-Гаусса может быть записана в виде

∫VdivF = SFn

и обычно известна сегодня как теорема о расходимости . 1 Само собой разумеется, что эта теорема имеет очевидную двумерную версию, в которой объем V заменен площадью и ограничивающей поверхностью или поверхностями, потому что может быть более одной поверхности, ограничивающей V , как есть случай области между двумя концентрическими сферами – кривой или кривыми.

Другое экспериментальное наблюдение, сделанное Джеймсом Клерком Максвеллом (1831–1879) из Кембриджского университета, состоит в том, что электрическое поле является консервативным , то есть объем работы, выполняемой при перемещении заряда из одной точки в векторном поле к другому не зависит от пути, по которому идет движение. Если γ представляет собой плавный путь от точки P до точки Q , работа, совершаемая при движении этого заряда вдоль γ , определяется как линейный интеграл по γ внутреннего произведения сила и касательный вектор к пути.Точнее, если γ задано в параметрической форме как γ ( s ) = ( x ( s ), y ( s ), z ( s )) , его касательный вектор в точке с имеет компоненты x ‘ ( с ) y’ ( с ) и z ‘ ( с ), а затем работа, выполняемая в движении Удельный заряд от P = γ ( с 0 ) до Q = γ ( с ) составляет

∫s0sEγσ, γ΄σdσ.

Тогда, поскольку поле является консервативным и если P фиксировано, эта работа является функцией только Q = γ ( s ). Обозначим противоположность этого интеграла u ( γ ( s )) и назовем его электростатическим потенциалом при Q . Обычно он измеряется в вольтах, и всегда должна быть точка с нулевым потенциалом или нулевым напряжением, выбранная произвольно, например, P выше, с которой сравнивается потенциал других точек.Дифференцирование по s ,

ddsu (γ (s)) = ux (γ (s)) x΄ (s) + uy (γ (s)) y΄ (s) + uz (γ (s) ) z΄ (s) = – [E1 (γ (s)) x΄ (s) + E2 (γ (s)) y΄ (s) + E3 (γ (s)) z΄ (s)].

Поскольку последнее уравнение справедливо для любых s , отсюда следует, что

ux = −E1, uy = −E2, andux = −E3,

, а затем, комбинируя это с (2),

(3 ) uxx + uyy + uzz = −ρϵ.

Это уравнение в частных производных для электростатического потенциала и в среде, содержащей распределение электрического заряда с плотностью ρ , где ϵ – постоянная среды.

Чтобы сформулировать нашу краевую задачу в точных терминах, пусть a , b и c будут положительными числами, и рассмотрим множества

D = 0a × 0b × 0cD¯ = 0a × 0b × 0c

и

Dc = {(x, y, z) ϵD¯: z

Тогда, если ρ : (0, a ) × (0, b ) × (0, c ) → ℝ и f : [0, a ] × [0, b ] → ℝ – известные ограниченные и непрерывные функции, мы ставим задачу найти ограниченную функцию u: D¯ → ℝ, которая непрерывна на D c и удовлетворяет (3) в D и следующему граничные условия

u0yz = uayz = 00≤y≤b, 0≤z≤cux0z = uxbz = 00≤x≤a, 0≤z≤cuxy0 = 00≤x≤a, 0≤y≤buxyc = fxy0≤x≤ а, 0≤y≤b.

Уравнение (3) называется уравнением Пуассона , потому что оно было введено Пуассоном в 1813 году для гравитационного потенциала внутри тела. Пуассон знал, что его доказательство этого уравнения было неполным, но полное доказательство было предоставлено в 1839 году Гауссом. Впервые оно было использовано для описания электрических явлений Джорджем Грином (1793–1841), сыном преуспевающего мельника и пекаря из Снейнтона, недалеко от Ноттингема, который сам изучал континентальную математику, и появляется как уравнение (1) в книге г. Приложение математического анализа к теориям электричества и магнетизма , частное издание по подписке в 1828 году в Ноттингеме. 1 Это эссе в основном игнорировалось до тех пор, пока его не открыли заново и не признал его ценность Уильямом Томсоном, тогда работавшим в колледже Святого Петра, который позже перепечатал его – между 1850 и 1854 годами – в обычном математическом журнале в трех частях. Грин, который также предвосхитил принцип Дирихле в 1833 году, когда он поселился в колледже Гонвилля и Кая в Кембридже, четыре года спустя получил степень бакалавра гуманитарных наук в качестве четвертого Спорщика – низкое положение, которое «неадекватно отражало его математические способности. «по словам Нормана Феррерса, будущего редактора собрания статей Грина, – а затем он стал членом колледжа в 1839 году, всего за два года до своей преждевременной смерти.На странице 22 своего эссе 1828, , Грин ввел термин потенциальная функция для решения уравнения Пуассона, которое Гаусс позже сократил до потенциала . Затем на страницах 23 и 25 он сформулировал две полезные теоремы (см. Упражнение 1.6), которые эквивалентны теореме о расходимости Остроградского и Гаусса и которые мы будем часто использовать в дальнейшем. 2 2 Кроме того, на страницах 32 и 33 он представил то, что Риман позже назвал функциями Грина , основой нового метода решения уравнений в частных производных, который мы рассмотрим более подробно в главе 12.

Уильям Томсон в 1846 году. От А. Грея, Лорд Кельвин: отчет о его научной жизни и работе , Дент, 1908.

Именно через Томсона le Mémoire de Green стали известны на континенте. Томсон читал об эссе в мемуарах Роберта Мерфи, современника Грина и научного сотрудника Кайуса, об определенных интегралах, но не смог найти копию ни в одном из книжных магазинов Кембриджа. За день до отъезда в Париж после сдачи экзаменов Томсон сообщил своему наставнику Уильяму Хопкинсу, что его поиски не увенчались успехом, и тот сказал: «У меня есть несколько его экземпляров» и дал ему три.Томсон смог прочесть часть «Эссе» во время поездки в Париж, и сразу после прибытия, 31 января 1845 года, он посетил Лиувиль и дал ему один из экземпляров. Опытный математик проявил интерес к идеям новичка, изготовил ручку и бумагу, провел приятное время, работая над различными предметами, представляющими общий интерес, и пригласил молодого человека снова приехать.

Напротив, Томсон был проинформирован консьержем во время его первой попытки посещения Коши, что его хозяин, который, кажется, управлял своей личной жизнью, а также математикой с помощью эпсилоники , принимал посетителей только по пятницам с половины четвертого. до пяти.Во второй успешной попытке Коши удостоверился, знает ли Томсон дифференциальное исчисление или нет, прежде чем приступить к тому, чтобы рассказать ему все о своих открытиях. В письме к отцу Томсон позже сказал, что Коши, который пригласил Томсона на вечерние вечера во вторник belmère , пытался обратить его в католицизм. Тем временем Лиувилль говорил о мемуарах Грина, которые побудили Штурма нанести визит Томсону, когда тот отсутствовал. Он оставил свою карточку с сообщением, что позвонит еще раз на следующее утро, но нетерпение взяло верх над хорошими манерами, и в десять часов того же вечера взволнованный штурм ворвался в квартиру Томсона, и, по собственным словам Томсона,

не сильно потерял. время спросить о мемуарах Грина, которые он просмотрел с большой жадностью.Когда я указал ему на одну вещь, которую он сам около года назад написал в «Журнале Лиувилля», он воскликнул: «Ах, mon Dieu, oui». 1

Возвращаясь к рассматриваемой проблеме, после естественной тенденции отклоняться, мы сначала рассмотрим более простую ситуацию, когда внутри коробки нет зарядов; то есть уравнение Пуассона заменяется уравнением Лапласа

(4) uxx + uyy + uzz = 0.

Затем мы вернемся к заряженному ящику в §9.4.

Используя метод разделения переменных, мы предполагаем, что существует решение вида

uxyz = XxYyZz.

Тогда (4) означает, что

X˝YZ + XY˝Z + XYZ˝ = 0,

и разделив на XYZ и переставив члены, получим

X˝X + Y˝Y = −Z˝ Z.

Поскольку левая часть является функцией только x и y , а правая часть является функцией только z , каждая сторона должна равняться одной и той же константе, которую мы обозначим как – λ , то есть

X˝X + Y˝Y = −Z˝Z = −λ

и, аналогично,

X˝X = −λ − Y˝Y = −μ,

, где μ – постоянная величина.

Эти уравнения и граничные условия приводят к задачам Штурма-Лиувилля

X˝ + μX = 0, X (0) = X (a) = 0Y˝ + (λ − μ) Y = 0, Y (0) = Y (b) = 0

и задаче начального значения Z “- λZ = 0, Z (0) = 0. Собственные значения и собственные функции задач Штурма-Лиувилля равны

μ = m2π2a2, Xx = sinmπaxλ − μ = n2π2b2, Yy = sinnπby,

, где m и n – произвольные натуральные числа, а затем

λ = n2π2b2 + m2π2a2 = π2a2b2a2n2 + b2m2 + b2m2.

Решение задачи начального значения для Z :

Zz = Csinhλz,

, где C – произвольная константа, и все это приводит к решению произведения

(5) umnxyz = Cmnsinmπaxsinnπbysinhπaba2nz + b

, где C mn – произвольная постоянная. Он удовлетворяет всем граничным условиям, кроме одного z = c .

Чтобы получить такое решение, что u ( x , y , c ) = f ( x , y ), поступим так же, как в одномерном случае. и предложите в качестве решения бесконечную серию, члены которой равны u mn .Затем мы должны найти такие значения констант C mn , чтобы для z = c ,

(6) ∑m, n = 1∞Cmnsinhπcaba2n2 + b2m2sinmπaxsinnπby = f (x, y).

Возникает вопрос о сходимости такого ряда.

5.1: Закон Кулона – Engineering LibreTexts

Рассмотрим две несущие заряд частицы в свободном пространстве, обозначенные как «частица 1» и «частица 2» на рисунке \ (\ PageIndex {1} \). Пусть эти частицы имеют заряды \ (q_1 \) и \ (q_2 \), и пусть \ (R \) – расстояние между ними.2}} \]

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Закон Кулона описывает силу, воспринимаемую парами заряженных частиц. (CC BY SA 4.0; К. Киккери)

Следовательно, сила, воспринимаемая частицей 2, равна и противоположна; т.е. равно \ (- {\ bf F} \).

Отдельно известно, что \ ({\ bf F} \) можно описать в терминах напряженности электрического поля \ ({\ bf E} _1 \), связанного с частицей 1: \ [{\ bf F} = q_2 {\ bf E} _1 \] По сути, это определение для \ ({\ bf E} _1 \), как объяснено в разделе 2.2}} \ label {m0102_eCoulombsLawPointCharge} \], где теперь \ (\ hat {\ bf R} R \) – это вектор, начинающийся с частицы 1 и заканчивающийся в точке, которая должна быть оценена.

Напряженность электрического поля, связанного с точечным зарядом (Equation \ ref {m0102_eCoulombsLawPointCharge}), (1) направлена ​​от положительного заряда, (2) пропорциональна величине заряда, (3) обратно пропорциональна диэлектрической проницаемости среды. , и (3) обратно пропорционально квадрату расстояния.

Мы описали этот результат как происходящий из закона Кулона, который основан на физических наблюдениях.Однако тот же результат может быть получен непосредственно из уравнений Максвелла с использованием закона Гаусса (раздел 5.5).

Пример \ (\ PageIndex {1} \): электрическое поле точечного заряда в исходной точке

Обычной отправной точкой в ​​электростатическом анализе является поле, связанное с частицей, несущей заряд \ (q \) в начале системы координат. Поскольку электрическое поле направлено радиально от положительно заряженной частицы источника во всех направлениях, это поле удобнее всего описывать в сферической системе координат.{-19} \) C (не забудьте этот знак минус!), \ (\ Epsilon = \ epsilon_0 \), \ (r = 1 ~ \ mu \) m, и мы находим:

\ [{\ bf E} ({\ bf r}) = – \ hat {\ bf r} \ left (1.44 ~ \ mbox {kV / m} \ right) \]

Это большое значение по сравнению с напряженностью электрического поля, обычно встречающейся в инженерных приложениях. Сильное электрическое поле электрона не так легко заметить, потому что электроны в обычных материалах имеют тенденцию сопровождаться примерно равными количествами положительного заряда, такими как протоны атомов. Иногда, однако, влияние отдельных электронов действительно становится значимым в практической электронике благодаря явлению, известному как дробовой шум .

Авторы и авторство

Сила электрического поля и закон Кулона – видео и стенограмма урока

Напряженность электрического поля

Напряженность электрического поля определяется как сила, которую испытательный заряд +1 кулон ощущает в определенном месте, измеряется в ньютонах на кулон (Н / К). Итак, вместо того, чтобы брать датчик температуры вокруг поля фермера, чтобы нарисовать карту электрического поля, вам придется взять заряд кулонов +1.Или, иначе говоря, это сила, ощущаемая на 1 кулон заряда. Например, если напряженность электрического поля составляет 3 Н / Кл, это означает, что заряд в 1 кулон будет ощущать силу в 3 ньютона, а заряд в 2 кулона будет ощущать силу в 6 ньютонов и так далее. Заряд -1 кулон будет ощущать ту же силу в противоположном направлении: помните, противоположные заряды притягиваются, а аналогичные заряды отталкиваются.

Если мы запишем эту напряженность электрического поля в виде уравнения, мы скажем, что напряженность электрического поля E равна ощущаемой силе, F , деленной на размер заряда, q .

Так получилось, что у нас уже есть уравнение для электрической силы между двумя точечными зарядами. На другом уроке мы представили закон Кулона, который гласит, что сила F в ньютонах равна электростатической постоянной k , умноженной на размеры двух зарядов в кулонах, деленной на расстояние между ними. в метрах, в квадрате.

Если мы подставим это в уравнение напряженности электрического поля и сократим одно из q s, мы обнаружим, что напряженность электрического поля в конкретном месте равна электростатической постоянной k , умноженной на размер заряд, создающий электрическое поле, деленный на расстояние, на которое вы находитесь от этого заряда, в квадрате.

Другими словами, размер электрического поля не зависит (не зависит от него) от размера тестового заряда, который вы перемещаете по полю. Размер поля зависит только от размера заряда, который создает поле.

Пример расчета

Рассмотрим пример. Представьте, что у вас есть заряд кулонов +4 в начале координат (координаты 0,0), что на самом деле довольно много. В реальном мире даже 1 кулон – это много. Вопрос просит вас вычислить электрическое поле в координатах (0,3).9 ньютонов на кулон.

Но держись! Мы еще не закончили. Электрическое поле – это векторная величина, поэтому нам тоже нужно направление. Поскольку это заряд +4 кулонов, и поскольку мы используем положительный тестовый заряд в качестве определения электрического поля, эти два заряда будут отталкиваться друг от друга. Противоположности притягиваются, но подобные обвинения отталкиваются. Таким образом, это означает, что поле (0,3) будет указывать прямо от начала координат – вправо по стандартной оси. 9 ньютонов на кулон вправо.А теперь … мы закончили.

Тот факт, что электрическое поле является вектором, может значительно усложнить эти проблемы, если вы не будете осторожны. Если вы начнете складывать несколько зарядов, вы можете рассчитать общее поле, сложив векторы электрического поля. А когда у вас больше двух зарядов, вы можете очень легко внести в него углы. Следующее, что вы знаете, вы разбиваете электрическое поле на компоненты x и y и вычисляете общее количество x и общее количество y .Принципы векторов, обсуждаемые в других уроках, применимы к любой векторной величине, включая электрическое поле. Но первый шаг – понять основы и понять, что напряженность электрического поля не зависит от размера заряда, который вы используете для ее измерения.

Резюме урока

Поле на самом деле является просто картой количества на площади пространства. Это может быть скаляр (например, температура) или вектор (например, скорость ветра). Скалярное поле просто содержит карту чисел, например, температуры в разных местах.Векторное поле содержит векторные величины – числа с направлением. Скорость ветра является векторной величиной, потому что у нее есть не только число (скорость), но и направление. Еще одно такое векторное поле – электрическое поле. Электрическое поле – это карта электрической силы в определенной области.

Напряженность электрического поля определяется как сила, которую испытательный заряд +1 кулон ощущает в определенном месте, измеряется в ньютонах на кулон. Заряд -1 кулон будет ощущать ту же силу в противоположном направлении: помните, противоположные заряды притягиваются, а аналогичные заряды отталкиваются.Если мы запишем это в виде уравнения, мы скажем, что напряженность электрического поля, E , равна ощущаемой силе, F , деленной на размер заряда, q .

Уравнение для расчета электрического поля, создаваемого точечным зарядом

Мы можем объединить это уравнение с законом Кулона, чтобы получить уравнение для электрического поля, создаваемого точечным зарядом. 9, умноженной на размер заряда, создающего электрическое поле, разделенный на расстояние, на которое вы находитесь от этого заряда, в квадрате.

Другими словами, размер электрического поля не зависит (не зависит от него) от размера используемого испытательного заряда – заряда, который вы используете для измерения поля. Размер поля зависит только от размера заряда, который создает поле.

Результаты обучения

Достигайте этих целей по мере прохождения урока:

  • Определите и опишите различные типы полей
  • Составьте уравнение напряженности электрического поля
  • Расчет силы и направления электрического поля

Учебное пособие по физике: Напряженность электрического поля

В предыдущем разделе Урока 4 было введено понятие электрического поля.Было заявлено, что концепция электрического поля возникла в попытке объяснить силы, действующие на расстоянии. Все заряженные объекты создают электрическое поле, которое распространяется наружу в окружающее их пространство. Заряд изменяет это пространство, вызывая воздействие этого поля на любой другой заряженный объект, который входит в это пространство. Сила электрического поля зависит от того, насколько заряжен объект, создающий поле, и от расстояния до заряженного объекта. В этом разделе Урока 4 мы исследуем электрическое поле с числовой точки зрения – напряженность электрического поля .


Коэффициент силы на заряд

Напряженность электрического поля – векторная величина; он имеет как величину, так и направление. Величина напряженности электрического поля определяется способом ее измерения. Предположим, что электрический заряд можно обозначить символом Q . Этот электрический заряд создает электрическое поле; поскольку Q является источником электрического поля, мы будем называть его источником заряда .Сила электрического поля исходного заряда может быть измерена любым другим зарядом, помещенным где-то в его окрестностях. Заряд, который используется для измерения напряженности электрического поля, называется испытательным зарядом , поскольку он используется для проверки напряженности поля . Тестовый заряд имеет количество заряда, обозначенное символом q . При помещении в электрическое поле испытательный заряд испытывает электрическую силу – притягивающую или отталкивающую. Как это обычно бывает, эта сила будет обозначаться символом F .Величина электрического поля просто определяется как сила, приходящаяся на заряд испытательного заряда.

Если напряженность электрического поля обозначена символом E , то уравнение можно переписать в символической форме как

.

Стандартные метрические единицы напряженности электрического поля вытекают из его определения. Поскольку электрическое поле определяется как сила, приходящаяся на заряд, его единицами измерения будут единицы силы, разделенные на единицы заряда. В этом случае стандартными метрическими единицами измерения являются Ньютон / Кулон или Н / Кл.

В приведенном выше обсуждении вы заметите, что упоминаются два заряда – исходный заряд и тестовый заряд. Для встречи с отрядом всегда требовалось два заряда. В электрическом мире нужны двое, чтобы привлечь или оттолкнуть. Уравнение для напряженности электрического поля ( E ) имеет одну из двух величин заряда, перечисленных в нем. Поскольку задействованы два заряда, ученик должен быть предельно осторожным, чтобы использовать правильное количество заряда при вычислении напряженности электрического поля.Символ q в уравнении – это количество заряда тестового заряда (а не заряда источника). Напомним, что напряженность электрического поля определяется с точки зрения того, как она измеряется или проверяется; таким образом, тестовый заряд попадает в уравнение. Электрическое поле – это сила, приходящаяся на количество заряда на испытательном заряде .

Напряженность электрического поля не зависит от количества заряда в тестовом заряде. Если вы немного задумаетесь над этим утверждением, оно может вас обеспокоить.(Конечно, если вы вообще не думаете – никогда – ничто на самом деле вас не беспокоит. Невежество – это блаженство.) В конце концов, количество заряда в тестовом заряде ( q ) находится в уравнении для электрического поля. Так как же напряженность электрического поля может не зависеть от q , если q входит в уравнение? Хороший вопрос. Но если вы подумаете над этим немного дольше, вы сможете ответить на свой вопрос. (Невежество может быть блаженством. Но немного подумав, вы можете достичь прозрения, состояния, которое намного лучше, чем блаженство.) Увеличение количества заряда в тестовом заряде – скажем, в 2 раза – увеличит знаменатель уравнения в 2 раза. Но согласно закону Кулона, больший заряд также означает большую электрическую силу ( F ) . Фактически, двукратное увеличение q будет сопровождаться двукратным увеличением F . Таким образом, когда знаменатель в уравнении увеличивается в два (или три или четыре) раза, числитель увеличивается во столько же раз. Эти два изменения уравновешивают друг друга, так что можно с уверенностью сказать, что напряженность электрического поля не зависит от количества заряда в тестовом заряде.Таким образом, независимо от того, какой испытательный заряд используется, напряженность электрического поля в любом заданном месте вокруг источника заряда Q будет одинаковой.

Другая формула напряженности электрического поля

Вышеупомянутое обсуждение относилось к определению напряженности электрического поля с точки зрения ее измерения. Теперь мы исследуем новое уравнение, которое определяет напряженность электрического поля в терминах переменных, которые влияют на напряженность электрического поля.Для этого нам придется вернуться к уравнению закона Кулона. Закон Кулона гласит, что электрическая сила между двумя зарядами прямо пропорциональна произведению их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. Применительно к двум нашим зарядам – ​​исходному заряду ( Q ) и пробному заряду ( q ) – формулу для электрической силы можно записать как

Если выражение для электрической силы, заданное законом Кулона, заменить на силу в приведенном выше уравнении E = F / q, можно вывести новое уравнение, как показано ниже.

Обратите внимание, что приведенный выше вывод показывает, что испытательный сбор на был исключен как из числителя, так и из знаменателя уравнения. Новая формула для напряженности электрического поля (показанная внутри рамки) выражает напряженность поля в терминах двух переменных, которые на нее влияют. Напряженность электрического поля зависит от количества заряда источника ( Q ) и расстояния разделения ( d ) от источника заряда.

Закон обратных квадратов

Как и все формулы в физике, формулы для напряженности электрического поля могут использоваться для алгебраического решения физических задач с текстом.И, как и все формулы, эти формулы напряженности электрического поля также можно использовать, чтобы направлять наши размышления о том, как изменение одной переменной может (или не может) повлиять на другую переменную. Одной из особенностей этой формулы напряженности электрического поля является то, что она иллюстрирует обратную квадратичную зависимость между напряженностью электрического поля и расстоянием. Напряженность электрического поля, создаваемого зарядом источника Q , обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника. Это известно как закон обратных квадратов .2).

Используйте этот принцип обратной квадратичной зависимости между напряженностью электрического поля и расстоянием, чтобы ответить на первые три вопроса в разделе «Проверьте свое понимание» ниже.

Повторение аналогии с вонючим полем

В предыдущем разделе Урока 4 была представлена ​​несколько грубая, но поучительная аналогия – аналогия с вонючим полем. Аналогия сравнивает понятие электрического поля, окружающего исходный заряд, с вонючим полем, окружающим вонючий подгузник младенца.Подобно тому, как каждый вонючий подгузник создает неприятное поле, каждый электрический заряд создает электрическое поле. А если вы хотите узнать силу вонючего поля, вы просто используете вонючий детектор – нос, который (насколько я знаю) всегда отталкивающе реагирует на вонючий источник. Точно так же, если вы хотите узнать силу электрического поля, вы просто используете детектор заряда – тестовый заряд, который будет реагировать притягивающим или отталкивающим образом на исходный заряд. И, конечно, сила поля пропорциональна воздействию на детектор.Более чувствительный детектор (лучший носик или более заряженный тестовый заряд) ощутит эффект более интенсивно. Тем не менее, напряженность поля определяется как влияние (или сила) на чувствительность детектора; таким образом, напряженность поля вонючего подгузника или электрического заряда не зависит от чувствительности детектора.

Если вы измерите вонючее поле подгузника, будет понятно только то, что на него не повлияет то, насколько вы вонючий. Человек, измеряющий силу вонючего поля подгузника, может создать собственное поле, сила которого зависит от того, насколько он вонючий.Но поле этого человека не следует путать с вонючим полем подгузника. Вонючее поле подгузника зависит от того, насколько вонючий подгузник. Точно так же сила электрического поля исходного заряда зависит от того, насколько заряжен исходный заряд. Кроме того, как и в случае с вонючим полем, наше уравнение электрического поля показывает, что по мере того, как вы приближаетесь к источнику поля, эффект становится все больше и больше, а напряженность электрического поля увеличивается.

Аналогия с вонючим полем оказывается полезной для передачи как концепции электрического поля, так и математики электрического поля.Концептуально он иллюстрирует, как источник поля может влиять на окружающее пространство и оказывать влияние на чувствительные детекторы в этом пространстве. И математически он показывает, как сила поля зависит от источника и расстояния от источника и не зависит от каких-либо характеристик, связанных с детектором.

Направление вектора электрического поля

Как упоминалось ранее, напряженность электрического поля является векторной величиной.В отличие от скалярной величины, векторная величина не описывается полностью, если с ней не связано направление. Величина вектора электрического поля рассчитывается как сила, приходящаяся на заряд любого заданного испытательного заряда, находящегося в пределах электрического поля. Сила на испытательном заряде могла быть направлена ​​либо на исходный заряд, либо прямо от него. Точное направление силы зависит от того, имеют ли пробный заряд и исходный заряд заряд одного и того же типа (при котором происходит отталкивание) или противоположного типа заряда (при котором происходит притяжение).Чтобы решить дилемму, направлен ли вектор электрического поля к источнику заряда или от него, было принято соглашение. Согласно всемирному соглашению, которое используется учеными, направление вектора электрического поля определяется как направление, в котором положительный тестовый заряд толкается или вытягивается в присутствии электрического поля. Используя условное обозначение положительного тестового заряда, каждый может согласовать направление E .

Учитывая это соглашение о положительном испытательном заряде, можно сделать несколько общих выводов о направлении вектора электрического поля.Положительный заряд источника создает электрическое поле, которое оказывает отталкивающее действие на положительный испытательный заряд. Таким образом, вектор электрического поля всегда будет направлен от положительно заряженных объектов. С другой стороны, положительный тестовый заряд будет притягиваться к отрицательному заряду источника. Следовательно, векторы электрического поля всегда направлены в сторону отрицательно заряженных объектов. Вы можете проверить свое понимание направлений электрического поля, ответив на вопросы 6 и 7 ниже.

Хотим предложить… Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения «Положите заряд в цель» и / или интерактивного интерфейса «Электростатические ландшафты». Оба интерактивных компонента можно найти в разделе Physics Interactives на нашем веб-сайте. Оба Interactives предоставляют увлекательную среду для изучения электрических полей и действий на расстоянии.

Проверьте свое понимание

Используйте свое понимание, чтобы ответить на следующие вопросы. По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы.

1. Заряд Q действует как точечный заряд, создавая электрическое поле. Его сила, измеренная на расстоянии 30 см, составляет 40 Н / К. Какова величина напряженности электрического поля, которую вы ожидаете измерить на расстоянии…

а. На расстоянии 60 см?

г. 15 см?

г. На расстоянии 90 см?

г. На расстоянии 3 см?

г. На расстоянии 45 см?


2. Заряд Q действует как точечный заряд, создавая электрическое поле. Его сила, измеренная на расстоянии 30 см, составляет 40 Н / К.Какой была бы напряженность электрического поля …

а. 30 см от источника с зарядом 2Q?

г. 30 см от источника с зарядом 3Q?

г. На расстоянии 60 см от источника с зарядом 2Q?

г. 15 см от источника с зарядом 2Q?

e. 150 см от источника с зарядом 0.5Q?

3. Используйте свои знания о напряженности электрического поля, чтобы заполнить следующую таблицу.

4. В приведенной выше таблице найдите по крайней мере две строки, которые иллюстрируют, что напряженность вектора электрического поля равна …

а. напрямую связано с количеством начислений по исходному начислению ( Q ).

г. обратно пропорционально квадрату разделительного расстояния ( d ).

г. независимо от количества заряда тестового заряда ( q ).


5. Следующая единица определенно не является стандартной единицей для выражения величины напряженности электрического поля.

кг • м / с 2 / C

Однако это может быть приемлемой единицей для E . Используйте анализ единиц измерения, чтобы определить, является ли указанный выше набор единиц приемлемой единицей измерения напряженности электрического поля.


6.Замечено, что воздушный шар A заряжен отрицательно. Воздушный шар B оказывает отталкивающее действие на воздушный шар A. Будет ли вектор электрического поля, созданный воздушным шаром B, быть направлен к B или от B? ___________ Объясните свои рассуждения.


7. Отрицательный заряд источника ( Q ) показан на диаграмме ниже. Этот исходный заряд может создавать электрическое поле. Обозначены различные места в поле.Для каждого местоположения нарисуйте вектор электрического поля в соответствующем направлении с соответствующей относительной величиной. То есть нарисуйте длину вектора E длинной, если величина большая, и короткой, где величина мала.


Учебное пособие по физике: Закон Кулона

Взаимодействие между заряженными объектами – это неконтактная сила, действующая на некотором расстоянии друг от друга.Заряд, заряд и расстояние. Каждое электрическое взаимодействие включает в себя силу, которая подчеркивает важность этих трех переменных. Будь то пластиковая трубка для гольфа, притягивающая кусочки бумаги, два отталкивающих одинаково заряженных шара или заряженная пластина из пенополистирола, взаимодействующая с электронами в куске алюминия, всегда есть два заряда и расстояние между ними как три критических переменных, которые влияют на прочность. взаимодействия. В этом разделе Урока 3 мы исследуем важность этих трех переменных.


Сила как векторная величина

Электрическая сила, как и все силы, обычно выражается в единицах Ньютон. Сила электрического взаимодействия является векторной величиной, которая имеет как величину, так и направление. Направление электрической силы зависит от того, заряжены ли заряженные объекты одинаковым или противоположным зарядом, а также от их пространственной ориентации. Зная тип заряда на двух объектах, можно определить направление силы, действующей на любой из них, с небольшими рассуждениями.На диаграмме ниже объекты A и B имеют одинаковый заряд, заставляющий их отталкиваться друг от друга. Таким образом, сила на объект A направлена ​​влево (от B), а сила на объект B направлена ​​вправо (от A). С другой стороны, объекты C и D имеют противоположный заряд, заставляя их притягиваться друг к другу. Таким образом, сила, действующая на объект C, направлена ​​вправо (к объекту D), а сила, действующая на объект D, направлена ​​влево (к объекту C). Когда дело доходит до вектора электрической силы, возможно, лучший способ определить его направление – это применить фундаментальные правила взаимодействия зарядов (противоположности притягиваются, а любит отталкиваться), используя небольшие рассуждения.


Электрическая сила также имеет величину или силу. Как и большинство типов сил, существует множество факторов, которые влияют на величину электрической силы. Два одинаково заряженных шара будут отталкивать друг друга, и сила их силы отталкивания может быть изменена путем изменения трех переменных. Во-первых, количество заряда на одном из воздушных шаров влияет на силу отталкивающей силы. Чем больше заряжен воздушный шар, тем больше сила отталкивания.Во-вторых, количество заряда на втором воздушном шаре влияет на силу отталкивающей силы. Аккуратно натрите два шарика шерстью животных, и они немного оттолкнутся. Сильно потрите два шара, чтобы передать им больший заряд, и они сильно оттолкнутся. Наконец, расстояние между двумя воздушными шарами будет иметь значительное и заметное влияние на силу отталкивания. Электрическая сила наиболее велика, когда воздушные шары находятся максимально близко друг к другу. Уменьшение разделительного расстояния увеличивает силу.Величина силы и расстояние между двумя воздушными шарами составляют обратно пропорционально .

Уравнение закона Кулона

Количественное выражение влияния этих трех переменных на электрическую силу известно как закон Кулона. Закон Кулона гласит, что электрическая сила между двумя заряженными объектами прямо пропорциональна произведению количества заряда на объектах и ​​обратно пропорциональна квадрату разделительного расстояния между двумя объектами.В форме уравнения закон Кулона можно представить как

, где Q 1 представляет количество заряда на объекте 1 (в кулонах), Q 2 представляет количество заряда на объекте 2 (в кулонах), а d представляет собой расстояние между ними. два объекта (в метрах). Символ k – это константа пропорциональности, известная как постоянная закона Кулона. Значение этой постоянной зависит от среды, в которую погружены заряженные объекты.В случае воздуха это значение составляет приблизительно 9,0 x 10 9 Н • м 2 / C 2 . Если заряженные объекты присутствуют в воде, значение k может быть уменьшено в 80 раз. Стоит отметить, что единицы на k таковы, что при подстановке в уравнение единицы на зарядке (кулоны) и единицы расстояния (метры) будут отменены, оставив Ньютон в качестве единицы силы.

Уравнение закона Кулона обеспечивает точное описание силы между двумя объектами, когда объекты действуют как точечных зарядов .Заряженная проводящая сфера взаимодействует с другими заряженными объектами так, как будто весь ее заряд находится в ее центре. Хотя заряд равномерно распределен по поверхности сферы, центр заряда можно рассматривать как центр сферы. Сфера действует как точечный заряд, избыточный заряд которого находится в центре. Поскольку закон Кулона применяется к точечным зарядам, расстояние d в уравнении – это расстояние между центрами заряда для обоих объектов (а не расстояние между их ближайшими поверхностями).

Символы Q 1 и Q 2 в уравнении закона Кулона представляют собой количества заряда на двух взаимодействующих объектах. Поскольку объект может быть заряжен положительно или отрицательно, эти величины часто выражаются в виде значений «+» или «-». Знак заряда просто показывает, есть ли в объекте избыток электронов (отрицательно заряженный объект) или недостаток электронов (положительно заряженный объект).Может возникнуть соблазн использовать знаки «+» и «-» при вычислении силы. Хотя такая практика не рекомендуется, в этом нет никакого вреда. При использовании знаков «+» и «-» в расчете силы результат будет таков, что значение «-» для силы является признаком силы притяжения, а значение «+» для силы означает силу отталкивания. Математически значение силы будет положительным, если Q 1 и Q 2 имеют одинаковый заряд – либо оба знака «+», либо оба знака «-».И значение силы будет отрицательным, если Q 1 и Q 2 имеют противоположный заряд – один – «+», а другой – «-». Это согласуется с концепцией, что противоположно заряженные объекты обладают притягивающим взаимодействием, а одноименные заряженные объекты – отталкивающим. В конце концов, если вы мыслите концептуально (а не просто математически), вы сможете определить природу силы – притягивающую или отталкивающую – без использования знаков «+» и «-» в уравнении.

Расчеты по закону Кулона

В курсах физики закон Кулона часто используется как разновидность алгебраического рецепта для решения словесных задач физики. Здесь показаны три таких примера.

Пример A

Предположим, что два точечных заряда, каждый с зарядом +1,00 Кулона, разделены расстоянием 1.00 метр. Определите величину электрической силы отталкивания между ними.

Это не самая сложная математическая задача, которую можно было выбрать. Он определенно был выбран не из-за его математической строгости. Используемая здесь стратегия решения проблем может показаться ненужной, учитывая простоту данных значений. Тем не менее, эта стратегия будет использоваться, чтобы проиллюстрировать ее полезность для решения любой проблемы закона Кулона.

Первым шагом стратегии является идентификация и перечисление известной информации в переменной форме.Здесь мы знаем заряды двух объектов (Q 1 и Q 2 ) и расстояние между ними (d). Следующий шаг стратегии включает перечисление неизвестной (или желаемой) информации в переменной форме. В этом случае проблема запрашивает информацию о силе. Так что F elect – неизвестное количество. Результаты первых двух шагов показаны в таблице ниже.

Дано:

Q 1 = 1.00 С

Q 2 = 1,00 C

d = 1,00 м

Найдите:

F избранный = ???

Следующий и последний шаг стратегии включает в себя замену известных значений в уравнение закона Кулона и использование соответствующих алгебраических шагов для поиска неизвестной информации. Этот шаг показан ниже.

F elect = k • Q 1 • Q 2 / d 2

F elect = (9,0 x 10 9 Н • м 2 / C 2 ) • (1,00 C) • (1,00 C) / (1,00 м) 2

F электр. = 9,0 x 10 9 N

Сила отталкивания двух +1.00 кулоновских зарядов, находящихся на расстоянии 1 метра друг от друга, составляет 9 миллиардов ньютонов. Это невероятно большая сила, по величине сопоставимая с массой более 2000 лайнеров.

Эта задача была выбрана в первую очередь из-за ее концептуального послания. Объекты просто не получают зарядов порядка 1,00 кулонов. Фактически, более вероятные значения Q составляют порядка 10 -9 или, возможно, 10 -6 кулонов. По этой причине греческий префикс часто используется перед кулоном в качестве единицы заряда. Заряд часто выражается в единицах микрокулонов (мкКл) и нанокулонов (нКл). Если проблема указывает заряд в этих единицах, рекомендуется сначала преобразовать в кулоны перед подстановкой в ​​уравнение закона Кулона.Следующие эквиваленты единиц измерения помогут в таком преобразовании.

1 кулон = 10 6 микрокулон

1 кулон = 10 9 нанокулон

Стратегия решения проблем, использованная в примере A, включала три этапа:

  1. Определите и перечислите известную информацию в переменной форме.
  2. Перечислите неизвестную (или желаемую) информацию в переменной форме.
  3. Подставьте известные значения в уравнение закона Кулона и, используя соответствующие алгебраические шаги, найдите неизвестную информацию.(В некоторых случаях и для некоторых студентов может быть проще сначала выполнить алгебру, используя переменные, а затем выполнить замену в качестве последнего шага.)

Эта же стратегия решения проблем продемонстрирована в Пример B ниже.

Пример B

Два шара заряжаются одинаковым количеством и типом заряда: -6,25 нКл. Их разделяют на расстоянии 61.7 см. Определите величину электрической силы отталкивания между ними.

В задаче указано значение Q 1 и Q 2 . Поскольку эти значения выражены в единицах нанокулонов (нКл), необходимо выполнить преобразование в кулоны. В задаче также указано расстояние разделения (d). Поскольку расстояние указывается в сантиметрах (см), необходимо также выполнить преобразование в метры. Эти преобразования необходимы, поскольку единицами заряда и расстояния в постоянной Кулона являются кулоны и метры.Неизвестная величина – электрическая сила (F). Результаты первых двух шагов показаны в таблице ниже.

Дано:

Q 1 = -6,25 нКл = -6,25 x 10 -9 С

Q 2 = -6,25 нКл = -6,25 x 10 -9 C

d = 61,7 см = 0,617 м

Найдите:

F избранный = ???

Последний шаг стратегии включает подстановку известных значений в уравнение закона Кулона и использование соответствующих алгебраических шагов для решения неизвестной информации.Эта подстановка и алгебра показаны ниже.

F elect = k • Q 1 • Q 2 / d 2

F elect = (9,0 x 10 9 Н • м 2 / C 2 ) • (6,25 x 10 -9 C) • (6,25 x 10 -9 C) / (0,617 м) 2

F электр. = 9,23 x 10 -7 N

Обратите внимание, что знак «-» был удален из значений Q 1 и Q 2 перед подстановкой в ​​уравнение закона Кулона.Как упоминалось выше, использование знаков «+» и «-» в уравнении приведет к положительному значению силы, если Q 1 и Q 2 одинаково заряжены, и отрицательному значению силы, если Q 1 и Q 2 имеют противоположный заряд. Полученные в результате знаки «+» и «-» на F обозначают, является ли сила притягивающей (значение «-» F) или отталкивающей (значение «+» F).


Пример C

Два шара с зарядом +3.37 мкКл и -8,21 мкКл притягивают друг друга с силой 0,0626 Ньютона. Определите расстояние между двумя воздушными шарами.

В задаче указано значение Q 1 и Q 2 . Поскольку эти значения выражены в микрокулонах (мкКл), будет выполнено преобразование в кулоны. В задаче также указывается электрическая сила (F). Неизвестная величина – это расстояние разделения (d). Результаты первых двух шагов показаны в таблице ниже.

Дано:

Q 1 = +3,37 мкКл = +3,37 x 10 -6 С

Q 2 = -8,21 мкКл = -8,21 x 10 -6 С

F elect = -0,0626 Н (используйте – значение силы, так как оно привлекательное)

Найдите:

d = ???


Как упоминалось выше, использование знаков «+» и «-» необязательно.Однако, если они используются, то они должны использоваться последовательно для значений Q и F. Их использование в уравнении проиллюстрировано в этой задаче.

Последний шаг стратегии включает подстановку известных значений в уравнение закона Кулона и использование соответствующих алгебраических шагов для решения неизвестной информации. В этом случае сначала выполняется алгебра, а в последнюю – подстановка. Эта алгебра и подстановка показаны ниже.

F elect = k • Q 1 • Q 2 / d 2

d 2 • F elect = k • Q 1 • Q 2

d 2 = k • Q 1 • Q 2 / F elect

d = SQRT (k • Q 1 • Q 2 ) / F elect

d = КОРЕНЬ [(9.0 x 10 9 Н • м 2 / C 2 ) • (-8,21 x 10 -6 C) • (+3,37 x 10 -6 C) / (-0,0626 Н)]

d = Sqrt [+3,98 м 2 ]

d = +1,99 м

Сравнение электрических и гравитационных сил

Электрическая сила и гравитационная сила – это две бесконтактные силы, которые обсуждаются в учебном пособии по физике.Уравнение закона Кулона для электрической силы очень похоже на уравнение Ньютона для всемирного тяготения.


Эти два уравнения имеют очень похожую форму. Оба уравнения показывают обратную квадратичную зависимость между силой и разделительным расстоянием. И оба уравнения показывают, что сила пропорциональна произведению количества, вызывающего силу, – заряда в случае электрической силы и массы в случае силы тяжести. Однако между этими двумя силами есть поразительные различия.Во-первых, сравнение констант пропорциональности – k и G – показывает, что постоянная закона Кулона (k) значительно больше, чем универсальная гравитационная постоянная Ньютона (G). Впоследствии единица заряда будет притягивать единицу заряда со значительно большей силой, чем единица массы притягивает единицу массы. Во-вторых, гравитационные силы только притягивают; электрические силы могут быть как притягивающими, так и отталкивающими.

Обратное квадратичное соотношение между силой и расстоянием, вплетенное в уравнение, является общим для обеих бесконтактных сил.Эта взаимосвязь подчеркивает важность разделительного расстояния, когда речь идет об электрической силе между заряженными объектами. Этому и посвящен следующий раздел Урока 3.

Мы хотели бы предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете один из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного приложения по закону Кулона.Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Интерактивный закон Кулона позволяет учащемуся исследовать влияние заряда и разделительного расстояния на величину электрической силы между двумя заряженными объектами.


Проверьте свое понимание

Используйте свое понимание, чтобы ответить на следующие вопросы. По завершении нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы.

1. Q в уравнении закона Кулона обозначает _____.

а. масса заряжаемого объекта

г. # избыточных электронов на объекте

г. ток заряженного объекта

г. расстояние между заряженными объектами

e.заряд заряженного объекта

2. Символ d в уравнении закона Кулона обозначает расстояние от ___.

а. От A до B

г. От A до D

г.От B до C

г. От B до D

e. C по D

ф. От A до G

г. От B до F

ч. C по E


3.Определите электрическую силу притяжения между двумя воздушными шарами с отдельными зарядами +3,5 x 10 -8 C и -2,9 x 10 -8 C при разделении на расстояние 0,65 м.


4. Определите электрическую силу притяжения между двумя воздушными шарами, заряженными противоположным типом заряда, но одинаковым количеством заряда. Заряд на воздушных шарах составляет 6,0 x 10 90 · 104 -7 90 · 105 C, и они разделены расстоянием 0.50 м.


5. Джоанна натерла шар шерстью, чтобы получить заряд -1,0 x 10 -6 C. Затем она достает пластиковую трубку для гольфа с зарядом +4,0 x 10 -6 C, локализованным в заданном месте. позиция. Она удерживает место заряда на пластиковой трубке для гольфа на расстоянии 50,0 см над воздушным шаром. Определите электрическую силу притяжения между трубкой для гольфа и воздушным шаром.


6. Баллон с зарядом 4,0 мкКл удерживают на расстоянии 0,70 м от второго баллона с таким же зарядом. Рассчитайте величину силы отталкивания.

7. На каком расстоянии разделения должны быть расположены два заряда размером 1,00 микрокулонов, чтобы сила отталкивания между ними была эквивалентна весу (на Земле) 1.00-кг масса?

Закон Кулона | Электрические заряды и поля

Электростатика Продолжение

В 10 классе вы узнали о силе между зарядами. В этом разделе вы узнаете, как точно определить эту силу и об основном законе электростатики.

Закон Кулона

Одинаковые заряды отталкиваются друг от друга, в то время как разные заряды притягиваются друг к другу.Если заряды покоятся, то сила между ними известна как электростатическая сила . Электростатическая сила между зарядами увеличивается, когда величина зарядов увеличивается или расстояние между зарядами уменьшается.

Электростатическая сила была впервые подробно изучена Шарлем-Огюстеном де Кулоном около 1784 года. Благодаря своим наблюдениям он смог показать, что величина электростатической силы между двумя точечными зарядами обратно пропорциональна квадрату величины электростатической силы между двумя точечными зарядами. расстояние между зарядами.2}, \] где \ (Q_1 \) и \ (Q_2 \) – величины двух зарядов соответственно, а r – расстояние между ними. Величина электростатической силы между двумя точечными зарядами определяется законом Кулона .

Определение: закон Кулона

Закон Кулона гласит, что величина электростатической силы между двумя точечными зарядами прямо пропорциональна произведению величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.2}, \]

где \ ({m} _ {1} \) и \ ({m} _ {2} \) – массы двух точечных частиц, \ (d \) – расстояние между ними, а \ (G \) – гравитационная постоянная.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *